Konvers, Invers dan Kontraposisi

MODUL

5

Konvers, Invers dan

Kontraposisi

A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN

PEMBELAJARAN

1. Tema Konvers, Invers dan Kontraposisi 2. Fokus

Pembahasan Materi Pokok

1. Konvers, invers dan kontra posisi 2. Ekivalensi Logika

3. Negasi / ingkaran implikasi, konvers, invers dan kontraposisi

3. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

1. Mahasiswa memahami pengertian konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi. 2. Mahasiswa mampu menunjukkan ekivalensi

antara pernyataan implikasi, konvers, invers dan kontraposisi.

3. Mahasiswa mampu menentukan negasi atau ingkaran antara pernyataan implikasi, konvers, invers dan kontraposisi.

Konvers, Invers dan

Kontraposisi dari suatu

implikasi.

Misalkan diketahui implikasi p  q Maka:

 Konversnya adalah q  p

 Inversnya adalah ¬p  ¬q

Hubungan Konvers, Invers, dan

Kontraposisi dari Implikasi “p  q”

Catatan :

Bahwa nilai suatu implikasi selalu ekivalen dengan kontraposisi.

p q ¬p ¬q p  q q  p ¬p  ¬q ¬q  ¬p

T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T

Contoh 1.

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:

“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya” (p 

q)

Penyelesaian:

Konvers : (q  p)

Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil

Invers : (¬p  ¬q)

Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya

Kontraposisi : (¬q  ¬p)

Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil

Contoh 2

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:

Jika suatu bilangan asli berangka satuan 0 maka bilangan tersebut habis dibagi 5.

Penyelesaian: Konvers:

Jika suatu bilangan asli habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut berangka satuan 0

Invers:

Jika suatu bilangan asli tidak berangka satuan 0 maka bilangan tersebut tidak habis dibagi 5.

Kontraposisi:

Jika suatu bilangan asli tidak habis dibagi 5 maka bilangan asli tersebut tidak berangka satuan 0

Tugas

 Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari

pernyataan di bawah !

1) Jika n bilangan ganjil, maka (-1)n = -1

2) Jika semua jeruk manis, maka jeruk ini harus manis 3) Jika a3 : a3 = a0 , maka a0 =1

4) Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi 5) Jika Beijing di RRC, maka Tokyo di Jepang (konvers) 6) Iwan lulus ujian jika ia belajar

9

EKUIVALENSI LOGIKA

10

EKUIVALENSI

Jika dua buah ekspresi logika adalah tautologi, maka dapat dipastikan bahwa kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis.

Demikian juga jika dua buah ekspresi logika adalah kontradiksi, maka dapat dipasikan kedua buah ekspresi logika tersebut adalah ekuivalen secara logis.

11

EKUIVALENSI

Persoalannya ada pada contingent, karena memiliki semua nilai T dan F. Tetapi jika urutan T dan F atau sebaliknya pada tabel kebenaran tetap pada urutan yang sama

maka tetap disebut ekuivalen secara logis.

Dalam tabel kebenaran, suatu tautologi selalu bernilai True pada semua barisnya dan

kontradiksi selalu bernilai False pada semua baris. Kalau suatu kalimat tautologi diturunkan lewat hukum-hukum yang ada maka pada akhirnya akan menghasilkan

12

EKUIVALENSI

Contoh:

1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik.

Dari dua pernyataan di atas, tanpa pikir panjang kita dapat menyimpulkan bahwa kedua pernyataan di atas adalah ekuivalen. Tetapi untuk membuktikan kebenarannya apakah kedua pernyataan tersebut ekuivalen harus dibuktikan dengan tabel kebenaran.

13

EKUIVALENSI

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Ubahlah pernyataan-pernyataan tersebut ke dalam pernyataan atomik dengan simbol logikanya!

Dewi sangat cantik dan peramah

Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam pernyataan atomiknya dan kita permisalkan dengan simbol logikanya, yaitu:

p = Dewi sangat cantik

14

EKUIVALENSI

2. Ubahlah pernyataan-pernyataan majemuknya kedalam simbol-simbol logikanya.

1. Dewi sangat cantik dan peramah.

2. Dewi peramah dan sangat cantik.

Untuk pernyataan di atas, kita rubah kedalam simbol logikanya, yaitu:

1. p  q

15 EKUIVALENSI

p

q

_p



_q

_q



_p

B

B

S

S

B

S

B

S

S

B

S

S

S

B

S

S

16 EKUIVALENSI HASIL AKHIR

p



q

q



p

B

S

S

S

B

S

S

S

p



q



p



q

(x)

(y)

_(x



_y)

B

B

B

B

17

EKUIVALENSI

Dari hasil tabel kebenaran di atas diperoleh hasil bahwa nilai dari p  q sama dengan nilai q  p.

Sedangkan jika kedua pernyataan di atas dihubungkan dengan logika biimplikasi diperoleh bukti bahwa:

(p  q)  (q  p)

18

EKUIVALENSI

Dengan demikian karena kedua logika jika dihubungkan dengan logika biimplikasi adalah tautologi maka dapat disimpulkan bahwa kedua logika tersebut adalah ekuivalen.

Maka pernyataan yang menyatakan:

1. Dewi sangat cantik dan peramah. 2. Dewi peramah dan sangat cantik.

19

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA

Identitas _p  ₁  _{1 p}  ₀  _p Ikatan p  1  1 p  0  0 Idempoten p  p  p p  p  p Negasi p  p  1 p  p  0 Negasi Ganda (p)  p Komutatif p  q  q  p p  q  q  p Asosiatif (pq) r  p(qr) (pq)r  q(pr) Distributif p(qr)  (pq)(pr) (pq)r  (pq)(pr) De Morgan’s (pq)  pq (pq)  pq Aborbsi p(pq)  p p(pq)  p

20

HUKUM-HUKUM EKUIVALEN LOGIKA

Selain dengan menggunkan tabel kebenaran, untuk menentukan

dua buah argumen adalah ekuivalen secara logis atau tidak, dapat

juga digunakan hukum-hukum ekuivalensi logika, yang akan kita

bahas secara aplikatif di materi Penyederhanaan Aljabar Boolean

CARA INI LEBIH SINGKAT

21 GIMANA YA .... X, Y, Z ATAU P, Q, R, ATAU... ATAU... ATAU X 200 BINTANG KECIL DILANGIT YANG BIRU

TAPI JANGAN KAWATIR COY, YAKINKAN DIRI ANDA UNTUK BISA, SEBAB KEMUDAHAN ITU ADANYA DIBALIK KESUSAHAN....!

22

EKUIVALEN LOGIKA

Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan tabel kebenaran.

_(p_q)  ₍_p_q)  _p

23

EKUIVALEN LOGIKA

24 EKUIVALEN LOGIKA _(p_q)  ₍_p_q)  _p p q _p _{q p}_q _(p_q) _p_q _(p_q)₍_p_q) B B S S B S B S S S B B S B S B B B S B S S B S S S S B S S B B

Dari tabel kebenaran diperoleh hasil bahwa p sama dengan (pq)(pq)  p. Untuk membuktikan lebih lanjut maka p dan (pq)(pq) dihubungkan dengan logika biimplikasi.

25

EKUIVALEN LOGIKA _(p_q)  ₍_p_q)  _p

Dari tabel tabel di atas diperoleh hasil bahwa (pq)(pq)  p bernilai benar untuk setiap nilai p dan q, Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terbukti (pq)  (pq) 

_{p adalah ekuivalen secara logis.}

_p _(p_q)₍_p_q) _(p_q)  ₍_p_q)  _p S S B B S S B B B B B B

26

EKUIVALEN LOGIKA

27

EKUIVALEN LOGIKA

Buktikan ekuivalensi kalimat di bawah ini dengan tabel kebenaran !

1) (p → r)  (q → r)  p → (q → r) 2) (p v q) → (r v p)  ¬p → (r v p) 3) A → (¬A → B)  1

4) ¬( ¬(A



B)

 B)  0

5) a. Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah dan jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah .

b. Jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kuliah.

Negasi / Ingkaran Implikasi,

Konvers, Invers dan Kontraposisi

29

HUKUM EKUIVALEN LOGIKA

_(p  _q)

Perhatikan hukum Morgan’s

Dimana: (p  q)  p  q

Maka: (p  q)  p  (q)  (p  q)

Ekivalensi Pernyataan implikasi : (p → q)  p v q

Negasi suatu implikasi

 Untuk memperoleh negasi dari suatu implikasi, kita dapat

mengubah bentuknya ke dalam bentuk disjungsi kemudian dinegasikan, yaitu:

 p  q   p  q

maka negasinya adalah

Negasi suatu Biimplikasi

 Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan

majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan  p  q  (p  q)  (q  p) sehingga,   _(p  _q)   _{[ (p}  _q)  _(q  _{p) ]}    _{[ (}  _p  _q)  ₍  _q  _{p) ]}    (  p  q)   (  q  p)   (p   q)  (q   p)

Ingkaran konvers, invers dan

kontraposisi

 Tentukan ingkaran atau negasi konvers, invers dan kontraposisi

dari implikasi berikut:

 “Jika suatu bendera adalah bendera RI, maka bendera

tersebut berwarna merah putih”

 Penyelesaian :

 Misal, p : Suatu bendera adalah bendera RI

q : Bendera tersebut berwarna merah putih maka kalimatnya menjadi p  q

atau jika menggunakan operator or, maka p  qekuivalen (sebanding) dengan p  q . Sehingga

1). Negasi dari Konvers

 Konvers : q  p  q  p

 Negasinya : 

(

q  p

)

 q  p

 Kalimatnya : “Terdapat bendera berwarna merah putih

tetapi bendera tersebut bukan bendera RI”

2). Negasi dari Invers

 Invers : p  q  

(

p

)

 q  p  q

 Negasinya : 

(

p  q

)

 p q

 Kalimatnya : “Suatu bendera bukan bendera RI tetapi

bendera tersebut berwarna merah putih”

3). Negasi dari Kontraposisi

 Kontraposisi : q  p  (q) p  q  p

 Negasinya : (q  p)  q  p

 Kalimatnya : “Suatu bendera tidak berwarna merah