BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Menurut ahli sejarah, Heroditus (450 M) menyatakan bahwa geometri berasal dari Mesir. Ilmu geometri lahir dari tradisi pengukuran tanah di tepi sungai Nil. Pengukuran tanah senantiasa dilakukan sebagai akibat banjir yang sering terjadi. Sebuah manuskrip tua orang Mesir bertajuk Papyrus Rhind yang ditulis oleh Ahmes 200 SM (saat ini disimpan di musium London Inggris) menginformasikan tentang aturan-aturan dan rumus-rumus untuk mencari luas ladang dan isi gudang gandum yang digunakan waktu itu. Orang mesir juga telah mengetahui bahwa bentuk Al-jabar ax + b = 0 secara geometri dapat dinyatakan sebagai garis lurus. Demikian pula dengan bentuk-bentuk pangkat dua, telah mampu mereka wujudkan sebagai bentuk-bentuk seperti ellips, parabola, dan hiperbola.
Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Di akhir abad ke-17, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm von Leibniz secara mandiri dan hampir bersamaan mengembangkan kalkulus ke dalam apa yang sekarang disebut analisis. Hal ini tidak dianggap cabang dari geometri tetapi berlaku di geometri.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana sejarah perkembangan geometri analitik? 2. Bagaimana sejarah perkembangan kalkulus?
3. Bagaimana hubungan dengan konsep-konsep yang berkaitan? C. Tujuan Penulisan
1. Untuk mengetahui sejarah perkembangan geometri analitik. 2. Untuk mengetahui sejarah perkembangan kalkulus.
3. Untuk hubungan dengan konsep-konsep yang berkaitan.
BAB II PEMBAHASAN
Terdapat perbedaan pendapat tentang siapa yang menemukan geometri analitik. Tidak diketahui dengan jelas siapa penemu geometri analitik. Kita tahu bahwa Yunani Kuno menemukan berbagai hal tentang aljabar geometri, dan dikenal banyak orang tentang koordinat yang digunakan di jaman kuno oleh orang Mesir dan Romawi dalam pembuatan peta. Dan orang-orang Yunani mempunyai andil besar dalam geometri khususnya persamaan geometri, persamaan kurva Cartesius, merupakan pendapat asli dari Menaechmus.
Pada abad 14 Nicole Oresme melahirkan dalil-dalil dengan cara pembuatan grafik kurva variabel bebas (latitudo) yang berbeda dengan grafik kurva variabel tidak bebas (longitudo). Semua ini masih jauh dari apa yang sebenarnya kita pikirkan tengan gemetri analitik, dan mungkin memang benar bahwa kontribusi konstanta telah ditemukan Descartes dan Fermat pada abad ke 17 sebagai suatu hal penting dalam geometri analitik.
Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Geometri projektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik bagaimana poin selari dengan satu sama lain.
Para Penemu Geometri Analitik 1. Rene Descartes (1596-1650)
Matematikawan Rene Descartes, yang lahir di sebuah Desa La Haye Prancis 1596, adalah orang yang memiliki ketertarikan pada bidang geometri analitik. Terobosan baru pada penemuan karya matematika dalam bidang analitik geometri yang dipelopori oleh Descartes. Pemikiran Descartes mengenai geometri analitik dituangkan dalam tulisanya yang berjudul “La Géométrie”. Karyanya yaitu koordinat kartesius. Uraian geometri pada bagian pertama dari karya ini diuraikan mengenai aljabar geometri sebagai pengembangan dari aljabar geometri gerik purbakala. Saat Beliau mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu. Descartes menemukan hasil mengejutkan, diketahui bahwa semua bentuk mempunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menentukan suatu titik memenuhi relasi x dan y.
positif sedang sisi kiri negatif. Begitu pula, bagi sumbu y di sisi atas adalah positif dan sedang di sisi bawah negatif. Bentuk-bentuk atau garis-garis dapat digambar pada grafik sesuai dengan posisinya yang ditandai dengan angka-angka. Sebagai contoh, sebuah titik dapat digambarkan oleh dua angka, satu menunjukkan jarak pada sumbu x dan lainnya menunjukkan jarak pada sumbu y.
Misal: titik P dihadirkan dengan dua angka 3 dan 2 menunjuk 3 satuan ukuran pada sumbu x dan 2 satuan ukuran pada sumbu y dan ditulis dengan notasi titik P (2,3). Notasi positif karena berada di kuadran 1. Pada kuadran 2, maka titik pada sumbu x bertanda negatif dan titik pada sumbu Y positif seperti pada contoh (-2,3). Pada kuadran 3, titik-titik pada sumbu X maupun sumbu Y, sama-sama negatif seperti contoh (-1,-2). Untuk kuadran 4, titik pada sumbu X positif sedang titik pada sumbu Y bertanda negatif seperti (2,-3). Untuk lebih jelasnya Anda bisa melihat gambar di bawah ini.
Gambar 1
Saat Beliau mempelajari bentuk-bentuk dengan menggunakan sumbu-sumbu, Descartes menemukan hasil mengejutkan. Diketahui bahwa semua bentuk memunyai kategori persamaan umum, seperti halnya garis lurus. Menggambar theorema Pythagoras, pada sebuah lingkaran dengan pusat pada titik (0,0) dengan x dan y masing-masing menunjuk jarak dari titik pusat dan r adalah jari-jari lingkaran, diperoleh x² + y² = r². Rumus di atas merupakan fungsi lingkaran.
Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya “Discourse on Method”, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya, “La Géométrie”, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.
2. Pierre de Fermat (1601-1665)
Fermat lahir di Toulouse, anak dari seorang saudagar kulit. Beliau memperoleh pendidikan di bidang hukum, dan bekerja sebagai ahli hukum dengan penampilannya yang sederhana. Beliau dipandang sebagai ahli yang amat teliti dalam tugasnya dan bersikap rendah hati sebagai anggota dewan kota praja Toulouse pada usia 30 tahun. Beliau memanfaatkan waktu luangnya belajar matematika. Bersamaan dengan saat Descartes merumuskan dasar geometri analitik, Fermat juga mempelajari bahan pelajaran itu. Maka Fermat dipandang sebagai jenius matematika Prancis abad-17.
Fermat menekuni “olah raga” paling menantang pada masa itu yakni memburu dan melakukan restorasi barang-barang peninggalan kuno. Dengan dasar bahan-bahan yang diperoleh, Fermat merekonstruksi Plane Loci dari Apollonius dan meng-update “Koleksi Matematika” (Mathematical Collection) dari Pappus dari Alexandria.
Pada tahun 1629, Fermat memberikan salinan karya Apollonius yang selamat, Plane Loci, kepada salah seorang matematikawan di sana. Tidak lama kemudian, Fermat mencetuskan karya tentang maksimal, minimal dan tangen, di mana karya itu kemudian diberikan kepada Etienne d’Espagnet yang memunyai minat sama terhadap matematika guna dipelajari. Hasil sampingan dari upaya Fermat ini adalah suatu penemuan. Pada tahun 1636, Fermat mencetuskan prinsip dasar analitik geometri:
Apabila diketahui persamaan dengan dua peubah (variabel) yang tidak diketahui dan dapat dihitung, akan didapat locus, yang secara gamblang menunjukkan suatu garis, lurus atau lengkung.
Gambar 3
Gambar di atas tampak seperti bukit dan lembah. Yang membedakan hanyalah gambar tersebut terletak dalam sistem kuadran dari Descartes. Perhatikan bahwa garis lengkung itu memunyai maksimal (titik tertinggi) dan minimal (titik terendah). Disebut tertinggi dan terendah karena dibandingkan dengan titik-titik yang terletak disebelahnya. Sekarang, amatilah tangen masing-masing titik maksimal dan minimal yang terletak pada sumbu t yang sejajar dengan sumbu x.
Arah tangen pada titik ekstrim (maksimal dan minimal) dari f(t) adalah titik nol. Apabila kita mencari titik ekstrim dari fungsi, f(t), maka kita dapat menyelesaikan problem arah (slope) untuk kurva y = f(t), dan tentukan bahwa arah untuk titik t, y sama dengan 0, bila arah itu diekspresikan dengan notasi aljabar. Hal ini sangat penting guna menemukan nilai t yang sesuai dengan titik ekstrim. Metode penemuan Fermat pada tahun 1628 - 1629, tidak pernah dipublikasikan sampai sekitar satu dekade lamanya. Penemuan ini baru diketahui karena karya tersebut dikirim ke Descartes lewat perantaraan Mersenne.
B. Sejarah Perkembangan Kalkulus
Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.
Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema Rolle“. Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari.. deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya “The science of fluxions“. Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.
Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus. Para Penemu Kalkulus
penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.
2. Isaac Newton (1642-1727 M), merupakan seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.
3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), merupakan seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.
4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), merupakan seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.
C. Konsep-Konsep yang Berkaitan
Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan (integration).
Bagian pertama dari teorema ini, kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.
Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengijinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.
(1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.
Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.
1. Turunan
Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.
Grafik fungsi turunan
Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:
,
Dengan syarat limit tersebut berlaku. Jika ƒ′ berlaku pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ berlaku di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.
Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi pada titik (3,9):
Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik
adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan. Notasi Pendiferensialan
Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange, notasi Newton, dan notasi Euler.
1) Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:
ataupun
2) Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.
3) Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.
atau .
Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.
Notasi Leibniz
Notasi Lagrange
Notasi Newton
Notasi Euler
Turunan ƒ(x)
terhadap x ƒ′(x) dengan y =
ƒ(x)
2. Integral
Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b. Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).
a. Integral Tertentu
Secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.
Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integral yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.
Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka, jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:
b. Integral Tak Tentu
Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.
Apabila:
Ekspresi F(x) + C adalah anti turunan umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.
Misalkan terdapat sebuah fungsi , maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:
Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu
dalam bentuk adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu :
A. Kesimpulan
Pada awal abad ke-17 terdapat dua perkembangan penting dalam geometri. Perkembangan geometri yang pertama dan yang terpenting, adalah penciptaan geometri analik, atau geometri dengan koordinat dan persamaan, oleh Rene Descartes (1596-1650) dan Pierre de Fermat (1601-1665). Ini adalah awal yang di perlukan untuk perkembangan kalkulus. Perkembangan geometrik kedua adalah penyelidikan sistematik dari geometri projektif oleh Girard Desargues (1591–1661). Geometri projektif adalah penyelidikan geometri tanpa ukuran, cuma dengan menyelidik bagaimana poin selari dengan satu sama lain. Di akhir abad ke-17, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm von Leibniz secara mandiri dan hampir bersamaan mengembangkan kalkulus ke dalam apa yang sekarang disebut analisis. Hal ini tidak dianggap cabang dari geometri tetapi berlaku di geometri.
B. Saran
