Divulgaciones Matem´aticas v. 2, No. 1/2 (1994), 99
Problemas y Soluciones
Jos´
e Heber Nieto
Los siguientes problemas fueron propuestos en el n´umero anterior de Divulgaciones Matem´aticas. Los repetimos para dar tiempo a nuestros lectores a enviar sus soluciones, las mejoree de lae cuales ser´an publicadas a partir del pr´oximo n´umero.
Problema 1
Sea{zn}una sucesi´on de n´umeros complejos no nulos tal que sii6=j
entonces |zi−zj|>1.
a) Pruebe que la serieP∞ n=11/z
α
n converge absolutamente para todo
realα >2.
b) Muestre con un ejemplo que lo anterior no es cierto paraα= 2.
Problema 2
Sea a > 2 un n´umero real y definamos una sucesi´on as´ı: x0 = a,
xn=x2n−1−2 paran >0. Calcule limn→∞ 2
n
√x n.
Problema 3
Sea n un entero positivo y G un grafo con 2n v´ertices y al menos
n2+ 1 aristas.
a) Pruebe queGcontiene al menos un tri´angulo.
b) ¿Puede afirmarse lo mismo si el grafo contiene 2n v´ertices y n2 aristas?
Problema 4
Sea f una funci´on continua a valores reales definida en la frontera
S del cubo unitario [0,1]n en Rn tal que las restricciones a cada cara
f(x1, . . . , xi−1,0, xi+1, . . . , xn) y f(x1, . . . , xi−1,1, xi+1, . . . , xn) sean
polinomios parai= 1, . . . , n. Pruebe que existe una funci´on polinomial
