420
ANALISA SAHAM MENGGUNAKAN TRANSFORMASI
FOURIER STOKASTIK
Kharisma Yusea Kristaksa1) Hanna Arini Parhusip 2), dan Bambang Susanto 3)
1)
Mahasiswa Program Studi Matematika 2) 3)Dosen Program Studi Matematika email:1) kharismakristaksa@yahoo.com 2) hannaariniparhusip@yahoo.co.id 3)
bsusanto5@gmail.com Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
Abstrak
Analisa fluktuasi saham untuk menentukan risiko pada salah satu perusahan dengan menggunakan deret Fourier telah dibahas. Hasil yang diperoleh mempunyai frekuensi 0.4092 dengan resiko yang terbesar yaitu return data pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Semakin besar risiko maka semakin besar pula nilai harapan return yang diperoleh. Oleh karena frekuensi yang dihasilkan dari deret Fourier juga menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan risiko yang terbesar. Dalam makalah ini, data volume saham dianalisa dengan cara yang sama yaitu data volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa data volume mempunyai frekuensi 0.4054 dengan resiko terbesar yaitu data volume pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Jadi dari kedua analisa, frekuensi yang diperoleh terdapat pada periode yang sama.
Kata-kata kunci: Deret Fourier , Distribusi Normal , Return Saham, Risiko Saham,
Stokastik Fourier
PENDAHULUAN
Analisa return saham Asuransi Bina Dana Arta Tbk pada periode 1/02/2012 – 31/01/2013telah dilakukan [1] dengan menggunakan deret Fourier untuk mendapatkan frekuensi terbesar. Dari frekuensi terbesar yang diperoleh dapat didefinisikan resiko yang terbesar dan dapat ditentukan periodenya.
Berdasarkan penelitian tersebut frekuensi yang dihasilkan dari Fourier juga menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan risiko yang besar. Dari data diperoleh bahwa pada posisi ke 61-70 (25/04/2012 – 08/05/2012) memberikan ekspektasi return terbesar bagi perusahaan. Untuk selanjutnya, tujuan dari makalah ini adalah menganalisa data volume saham dengan cara yang sama yaitu data volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi. Data volume yang digunakan doperoleh dari data indeks saham
perusahaan sama yaitu Asuransi Bina Dana Arta Tbk. yang di www.yahoo.finance.com
DASAR TEORI
Distribusi Normal. Distribusi probabilitas yang paling terkenal dan paling banyak digunakan adalah distribusi Gaussian atau normal. Distribusi normal memiliki fungsi kepadatan probabilitas yang diberikan oleh[3]
� � = 2���1 −1 2 �−� �
�� 2
,−∞<�<∞ (1)
dimana �� dan �� adalah parameter distribusi, yaitu berturut - turutanan mean dan deviasi standar dari X. Distribusi normal sering diidentifikasi sebagai N (��, ��)
Distribusi Normal Standar. Sebuah distribusi normal dengan parameter �� = 0 dan �� = 1, disebut distribusi normal standar, dilambangkan sebagai N (0, 1). Dengan demikian fungsi kepadatan dari variabel standar normal (Z) diberikan oleh
� = 1
2� − �
2 2
421 ditransformasi sebagai variabel normal standar dengan menggunakan transformasi
�=�−��
�� (3)
dengan probabilitas � <� = 1
2� −
1 2 �−��/�� 2
�(4) dari Persamaan (4) dan � = �� �, Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai
� <�< = 1
2�
−�2
� −�� /��
−��/�� (5)
Integral ini merupakan luas di bawah kurva normal standar kepadatan antara − �� / �� dan − �� /�� dan karena
� <� =∅ −��
�� − ∅ −�� �� (6)
Penyusunan Fourierstokastik
Ma’ruf,(2010) menjelaskan proses stokastik dan dimana bentuk Bayesian juga dibahas. Analisa Fourier juga diperekanlakan untuk fungsi “Step Function” dan estimasi spectral juga dilakukan untuk sinyal sinus
Untuk mendekati data volume sebagai gelombang maka kita perlu memilih tipe gelombang yang diasumsikan dapat mempresentasikan data yang ada. Pada makalah ini akan dicari bentuk gelombang yang dianggap sesuai.
Dari persamaan (3) data volume saham dinyatakan sebagai
�( ) = (� − � )/��, t = 1,2, . . .,T (7) Setelah data ditransformasi menurut persamaan (7) maka data akan dinyatakan dalam bentuk Fourier.
Pada makalah [1[ deret Fourier untuk data return berbentuk
� =8��2 sin 0 – 1
32sin 3 0 + 1
52sin 5 0 (8)
Pada penelitian ini digunakan cara yang sama untuk data volume saham. Dengan mengikuti pemodelan program linear stokastik [3], maka Volume Fourier persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai:
� = 1� ( ) + 2�� (9a)
dimana : � := rata-rata volume dan ��:=deviasi volume. Parameter
k
1 dank
2bilangan tak negatif yang menjelaskan hubungan relatif pentingnya V dan standard deviasi V untuk optimasi. Jadi untuk
0
2
k
menandakan bahwa nilai harapan V diminimalkan tanpa memperhatikan standard deviasi V. Sebaliknya jikak
1
0
, menandakan bahwa kita tertarik dengan peminimalan variabilitas V disekitarrata-ratanya tanpa terganggu dengan apa yang terjadi dengan nilai rata-rata V. Secara sama jika
k
1=k
2=1, hal ini menjelaskan bahwa kita memandang bahwa rata-rata dan standard deviasi sama pentingnya. Pada pembahasan maka nilaik
1 dank
2akan divariasi sebagai bahan kajian.
Untuk menyusun frekuensi maka digunakan formula (Kristaksa,dkk,2013)
0 = 2� �� (9b)
dimana �= 2 menyatakan banyaknya data yang memenuhi syarat untuk menyusun Fourier. Sedangkan T menyatakan subinterval waktu yang digunakan. Jadi
Untuk mendapatkan nilai frekuensi (f),dapat dituliskan
=1
� dan �=
2�
0
maka = 0 2�. (10)
untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan contoh penggunaan model tersebut pada sebagian data.
Menentukan � dan � yang optimal Parameter k1 dan k2 pada persamaan
(9a)dapat divariasi dengan menetapkan dahulu, dan dapat pula ditentukan dengan cara optimasi dengan metode kuadrat terkcil.
Unutk mendapatkan parameter k1 dan k2 yang optimal akan digunakan metode kuadrat terkecil [2] yaitu:
min�= �=1(��, − (��, ))2
�= ��, − 1� ( ) + 2��
2
�
=1 (11)
Syarat kritis ∇� = o dimana tiap komponennya adalah
∇�= �
1 �
2 �
= o . (12)
dalam notasi vektor persamaan (11) ditulis dalam bentuk �= ∙ = �∙ dengan komponen pertama dari persamaan (11) adalah
�
1 = 2 ∙ ∇ 1 dimana
∇ = 1
1 2
1 … � 1
�
(13) Tiap komponen ∇ 1 adalah �
1 =−� � .
Jadi diperoleh
�
1
= 2 1 2 … � �∙
−� 1
−� 2
−� �
422 +2 ��, − ( 1� ( ) + 2�� −� �
dan untuk �
2 dapat disusun secara sama
seperti �
1 yaitu
�
2
= 2 ∙ ∇ 2
Jadi dengan menyelesaikan ∇� = 0 atau �
1
�
2
�
diperoleh 1 2 . Untuk
menguji 1 2 meminimumkan R maka perlu ditunjukkan � yaitu Hessian R positive definite yang artinya, nilai eigen matriks Hessian R pada 1 2semua
positif [2]. Bentuk Hessian R adalah
�= �
12
�
1 2
�
2 1
�
22
.
Untuk mendapatkan
2�
12
sebagai berikut : Karena �= �∙ = ∙ dan �
1
=
2 ∙ ∇ 1 maka
2�
12
= 2 ∇ 1 �∙ ∇ 1 + ∙∆ 1 dimana ∆ 1 adalah vektor dengan komponen sebagai berikut :
Diketahui vektor
∇ 1 =
1
1 2
1 … � 1
�
maka ∆ 1 =
2 1
12 2
2
12
…
2 � 12
� .
Komponen baris ke-1 kolom ke-2 dari Hessian R adalah :
2�
1 2
=
2
�
� = 2
2 ∙ ∇ 1 = 2 ∇ 1 ∙ ∇ 1 + ∙ ∇ 1 2
dimana,∇ 1 2 =
2 ∇ 1 sehingga
∇ 1 2 = 2
1
1 2 2
2
1 2
… 2 �
1 2
� . Komponen pertama dapat diperoleh dengan mengetahui �
1
=−� � sehingga
2 1
1 2
=
0 maka
∇ 1 2 = 0 0
�
dan secara sama dapat disusun
2�
22
untuk
komponen-komponen yang lain dari matriks Hessian R. Selanjutnya nilai
1 2 disubstitusikan pada Hessian R
dan dicari nilai eigennya. Jika semua positif maka jelas bahwa 1 2
meminimumkan R.
Contoh 1. Data volume saham
Dengan menggunakan 10 data volume saham, persamaan (8) digunakan untuk menyatakan data volume secara Fourier. Hasil ditunjukkan pada Gambar 1, dimana A dan 0 pada persamaan (8) berturut-turut adalah :
A = 0.5096 dan 0=2.3268
Hasil pendekatan ini diilustrasikan pada Gambar 1 dimana data dinyatakan dengan interpolasi. Intropalasi dilakukan karena data harus dalambentuk �= 2 agar dapat menggunakan Fourier.
Gambar 1 Hasi deret Fourier untuk 10 data dari
data ke 51-60 dibandingkan dengan data yang diinterpolasi
Gambar 2
Periode(Horizontal) dan Frekuensi
(Vertikal) dari deret Fourier Gambar 1
Sebagaimana pada penelitian awal (Kristaksa,dkk,2013), amplitudo gelombang tidak diperlukan. Informasi yang digunakan adalah frekuensi dari deret Fourier menurut persamaan (9)-(10). Deret sudah menjelaskan frekuensi data yang diperlukan diperoleh T = 2.7121 dan frekuensi f = 0.3687yang ditunjukkan pada Gambar 2.
METODO PENELITIAN
Tahap 1. Menyusun data volume saham sebagai deret Fourier sesuai dengan persamaan (8)
Tahap 2. Menyusun hasil deret Fourier Volume menggunakan stokastik Fourier menurut persamaan (9a), dengan rata-rata � ( ) dan �� untuk setiap 10 data berturutan
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0
423 Tahap 3. Menentukan probabilitas distribusi normalnya dari hasil stokastik Fourier menggunkan persamaan (6) dengan Parameter
k
1 dank
2 bilangan tak negatif Tahap 4. Dengan menggunakan cara yang sama seperti persamaan (6) menentukan probabilitas frekuensi return saham.Tahap 5. Didapatkan informasi probabilitas dari hasil stokastik Fourier Volume dan Frekuensi return saham.
Tahap 6. Hasil probabilitas akan dibandingkan antara volume saham dan return saham terhadap risiko
Tahap 7. Studi Frekuensi yang dihasilkan
ANALISA DAN PEMBAHASAN
Dalam menganalisa berikut ini data
yang digunakan adalah semua data
volume dengan banyak data 260 data.
Proses ini dilakukan secara sama untuk
setiap 10 data dari seluruh data volume .
Gambar 3
Deret Fourier untuk 260 data
volume
Untuk 260 data volume dengan cara yang sama seperti sebelumnya dapat dilihat pada gambar 3 dimana data dinyatakan dengan interpolasi.
Gambar 4 Periode(Horizontal) dan Frekuensi
(Vertikal) dari hasil deret Fourier untuk 10 data beruntun dari 260 data
Pada Gambar 4 menunjukan setiap 10 data yang mempunyai frekuensi berada pada
sekitar 0.3 sampai 0.49,selain itu ada 2 frekuensi yang berbeda yaitu f = 0.9053 dan f = 0.1670 pada T = 1.1046 dan T = 5.9888.
Dengan menggunakan persamaan (9a), rata-rata V(t) ditulis � ( ) dan variansi V(t) ditulis �� untuk setiap 10 data berturutan yang ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai � ( ) dan ��
M M
1 0.0004 0.0308 14 0.0058 0.0609
2 0.0005 0.441 15 0.0021 0.0485
3 0.0027 0.1048 16 -0.0002 0.1817
4 -0.4744 0.2302 17 0.0013 0.0149
5 0.0178 0.2944 18 0.0005 0.1413
6 0.0738 0.5995 19 0.0025 0.0665
7 -0.0016 0.2514 20 0.0056 0.0629
8 0.0055 0.2557 21 0.0027 0.3339
9 0.1619 0.8877 22 -0.0001 0.3165
10 0.0007 0.0488 23 0.0001 0.1865
11 0.0000 0.0623 24 0.0001 0.4205
12 -0.0027 0.0914 25 -0.0002 0.0168
13 0.0007 0.1089 26 -0.0155 0.1584
Berdasarkan hasil Tabel 1, � ( ) jelas sangat kecil karena berosilasi sekitar 0 sehingga k1 tentunya cukup kecil dan k2 cukup besar yang menunjukan stadar deviasi lebih peting dari rata-rata. Setelah mendapatkan nilai � ( ) dan �� maka akan dicari stokastik dari frekuensi � dimana nilai k1= 1 dan k2= 0. Maka diperoleh hasil pada Tabel 2 untuk setiap 10 data
berturutan untuk seluruh data.
Contoh 2. Menentukan volume menurut persamaan (9a)
Kasus 1. Untuk k1= 1 dan k2 = 0 pada data ke-1 Tabel 1 diperoleh dengan car sebagai berikut:
� = 1 × 0.0004 + 0 × 0.0308 = 0.0004
Tabel 2. untuk k1= 1 dan k2= 0
M M
1 0.0004 14 0.0058
2 0.0005 15 0.0021
3 0.0027 16 -0.0002
4 -0.4744 17 0.0013
5 0.0178 18 0.0005
6 0.0738 19 0.0025
7 -0.0016 20 0.0056
8 0.0055 21 0.0027
9 0.1619 22 -0.0001
10 0.0007 23 0.0001
11 0.00003 24 0.0001
12 -0.0027 25 -0.0002
13 0.0007 26 -0.0155
0 50 100 150 200 250 300
-2 -1 0 1 2 3 4 5
0 5 10 15 20 25 30
424 Kasus 2. Menggunakan data dan cara yang sama dengan nilai k1= 0.5 dan k2 = 0.5 diperoleh
� ( ) = 0.5 × 0.0004 + 0.5 × 0.0308 = 0.0879
Kasus 3. Untuk nilai k1= 0 dan k2= 1 diperoleh
� = 0 × 0.0004 + 1 × 0.0308 = 0.0308 .
Kasus 4. Untuk menguji parameter k1 dan k2 yang diperoleh optimal maka akan diselidiki persamaan (11-13) untuk parameter Volume Stokastik Fourier, sehingga
Untuk parameter k1 2�
12
= 2 0.2574 + 0.000002 = 0.5148
Untuk parameter k2 2�
12
= 2 2.1648 + 0.00003 = 4.3296
Hasil yang diperoleh menunjukan matrik Hessian untuk k1 dan k2
= 0.5148 0 0 4.3296
Sehingga matrik Hessian definit positif, jadi diperoleh k1 dan k2 0ptimal tetapi error yang dihasilkan 32%. Untuk hasil yang optimal diperoleh parameter k1= 0.7879 dan k2= 0.6016, sehingga
� = 0.7879 × 0.0004 + .6016 × 0.0308 =0.0188
Hasil dari semua data volume stokasitik Fourier ditunjukkan pada Gambar 5. Dengan cara yang sama dilakukan untuk data return stokastik Fourier ditunjukan pada Gambar 6.
Contoh 3. Dengan cara yang sama pada Contoh 2 untuk return:
Kasus 5. Untuk k1= 1 dan k2= 0 pada data ke-1 Tabel 1 diperoleh
� = 1 × 0 + 0 × 0.0047 = 0
Kasus 6. Untuk nilai k1= 0.5 dan
k2 = 0.5 diperoleh
� = 0.5 × 0 + 0.5 × 0.0047 = 0.0343
Kasus 7. Untuk nilai k1= 0 dan k2= 1 diperoleh
� = 0 × 0 + 1 × 0.0047 = 0.0047.
Kasus 8. Untuk nilai k1= 0.8205 dan
k2 = 0.613 yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil
sama seperti Kasus 4
diperoleh
� =0.8205× 0.0004 + 0.613 × 0.0308 =0.0019
Gambar 5. Hasil Volume Stokastik Fourier dengan k1= 1, k2= 0dan k1= 0.5, k2= 0.5 dan k1= 0,
k2= 1 dan k1= 0.7879, k2= 0.6016
Gambar 6. Hasil Return Stokastik Fourier dengan k1= 1, k2= 0dan k1= 0.5, k2= 0.5 dan k1= 0,
k2= 1 dan k1= 0.6083, k2= 1.2146
0 5 10 15 20 25 30
-0.5 0 0.5 1
Data ke-M
Sto
kas
tik
Fo
ur
ier
k1=1, k2=0 k1=0.5, k2=0.5 k1=0.5, k2=0.5 k1=0.5, k2=0.5
k1=1, k2=0
k1=0.78, k2=0.6 k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
0 5 10 15 20 25 30
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
Data ke-M
Sto
kas
tik
Fo
ur
ier
k1=1, k2=0 k1=0.5, k2=0.5 k1=0, k2=1 k1=0.8, k2=0.6 k1=1, k2=0
k1=0.8, k2=0.6
425 Probabilitas distribusi untuk Volume stokastik Fourier yang diperoleh dicari �� dan �� dari Tabel 2. Untuk k1=1
dan k2 = 0 didapat �� = 0.1011
�� ( ) =−0.0081 dengan menggunakan
persamaan (6) akan dicari probabilitas menurut persamaan (6) yaitu
�� = � (� 0.0085) + � (� −0.0077)
Dalam bentuk variabel yang sudah distandarisasi maka penyataan tersebut menjadi
�� =� �
0.0085−(−0.0081) 0.1011
−� � −0.00770.1011−(−0.0081)
=� � 0.1637 +� � 0.0040
= 1− � � 0.1637 + [1− � � 0.0040 ] = 0.4405 + 0.5000 = 0.9405 = 94.05%.
Dengan cara yang sama untuk k1= 0.5 dan k2= 0.5 didapat �� ( ) = 0.1209 �� ( ) =
0.2010 sehingga
�� =� � −
0.1130−0.2010 0.1209
−� � 0.2889−0.2010
0.1209
=� � −2.5971 +� � 0.7275
= 1− � � 2.5971 + [1− � � 0.7275 ] = 0.0054 + 0.2269 = 0.2323 = 23.23%.
Untuk k1= 0 dan k2= 1 didapat �� ( ) =
0.2045 �� ( ) = 0.4100 diperoleh
�� =� � −
0.2345−0.4100 0.2045
−� � 0.5855−0.4100
0.2045
=� � −3.1519 +� � 0.8582 = 1− � � 3.1519 +
[1− � � 0.8582 ]
= 0.0008 + 0.1980 = 0.1987
= 19.87%.
Selanjutnya, dengan cara yang sama pada data berikutnya diperoleh probabilitas untuk Volume stokastik Fourier pada Tabel 5.
Tabel 5. Prosentase distribusi normal (M :=
periode ke-M) M k
1= 1
k2= 0
k1= 0.5
k2= 0.5
k1= 0
k2= 1
k1= 0.7
k2= 0.6
1 94.05% 23.23% 19.87% 4.06%
2 94.05% 58.28% 22.83% 77.15%
3 92.05% 11.45% 6.80% 17.95%
4 0.00% 48.14% 5.91% 0.17%
5 80.38% 15.66% 9.28% 54.86%
6 42.49% 44.07% 40.16% 48.87%
7 92.05% 12.62% 6.80% 39.73%
8 88.15% 12.18% 6.80% 43.25%
9 8.99% 10.60% 29.14% 3.64%
10 94.05% 17.86% 14.88% 12.62%
11 94.05% 15.95% 10.89% 13.17%
12 92.05% 12.62% 7.92% 15.77%
13 94.05% 11.45% 5.91% 18.74%
14 80.28% 15.95% 10.81% 13.17%
15 84.19% 17.86% 14.88% 12.62%
16 94.05% 10.11% 4.60% 28.77%
17 84.19% 29.36% 0.14% 8.97%
18 94.05% 10.11% 4.82% 22.10%
19 84.19% 15.95% 10.89% 13.17%
20 80.28% 15.95% 10.89% 13.17%
21 84.19% 17.86% 12.76% 57.28%
22 94.05% 18.08% 10.89% 54.86%
23 94.05% 10.11% 4.82% 28.77%
24 94.05% 26.22% 19.93% 73.82%
25 94.05% 29.44% 25.95% 8.97%
26 56.08% 10.11% 4.60% 22.10%
Menggunakan cara yang sama akan dicari probabilitas untuk data return stokastik Fourier yang ditunjukkan pada Gambar 6.
Gambar 7. Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier
0 5 10 15 20 25 30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Data ke-M
Pro
sent
ase
k1=1, k2=0 k1=0.5, k2=0.5 k1=0, k2=1 k1=0.7, k2=0.6
k1=1, k2=0
k1=0.7, k2=0.6
426
Gambar 8. Prosentasai distribusi normal untuk hasil Return stokastik Fourier
Berdasarkan Gambar 7 dan Gambar 8 ditunjukan Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier dengan 4 parameter yang berbeda. Pada parameter k1= 1 dan k2= 0 menunjukan beberapa prosentase yang terbesar karena pada k1= 1 dan k2= 0 hasil stokastik
Fourier dari volume dan return berosilasi di sekitar nol dan pada saat itu nilai probabilitas mendekati satu. Jadi penulis memilih frekuensi yang dihasilkan dengan stokastik Fourier untuk k1= 1 dan k2= 0
KESIMPULAN
Pada makalah telah dibahas tetang data volume yang dinyatakan oleh bentuk stokastik Fourier sehinggadapat dihasilkan frekuensi. Hasil menunjukan interval frekuensi yang hampir sama yaitu diantara 0.3 sampai 0.49. Dari hasil makalah sebelumnya menggunakan data return saham didapat pada indeks ke 7 untuk frekuensi tertinggi yaitu f = 0.4092 dan T = 2.4437 sedangkan untuk makalah ini menggunakan data volume saham pada indeks ke 7 diperoleh f = 0.4054 dan T = 2.4669. Dilihat dari kedua hasil yang diperoleh tidak menunjukan perbedaan yang signifikan. Jadi pada interval yang sama frekuensi yang dihasilkan bisa dibilang sama.
Berdasarkan analisa data dan hasil pembahasan untuk volume dan return stokastik Fourier diperoleh frekuensi yang terbesar pada data ke-7 dengan menggunakan parameter k1= 0 dan
k2= 1 diperoleh probabilitas untuk volume 0.9205 dengan prosentase 92.05% sedangkan probabilitas untuk return 0.8419 dengan prosentase 84.19%. Kedua hasil ini tidak menunjukan perebedaan yang signifikan. Jadi risiko tertinggi terdapat pada data ke-7 untuk periode (25/4/2012 – 8/5/2012)
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Kristaksa. K.Y, Perhusip. H.A dan
Susanto, B. 2013.Analisa FluktuasiSaham menggunakan Fast Fourier
Transform.
FMIPA
Universitas
Negeri Yogyakarta. Yogyakarta.
[2]
Parhusip,
H.A
dan
Martono,
Y.2012, Optimization Of Colour
Reduction For Producing Stevioside
Syrup Using Ant Colony Algorithm
Of Logistic Function,
proceeding
of
The Fifth International Symposium
on
Computational
Science,
ISSN:2252-7761,Vol1,
pp91-101,
GMU.
[3]
Rao,
S.S.
2009.
Engineering
Optimization
, John Wiley & Sons,
Inc, BAB 11
[4]
Salivahan,
S.,Vallavaraj,
A.,
Gnanapriya C., 2000.
Digital Signal
Processing
. Singapore:
McGraw-Hill Companies.Inc
[5]
Ma’ruf, A. 2010.
Introduction to
Stochastic
Process
Analysis:
Spectral and Bayesian Techniques
for Estimation and Prediction.
American
University
Honors
Capstone.
0 5 10 15 20 25 30
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Data ke-M
Pro
sent
ase
k1=1, k2=0 k1=0.5, k2=0.5 k1=0, k2=1 k1=0.8, k2=0.6
k1=0.5, k2=0.5 k1=1, k2=0
k1=0.8, k2=0.6
