Aplikasi Residu Untuk Menghitung Integral

Aplikasi Residu Untuk Menghitung Integral

Dina Thaib

UPBJJ-UT Bandung, Bandung dinathaib@ut.ac.id

Makalah ini memberi gambaran bagaimana teori residu dapat digunakan dalam menentukan nilai integral dari berbagai fungsi antara lain :

1. Integral lintasan untuk suatu fungsi kompleks f(z) atas suatu lintasan C

2. Integral (riel) tak wajar berbentuk   





R a x

f dx

x

f ︶︵ dengan ︶︵ fungsi rasional dan

 





 





f x︶︵ c o sax dx atau f x︶︵ s i nax dengana R 3. Integral tentu berbentuk 







 2

0 F︵s i n , c o s ︶d dengan F( sin  , cos  ) merupakan fungsi

rasional dalam sin dan cos  dan nilai fungsi berhingga pada interval [ 0 , 2 ].

Pengertian keanalitikan dan singularitas fungsi kompleks dibahas untuk menentukan kutub dan residu dari fungsi kompleks tersebut, dan selanjutnya dengan menggunakan resdidu nilai integral dari fungsi kompleks dapat diperoleh. Dengan merubah bentuk integral tak wajar dan integral tentu dari fungsi rasional yang didefinisikan kedalam bentuk integral kompleks, nilai integral tak wajar dan integral tentu dari fungsi rasional tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan residu.

PENDAHULUAN.

Permasalahan fisika menuntut penyelesaian bentuk integral dari berbagai fungsi, salah satu diantaranya adalah integral dari suatu fungsi kompleks atas suatu lintasan C, yang disebut sebagai integral lintasan. Nilai integral fungsi kompleks dapat bergantung dari bentuk lintasan, yang berupa segmen garis, kurva, lingkaran atau ellips. Dalam keadaan khusus integral lintasan bebas terhadap lintasan artinya nilai integral akan bernilai sama walaupun lintasannya berbeda asalkan titik-titik ujungnya tetap (Mursita, D, 1998).

METODOLOGI

Pada bagian ini diperkenalkan beberapa pengertian keanalitkan, singularitas, kutub dan residu dari fungsi kompleks.

.

1. Fungsi Analitik.

Misalkan D suatu himpunan buka dari bilangan kompleks . Fungsi kompleks f(z) yang merupakan pemetaan dari domain D ke D dikatakan analitik pada D bila f'(z) ada untuk  z  D atau berlaku Persamaan Cauchy Riemann ( PCR ) untuk 

brought to you by CORE View metadata, citation and similar papers at core.ac.uk

provided by Universitas Terbuka Repository

z  D. Bila f(z) = U(x,y) + i V(x,y) , maka bentuk PCR adalah Ux(x,y) = Vy(x,y) dan Uy(x,y) = -Vx(x,y) , dengan Ux dan Uy berturut-turut turunan parsial pertama terhadap x dan y. Jika f(z) dinyatakan dalam bentuk f(z) = U( r, ) + i V( r, ) , maka PCR :

Fungsi f(z) dikatakan analitik di z = z0 bila f(z) analitik pada lingkungan dari z0 (lingkungan dari z0 adalah lingkaran buka yang berpusat di z0 dan berjari-jari r ).

Fungsi f(z) disebut entire bila f(z) analitik untuk  z ( f(z) berlaku PCR  z ).

 Contoh.

Fungsi f(z) = 3x + y + i(3y-x) adalah entire . Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut :

U(x,y) = 3x + y V(x,y) = 3y - x Ux(x,y) = 3 Uy(x,y) = 1 Vx(x,y) = -1 Vy(x,y) = 3

Karena Ux(x,y) = Vy(x,y) dan Uy(x,y) = -Vx(x,y) , maka PCR berlaku  z = x + iy akibatnya f(z) entire.

2. Titik Singular.

z0 disebut titik singular dari f(z) bila f(z) gagal analitik di z0 tetapi analitik pada suatu titik dari setiap lingkungan dari z0 . Titik singular z0 disebut terisolasi bila ada lingkungan dari z0 yang mengakibatkan f(z) analitik.

 Contoh .

3. Deret Laurent.

terisolasi singular

titik i z dan 0 z 1 maka

Misalkan

_{2 2}

3   



  ,

︶︵ ︶︵

z z z z f

r

r

U V

dan r r V

U  1

_

1

_

 

Bila f(z) analitik pada 0 < | z - z0 | < R ( lingkaran dengan pusat z0 dan jari- jari R ) maka untuk setiap titik z pada lingkaran itu , f(z) dapat dinyatakan sebagai

Deret di atas disebut sebagai deret Taylor dititik z0 dan daerah | z - z0 | < R0 disebut daerah kekonvergenan atau keanalitikan deret. Bila f(z) fungsi entire maka daerah keanalitikan deret adalah | z - z0 | <  . Bila z0 = 0 , maka deret di sebut sebagai deret Mac Laurin dan berbentuk :

Bila fungsi f(z) tidak analitik di z = z0 maka f(z) tidak dapat diperderetkan dalam deret Taylor di z = z0 . Agar f(z) dapat diperderetkan di z = z0 maka dilakukan dengan cara membuang titik singular z = z0 dari daerah | z - z0 | < R sehingga diperoleh daerah R1 <| z - z0 | < R2 ( cincin / annulus ) yang merupakan daerah keanalitikan fungsi f(z). Hal ini dijelaskan oleh Laurent sebagai berikut.

Misalkan f(z) tidak analitik di z = z0 tetapi analitik pada annulus R1<| z - z0

|< R2 , maka fungsi f(z) dapat diperderetkan di z = z0 menjadi bentuk deret ( deret Laurent ) sebagai berikut :

Lintasan C merupakan lintasan tutup sederhana yang terletak didalam annulus yang melingkupi z0. Notasi lain yang biasa digunakan untuk menyatakan bentuk deret Laurent yaitu :

 

 

( 0,1,2,...)

!

. )

|

| ...(

...

) (

0 ) (

0 0 0

0















^



n n z a f

dengan

R z z z

z a z

f

n n

n

n n

)

|

| ...(

...

! ) 0 ) (

(

₀

0 ) (

R z n z

z f

f

ⁿ

n n



 

^



 

   

...

,...

3 , 2 , 1 ) ,

(

) ( 2

1

,...

3 , 2 , 1 , 0 ) ,

( ) ( 2

1

|

| . ...

...

. )

(

1 0

1 0

2 0 1

1 0

0

0

 



 







 





























n z dz

z z f b i

dan n

z dz z

z f a i

dengan

R z z z R

z z b

z a z

f

C n n

C n n

n

n n n

n n





Untuk menghindari perhitungan integral lintasan, maka dalam memperderetkan fungsi ke dalam deret Laurent, rumusan di atas tidak digunakan.

Untuk itu dilakukan dengan menggunakan deret Taylor maupun deret Mac Laurin.

 Contoh.

Akan ditentukan deret Laurent dari f(z) = e^1/z dengan pusat z = 0.

Pembahasan.

Karena f(z) = e^1/z tidak analitik di z = 0., maka f(z) diperderetkan dalam deret Laurent dengan daerah keanalitikan : 0 < | z | <  atau  1|

|

0 z ^.

Deret Mac Laurin dari e^z = ...

! 3

! 2

! 1 1

!

3 2 0











^ 



z z z n

z

n n

( | z | < ).

Dengan mengganti z oleh 1/z akan diperoleh deret Laurent e^1/z sebagai berikut :

e^1/z =

...

! 3

1

! 2

1

! 1

1 1 .

! 1

3 0 2











^





n z z z z

n

n ( 0 | z | <  ).

4. Residu dan Kutub.

Misal f(z) analitik pada 0 < | z - z0 | < R dan z0 merupakan titik singular terisolasi dari f(z). Maka f(z) dapat diperderetkan dalam deret Laurent yaitu :

C merupakan lintasan tutup sederhana yang termuat pada 0 <| z - z0 |< R dan menutupi z0 dengan arah positif . Untuk n = 1 maka :

   

 

, . . . .

,,

,

︶︵

︶︵

.︶︵

3 2 2 1

yaitu 1 dari 1

koefisien khusus

Secara ₁

0 0

1 0

0

0

 

 

 























n z dz

z z f b i

z z z z z b

z a z

f

C n n

n n

n n n

n n



   

,....

3 , 2 , 1 , 0 ) ,

( ) ( 2

1

|

| . )

(

1 0

2 0 1

0







 



























n z dz

z z f C i

dengan

R z z R z

z C z

f

C n n

n

n n



Bila bm  0 dan bm + 1 = bm + 2 = bm + 3 = …………= 0 maka :

Dari bagian prinsipal deret di atas dikatakan bahwa titik singular terisolasi z0

disebut kutub ( pole ) order m. Bila m = 1 maka z0 disebut kutub sederhana . Bila m =  maka z0 disebut titik singular esensial. Untuk menetukan order titik singular dari f(z) dilakukan dengan memperderetkan f(z) ke dalam deret Laurent terlebih dahulu, seperti diperlihatkan dalam contoh berikut.

 Contoh.

Akan ditentukan kutub dari :

1.

2

3 ) 2

(

2





  z

z z z

f

Pembahasan.







 







 



 



  0 | 2 |

2 ) 3 2 ( 2 2 3 2

3 ) 2

(

2

z z z z

z z z z z

f

z = 2 merupakan kutub order 1 ( kutub sederhana ) dari f(z).

2. sinh₄

)

( z

z z

f 

Pembahasan.

Perderetan dari fungsi tersebut adalah :

)

|

| 0 ...(

...

! 7 1

! 5

1 1

! 3 1 1

...

!

! 5

! 3 1

! ) 1 2 ( 1 ) sinh

(

3 3

5 3 0 4

1 2 4

4

















 

 



   

 



 





 

 

^





z z

z z z

z z z

z n

z z

z z z f

n n

. ︶

︶︵

0 0

1 1

suku 1 dari koefisien nilai

( z di f(z) dari residu disebut

2 1

z b z

dz z i f b

C 

 _



     

. . . . . . . .

:

 

 

 





^





2 0 2 0

1

1 0

z 0

1 Res.z f(z).Bagian prinsipaldarif(z)diz adalah b

: Notasi

0

z z

b z

z b z

z b

n

n n

 

0 b dan R

| z z

| 0

dengan _{0 m}

0 2

0 2 0

1 0

0









 

 

 









^



,

︶︵

. . . .

︶︵ ︶︵

m m n

n

n z z

b z

z b z

z z b

z a z

f

z = 0 merupakan kutub order 3 dari f(z).

HASIL DAN PEMBAHASAN 1. Cara Menghitung Residu.

Misal f(z) dengan titik singular z0 .Maka kemungkinan bentuk f(z) dan rumus perhitungan residu di z0 dapat diberikan sebagai berikut .

a. Kutub sederhana.

Misal

0

) ) (

( z z

z z

f 

  dengan (z) analitik di z0 dan (z0)  0.

Maka

Re . ( )

₁

(

₀

)

0

z b z f s

z

z

  



b. Kutub order m.

Misal _m

z z z z

f ( )

) ) (

(

 0

  dengan m = 2,3,4,…….dengan (z) analitik di z0

dan (z0)  0.

Maka

! ) 1 (

) ) (

( .

Re

⁰

) 1 ( 1

0



 



^



m

b z z f s

m

z z

 Contoh.

Akan ditentukan residu dari :

1. ₃

3

) ( ) 2

( z i

z z z

f 

 

2. ( 1)

) 1

(  _z 

e z z f

Pembahasan.

1. Titik singular terisolasi , z0 = i kutub order 3.

Fungsi (z) = z³ + 2 z entire dan ( i ) = i  0.

Maka 3.

! 2

) ) (

( . Re

"

i i z

f s

i

z   



2. Titik singular terisolasi z0 = 0 kutub sederhana .

Bila

z z z

f ( )

)

( 

 dimana

1 ) 1

(  

 _z

z e tidak analitik di z0 = 0 .Oleh karena itu rumus perhitungan residu tidak dapat diterapkan.

Cara penyelesaiannya dengan memperderetkan e^z di z0 = 0 yaitu

e^z =



^     



||

. . . . .

!

!

! zzz

n z

n n

2

1 1 ²

0

, sehingga diperoleh hasil :

)

| (|

....

...

! 3

! 1 2

1

...

...

! 3

! 2

! 1

1 1

) 1 ( ) 1 (

2 2

3 2





 

 



   



 

 



   

 



z z

z z

z z z z

e z z

f

_z

Jika ( ) ,

)

( ₂

z z z

f 

 dimana

...

! 3

! 1 2 ) 1

(

₂









 z z z

, maka z0 = 0 merupakan

kutub order 2 dan (0)  0.

2 1

! 1

) 0 ) (

( . Re

...) .

! 3 /

! 2 / 1 (

...)

! 3 / 2

! 2 / 1 ) (

( '

'

0

2 2



 















 





s f z diperoleh

Sehingga

z z z z

z

2. Penghitungan Integral 2.1. Integral Kompleks.

Misalkan C lintasan tutup sederhana dengan arah positif , dan f(z) analitik kecuali pada sebanyak hingga titik singular zk ( k = 1,2,3,…………) pada daerah yang dibatasi oleh C. Maka

( ) 2 Re . ( ).

1

z f s i

dz z f

C

n

k z z_k

 

 

 

Langkah-langkah penyelesaian :

1. Tentukan semua titik singular dari integran f(z).

2. Tentukan residu dari f(z) di semua titik singular yang terletak di dalam lintasan C.

3. Nilai integral kompleks diperoleh dengan mengalikan jumlah hasil pada butir 2 dengan 2  i.

 Contoh.

Akan ditentukan nilai integral

dz z z

z

C

 ⁵ ₍ ^ _ ² _{1 )}

.

, dimana C lingkaran | z | = 2

dengan arah positif.

Pembahasan.

) 1 (

2 ) 5

( 

  z z z z

f , memiliki titik singular z = 0 dan z = 1 , keduanya terletak didalam daerah yang dibatasi oleh C.

Untuk z = 0  (z) = 1

2 5



 z

z analitik di z =0 dan ( 0 ) = 2  0.

Maka

Re . ( ) 2

0





s f z

z

Untuk z = 1  (z) = z z 2 5 

analitik di z = 1 dan ( 1 ) = 3  0.

Maka

Re . ( ) 3

1





s f z

z

Dari hasil di atas maka

dz z z

z

C

 ⁵ ₍ ^ _ ² _{1 )}

.

= 2  i ( 3 + 2 ) = 10  i.

2.2. Integral (Riel) Tak Wajar.

Untuk menghitung integral tak wajar



^





dx x

f( ) dimana f(x) fungsi rasional dengan menggunakan metode residu apabila f(x) fungsi genap











^ 







 0

) ( 2 )

(x f x dx

f , pandang f(x) = f(z) dan C merupakan lintasan yang melingkupi separo bidang atas. Sehingga nilai integral tak wajar di atas merupakan nilai integral kompleks dari f(z) terhadap lintasan C yakni hasil kali 2  i dengan jumlah hasil residu di titik singular dari f(z) yang terletak di daerah separo bidang atas dan dituliskan sebagai berikut :

 

_{ }









ⁿ

k z z_k

z f s i

dx x f

1

) ( . Re 2

)

( 

, zk merupakan titik singular dari f(z) yang

terletak di separo bidang atas.

 Contoh.

Akan ditentukan nilai integral

dx x

x

 x









0

2 4

2

4 5

1 2

Pembahasan.

x dx x

dx x x

x

x





^











 







4 5

1 2 2 1 4 5

1 2

2 4

2

0

2 4

2

karena

4 5

1 2

2 4

2





 x x

x

fungsi genap.

) 4 ( ) 1 (

1 2 4

5 1 ) 2

(

_{2 2}

2 2

4 2





 





 

z z

z z

z z z f

f(z) memiliki titik-titik singular terisolasi z =  i dan z =  2i , sedangkan yang terletak di separo bidang atas adalah z = i dan z = 2i .

Untuk z = i  (z) =

) 4 ( ) (

1 2

2 2





 z i z

z

analitik di z = i dan ( i ) = 2i

 1  0.

Maka

z i f s

i

z 2

) 1 ( .

Re 



Untuk z = 2i  (z) =

) 2 ( ) 1 (

1 2

2 2

i z z

z







analitik di z = 2i dan ( 2i ) = 4i

3  0.

Maka

z i f s

i

z 4

) 3 ( .

Re2 

 .

Dari hasil di atas maka diperoleh hasil

) 4 4

3 2 ( 1 2 2 1 4 5

1 2 2 1 4 5

1 2

2 4

2 0

2 4

2

     





 





 



^







i i i

x dx x

dx x x

x x

Untuk menghitung integral tak wajar berbentuk ^

 f x ax dx





c o s

︶︵









 ^{f x}

^︶︵

^{s i n ax , a}  ^R

atau

.dengan menggunakan residu, perhatikan bahwa ke dua

fungsi di atas masing-masing merupakan bagian riel dan imajiner



^





e

iax

x f

︶︵

dari























 f x ax dx i f x ax dx

e x

f

︶︵ ^iax ︶︵

c o s

︶︵

s i n

karena

Perhitungan integral diperoleh yaitu , ⁿ



^iaz



k z z

ax

i dx i s f z e

e x f

k

R e ︶︵ .

︶︵





_ 









1

2



dimana zk merupakan titik singular dari f(z)e^iaz yang terletak pada separo bidang atas

Contoh : Hitung integral



^





x

²

1 dx c o s x

Pembahasan











 







^











dx e x x f

dx

x ︶︵ _ix

c o s 1 Riel

2

Residu di titik singular dari

  

^{yangterletakpadaseparo}

2 1 z i z i

e z

e^{iz iz}



 

 bidang atas adalah

  

i

e i z i z z e f s

iz i

z 2

1

 



  R e ︶︵ .

Diperoleh :

e πe π πi 2

2 Riel 1 Riel

1 1 -

2  















 



 











 



 













_x ^xdx



^{f x ︶︵ eixdx e}_i

c o s

2.3. Integral Tentu

Integral tentu yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode residu berbentuk :



^

^{  }

2

0

) cos ,

(sin d

F

dengan F( sin  , cos  ) merupakan fungsi rasional dalam sin dan cos  dan nilai fungsi berhingga pada interval [ 0 , 2 ].

Langkah-langkah penyelesaian :

1. Tentukan ze^iz dan lintasan C merupakan lingkaran satuan dengan arah berlawanan dengan jarum jam kareana



bergerak dari 0 sampai 2𝜋.

Diperoleh :













s i n c o s

s i n c o s

i z e

i e

z

i i













1



iz d dz

d iz

d e i

dz ⁱ











 

 

 



  

 

 

  

 



 

 



  

 

 

  

 











i z z z z

i i

e e

z z z z

e e

i i

i i

2 1

2 1 2

2 1

2 1 2

1 1











 s i n c o s

2. Susbtitusi hasil di atas ke dalam integral tentu, akan diperoleh bentuk integral kompleks sebagai berikut :

iz dz z z i z F z



C

^ _ ^{ } ₂

^1

^{, } ₂

^1

^ _ ^

3. Selesaikan permasalahan integral dengan menggunakan langkah-langkah penyelesaian integral kompleks.

 Contoh : Hitung integral



^

_ ^ _

2

0

2 sin d

Pembahasan :









^ _{ } ^ _{ }



 

 



 

C C

C z iz

dz iz

z iz iz

dz

z z i

iz dz d

1 4 2 1

4 2 1

2 2 1

2 ^{2 2}

2 0





s i n



^{2 32}



^{2 3}



1 4 dari 2

singular titik

di

Residu ₂







 



 

i z i

iz z z z

f ︶︵

yang terletak di dalam lingkaran satuan adalah

3 ) 1 ( .

Re2 s3 f z i

i

z 







3 2 sin Jadi 2

2

0









 



^d

KESIMPULAN

Beberapanpermasalahan penentuan integral fungsi riel menjadi lebih mudah dengan menggunakan teknik residu dari fungsi kompleks.

Daftar Pustaka .

1. Churchill , Ruel V and Brown , James Ward . 1990. ‘ Complex Variables and Applications . Fifth Edition ‘. McGraw-Hill Publishing Co.,

Singapore.

2. Sardi, Hidayat. 1989. ‘ Fungsi Kompleks ‘. Buku Materi Pokok MATK4432, Modul 1 - 9 . Depdikbud , Universitas Terbuka , Jakarta.

3. Mursita, Danang, 1998. ‘Matematika Teknik II’. Bahan Perkuliahan Dasar dan Umum STT Telkjom 1998.