PEMODELAN MATEMATIS PENYEBARAN COVID-19 DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA DENGAN METODE ADAMS-MOULTON. Skripsi

i

PEMODELAN MATEMATIS PENYEBARAN COVID-19 DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA DENGAN

METODE ADAMS-MOULTON Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Oleh:

Monica Maya Kristina NIM: 183114014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2022

ii

MATHEMATICAL MODELLING OF THE SPREAD OF COVID-19 AND ITS NUMERICAL SOLUTIONS USING

ADAMS-MOULTON METHOD

Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika Mathematics Study Program

Written by:

Monica Maya Kristina Student Number: 183114014

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

2022

iii SKRIPSI

PEMODELAN MATEMATIS PENYEBARAN COVID-19 DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA DENGAN

METODE ADAMS-MOULTON Oleh:

Monica Maya Kristina NIM: 183114014

Telah disetujui oleh:

Dosen Pembimbing

Prof. Ir. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. Tanggal: 17 Januari 2022

iv SKRIPSI

PEMODELAN MATEMATIS PENYEBARAN COVID-19 DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA DENGAN

METODE ADAMS-MOULTON Dipersiapkan dan ditulis oleh:

Monica Maya Kristina NIM: 183114014

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji pada tanggal 26 Januari 2022

Dan dinyatakan telah memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji:

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : Hartono, Ph. D. ………

Sekretaris : Dr.rer.nat Herry Pribawanto ………

Anggota : Prof. Ir. Sudi Mungkasi ………

Yogyakarta, 28 Januari 2022 Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Dekan,

(Prof. Ir. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.)

v

HALAMAN PERSEMBAHAN

“ Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan menerimanya.” (Matius 21:22)

Skripsi ini saya persembahkan untuk:

Tuhan Yesus yang selalu menyertai dan memberkati setiap langkah saya, kedua orang tua dan keluarga, yang selalu mendoakan dan mendukung saya.

vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang disebutkan dalam daftar pustaka sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 17 Januari 2022

Monica Maya Kristina

vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Monica Maya Kristina NIM : 183114014

Demi pembagian ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

PEMODELAN MATEMATIS PENYEBARAN COVID-19 DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA DENGAN

METODE ADAMS-MOULTON

Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalih ke dalam media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya ataupun memberikan royalty kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 17 Januari 2022 Yang menyatakan

Monica Maya Kristina

viii ABSTRAK

Skripsi ini membahas tentang pemodelan matematis penyebaran COVID-19 atau Coronavirus disease 2019. COVID-19 merupakan penyakit yang menular pada pernapasan manusia yang saat ini sedang menjadi pandemi di berbagai negara.

Penyebab dari penyakit COVID-19 atau Coronavirus disease 2019 adalah virus SARS-CoV2. Model matematis yang dibangun adalah model 𝑆𝐿𝐼𝑄𝐻𝑅, yaitu populasi rentan terinfeksi (𝑆), populasi yang terinfeksi tanpa menunjukkan gejala klinis (𝐿), populasi yang terinfeksi dengan menunjukkan gejala klinis (𝐼), populasi yang melakukan karantina (𝑄), populasi yang menjalani rawat inap di rumah sakit (𝐻), dan populasi yang sembuh (𝑅). Model tersebut disajikan dengan sistem persamaan diferensial biasa nonlinear. Penyelesaian numeris model 𝑆𝐿𝐼𝑄𝐻𝑅 menggunakan metode Adams-Moulton. Dengan memperhatikan bilangan reproduksi dasar 𝑅₀, penyebaran COVID-19 akan berakhir ketika 𝑅₀ < 1 dan akan tetap menjadi pandemik ketika 𝑅₀ > 1.

Kata kunci: Model matematis, COVID-19, metode Adams-Moulton.

ix ABSTRACT

This thesis discusses the mathematical modelling of the spread of the COVID-19 or Coronavirus disease 2019. COVID-19 is a disease that is transmitted to human respiration which is currently becoming a pandemic in various countries.

The cause of COVID-19 or Coronavirus disease 2019 is the SARS-CoV2 virus. The mathematical model that was built in the form of 𝑆𝐿𝐼𝑄𝐻𝑅 model, namely the population susceptible to infected (𝑆), the population who infected without showing clinical symptoms (𝐿), the population who infected with showing clinical symptoms (𝐼), the population that was quarantine (𝑄), the population that was hospitalized (𝐻), and the recovered population (𝑅). The model is presented in a system of ordinary nonlinear differential equation. The numerical solution of the 𝑆𝐿𝐼𝑄𝐻𝑅 model uses the Adams-Moulton method. By paying attention to the basic reproduction number spread of the COVID-19 will be finished when 𝑅₀ < 1 and will remain a pandemic when 𝑅₀ > 1.

Keywords: Mathematical model, COVID-19, Adams-Moulton Method.

x

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan penyertaan-Nya, penulis dapat menyelesaikan skripsi ini yang berjudul “Pemodelan Matematis Penyebaran COVID-19 dan Penyelesaiannya dengan Metode Adams- Moulton” dengan baik dan lancar. Skripsi ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi untuk memperoleh gelar Sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma. Banyak tantangan dan kesulitan yang penulis hadapi dalam menyusun skripsi ini, namun dengan penyertaan Tuhan dan bantuan serta dukungan dari semua pihak, penulis dapat menyelesaikannya. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Prof. Ir. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing dan Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma yang selalu semangat dan sabar membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini.

2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku ketua program studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi.

3. Ibu Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang selalu membantu dan memberi semangat penulis selama perkuliahan di Program Studi Matematika.

4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr.rer.nat. Herry P. Suryawan, M.Si., Ibu Dr. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., dan Bapak Ricky Aditya M.Sc. selaku dosen-dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu dan pengetahuan serta pengalaman selama masa perkuliahan.

5. Kedua orang tua saya tercinta Bapak dan Ibu yang selalu memberikan semangat, doa, dan dukungan kepada penulis.

6. Kakak saya tercinta Mbak Luci dan Mas Ady yang selalu mendoakan dan mendukung setiap langkah penulis.

xi

7. Sahabat-sahabat saya Indri Belu, Reni Hayon, Elisabeth Yolandita, Arto Sujasmin, Mirna Aprilliana yang selalu setia mendengarkan cerita dan menjadi tempat berkeluh kesah penulis dari awal hingga pada akhirnya skripsi ini berhasil diselesaikan.

8. Semua teman-teman Program Studi Matematika angkatan 2018 atas dinamika, kebersamaan, dan canda tawa selama masa perkuliahan.

9. Semua pihak yang telah mendukung dan membantu penulis menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis berharap segala bentuk bantuan yang telah diberikan dari semua pihak mendapatkan balasan dari Tuhan yang Maha Esa. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan, tetapi besar harapan penulis skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Yogyakarta, 17 Januari 2022 Penulis,

Monica Maya Kristina

xii DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vii

ABSTRAK ... viii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 5

C. Batasan Masalah ... 6

D. Tujuan Penulisan ... 6

E. Manfaat Penulisan ... 6

F. Metode Penelitian ... 6

G. Sistematika Penulisan ... 6

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN MATRIKS ... 8

A. Pengertian Persamaan Diferensial ... 8

B. Model Matematis ... 14

C. Matriks ... 17

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 18

xiii

E. Titik Kesetimbangan ... 20

F. Bilangan Reproduksi Dasar ... 21

G. Matriks Generasi Selanjutnya ... 21

H. Metode Runge-Kutta Orde Empat ... 23

I. Metode Adams-Moulton ... 23

BAB III MODEL MATEMATIS PENYEBARAN COVID-19 ... 32

A. Asumsi-Asumsi yang Digunakan ... 32

B. Pembentukan Model Matematis Penyebaran COVID-19 ... 34

C. Bilangan Reproduksi Dasar 𝑹_𝟎 ... 41

D. Analisis Titik Kesetimbangan ... 43

BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS ... 61

A. Skema Numeris Metode Adams-Moulton untuk Model Penyebaran COVID-19 ... 61

B. Hasil Simulasi ... 67

C. Perbandingan Hasil Aproksimasi ... 73

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ... 79

A. Kesimpulan ... 82

B. Saran ... 83

1 BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini akan dibahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan dari skripsi.

A. Latar Belakang

Coronavirus disease 2019 atau COVID-19 merupakan penyakit pada manusia dan hewan. Pada manusia biasanya berupa penyakit infeksi saluran pernapasan, mulai dari flu biasa hingga penyakit serius seperti Middle East Respiratory Syndrome (MERS) dan Severe Acute Respiratory Syndrome (SARS) (Kemenkes, 2020). Infeksi virus Corona pertama kali ditemukan di kota Wuhan, China, pada akhir 2019. COVID-19 mulai menjadi virus yang menggemparkan dunia di awal tahun 2020 dan menjadi penyakit yang mengubah kehidupan manusia saat ini.

Seseorang dapat terinfeksi COVID-19 dari penularan orang lain yang sudah terinfeksi virus ini. Virus ini dapat menyebar melalui tetesan kecil (droplet) dari hidung atau mulut pada saat batuk atau bersin (Kemenkes, 2020). Droplet tersebut kemudian jatuh pada benda disekitarnya; jika ada orang lain yang menyentuh benda tersebut, lalu orang itu menyentuh mata, hidung atau mulut (segitiga wajah), maka orang itu dapat terinfeksi. Virus ini juga dapat ditularkan jika tanpa sengaja seseorang menghirup droplet dari penderita lain yang terinfeksi virus Corona.

World Health Organization (WHO) menyatakan bahwa risiko penularan juga terjadi pada seseorang yang tidak bergejala.

Kasus COVID-19 di Indonesia sudah berlangsung sejak diumumkan pertama kali pada awal Maret 2020 lalu. Dua orang yang didapati positif terinfeksi virus Corona adalah warga Depok, Jawa Barat, yang tertular setelah melakukan kontak langsung dengan warga Jepang. Sejak penemuan pertama tersebut, jumlah orang

yang terinfeksi terus bertambah. Sampai saat ini penyebaran virus Corona di Indonesia belum menunjukkan tanda-tanda akan berhenti, bahkan menunjukkan kasus yang semakin melonjak. Banyak hal yang telah dilakukan untuk menekan angka penyebaran COVID-19, seperti dilakukannya kebijakan pembatasan sosial berskala besar dan karantina di beberapa daerah untuk membatasi pergerakan masyarakat.

Pemodelan matematis merupakan usaha perancangan rumusan matematika yang secara potensial menggambarkan bagaimana mendapatkan penyelesaian masalah matematika yang digeneralisasikan untuk diterapkan pada perilaku atau kejadian alam (Iswanto, 2012; Castillo-Chaves and Braurer, 2011). Sederhananya, model matematis merupakan usaha untuk menggambarkan suatu fenomena ke dalam bentuk rumus matematis sehingga mudah untuk dipelajari. Pemodelan matematis merupakan salah satu sarana dalam pembelajaran epidemi yang dapat membantu penyelesaian masalah dalam kehidupan nyata, termasuk masalah pandemi COVID-19.

Dalam tulisan ini dikembangkan sebuah model matematis penyebaran COVID-19 dengan mengembangkan model SLIQHR (Susceptible-Latent- Infectious-Quarantine-Hospitalized-Recovery) (Prathumwan et al., 2020). Individu terpapar yang masih dalam masa inkubasi diasumsikan dapat menularkan virus jika berinteraksi dengan manusia rentan. Pada model ini juga dipertimbangkan parameter yang mewakili kasus kematian yang disebabkan oleh virus Corona.

Kasus kematian diasumsikan terjadi pada kelompok individu yang sudah terinfeksi dengan timbul gejala secara klinis. Pada model ini juga dipertimbangkan adanya individu yang menjalani rawat inap di rumah sakit akibat terpapar virus Corona.

Karantina terhadap individu yang terpapar juga dipertimbangkan dalam model ini.

Populasi dalam model penyebaran COVID-19 ini akan dibagi menjadi enam kelas, yaitu:

1. 𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 (𝑆) adalah populasi individu yang rentan terinfeksi COVID-19.

2. 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑛𝑡 (𝐿) adalah populasi individu yang terinfeksi COVID-19 tanpa menunjukkan gejala klinis.

3. 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑢𝑠 (𝐼) adalah populasi individu yang terinfeksi COVID-19 disertai dengan gejala klinis.

4. 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒 (𝑄) adalah populasi individu yang terinfeksi COVID- 19 dan menjalani karantina.

5. 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑑 (𝐻) adalah populasi individu yang terinfeksi COVID-19 dan menjalani rawat inap di rumah sakit.

6. 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑦 (𝑅) adalah populasi individu yang sudah sembuh dari COVID-19.

Total populasi manusia pada waktu 𝑡 dinotasikan dengan 𝑁(𝑡) sehingga total populasi dapat dinyatakan dengan:

𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐿(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝑄(𝑡) + 𝐻(𝑡) + 𝑅(𝑡).

Model yang diasumsikan dapat ditulis dengan sistem persamaan diferensial sebagai berikut (Prathumwan et al., 2020):

𝑑𝑆

𝑑𝑡 = Λ − 𝑎₁𝑆𝐿 − 𝑎₂𝑆𝐼 − 𝜇𝑆,

(1.1.1) 𝑑𝐿

𝑑𝑡 = 𝑎₁𝑆𝐿 + 𝑎₂𝑆𝐼 − 𝑎₃𝐿 − 𝑎₄𝐿 − 𝜇𝐿, 𝑑𝐼

𝑑𝑡= 𝑎₃𝐿 − 𝑘𝛼𝐼 − 𝑘𝛽𝐼 − 𝑘(1 − 𝛼 − 𝛽)𝐼 − 𝜀𝐼 − 𝜇𝐼, 𝑑𝑄

𝑑𝑡 = 𝑎₄𝐿 + 𝑘𝛽𝐼 − 𝑎₅𝑄 − 𝑎₆𝑄 − 𝜇𝑄, 𝑑𝐻

𝑑𝑡 = 𝑘𝛼𝐼 + 𝑎₆𝑄 − 𝑎₇𝐻 − 𝜇𝐻, 𝑑𝑅

𝑑𝑡 = 𝑘(1 − 𝛼 − 𝛽)𝐼 + 𝑎₅𝑄 + 𝑎₇𝐻 − 𝜇𝑅.

Parameter-parameter dalam model tersebut disajikan dalam Tabel 1.1 sebagai berikut:

Tabel 1.1. Parameter yang digunakan dan keterangannya.

Parameter Keterangan

Λ Parameter recruitment.

𝜇 Laju kematian alami individu.

𝑘 Laju perpindahan individu dari 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑢𝑠 ke 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒 dan 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑑.

𝛼 Proporsi individu dari 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑢𝑠 ke 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑑.

𝛽 Proporsi perpindahan individu dari 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑢𝑠 ke 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒.

𝜀 Laju kematian individu akibat COVID-19.

𝑎₁ Koefisien transmisi kontak individu 𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 dengan individu 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑛𝑡.

𝑎₂ Koefisien transmisi kontak individu kelas 𝑆𝑢𝑠𝑐𝑒𝑝𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 dengan individu 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑢𝑠.

𝑎₃ Laju perpindahan individu dari 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑛𝑡 ke 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑢𝑠.

𝑎₄ Laju perpindahan individu dari 𝐿𝑎𝑡𝑒𝑛𝑡 ke 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒.

𝑎₅ Laju perpindahan individu dari 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒 ke 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑦.

𝑎₆ Laju perpindahan individu dari 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑛𝑒 ke 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑑.

𝑎₇ Laju perpindahan individu dari 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑑 ke 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑦.

Model penyebaran COVID-19 tersebut diilustrasikan pada Gambar 1.1.

Gambar 1.1. Diagram penyebaran COVID-19 (Prathumwan et al., 2020).

Model tersebut akan digunakan untuk mencari bilangan reproduksi dasar (𝑅₀) serta mencari titik kesetimbangannya. Selanjutnya akan dicari penyelesaian numerisnya dengan menggunakan metode Adams-Moulton (Apriadi et al., 2014).

Metode Adams-Moulton merupakan suatu metode numerik banyak langkah untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan nilai awal. Persamaan diferensial tersebut terlebih dahulu diselesaikan dengan metode Runge-Kutta orde empat untuk memperoleh tiga solusi awal yang kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan prediktor Adams-Bahforth. Selanjutnya nilai prediksi tersebut diperbaiki dengan persamaan korektor Adams-Moulton.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana model matematis penyebaran COVID-19?

2. Bagaimana penyelesaian numeris model matematis tersebut dengan metode Adams-Moulton?

C. Batasan Masalah

Skripsi ini hanya membahas tentang penyebaran COVID-19 antar manusia.

Analisis terhadap model matematis dilakukan dengan mencari titik kesetimbangannya, lalu mencari bilangan reproduksi dasar 𝑅₀, kemudian analisis tentang kestabilan titik kesetimbangannya dan penyelesaian numerisnya dengan metode Adams-Moulton.

D. Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari skripsi ini adalah:

1. Memperoleh model matematis penyebaran COVID-19.

2. Memperoleh penyelesaian numeris model matematis tersebut dengan metode Adams-Moulton.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah memperoleh penyelesaian model matematis penyebaran COVID-19. Model matematis dan analisis penyelesaiannya diharapkan dapat berguna bagi pemerintah atau badan kesehatan negara dalam menangani wabah virus Corona.

F. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi ini adalah metode penelitian kepustakaan, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku, jurnal-jurnal dan artikel-artikel yang berkaitan dengan pemodelan matematis dan COVID-19. Selain itu, metode simulasi numeris berdasarkan rumusan Adams-Moulton juga dilibatkan dan pemrograman Python untuk grafik simulasi numerisnya.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penelitian G. Sistematika Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN MATRIKS A. Persamaan Diferensial

B. Model Matematis C. Matriks

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen E. Titik Kesetimbangan

F. Bilangan Reproduksi Dasar G. Matriks Generasi Selanjutnya H. Metode Runge Kutta Orde Empat I. Metode Adams-Moulton

BAB III MODEL MATEMATIS PENYEBARAN COVID-19 A. Asumsi-Asumsi yang Digunakan

B. Pembentukan Model Matematika Penyebaran COVID-19 C. Bilangan Reproduksi Dasar 𝑅₀

D. Analisis Kestabilan Titik Kesetimbangan BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS

A. Skema Numeris Metode Adams-Moulton untuk Model Penyebaran COVID-19

B. Hasil Simulasi

C. Perbandingan Hasil Aproksimasi BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan B. Saran

8 BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN MATRIKS

Pada bab ini akan dibahas mengenai landasan teori. Landasan teori yang akan dibahas adalah persamaan diferensial, model matematis, matriks, nilai eigen dan vektor eigen, titik kesetimbangan, bilangan reproduksi dasar, matriks generasi selanjutnya, metode Runge Kutta orde empat dan metode Adams-Moulton.

A. Persamaan Diferensial

1. Pengertian Persamaan Diferensial

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai persamaan diferensial dan contoh- contohnya.

Definisi 2.1.1 (Ross, 1989)

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan atau menyatakan hubungan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.

Contoh 2.1.1

Berikut ini merupakan contoh dari persamaan diferensial:

𝑑²𝑦

𝑑𝑥²+ 𝑥𝑦 (𝑑𝑦 𝑑𝑥)

2

= 0 (2.1.1)

𝑑⁴𝑥

𝑑𝑡⁴ + 5𝑑²𝑥

𝑑𝑡² + 3𝑥 = sin 𝑡 (2.1.2)

𝜕𝑣

𝜕𝑠 +𝜕𝑣

𝜕𝑡 = 𝑣 (2.1.3)

𝜕²𝑢

𝜕𝑥²+𝜕²𝑢

𝜕𝑦² +𝜕²𝑢

𝜕𝑧² = 0 (2.1.4)

Berdasarkan banyaknya variabel bebas persamaan diferensial dapat diklasifikasikan menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

2. Persamaan Diferensial Biasa Definisi 2.1.2 (Ross, 1989)

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas tehadap satu variabel bebas.

Contoh 2.1.2

Persamaan diferensial (2.1.1) dan (2.1.2) merupakan contoh dari persamaan diferensial biasa. Pada persamaan diferensial biasa (2.1.1) memiliki variabel bebas yaitu 𝑥 dan variabel tak bebas yaitu 𝑦. Pada persamaan diferensial biasa (2.1.2) memiliki variabel bebas 𝑡 dan variabel tak bebas 𝑥.

3. Persamaan Diferensial Parsial Definisi 2.1.3 (Ross, 1989)

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas.

Contoh 2.1.3

Persamaan diferensial (2.1.3) dan (2.1.4) merupakan contoh dari persamaan diferensial parsial. Pada persamaan diferensial parsial (2.1.3) memiliki variabel bebas 𝑠 dan 𝑡, dan memiliki variabel tak bebas 𝑣. Pada persamaan diferensial parsial (2.1.4) memiliki variabel bebas 𝑥, 𝑦 dan 𝑧, dan memiliki variabel tak bebas 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧).

4. Orde (derajat) Persamaan Diferensial Definisi 2.1.4 (Ross, 1989)

Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat turunan tertinggi dalam persamaan diferensial.

Contoh 2.1.4

Persamaan diferensial (2.1.1) memiliki orde dua. Persamaan diferensial (2.1.2) memiliki orde empat. Persamaan diferensial (2.1.3) memiliki orde satu.

Persamaan diferensial (2.1.4) memiliki orde dua.

Berdasarkan sifat linearitasnya, persamaan diferensial dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persaman diferensial non linear

5. Persamaan Diferensial Biasa Linear Definisi 2.1.5 (Ross, 1989)

Persamaan diferensial biasa linear orde n dengan variabel tak bebas 𝑦 dan variabel bebas 𝑥 adalah persamaan yang dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:

𝑎₀(𝑥)𝑑^𝑛𝑦

𝑑𝑥^𝑛+ 𝑎₁(𝑥)𝑑^𝑛−1𝑦

𝑑𝑥^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎_𝑛−1𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎_𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) dengan 𝑎₀ ≠ 0.

Persamaan diferensial linear merupakan persamaan diferensial yang memiliki ciri-ciri:

a) Variabel tak bebas 𝑦 dan turunannya hanya berpangkat satu.

b) Tidak terdapat perkalian antar variabel tak bebas 𝑦 dan turunan- turunannya.

c) Variabel tak bebas dan turunannya bukan merupakan fungsi transenden.

Contoh 2.1.5

Berikut ini merupakan contoh dari persamaan diferensial biasa linear:

𝑑²𝑦

𝑑𝑥² + 5𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0 (2.1.5)

𝑑⁴𝑦

𝑑𝑥⁴+ 𝑥²𝑑³𝑦

𝑑𝑥³+ 𝑥³𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑥𝑒^𝑥 (2.1.6)

6. Persamaan Diferensial Biasa Nonlinear Definisi 2.1.6 (Ross, 1989)

Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial yang bukan termasuk dalam persamaan diferensial biasa linear. Persamaan diferensial non linear merupakan persamaan diferensial yang memiliki ciri-ciri:

a) Variabel tak bebas 𝑦 dan turunannya berpangkat bukan nol dan bukan satu.

b) Mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel tak bebas dengan variabel tak bebas lainnya, atau turunan-turunannya.

c) Variabel terikatnya merupakan fungsi transenden.

Contoh 2.1.6

Berikut ini merupakan contoh persamaan diferensial biasa nonlinear:

𝑑²𝑦

𝑑𝑥²+ 5𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦² = 0 (2.1.7)

𝑑²𝑦

𝑑𝑥²+ 5 (𝑑𝑦 𝑑𝑥)

3

+ 6𝑦 = 0 (2.1.8)

𝑑²𝑦

𝑑𝑥² + 5𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0 (2.1.9)

7. Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.7 (Ross, 1989)

Sistem persamaan differensial adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan diferensial. Sistem persamaan differensial dapat ditulis dalam bentuk:

𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝒙) (2.1.10)

dengan

𝑥̇(𝑡) =𝑑𝑥 𝑑𝑡 =

( 𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡⋮ 𝑑𝑥_𝑛

𝑑𝑡 )

̇

, 𝑓(𝑥, 𝑡) = (

𝑓₁(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) 𝑓₂(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

⋮

𝑓_𝑛(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

) (2.1.11)

dengan 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 adalah variabel tak bebas dan 𝑡 adalah variabel bebas. Pada persamaan (2.1.10) variabel 𝑡 tidak dinyatakan secara eksplisit maka sistem (2.1.10) dapat ditulis dalam bentuk:

𝑥̇(𝑡) = 𝒇(𝑥)̇ (2.1.12)

dengan

𝑓(𝑥) = (

𝑓₁(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) 𝑓₂(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

⋮

𝑓_𝑛(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

) (2.1.13)

Contoh 2.1.7

Berikut ini merupakan contoh dari sistem persamaan diferensial.

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 2𝑥 − 3𝑦 + 2 sin 𝑡

(2.1.14) 𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 𝑥 − 2𝑦 − cos 2𝑡

Berdasarkan linearitasnya, sistem persamaan diferensial dapat dibagi menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear.

8. Sistem Persamaan Diferensial Linear Definisi 2.1.8 (Ross, 1989)

Pada persamaan (2.1.11) jika fungsi 𝑓₁, 𝑓₂, … , 𝑓_𝑛 masing-masing merupakan fungsi linear dengan 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 adalah variabel tak bebas maka sistem tersebut disebut dengan sistem persamaan diferensial linear.

Variabel bebas t dapat ditulis dalam bentuk berikut:

𝑥̇₁(𝑡) = 𝑎₁₁(𝑡)𝑥₁(𝑡) + 𝑎₁₂(𝑡)𝑥₂(𝑡) + ⋯ + 𝑎_1𝑛(𝑡)𝑥_𝑛(𝑡) + 𝑓₁(𝑡)

(2.1.15) 𝑥₂̇ (𝑡) = 𝑎₂₁(𝑡)𝑥₁(𝑡) + 𝑎₂₂(𝑡)𝑥₂̇(𝑡) + ⋯ + 𝑎_2𝑛(𝑡)𝑥_𝑛(𝑡) + 𝑓₂(𝑡)

⋮

𝑥_𝑛̇ (𝑡) = 𝑎_𝑛1(𝑡)𝑥₁(𝑡) + 𝑎_𝑛2(𝑡)𝑥₂̇(𝑡) + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑛(𝑡)𝑥_𝑛(𝑡) + 𝑓_𝑛(𝑡)

Sistem (2.1.15) dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut:

( 𝑥̇₁(𝑡) 𝑥̇₂(𝑡)

⋮ 𝑥̇₃(𝑡)

) = (

𝑎₁₁(𝑡) 𝑎₁₂(𝑡) … 𝑎_1𝑛(𝑡) 𝑎₂₁(𝑡) 𝑎₂₂(𝑡) … 𝑎_2𝑛(𝑡)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

𝑎_𝑛1(𝑡) 𝑎_𝑛2(𝑡) … 𝑎_𝑛𝑛(𝑡) ) (

𝑥₁(𝑡) 𝑥₂(𝑡)

⋮ 𝑥_𝑛(𝑡)

) + ( 𝑓₁(𝑡) 𝑓₂(𝑡)

⋮ 𝑓_𝑛(𝑡)

) (2.1.16)

sehingga dapat ditulis dalam bentuk:

𝑥̇(𝑡) = 𝐴(𝑥)𝑥(𝑡) + 𝑓(𝑡) (2.1.17) Jika 𝑓(𝑡) = 0 pada sistem persamaan (2.1.17) maka sistem tersebut dikatakan homogen.

Contoh 2.1.8

Berikut ini adalah contoh sistem persamaan diferensial linear.

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 2𝑥 + 𝑦 + 7

(2.1.18) 𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 4𝑥 − 𝑦 + 3

9. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear Definisi 2.1.9 (Ross, 1989)

Pada persamaan (2.1.11) jika fungsi 𝑓₁, 𝑓₂, … , 𝑓_𝑛 masing-masing merupakan fungsi nonlinear dengan 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 adalah variabel tak bebas maka sistem tersebut disebut dengan sistem persamaan diferensial nonlinear. Sistem persamaan diferensial non linear orde satu dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut

𝑑𝑥₁

𝑑𝑡 = 𝑓₁(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

(2.1.19) 𝑑𝑥₂

𝑑𝑡 = 𝑓₂(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛)

⋮ 𝑑𝑥_𝑛

𝑑𝑡 = 𝑓_𝑛(𝑡, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) Contoh 2.1.9

Berikut ini adalah contoh sistem persamaan diferensial non linear.

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝑥²− 𝑥𝑦

(2.1.20) 𝑑𝑦

𝑑𝑡 = 5𝑦 + 𝑥𝑦

B. Model Matematis

Pada subbab ini akan dibahas mengenai model matematis. Di dalamnya subbab ini akan dijelaskan mengenai pengertian model matematis, jenis-jenis model matematis, dan langkah menyusun model matematis.

1. Pengertian Model Matematis Definisi 2.2.1 (Iswanto, 2012)

Pemodelan matematis merupakan usaha perancangan rumusan matematika yang secara potensial menggambarkan bagaimana mendapatkan penyelesaian masalah matematika yang digeneralisasikan untuk diterapkan pada perilaku atau kejadian alam. Secara sederhana model matematis adalah usaha untuk menggambarkan suatu fenomena ke dalam bentuk matematis sehingga mudah untuk dipelajari dan dicari solusinya.

Pemodelan matematis merupakan salah satu cara untuk menghubungkan konsep matematika yang abstrak dengan masalah dalam kehidupan nyata. Masalah yang ada dalam kehidupan nyata terlebih dahulu diubah kedalam masalah matematis yang nantinya dapat dicari penyelesaiannya dan hasilnya diterjemahkan kembali ke dalam solusi masalah dari kehidupan nyata. Salah satu penggunaan model matematika yang paling sering digunakan adalah untuk memodelkan penyebaran penyakit. Seperti contohnya pemodelan matematis banyak digunakan

untuk mengidentifikasi dan menganalisis dinamika penyebaran penyakit termasuk menganalisis keefektifan bakteri atau vaksinasi.

2. Pendekatan pada Model Matematika

Dalam pemodelan matematis terdapat beberapa jenis-jenis model yaitu meliputi model emperis, model simulasi, model stokastik, dan deterministik (Widowati dan Sutimin, 2007).

a) Model Emperis

Pada model emperis, data yang berhubungan dengan problem menentukan peran yang penting. Dalam pendekatan ini, gagasan yang utama adalah mengkonstruksi persamaan matematika yang dapat menghasilkan grafik terbaik untuk mencocokkan data.

b) Model Simulasi

Dalam model simulasi program komputer dituliskan didasarkan pada aturan- aturan. Aturan ini dipercaya untuk membentuk bagaimana suatu proses atau fenomena akan berjalan terhadap waktu dalam kehidupan nyata. Program komputer ini dijalankan terhadap waktu sehingga implikasi interaksi dari berbagai variabel dan komponen yang dikaji dan diuji.

c) Model Deterministik dan Stokastik

Model deterministic meliputi penggunaan persamaan atau himpunan persamaan untuk merepresentasikan hubungan antara variabel suatu sistem.

Contohnya adalah persaman diferensial biasa yang menjelaskan bagaimana suatu kuantitas tertentu berubah terhadap waktu. Persamaan ini menunjukkan hubungan antara kuantitas (yang dinyatakan oleh variabel tak bebas dari persamaan) dan waktu sebagai variabel bebas. Diberikan syarat awal yang sesuai, persamaan diferensial dapat diselesaiakan untuk memprediksi perilaku sistem model.

3. Langkah – Langkah Menyusun Model Matematis

Untuk menyusun model matematis dari masalah nyata dapat dilakukan langkah-langkah berikut :

Langkah 1: Mengidentifikasi Masalah

Langkah ini merupakan langkah awal untuk menyusun suatu model matematis dalam masalah kehidupan nyata. Mengidentifikasi masalah dapat dilakukan dengan melihat secara langsung masalah apa yang sedang terjadi. Dalam langkah ini, dipilih sejumlah data dan diidentifikasi aspek apa saja yang akan dipelajari. Selanjutnya, dari masalah yang didapat diterjemahkan dalam simbol- simbol matematika untuk dicari penyelesaian dari masalah tersebut.

Langkah 2: Membuat Asumsi

Pada bagian ini akan dilakukan identifikasi faktor-faktor apa saja yang mempengaruhi masalah yang sudah dimodelkan dalam model matematis pada langkah sebelumnya. Dalam menyederhanakan masalah dapat dilakukan dengan mengurangi sejumlah faktor yang dipertimbangakan. Kemudian, menentukan hubungan atara variabel-variabel yang terlibat di dalamnya. Ada dua kegiatan utama dalam langkah ini, yaitu:

a) Mengklasifikasikan variabel.

b) Menentukan hubungan di antara variabel-variabel yang sudah dipilih.

Langkah 3: Menyelesaikan atau Menginterpretasikan Model

Dalam berbagai kasus, model matematis dapat terdiri atas persamaan atau pertidaksamaan matematika yang harus dicari penyelesaiannya. Ketika mencari penyelesaian dari suatu model, jika tidak ditemukan penyelesaiannya maka dapat ditambahkan asumsi untuk menyederhanakan model dengan kembali ke langkah 2 atau kembali ke langkah 1 untuk mendefinisikan kembali masalah.

Langkah 4: Memeriksa Kebenaran Model

Sebelum model digunakan, model tersebut harus diuji terlebih dahulu.

Terdapat beberapa hal yang pelu diperhatikan dalam memeriksa kebenaran model.

Hal tersebut yaitu yang pertama memastikan apakah model telah menjawab masalah yang diidentifikasi pada langkah 1, yang kedua apakah model yang telah disusun dapat digunakan dengan mudah dan yang ketiga apakah model matematis tersebut masuk akal. Setelah memeriksa kebenaran model dan didapatkan

penyelesaianya, maka model tersebut dapat diuji dengan menggunakan data yang diperolah dari pengamatan.

Langkah 5: Mengimplementasikan atau Melaksanakan Model

Model matematis yang telah disusun tidak akan berguna jika tidak dilaksanakan. Penggunaan model matematis juga dapat dilakukan dengan menggunakan bantuan program komputer untuk mempermudah implementasinya.

Langkah 6: Memperbaiki Model

Pada langkah ini penting dilakukan karena dilakukan untuk melihat kembali apakah masalah yang dimodelkan pada langkah 1 mengalamai perubahan atau tidak, atau faktor yang sebelumnya dihilangkan atau ditambah pada langkah 2 menjadi faktor yang penting.

C. Matriks

Definisi 2.3.1 (Marsudi dan Marjono, 2012)

Matriks (matrix) adalah susunan (array) segi empat dari bilangan-bilangan yang disajikan dalam kurung siku. Bilangan-bilangan ini disebut dengan entri (entry) dari matriks.

Contoh 2.3.1

[3 4 1 5] , [

1 2 3 4 5 6

] , [2 3]

Pada contoh 2.3.1 berturut-turut adalah matriks 2 × 2, matriks 3 × 2, dan matriks 1 × 2.

Definisi 2.3.2 (Marsudi dan Marjono, 2012)

Jika 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗] adalah matriks bujur sangkar orde 𝑛(𝑛 ≥ 2), maka determinan 𝐴 adalah jumlahan dari entri-entri dalam baris pertama 𝐴 dikalikan dengan kofaktor-kofaktornya.

det(𝐴) = |𝐴| = ∑ 𝑎_1𝑗𝐶_1𝑗 = 𝑎₁₁𝐶₁₁+ 𝑎₁₂𝐶₁₂+ ⋯ + 𝑎_1𝑛𝐶_1𝑛

𝑛

𝑗=1

(2.3.1)

Definisi 2.3.3 (Kocak and Hale, 1991)

Diberikan 𝑓(𝑓₁, 𝑓₂, … , 𝑓_𝑛) pada system 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) dengan 𝑓_𝑖 ∈ 𝐶(𝐸) dan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Matriks

𝐽𝑓(𝑥^∗) =

[

𝜕𝑓₁

𝜕𝑥₁(𝑥^∗) 𝜕𝑓₁

𝜕𝑥₂(𝑥^∗) … 𝜕𝑓₁

𝜕𝑥_𝑛(𝑥^∗)

𝜕𝑓₂

𝜕𝑥₁(𝑥^∗) 𝜕𝑓₂

𝜕𝑥₂(𝑥^∗) … 𝜕𝑓₂

𝜕𝑥_𝑛(𝑥^∗)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝜕𝑓_𝑛

𝜕𝑥₁(𝑥^∗) 𝜕𝑓_𝑛

𝜕𝑥₂(𝑥^∗) … 𝜕𝑓_𝑛

𝜕𝑥_𝑛(𝑥^∗) ] Dinamakan matriks Jacobian dari 𝑓 di titik 𝑥^∗

Contoh 2.3.3

Tentukan matriks Jacobian dari 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 dan 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 Penyelesaian:

𝜕𝑥

𝜕𝑟= cos 𝜃 𝜕𝑥

𝜕𝜃 = −𝑟 sin 𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝑟 = sin 𝜃 𝜕𝑦

𝜕𝜃= 𝑟 cos 𝜃

Matriks Jacobian

𝐽 = [

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃

𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

] = [

^{cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃}

sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃

]

D. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.4.1 (Anton and Rorres, 2014)

Jika 𝐴 adalah sebuah matriks 𝑛 × 𝑛, maka sebuah vector tak nol 𝑥 pada 𝑅^𝑛 disebut vector eigen (eigenvector) dari 𝐴 jika 𝐴𝑥 adalah kelipatan scalar dari 𝑥;

jelasnya,

𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 (2.4.1)

untuk scalar sebarang 𝜆. Scalar 𝜆 disebut nilai eigen (eigenvalue) dari 𝐴, dan 𝑥 disebut sebagai vector eigen dari 𝐴 yang terkait dengan 𝜆.

Untuk memperoleh nilai eigen dari suatu matriks 𝐴_𝑛×𝑛 persamaan (2.4.1) dapat dituliskan kembali sebagai

𝐴𝑥 = 𝜆𝐼𝑥 (2.4.2)

Atau ekuivalen dengan

(𝜆𝐼 − 𝐴)𝑥 = 0 (2.4.3)

Teorema 2.4.1 (Anton and Rorres, 2014)

Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka 𝜆 adalah nilai eigen dari 𝐴 jika dan hanya jika memenuhi persamaaan

det(𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 (2.4.4)

Persamaan ini disebut dengan persamaan karakteristik dari matriks 𝐴

Persamaan (2.4.4) disebut sebagai persamaan karakteristik dari matriks 𝐴, skalar-skalar yang memenuhi persamaan (2.4.4) adalah nilai eigen dari matriks 𝐴.

Apabila diperluas lagi, det(𝜆𝐼 − 𝐴) adalah sebuah polinomial 𝑝 dalam variabel 𝜆 yang disebut dengan polinomial karakteristik dari matriks 𝐴.

Teorema 2.4.2 (Olsder & Waode, 1998)

Diberikan matriks Jacobian 𝐽𝑓(𝑥^∗) dari sistem 𝑥̇ = 𝑓(𝑥)̇ dengan nilai eigen 𝜆.

1. Sistem dikatakan stabil asimtotik local, jika semua bagian real nilai eigen dari matriks 𝐽𝑓(𝑥^∗) bernilai negatif.

2. Sistem dikatakan tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen matriks 𝐽𝑓(𝑥^∗) yang bagian realnya positif.

Contoh 2.4.1

Tentukan nilai eigen dari

𝐴 = [

0 1 0

0 0 1

4 −17 8 ]

Dari matriks 𝐴 dapat dibentuk:

𝜆𝐼 − 𝐴 = [

𝜆 −1 0

0 𝜆 −1

−4 17 𝜆 − 8 ]

Berdasarkan (2.3.4) diperoleh persamaan karakteristik:

𝜆³− 8𝜆²+ 17𝜆 − 4 = 0

(𝜆 − 4)(𝜆²− 4𝜆 + 1) = 0 (2.4.5)

Sehingga didapatkan nilai eigen 𝜆₁ = 4 dan 𝜆_1,2 = 2 ± √3 E. Titik Kesetimbangan

Misalkan suatu sistem persamaan diferensial dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut:

𝑥̇ = 𝑓(𝑥) (2.5.1)

Sistem (2.5.1) dikatakan setimbang jika sistem tersebut konstan atau tidak mengalami perubahan sepanjang waktu.

Definisi 2.5.1 (Perko, 1991)

Titik kesetimbangan 𝑥^∗ ∈ 𝑅^𝑛 dari sistem (2.5.1) dikatakan:

1. Stabil lokal jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sedemikian sehingga untuk solusi 𝑥(𝑡) yang memenuhi ‖𝑥(𝑡₀) − 𝑥^∗‖ < 𝛿 berlaku ‖𝑥(𝑡) − 𝑥^∗‖ < 𝜀 untuk setiap 𝑡 ≥ 𝑡₀.

2. Stabil asimtotik lokal jika titik kesetimbangan 𝑥^∗ ∈ 𝑅^𝑛 stabil dan terdapat bilangan 𝛿₀ > 0 sehingga untuk setiap solusi 𝑥(𝑡) yang memenuhi

‖𝑥(𝑡₀) − 𝑥^∗‖ < 𝛿₀ berlaku lim

𝑥→∞𝑥(𝑡) = 𝑥^∗

3. Tidak stabil jika titik kesetimbangan 𝑥^∗ ∈ 𝑅^𝑛 tidak memenuhi point (1).

F. Bilangan Reproduksi Dasar Definisi 2.6.1 (Ndii, 2018)

Basic reproduction number atau bilangan reproduksi dasar adalah jumlah infeksi baru yang dihasilkan oleh adanya satu individu terinfeksi dalam populasi dan biasanya dinotasikan dengan 𝑅₀.

Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menggunakan matriks generasi selanjutnya dan diperoleh radius spectral. Sebagai contoh jika didapatkan nilai 𝑅₀ = 3, maka hal ini berarti bahwa satu individu terinfeksi dalam populasi pada suatu waktu dapat menghasilkan tiga individu terinfeksi baru pada satuan waktu berikutnya.

Teorema 2.6.1 (Rost and Wu, 2008)

Menurut Rost dan Wu, teorema tentang bilangan reproduksi dasar adalah sebagai berikut:

1. Titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium) stabil asimtotik local jika 𝑅₀ < 1 dan tidak stabil jika 𝑅₀ > 1.

2. Jika 𝑅₀ < 1 maka semua solusi konvergen ke titik kesetimbangan bebas penyakit (disease free equilibrium).

3. Titik kesetimbangan endemik (endemic equilibrium) stabil asimtotik local jika 𝑅₀ > 1.

4. Jika 𝑅₀ > 1 maka penyakit tersebut endemik.

G. Matriks Generasi Selanjutnya

Dalam skripsi perhitungan bilangan reproduksi dasar menggunakan metode matriks generasi selanjutnya. Matriks ini berasal dari konstruksi sub-sub populasi yang menyebabkan infeksi penyakit saja.

Misalkan 𝑥 = (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛) dimana ∀𝑥_𝑖 ≥ 0 menyatakan jumlah individu pada masing-masing kelas ke – 𝑖, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 yang terinfeksi pada waktu 𝑡.

Didefinisikan 𝐹_𝑖 merupakan matriks rata-rata jumlah individu baru yang terinfeksi

pada kelas ke-i dan 𝑉_𝑖 merupakan penurunan jumlah individu yang terinfeksi dari kelas ke-i dengan laju perpindahan individu yang masuk ke-i sehingga

𝑉_𝑖 = 𝑉_𝑖⁻− 𝑉_𝑖⁺

dengan 𝑉_𝑖⁻(𝑥) menyatakan laju perpindahan individu yang keluar dari kelas ke 𝑖 dan 𝑉_𝑖⁺(𝑥) menyatakan laju perpindahan individu yang masuk ke kelas 𝑖. Model penularan penyakit (model epidemik) baik terinfeksi atau tidak terjadi dinyatakan sebagai berikut:

𝑥̇_𝑖 = 𝑓_𝑖(𝑥) = 𝐹_𝐼(𝑥) − 𝑉_𝑖(𝑥), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (2.7.1) Dengan

𝑉_𝑖 = 𝑉_𝑖⁻(𝑥) − 𝑉_𝑖⁺(𝑥) (2.7.2) Sehingga (2.7.1) dapat ditulis dalam bentuk

𝑥̇_𝑖 = 𝐹(𝑥) − 𝑉(𝑥) (2.7.3)

Dengan 𝐹(𝑥) = (𝐹₁(𝑥), 𝐹₂(𝑥), … , 𝐹_𝑛(𝑥)) dan 𝑉(𝑥) = (𝑉₁(𝑥), 𝑉₂(𝑥), … , 𝑉_𝑛(𝑥)).

Matriks Jacobian dari 𝐹(𝑥) dan 𝑉(𝑥) hasil linearisasi di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit 𝑥^∗ pada (2.7.3) adalah sebagai berikut

𝐽(𝐹(𝑥)) = [𝐹 0

0 0] dan 𝐽(𝑉(𝑥)) = [𝑉 0 𝐽₃ 𝐽₄]

Dimana 𝐹 dan 𝑉 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang didefinisikan berikut

𝐹 = (𝜕𝐹_𝑖

𝜕𝑥_𝑗(𝑥^∗)) , 𝑉 = (𝜕𝑉_𝑖

𝜕𝑥_𝑗(𝑥^∗)) , 𝑖 ≥ 1, 𝑗 ≤ 𝑛

Dengan 𝑥^∗ adalah titik kesetimbangan bebas penyakit. Selanjutnya matriks 𝑉 akan dicari inversnya sehingga diperoleh 𝑉⁻¹. Selanjutnya didefinisikan matriks 𝐾 yang merupakan perkalian dari matriks 𝐹 dan 𝑉⁻¹ sehingga diperoleh

𝐾 = 𝐹𝑉⁻¹

yang merupakan matriks generasi selanjutnya dari (2.7.3)

Definisi 2.7.1 (Driessche and Watmough, 2002)

Radius spectral (𝜌) dari matriks generasi selanjutnya 𝐾 = 𝐹𝑉⁻¹ merupakan bilangan reproduksi dasar untuk system (2.7.3) pada titik kesetimbangan bebas penyakit 𝑥^∗ sehingga diperoleh 𝑅₀ = 𝜌(𝑅𝑉⁻¹).

H. Metode Runge Kutta Orde Empat

Metode numeris merupakan teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat diselesaiakan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

(Munir, 2003). Sebelum menggunakan metode Adams-Moulton diperlukan beberapa titik sebelum yang pada skripsi ini akan digunakan metode Runge Kutta orde empat.

Bentuk umum dari metode runge Kutta Orde empat adalah sebagai berikut:

𝑦_𝑖+1= 𝑦_𝑖 +1

6(𝑘₁+ 2𝑘₂ + 2𝑘₃+ 𝑘₄)ℎ (2.8.1) dengan

𝑘₁ = 𝑓(𝑡_𝑖, 𝑦_𝑖), 𝑘₂ = 𝑓 (𝑡_𝑖+1

2ℎ, 𝑦_𝑖 +1 2𝑘₁ℎ), 𝑘₃ = 𝑓 (𝑡_𝑖 +1

2ℎ, 𝑦_𝑖 +1 2𝑘₂ℎ), 𝑘₄ = 𝑓(𝑡_𝑖+ ℎ, 𝑦_𝑖 + 𝑘₃ℎ) I. Metode Adams-Moulton

Metode Adams-Moulton merupakan salah satu metode banyak langkah.

Metode ini dapat digunakan tanpa harus mencari nilai-nilai turunan fungsi nya, melainkan menggunakan prediktor-korektor. Untuk mencari penyelesaian numeris dengan metode Adams-Moulton diperlukan Metode Adams-Bashforth sebagai persamaan prediktornya. Metode Adams Bashforth Moulton orde empat merupakan salah satu metode numeric yang banyak digunakan.

Penyelesaian persamaan diferensial biasa dengan metode Adams Bashforth Moulton adalah proses mencari nilai fungsi 𝑦(𝑥) pada titik tertentu dari persamaan diferensial biasa non linear 𝑦^′= 𝑓(𝑥, 𝑦) dan nilai awal 𝑦(𝑥₀) = 𝑦₀ yang diketahui dengan melakukan prediksi dengan persamaan prediktor dan melakukan koreksi dengan korektor. Nilai awal yang digunakan dalam metode Adams Bashforth Moulton dapat diperoleh dari metode satu langkah yaitu seperti metode Runge Kutta Orde Empat (Apriadi dkk, 2014).

Diberikan persamaan diferensial nonlinear orde satu dengan nilai awal 𝑦(𝑥₀) = 𝑦₀ sebagai berikut (Apriadi dkk, 2014):

𝑦^′= 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) (2.9.1)

Integralkan persamaan (2.9.1) dari 𝑥_𝑛 sampai 𝑥_𝑛+1 = 𝑥_𝑛+ ℎ untuk mendapatkan solusi 𝑦_𝑛+1 pada titik 𝑥_𝑛+1 sehingga diperoleh

∫ 𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))

𝑥_𝑛+1

𝑥_𝑛 𝑥_𝑛+1

𝑥_𝑛

𝑑𝑥

𝑦(𝑥)|_𝑥^𝑥_𝑛^𝑛+1 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))

𝑥_𝑛+1

𝑥_𝑛

𝑑𝑥

𝑦(𝑥_𝑛+1) − 𝑦(𝑥_𝑛) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))

𝑥𝑛+1

𝑥_𝑛

𝑑𝑥

𝑦_𝑛+1 = 𝑦_𝑛+ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))

𝑥𝑛+1

𝑥𝑛

𝑑𝑥

Untuk mendapatkan rumus prediktor (𝑦_𝑛+1^𝑝 ) dilakukan substitusi interpolasi mundur Newton derajat tiga untuk 𝑦^′= 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) yang terdefinisi pada titik-titik 𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛−2. Rumus interpolasi selisih mundur Newton berderajat tiga dapat dituliskan sebagai berikut (Kreyszig, 2006):

𝑝₃(𝑥) = 𝑓_𝑛+ 𝑟∇𝑓_𝑛 +1

2𝑟(𝑟 + 1)∇²𝑓_𝑛 +1

6𝑟(𝑟 + 1)(𝑟 + 2)∇³𝑓_𝑛 (2.9.2)

Jika dinotasikan 𝑓(𝑥_𝑛+1, 𝑦(𝑥_𝑛+1) ) = 𝑓_𝑛+1 dan digunakan ∇^𝑘𝑓_𝑛+1 sebagai bentuk operasi selisih mundur derajat-𝑘 dari fungsi 𝑓_𝑛+1, sehingga diperoleh rumus prediktor sebagai berikut:

𝑦_𝑛+1^𝑝 = 𝑦_𝑛+ ∫ [𝑓_𝑛+∇𝑓_𝑛

1! ℎ(𝑥 − 𝑥_𝑛) + ∇²𝑓_𝑛

2! ℎ²(𝑥 − 𝑥_𝑛)(𝑥 − 𝑥_𝑛−1)

𝑥_𝑛+1

𝑥_𝑛

+∇³𝑓_𝑛

3! ℎ³(𝑥 − 𝑥_𝑛)(𝑥 − 𝑥_𝑛−1)(𝑥 − 𝑥_𝑛−2)]

(2.9.3)

Untuk menyederhanakan integral pada persamaan (2.9.3), maka didefinisikan peubah:

𝑢 =𝑥 − 𝑥_𝑛

ℎ , 𝑑𝑢 =𝑑𝑥

ℎ , ℎ = 𝑥_𝑛+𝑖− 𝑥_{𝑛+𝑖−1} Jika 𝑥 = 𝑥_𝑛 maka 𝑢 =^{𝑥𝑛−𝑥𝑛}

ℎ = ⁰

ℎ= 0, dan jika 𝑥 = 𝑥_𝑛+1 maka 𝑢 =

𝑥𝑛+1−𝑥𝑛

ℎ =^ℎ

ℎ= 1, sehingga persamaan (2.9.3) diintegralkan dari 0 sampai 1 terhadap 𝑢, dengan demikian menjadi:

𝑦_𝑛+1^𝑝 = 𝑦_𝑛+ ∫ [𝑓_𝑛+ ∇𝑓_𝑛𝑢 +∇²𝑓_𝑛

2 𝑢(𝑢 + 1)

1

0

+∇³𝑓_𝑛

6 𝑢 (𝑢 + 1) (𝑢 + 2)] ℎ 𝑑𝑢

(2.9.4)

Selanjutnya akan diselesaikan integral pada persamaan (2.9.4) untuk mendapatkan rumus prediktor Adams-Bashforth sebagai berikut:

𝑦_𝑛+1^𝑝 = 𝑦_𝑛 + ∫ [𝑓_𝑛+ ∇𝑓_𝑛𝑢 +∇²𝑓_𝑛

2 (𝑢²+ 𝑢) +∇³𝑓_𝑛

6 (𝑢³+ 3𝑢²+ 2𝑢)] ℎ 𝑑𝑢

1

0

= 𝑦_𝑛 + ℎ (𝑓_𝑛𝑢 +1

2∇𝑓_𝑛𝑢²+∇²𝑓_𝑛 2 (1

3𝑢³+1

2𝑢²) +∇³𝑓_𝑛 6 (1

4𝑢⁴+ 𝑢³+ 𝑢²))|

0 1

= 𝑦_𝑛+ ℎ ((𝑓_𝑛+1

2∇𝑓_𝑛+∇²𝑓_𝑛 2 (1

3+1

2) +∇³𝑓_𝑛 6 (1

4+ 1 + 1)) − (0))

= 𝑦_𝑛+ ℎ (𝑓_𝑛+1

2∇𝑓_𝑛+∇²𝑓_𝑛 2 (5

6) +∇³𝑓_𝑛 6 (9

4))

= 𝑦_𝑛+ ℎ (𝑓_𝑛+1

2∇𝑓_𝑛+ 5

12∇²𝑓_𝑛+3

8∇³𝑓_𝑛) (2.9.5)

Persamaan diferensial pada titik selanjutnya adalah sebagai berikut:

𝑓_𝑛+1 = 𝑓_𝑛+1(𝑥_𝑛+1, 𝑦_𝑛+1^𝑝 ) (2.9.6)

Untuk mendapatkan rumus prediktor (𝑦_𝑛+1^𝑐 ) dilakukan substitusi interpolasi mundur Newton derajat tiga untuk 𝑦^′= 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) yang terdefinisi pada titik-titik 𝑥_𝑛+1, 𝑥_𝑛, 𝑥_𝑛−1, sehingga diperoleh rumus korektor (𝑦_𝑛+1^𝑐 ) sebagai berikut:

𝑦_𝑛+1^𝑝 = 𝑦_𝑛+ ∫ [𝑓_𝑛+∇𝑓_𝑛+1

1! ℎ (𝑥 − 𝑥_𝑛+1)

𝑥𝑛+1

𝑥𝑛

+ ∇²𝑓_𝑛

2! ℎ²(𝑥 − 𝑥_𝑛+1)(𝑥 − 𝑥_𝑛) + ∇³𝑓_𝑛

3! ℎ³(𝑥 − 𝑥_𝑛+1)(𝑥 − 𝑥_𝑛)(𝑥 − 𝑥_𝑛−1)] 𝑑𝑥

(2.9.7)

Untuk menyederhanakan integral pada persamaan (2.9.7), maka didefinisikan peubah:

𝑢 =(𝑥 − 𝑥_𝑛+1)

ℎ , 𝑑𝑢 =𝑑𝑥

ℎ , ℎ = 𝑥_𝑛+𝑖− 𝑥_{𝑛+𝑖−1}

Jika 𝑥 = 𝑥_𝑛 maka 𝑢 =^{𝑥𝑛−𝑥𝑛+1}

ℎ = ^−ℎ

ℎ = ℎ, dan jika 𝑥 = 𝑥_𝑛+1 maka 𝑢 =

𝑥𝑛+1−𝑥𝑛+1

ℎ =⁰

ℎ= 0, sehingga persamaan (2.9.7) diintegralkan dari −1 sampai 0 terhadap 𝑢, dengan demikian menjadi:

𝑦_𝑛+1^𝑐 = 𝑦_𝑛 + ∫ [𝑓_𝑛+1+ ∇𝑓_𝑛+1𝑢 +∇²𝑓_𝑛+1

2 𝑢(𝑢 + 1)

0

−1

+∇³𝑓_𝑛+1

6 𝑢 (𝑢 + 1) (𝑢 + 2)] ℎ 𝑑𝑢

(2.9.8)

Selanjutnya akan diselesaikan integral pada persamaan (2.9.8) untuk mendapatkan rumus korektor Adams-Moulton sebagai berikut:

𝑦_𝑛+1^𝑝 = 𝑦_𝑛+ ∫ [𝑓_𝑛+1+ ∇𝑓_𝑛+1𝑢 +∇²𝑓𝑛+1

2 (𝑢²+ 𝑢) +∇³𝑓𝑛+1

6 (𝑢³+ 3𝑢²+ 2𝑢)] ℎ 𝑑𝑢

1

0

= 𝑦_𝑛+1+ ℎ (𝑓_𝑛+1𝑢 +1

2∇𝑓_𝑛+1𝑢²+∇²𝑓𝑛+1

2 (1 3𝑢³+1

2𝑢²) +∇³𝑓𝑛+1

6 (1

4𝑢⁴+ 𝑢³+ 𝑢²))|

0 1

= 𝑦𝑛+ ℎ ((0) − (−𝑓𝑛+1+1

2∇𝑓𝑛+1+∇²𝑓_𝑛+1 2 (−1

3+1

2) +∇³𝑓_𝑛 6 (1

4− 1 + 1)))

= 𝑦_𝑛+ ℎ (𝑓_𝑛+1−1

2∇𝑓_𝑛+1−∇²𝑓_𝑛+1 2 (1

6) −∇³𝑓_𝑛+1 6 (1

4))

= 𝑦_𝑛+ ℎ (𝑓_𝑛+1−1

2∇𝑓_𝑛+1− 1

12∇²𝑓_𝑛+1− 1

24∇³𝑓_𝑛+1) (2.9.9)

Definisi mengenai operator selisih mundur derajat-𝑘 adalah sebagai berikut (Kreyszig, 2006):

∇𝑓_𝑛 = 𝑓_𝑛− 𝑓_𝑛−1

∇²𝑓_𝑛 = ∇𝑓_𝑛− ∇𝑓_𝑛−1