KAJIAN BANDWIDTH OPTIMAL PADA PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK SURASNO

(1)

KAJIAN BANDWIDTH OPTIMAL

PADA PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK

SURASNO

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(2)

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Kajian Bandwidth Optimal Pada Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum disajikan dalam bentuk apapun ke perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Nopember 2009

Surasno G551070351

(3)

ABSTRACT

SURASNO. A study of the optimal bandwidth in estimation of the local intensity function of a periodic Poisson process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI

Periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. In many applications, it is needed to find estimators for the intensity function of a periodic Poisson process. In this thesis, bandwidths for the estimators of the local intensity function of a periodic Poisson process are discussed. The behavior of the estimator using optimal bandwidth and estimator using asymptotically optimal bandwidth are compared through Monte Carlo simulations. The results of the simulations show that the behavior of the two estimators are not much different. Finally, asymptotic distribution and confidence interval for the estimator using asymptotically optimal bandwidth of the local intensity function of a periodic Poisson process are discussed.

Keywords : periodic Poisson process, local intensity function, optimal bandwidth, asymptotic distribution, confidence interval

(4)

SURASNO. Kajian Bandwidth Optimal Pada Penduga Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI

Banyak fenomena yang dapat kita jumpai di kehidupan sehari – hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan – aturan peluang dan mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari – hari seperti proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.

Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukan juga bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson tersebut.

Pada karya ilmiah ini dikaji tentang bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik. Pada awalnya ditentukan penduga suatu fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. (dengan periode ? yang diketahui) dengan dengan pengamatan pada interval [0,n].

Penduga tipe kernel bagi ????, dirumuskan sebagai berikut:

??_{? ??}??? ? ?

? ?

?

??

?

? ? ?

? ? ?? ? ?? ? ???

?? ? ? ?? ??

?

? G

Pada penduga di atas, ?_? disebut bandwidth

Selanjutnya dibuktikan dan dirumuskan sifat – sifat statistika pend uga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, berupa aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, ragam dan MSE. Untuk memperoleh bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan MSE penduga fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik, dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya.

Disamping itu juga dibahas perilaku penduga dengan bandwidth optimal dan penduga denga n bandwidth optimal asimtotik, melalui simulasi Monte Carlo menggunakan program R. Dari hasil pengkajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil bahwa perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses poisson periodik dengan menggunakan bandwidth optimal dan bandwidth optimal asimtotik menunjukkan hasil yang tidak jauh berbeda. Pada bagian terakhir dibahas sebaran asimtotik dan selang kepercayaan penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwidth optimal asimtotik.

Sedangkan sifat-sifat statistika dari masing- masing penduga juga telah didapatkan rumusannya. Hasil simulasi kenormalan asimtotik (studentization) bagi _??_{? ??}^? _???menunjukkan bahwa sebaran dari penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik konvergen ke normal baku. Nilai peluang fungsi

(5)

intensitas lokal berada pada selang kepercayaan teoritis hampir sama dengan nilai peluangnya pada selang kepercayaan simulasi.

Kata kunci: proses Poisson periodik, fungsi intensitas, bandwidth optimal, bandwidth optimal asimtotik, selang kepercayaan.

(6)

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.

b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

(7)

PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2009 ini adalah Kajian Bandwidth Optimal Pada Penduga Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik. Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritikan membangun dari berbagai pihak. Terimakasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc dan Drs,Siswandi MS selaku pembimbing serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.selaku penguji yang banyak memberikan saran.

Demikian pula, penulis mengucapkan terimakasih kepada DEPAG RI yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terimakasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, istri dan anak-anak tercinta serta seluruh keluarga, atas doa dan kasih sayangnya. Kemudian kepada rekan-rekan seangkatan BUD II DEPAG RI dan kakak tingkat yang telah memberikan dorongan motivasi kepada penulis untuk belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana IPB..

Semoga Karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Nopember 2009 Surasno

(8)

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 Mei 1964 dari Bapak Djupan dan ibu Muhrimah. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara.

Tahun 1983 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Jakarta, melanjutkan kuliah di Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Syarif Hidayatullah Jakarta, mengambil program Sarjana Muda Fakultas Tarbiyah Tadris Matematika. Tahun 1988 mendapat SK CPNS sebagai guru di Madrasah Aliyah Negeri (MAN) 1 Purwokerto Filial (sekarang menjadi MAN Sumpiuh) Jawa Tengah. Tahun 2000 menyelesaikan program S1 di Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri (STAIN) Purwokerto Fakultas Tarbiyah jurusan Pendidikan Agama Islam. Pada tahun yang sama lulus seleksi Program Penyetaraan Universitas Negeri Semarang pada Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, mendapat beasiswa DMAP Departemen Agama Republik Indonesia dan lulus pada tahun 2003.

Pada tahun 2007 penulis lulus seleksi masuk Program Magister pada Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

(9)

KAJIAN BANDWIDTH OPTIMAL

PADA PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK

SURASNO

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada

Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2009

(10)

NRP : G551070351

Program Studi : Matematika Terapan

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Drs. Siswandi, M.S.

Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

Tanggal Ujian: 4 Nopember 2009 Tanggal Lulus:

(11)

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.

(12)

Halaman

I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Tujuan Penelitian ... 2

II TINJAUAN PUSTAKA ... 3

2.1. Proses Poisson Periodik ... 3

2.6. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 6

III REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK 8 3.1. Perumusan Penduga Fungsi Intensitas …..... 8

3.2. Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas ... 9

3.3. Pemilihan Bandwidth optimal…... 10

IV SIMULASI PEMBANDINGAN PRILAKU PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN DUGAAN BANDWIDTH DAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK 13 4.1 Simulasi dengan Bandwidth Optimal …..... 15

4.2 Simulasi dengan Bandwidth Optimal Asimtotik …..... 17

V PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK 21 5.1 Perumusan Penduga dan Sifat-sifat Statistikanya …..... 21

5.2 Sebaran Asimtotik bagi ??_{? ??}^? ??? …..... 22

5.3 Selang Kepercayaan Fungsi Intensitas Lokal dengan Penduga ??_{? ??}^? ??? g g 26 5.4 Simulasi Kenormalan Asimtotik bagi ??^?_{? ??}??? ^..... 27

5.5 Simulasi Selang Kepercayaan bagi ??^?_{? ??}??? ^..... 29

VI. KESIMPULAN …..... 31

DAFTAR PUSTAKA ... 34

LAMPIRAN ... 37

(13)

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 : Beberapa Definisi dan Lema Teknis ……….. 36

Lampiran 2 : Program Simulasi ……… 43

Lampiran 3 : Hasil simulasi dengan bandwidth optimal ………. 48

Lampiran 4 : Hasil simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik 53

Lampiran 5 : Hasil simulasi kenormalan asimtotik ………. 58

(14)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Banyak hal dalam kehidupan sehari- hari dapat dijelaskan dengan menggunakan kaidah-kaidah peluang. Dalam hal ini secara khusus, dengan proses stokastik dapat dimodelkan perilaku kejadian yang akan datang, misalnya untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik banyak digunakan untuk memodelkan fenomena pada berbagai bidang di antaranya bidang komunikasi, asuransi dan seismologi (Helmers et al. 2003).

Data yang diperoleh dari suatu kejadian kadang-kadang tidak dapat dijadikan pedoman untuk memperkirakan kejadian berikutnya, sehingga sulit untuk dianalisis untuk menghasilkan informasi yang penting. Ada beberapa pendekatan di dalam menganalisis data jenis ini, bisa menggunakan pendekatan parametrik dan non parametrik. Pendekatan parametrik, akan mudah digunakan bila suatu data dapat dimodelkan secara sederhana, dan data mempunyai pola distribusi tertentu seperti yang sudah dikenal di dalam statistika. Tetapi bila data tersebut sulit untuk dimodelkan dan tidak diketahui distribusi apa yang harus digunakan, maka dapat menggunakan suatu pendekatan non parametrik.

Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal ?(s) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s.

Dalam penerapannya diperlukan penduga bagi fungsi intensitas dari suatu proses Poisson periodik, di antaranya penduga bagi fungsi intensitas global maupun fungsi intensitas lokal. Pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik telah diteliti pada Helmers et al. (2003, 2005).

(15)

2

Pada penelitian ini dibahas kajian bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian yang dilakukan adalah

1) Mereview sifat-sifat statistik dan penentuan bandwidth optimal dari penduga fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik.

2) Melakukan simulasi Monte Carlo untuk membandingkan perilaku penduga dengan dugaan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik.

3) Menentukan kenormalan asimtotik dan selang kepercayaan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik.

(16)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 : Proses stokastik

Proses stokastik X={X(t), t∈T} adalah suatu himpunan dari peubah acak X(t) yang memetakan suatu ruang contoh p ke suatu ruang state S.

(Ross, 2007) Dengan demikian, X(t) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut sebagai keadaan (state) dari proses pada waktu t. Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat juga berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya).

Definisi 2.2 : Proses stokastik dengan waktu kontinu

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval.

Definisi 2.3 : Inkreme n bebas

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t∈T} disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t₀ <t₁ <t₂ <...<t_n, peubah acak X(t₁)-X(t₀),

) (t₂

X -X(t₁),…,X(t_n)-X(t_n₋₁) adalah bebas.

(Ross, 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.

Definisi 2.4 : Inkremen stasioner

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t∈T} disebut memiliki inkremen stasioner jika ? ?? ? ?? ? ? ??? memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.

(Ross, 2007)

(17)

4

Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak bergant ung pada lokasi titik–titik tersebut.

Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, 8).

Definisi 2.5 : Proses pencacahan

Suatu proses stokastik {N(t), t=? } disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut.

(i) N(t) = 0 untuk semua t ? [0, 8).

(ii) Nilai N(t) adalah integer.

(iii)Jika s < t maka N(s ) = N(t), s,t ? [0, 8 ).

(iv) Untuk s < t maka N(t ) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s, t].

(Ross, 2007) Definisi 2.6 : Proses Poisson

Suatu proses pencacahan {N(t), t=0} disebut proses Poisson dengan laju ?, ?>0, jika dipenuhi tiga syarat berikut.

(i) N(0) = 0.

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii)Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan ?t. Jadi untuk semua t, s>0,

? ?? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?^{? ??}????^?

? K ? ? ? ? ?? ?? ?g

(Ross, 2007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa ? ?? ???? ? ?t, yang menjelaskan bahwa proses Poisson memiliki laju ?.

(18)

Definisi 2.7 : Proses Poisson homogen

Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju ? yang merupakan konstanta untuk semua waktu t.

(Ross, 2007)

Definisi 2.8 : Proses Poisson tak homogen

Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju pada sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu ?(t).

(Ross, 2007) Definisi 2.9 : Fungsi intensitas

Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t ? 0}, yaitu ?(t) disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t.

(Cressie, 1991) Definisi 2.10 : Intensitas lokal

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas

? pada titik s ? R adalah ?(s), yaitu nilai fungsi ? di s.

(Cressie, 1991) Definisi 2.11 : Fungsi intensitas global

Misalkan N([0, n]) adalah proses Poisson pada interval [0, n].

Fungsi intensitas global ? dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai

? ? ??•_{? ? ?} ? ? ??? ?? ??

? ?

jika limit di atas ada.

(Cressie, 1991) Definisi 2.12 : Fungsi periodik

Suatu fungsi ? disebut periodik jika

? ?? ? ? ?? ? ? ????

untuk semua ? ? ? dan k ? ? , dengan ? adalah himpunan bilangan bulat.

Konstanta terkecil ? yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi

? tersebut.

(Browder, 1996)

(19)

6

Definisi 2.13 : Proses Poisson periodik

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik.

(Cressie,1991)

2.4 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik

Fungsi intensitas dari suatu proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal (yang lebih sering hanya disebut fungsi intensitas) dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata – rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval dengan panjang menuju tak hingga.

Untuk menduga fungsi intensitas dapat digunakan pendekatan non parametrik (Diggle, 1985). Salah satu pendekatan non parametrik yang dapat digunakan adalah pendekatan fungsi kernel. Adapun hal ini karena fungsi intensitasnya tidak diketahui, sehingga untuk menduga bentuk fungsinya dapat didekati dengan fungsi penduga Kernel (Hardle, 1993).

Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan ?_? ? ? dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh ^?

??_? ? ??? ? ?_??? ? ?_???G Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut pada selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan ^?

? ? ??? ?? ??G

Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al. (2003, 2005)

(20)

telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan kekonsistenan dan sifat-sifat statistik a dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut.

Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas (lokal) proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Pada perkembangan berikutnya, setelah didapat rumusan penduga fungsi intensitas, dilanjutkan dengan pendugaan turunan pertama dan kedua oleh Syamsuri (2007).

Diperoleh rumusan baru yaitu penduga turunan pertama dan kedua terhadap fungsi intensitas proses poisson periodik, yang kemudian dilanjutkan oleh Herniwati (2007) dan Arifin (2008) . Herniwati mengkaji tentang kekonsistenan penduga, sedangkan Arifin mengkaji tentang sebaran asimtotik nya. Dalam kajiannya diperoleh hasil bahwa penduga turunan pertama fungsi intensitas bersifat konsisten dan memiliki sebaran normal, demikian halnya dengan turunan kedua. Tahun 2009, Eviliyanida melakukan kajian lanjutan, tetapi lebih mengkhususkan pada fungsi intensitas dengan tren linear. Ternyata, prilaku penduga yang dikaji memiliki kesamaan dalam hal kekonsistenan, kekonvergenan MSE maupun sifat-sifat statistiknya, baik tanpa tren maupun dengan tren linear.

Kajian tentang fungsi intensitas masih diperkaya lagi dengan penelitian oleh Surawu (2009) yang memfokuskan penelitian pada sebaran asimtotik bukan terhadap penduga fungsi, tetapi terhadap komponen periodik fungsi intensitas dengan tren linear. Dari kajiannya diperoleh hal yang hampir sama dengan peneliti-peneliti sebelumnya. Demikian juga dengan Hidayah (2009). Dengan penelitiannya diperoleh rumusan selang kepercayaan terhadap penduga fungsi intensitas. Disimpulkan juga bahwa penduga fungsi intensitas memiliki nilai peluang yang hampir sama pada selang kepercayaan, baik teoritis maupun simulasi. Penelitian dilanjutkan oleh Marthalena (2009) yang memperoleh rumusan penduga nonparametric bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda. Penduga tersebut juga memiliki prilaku yang hampir sama pula dengan prilaku penduga yang sebelumnya telah dikaji.

(21)

BAB III

REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA

FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK

3.1 Perumusan Penduga Fungsi Intensitas

Misalkan N adalah proses Poisson pada interval ?? ?? ? dengan fungsi intensitas ? (tidak diketahui) yang terintegralkan lokal. Diasumsikan bahwa ? adalah periodik dengan periode diketahui, yaitu ?. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari ?, kecuali asumsi bahwa ? adalah periodik. Karena ? adalah periodik maka untuk setiap titik ? ? ?? ?? ? dan untuk semua ? ? ? dengan ? adalah himpunan bilangan bulat, berlaku:

??? ? ? ?? ? ? ???G (3.1)

Misalkan bahwa untuk suatu ? ? p, hanya terdapat realisasi tunggal N (? ? dari proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang ?p? ? ?? ? dengan fungsi intensitas ? yang diamati hanya pada interval terbatas [0, n].

Diasumsikan juga bahwa s adalah titik Lebesgue dari ?, sehingga berlaku:

??•_{? ??} ?

? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ????^?

? ? ? ? ? ? G ??G? ?

Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesgue dari ? adalah fungsi ? kontinu di s.

Karena ? adalah periodik dengan periode ? maka untuk menduga ???? di titik

? ? ?? ?? ? cukup diduga nilai ???? pada ? ? ?? ???G

Misalkan K : ? ? ?? ?? ? merupakan fungsi yang bernilai real, dinamakan fungsi kernel yang memenuhi sifat-sifat berikut (Helmers et al., 2003) :

(K1) K adalah fungsi kepekatan peluang (K2) K terbatas

(K3) K terdefinisi pada daerah [-1,1].

Misalkan juga ?_? merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu:

?_? ? ? ? ??G? ?

untuk ? ? ? G

Penduga dari fungsi intensitas ? pada titik ? ? ?? ??? didefinisikan sebagai berikut:

(22)

??_{? ??}??? ? _?^? s _?^?

?

?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ??

?_? ? ? ?? ? ?

?

? G (3.4) Penduga yang didefinisikan pada (3.4) dinamakan penduga tipe kernel dari fungsi

intensitas lokal proses Poisson periodik.

Ide di balik perumusan penduga ??_{? ??}??? dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai fungsi???? di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu banyaknya kejadian pada interval [? ? ?_??? ? ?_? ], untuk

?_? ? ? . Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai : ^?

??_? ? ??? ? ?_? ?? ? ?_???. (3.5) Karena fungsi ? adalah periodik dengan periode ?, maka untuk menduga nilai fungsi ? ???dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s+k?, asalkan s+k? ? ?? ?? ?. Sehingga untuk setiap k? ? , nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai :

^?

??_? ? ??? ? ? ? ? ?_??? ? ? ? ? ?_??? ? ??????G (3.6) Banyaknya k sehingga ? ? ? ? ? ?? ?? ? adalah mendekati ^?_? . Jadi nilai rataan dari semua rataan di atas untuk semua k sehingga ? ? ? ? ? ?? ?? ? adalah

? ??? ? s ?

? ?_? ? ??? ? ? ? ? ?_??? ? ? ? ? ?_??? ? ???? ??

?? ? ?

? ??

= ^?

? s _?^?

? ?_?^? ^?_???? ? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?_??? ? ? ? ? ?_???? ????

?? ? ?

= ^?

? s _?^?

? ? ?_?^? _? ?? ? ??? ? ?

?_? ? ? ?? ? ?

?? ? ? (3.7)

dengan??? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ??•? ? ? ?? ? ?? ?

? ? ??•? ? ? ?? ? ?? ? dimana ?_?:=^?

???? ? ?? ? ?? ??G Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi (K1), (K2), dan (K3), sehingga diperoleh persamaan (3.4).

3.2 Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas

Sifat-sifat statistika penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode diketahui (Mangku, 2006) adalah sebagai berikut :

(23)

10

Teorema 3.1 : Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan ??_{? ??}???

Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua ?^?? berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), ?_? ? ? ?dan ? ?_?^? ? ? , maka

? ??_{? ??} ??? ? ?(s)+^?_??^??????_?^? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ? ? ? ??_?^?? , (3.8) jika n? ?

Bukti : (Lihat Mangku 2006)

Teorema 3. 2 : Aproksimasi asimtotik varians ??_{? ??}???

Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal , berhingga di s.

Jika kernel K adalah memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), ?_? ? ? maka

? ? ????_{? ??} ???? ? ^{?? ???}_{? ?}

? ? ? ^?????? ? ? ?_{? ?}^?

?? ?

?

? ? (3.9)

jika n? ? , asalkan s adalah titik Lebesgue dari ? Bukti: (Lihat Mangku 2006)

3.3 Pemilihan Bandwidth Optimal

Dalam penelitian ini, yang dimaksud bandwidth (?_?? adalah jarak antara titik s dengan titik terjauh yang disertakan dalam pendugaan fungsi intersitas di titik s, dimana ?_? ? ? dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t].

Penentuan bandwidth optimal diperlukan, agar pendugaan fungsi intensitas sedekat mungkin terhadap fungsi intensitasnya. Nilai optimum dari ?_? tergantung pada kriteria yang digunakan untuk mengukur akurasi dari ??_{? ??} ???. Kriteria yang bisa digunakan adalah mean square error (MSE) (Cressie, Hardle, 1991).

Untuk menduga bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan

? ?? ???_{? ??}????, dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya. Rumus umum yang digunakan adalah sebagai berikut :

? ?? ???_{? ??}???? ? ? ???_{? ??} ??? ? ?????^?G (3.10)

? ? ? ? ???_{? ??}???? ? ?? ??????_{? ??} ?????^?G (3.11) Dengan mensubstitusikan (3.8) dan (3.9) ke (3.11) diperoleh langkah- langkah sebagai berikut :

(24)

? ?? ???_{? ??}???? ? ^{?? ???}_{? ?}

? ? ?^?????? ? ? ?_{? ?}^?

??

?

? ? +?^?_??^??????^?^? ^{? ?}^{? ?}^? ^?^{? ?? ?? ?} ? ? ??_?^???

?

? ?? ???

? ?_? ? ? ^?????? ? ??

????????_?^? ? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

? ?

? ? ??

??^??????^?^? ^{? ?}^{? ?}^? ^?^{? ?? ?? ?}? ?? ??_?^??? ? ? ? ?

? ?_? ? ? ? ??_?^??

? ^{?? ???}_{? ?}

? ? ?_{? ?}^? ^?????? ? ?^?_????????_?^? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^? ? ? ?_{? ?}^?

?? ? ? ??_?^??,

jika ? ? . (3.12)

Selanjutnya ditentukan turunan pertama ? ?? ???_{? ??}???? terhadap ?_? sebagai berikut

?

? ?_? ?? ?? ???_{? ??}?????=

? ^{??? ???}_{? ?}

?? ? ?_{? ?}^? ^??????+ ? ?^?_? ???????_?^? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ?? ????????_? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??

=? ^{??? ???}_{? ?}

?? ? ?_{? ?}^? ^?????? ? ?_? ????????_? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^?G (3.13) Agar ? ?? ???_{? ??}???? minimum maka turunan pertamanya sama dengan 0, sehingga diperoleh sebagai berikut :

?

? ?_? ?? ?? ???_{? ??}????? ? ?.

? ? ?????

? ?_?^? ? ?^? ^??????

? ? ? ?_? ? ???????_? ? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

?

? ?

?_? ? ???????_? ? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

?

? ? ?? ???

? ?_?^? ? ?^? ^??????

? ?

?_?^? ? ?????? ? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

?

? ?

?_?^?

? ?? ???

? ? ?^? ^??????

? ?

?_?^??_?^? ? ?????? ? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

?

? ? ?? ???

? ? ?^? ^??????

? ?

?_?^? ? ?^?????? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

?

? ? ?? ???

? ? ?^? ^??????

? ?

(25)

12

?_?^? ?

? ?? ???

? ? ?_{? ?}^? ^??????

??^?????? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^?

?_? ? ? ? ?? ??? ? ?_{? ?}^? ^??????

? ??^?????? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^??

???

?_? ? ? ??? ??? ? ?_{? ?}^? ^??? ?? ?

??^????? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^??

???

?? ?^{? ???} G (3.14)

Selanjutnya untuk menentukan jenis optimumnya, ditentukan turunan kedua ? ?? ???_{? ??}???? terhadap ?_? sebagai berikut

?^?

? ?_?^? ?? ?? ???_{? ??}????? ? ? ^{??? ???}_{? ?}

?? ? ?_{? ?}^? ^?????? ? ????????_? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^? ?

??_? ????????_? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ?? ??????? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??

? ?^{??? ???}_{? ?}

?? ? ?_{? ?}^? ^?????? ? ????????_? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^? ?

? ????????_? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^?

? ^{??? ???}_{? ?}

?? ? ?_{? ?}^? ^?????? ? ? ????????_? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ??^?G (3.15) Dari (3.15) diketahui turunan kedua ? ?? ???_{? ??}???? terhadap ?_? bernilai positif, sehingga syarat ? ?? ???_{? ??}???? minimum terpenuhi. Dengan demikian diperoleh bandwidth optimal penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik.

(26)

BAB IV

SIMULASI PEMBANDINGAN PERILAKU PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL DAN BANDWIDTH OPTIMAL

ASIMTOTIK

Pada bagian ini dilakukan simulasi untuk membandingkan perilaku penduga dengan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu bandwidth yang nilainya sama dengan panjang interval pengamatan pangkat -1/5 atau ?_? ? ?? ?^{? ? ??}. Simulasi komputer dilakukan dengan menggunakan program R dalam membangkitkan realisasi proses Poisson periodik, dengan ukuran sampel yang terbatas. Dalam simulasi ini digunakan fungsi intensitas

???? ? ? ??? ?? ???^{?? ?}_? ? ? ?? (4.1) Dipilih A = 2, ? ? ? ? ? ? ? ??•? ? , dan ? ? ? . Dengan pemilihan parameter- parameter tersebut, maka fungsi intensitas (4.1) menjadi

???? ? ? ??? ? ???^{?? ?}_? ?? untuk ? ? ? ? ??• (4.2)

???? ? ? ??? ? ???^{?? ?}_?? ?? untuk ? ? ? ? . (4.3)

Gambar 1. Grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan (4.2)

s

? ???

(27)

14

Gambar 2. Grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan (4.3)

Pada simulasi untuk membandingkan perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik ini digunakan metode Monte Carlo untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson periodik tersebut. Pembangkitan realisasi ini dilakukan pada interval [0, n] serta dipilih n = 100, n = 500, dan n = 1000.

Penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik yang digunakan adalah penduga yang didefinisikan pada persamaan (3.4) dengan fungsi kernel

? ? ^?_? ???? ? ?? ??, yang dapat ditulis sebagai

??_???? ? ?

? ? ? ??? ? ? ? ? ?_??? ? ? ? ? ?_?? ? ??????

? ?_?

?

? ? ?

G ?? G? ?

Pendugaan ? pada simulasi ini dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 2.6 (mewakili nilai ? ??? yang kecil), di s = 4 (mewakili nilai ???? yang sedang), dan di s = 4.9 (mewakili nilai ? ??? yang besar) dengan periode ? ? ?.

Sedangkan pendugaan ? untuk periode ? ? ? ? dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 5.2 (mewakili nilai ? ??? yang kecil), di s = 8 (mewakili nilai ? ??? yang sedang), dan di s = 9.8 (mewakili nilai ???? yang besar) .

Untuk kernel K yang merupakan fungsi kepekatan peluang seragam pada interval [-1,1]:

? ?_{? ?}^? ^?????? ? ^?_? ??• ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ? ? ^?_? ? (4.5) yang akan digunakan untuk aplikasi (3.8) dan (3.9).

? ???

s

(28)

Sehingga pendekatan asimtotik bagi nilai harapan penduga, berdasarkan Teorema 3.1, diperoleh

? ??_???? ? ???? ? ?

??^??????_?^? ? ? ??_?^?? ?? G? ? serta

? ??????_????? ? ^?_??^??????_?^? ? ? ??_?^?? ?? G? ? untuk ? ? ? .

Sedangkan pendekatan asimtotik bagi varian penduga, berdasarkan Teorema 3.2, diperoleh

? ? ? ???_????? ? ?? ???

? ? ?_? ? ? ? ?

? ?_?? ?? G? ?

jika ? ? ? . (Mangku, 2006)

4.1 Simulasi dengan bandwidth optimal

Analog dengan (3.34) , tetapi menggunakan kernel seragam ? ? ^?_????? ? ?? ??, diperoleh bandwith optimal dengan rumus

?_? ? ? ? ?? ???

?? ?^??????^??

???

?? ?^{? ? ??} G ?? G? ?

Selanjutnya dari (4.2) dan (4.3) diperoleh turunan kedua dari fungsi intensitas sebagai berikut

?^????? ? ? ?G???^???? ? ????? ? ?

? ?? ????? ? ?

? ?

? ? G? ? ?^???? ? ????? ? ?

? ?? ? ??• ?? ? ?

? ??

?

G ?? G? ? ?

dan

?^????? ? ? ?G???^???? ? ????? ? ?

? ? ?? ????? ? ?

? ? ?

? ? G? ? ?^???? ? ??? ?? ? ?

? ? ?? ? ??• ?? ? ?

? ? ??

?

G ?? G? ? ?

Dengan menggunakan nilai ? ??? dan ?????? yang sebenarnya dan nilai n yang dipilih, yaitu 100, 500, dan 1000 maka diperoleh nilai bandwidth optimal (4.9).

Pendugaan pada setiap titik untuk tiap kasus diulang sebanyak M = 1000 kali.

(29)

16

Hasil yang diperoleh dari simulasi disajikan dalam Tabel 1, berikut ini :

Tabel 1. Hasil simulasi dengan bandwidth optimal (M=1000)

tau titik n ?_? ^{? ??}???? ? ? ? ???_????? ? ??? ???_????? ? ? ? ???^{? ??}????

5

2.6

100 0.65416 0.79801 0.03170 0.05643 0.03488 500 0.47412 0.77618 0.00794 0.03460 0.00914 1000 0.41275 0.77087 0.00469 0.02929 0.00555

4

100 0.62240 2.70412 0.11328 -0.02005 0.11368 500 0.45110 2.77635 0.03093 0.05218 0.03365 1000 0.39271 2.76702 0.01759 0.04285 0.01942

4.9

100 0.44549 4.87123 0.26101 -0.52264 0.53416 500 0.32288 5.20310 0.08198 -0.19077 0.11837 1000 0.28108 5.26948 0.04924 -0.12438 0.06471

10 5.2

100 1.30832 0.74917 0.02837 0.00759 0.02843 500 0.94824 0.77015 0.00782 0.02857 0.00864 1000 0.82549 0.77115 0.00495 0.02957 0.00582

8

100 1.24481 2.58490 0.09830 -0.13927 0.11769 500 0.90221 2.73756 0.03003 0.01339 0.03021 1000 0.78542 2.75578 0.01851 0.03161 0.01951

9.8

100 0.89098 4.61606 0.24544 -0.77781 0.85042 500 0.64576 5.15380 0.06768 -0.24006 0.12531 1000 0.56217 5.23885 0.04693 -0.15501 0.07096

Semakin kecil nilai ? ?? ???_{? ??}???? berarti penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik semakin baik. Dari hasil simulasi dengan bandwidth optimal, diperoleh bahwa MSE terkecil terdapat pada ? ? ? , s =2.6, dan n=1000, juga pada ? ? ? , s =5.2, dan n=1000, yaitu ? ?? ???_{? ??}???? ? ?G???. Secara umum dapat dikatakan bahwa semakin besar n pada setiap titik, diperoleh nilai

? ?? ???_{? ??} ???? semakin kecil. Hal ini dikarenakan pada setiap titik, jika n

(30)

semakin besar maka data yang digunakan semakin banyak, sehingga menyebabkan nilai ? ?? ???_{? ??}???? semakin kecil.

4.2 Simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik.

Pada simulasi ini digunakan bandwidth sama dengan panjang interval pengamatan pangkat -1/5 atau dapat dinyatakan dengan ?_? ? ?? ?^{? ???}, yang disebut bandwidth optimal asimtotik. Periode ? untuk ? tetap sama dan dilakukan pada tiga titik yang sama pula dengan simulasi yang menggunakan bandwidth optimal. Pendugaan pada setiap titik untuk setiap kasus diulang sebanyak M=1000 kali.

Hasil yang diperoleh dari simulasi disajikan pada Tabel 2 berikut ini :

Tabel 2. Hasil simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik (M=1000)

tau titik n ?_? ? ??_???? ??? ???_???? ^???????^????? ? ? ? ???_{? ??}????

5 2.6

100 0.39811 0.73554 0.04514 -0.00604 0.04517 500 0.28854 0.74097 0.01349 -0.00061 0.01349 1000 0.25119 0.75219 0.00766 0.01061 0.00777

4

100 0.39811 2.66656 0.16522 -0.05762 0.16854 500 0.28854 2.73569 0.04783 0.01152 0.04796 1000 0.25119 2.73696 0.02691 0.01279 0.02708

4.9

100 0.39811 4.90477 0.26842 -0.48909 0.50763 500 0.28854 5.23245 0.09875 -0.16142 0.12481 1000 0.25119 5.28154 0.05206 -0.11232 0.06468

10 5.2

100 0.39811 0.68009 0.08768 -0.06149 0.09146 500 0.28854 0.73432 0.02228 -0.00727 0.02234 1000 0.25119 0.73821 0.01494 -0.00337 0.01495

8

100 0.39811 2.45901 0.28194 -0.26516 0.35225 500 0.28854 2.67575 0.08927 -0.04842 0.09162 1000 0.25119 2.69773 0.05321 -0.02644 0.05390

(31)

18

9.8

100 0.39811 4.81428 0.60367 -0.57958 0.93958 500 0.28854 5.24856 0.18376 -0.14530 0.20488 1000 0.25119 5.32890 0.10700 -0.06496 0.11122

Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa MSE terkecil terdapat pada ? ? ? , s =2.6, dan n=1000, yaitu ? ?? ???_{? ??} ???? ? ?G???. Sebagaimana yang dihasilkan pada 4.1, menunjukkan bahwa nilai ? ?? ???_{? ??}???? semakin kecil dengan semakin besarnya nilai n pada setiap titik. Hal ini juga dikarenakan pada setiap titik, jika n semakin besar maka data yang digunakan semakin banyak, sehingga memperkecil nilai ? ?? ???_{? ??} ????G

Perbandingan nilai ? ?? dari penduga dengan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik disajikan pada Tabel 3, Tabel 4, dan Tabel 5

Tabel 3. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 100

n tau titik indeks ^{? ? ? ???}^{? ??}^????

optimal (1)

? ? ? ???? ??????

asimtotik (2) (1) - (2)

100

5

2.6 1 0.03488 0.04517 ^-0.01029

4 2 0.11368 0.16854 -0.05486

4.9 3 0.53416 0.50763 0.02653

10

5.2 4 0.02843 0.09146 ^-0.06303

8 5 0.11769 0.35225 -0.23455

9.8 6 0.85042 0.93958 -0.08916

optimal (1)

? ? ? ???_{? ??}????

asimtotik (2) (1) - (2)

500

5

2.6 1 0.00914 0.01349 -0.00435

4 2 0.03365 0.04796 -0.01431

4.9 3 0.11837 0.12481 -0.00643

10

5.2 4 0.00864 0.02234 -0.01369

8 5 0.03021 0.09162 -0.06141

9.8 6 0.12531 0.20488 -0.07957

(32)

optimal (1)

? ? ? ???_{? ??}????

asimtotik (2) (1) - (2)

1000

5

2.6 1 0.00555 0.00777 -0.00222

4 2 0.01942 0.02708 -0.00765

4.9 3 0.06471 0.06468 0.00004

10

5.2 4 0.00582 0.01495 -0.00913

8 5 0.01951 0.0539 -0.03440

9.8 6 0.07096 0.11122 -0.04026

Perbandingan MSE tersebut diilustrasikan dengan gambar berikut :

Gambar 3. Grafik perbandingan MSE pada n = 100

Gambar 4. Grafik perbandingan MSE pada n = 500 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

1 2 3 4 5 6

optimal asimtotik

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

1 2 3 4 5 6

optimal asimtotik

MSE

indeks

MSE

indeks

(33)

20

Gambar 5. Grafik perbandingan MSE pada n = 1000

Dari tabel dan grafik di atas dapat disimpulkan bahwa kedua jenis penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik memiliki MSE yang relatif sama, baik menggunakan bandwidth optimal maupun bandwidth optimal asimtotik.

Maka pada bab berikutnya dibahas pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwith optimal asimtotik.

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12

1 2 3 4 5 6

optimal asimtotik

MSE

indeks

(34)

BAB V

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK

DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK

5.1 Perumusan Penduga dan Sifat-sifat Statistikanya

Pada bagian ini dibahas pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu ?_? ? ?? ?^{? ? ??}. Dengan mensubstitusi bandwidth tersebut pada (3.4) diperoleh :

??_{? ??}^? ??? ? _?^? s^?_{? ? ?} _{?? ?}^?_{? ???} ? ? ?? ? ??? ? ??

?? ?^{? ???} ? ? ?? ? ?

?

? G

? _{?? ?}^?_???s ? ? ?? ? ??? ? ??

?? ?^{? ???} ? ? ?? ? ?

?

? ?

? ? ? G (5.1)

Pembuktian persamaan (5.1) analog dengan pembahasan pada bab III.

Berdasarkan pembahasan pada bab III, sifat-sifat statistik penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik adalah sebagai berikut :

Berdasarkan Teorema 3.1 dengan ?_? ? ?? ?^{? ???} diperoleh hasil berikut : Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua ?^?? berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), maka dari (3.12) diperoleh :

? ??^?_{? ??} ??? ? ?(s)+^?_??^????????^{? ? ??}? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ? ? ? ??? ?^{? ???}?, (5.2) jika n? ? .

Pembuktian (5.2) analog dengan pembuktian (3.12) pada bab III.

Sehingga diperoleh juga

Bias???^?_{? ??}???? ? ^?_? ?^????????^{? ???} ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ? ? ? ??? ?^{? ???}? (5.3) jika n? ? .

Berdasarkan Teorema 3.2 dengan ?_? ? ?? ?^{? ???} diperoleh hasil berikut : Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal , berhingga di s.

Jika kernel K adalah memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), maka dari (3.13) diperoleh :

? ? ? ???_{? ??}^? ???? ? _{?? ?}^{?? ???}_{? ??} ? ?_{? ?}^? ^??? ?? ? ? ? ?_{?? ?}^?_???? (5.4)

(35)

22

jika n? ? , asalkan s adalah titik Lebesgue dari ?.

Sebagaimana (3.15) untuk menghitung MSE menggunakan rumus :

? ?? ???_{? ??} ???? ? ? ? ? ???_{? ??}???? ? ?? ??????_{? ??} ?????^?G Dengan mensubstitusikan (5.5) dan (5.6) diperoleh sebagai berikut :

? ?? ???^?_{? ??} ???? ? ?? ???

?? ?^???? ?^? ^??? ?

? ? ? ? ? ? ?

?? ?^????

? ??

??^????????^{? ? ??} ? ?^? ^?? ?? ?? ? ? ? ??? ?^{? ? ??}?

? ? ?

?

? ?? ???

?? ?^??? ? ?^? ^??? ?

? ? ? ? ??

??^????????^{? ???}? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

?

? ? ??

??^????????^{? ???} ? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ? ? ??? ?^{? ? ??}?

? ?? ??? ?^{? ???}??^? ? ? ? ?

?? ?^????

? ?? ???

?? ?^???? ?^? ^??? ?

? ? ? ? ??

??^????????^{? ? ??} ? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

?

? ?? ??? ?^{? ???}??^? ? ? ? ?

?? ?^????

? ??? ??? ? ?^? ^????

? ? ? ? ?

?????????^? ? ? ?^? ^?? ?? ?? ?

? ? ?

?

? ?? ?^{? ? ??}

? ???? ?^{? ???}?? ??G??

untuk n? ?

5.2 Sebaran Asimtotik bagi ??_{? ??}^? ???

Teorema 5.1 (Kenormalan asimtotik bagi ??_{? ??}^? ????

Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua ??? berhingga di s. Misalkan pula kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), maka

?? ?^??? ???_{? ??}^? ??? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?^? ^??? ??G? ?

(36)

jika ? ? ? ? dengan

? ? ^?_??^????? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ?

?^? ? ?? ??? ? ?_{? ?}^? ^??????G Bukti :

Untuk membuktikan Teorema 5.1, ruas kiri pada (5.6) dapat ditulis dalam bentuk :

?? ?^??? ???^?_{? ??}??? ? ????? ? ???^???????_{? ??}^? ??? ? ???_{? ??}^? ???? ? ?? ??^?_{? ??} ??? ? ??????

? ?? ?^{? ??}???^?_{? ??} ??? ? ? ??^?_{? ??}???? ? ? ???^????? ??^?_{? ??}??? ? ?????G (5.7)

Sehingga, untuk membuktikan (5.6) cukup ditunjukkan

?? ?^??? ???^?_{? ??}??? ? ? ??^?_{? ??}????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?^? ^?? (5.8) dan

?? ?^????? ??^?_{? ??}??? ? ????? ? ^?_??^????? ? ?_{? ?}^? ^?? ?? ?? ? ? (5.9) jika ? ? ? G

Terlebih dahulu dibuktikan (5.8) yang ruas kirinya dapat dinyatakan dalam bentuk :

?? ?^???? ? ? ? ???^?_{? ??}???? ?^??^{? ??}^? ^{???? ? ??}^{? ??}^? ^???

? ? ? ? ???_{? ??}^? ???? ? G (5.10)

Sehingga untuk membuktikan (5.8), akan ditunjukkan

?^??^{? ??}^? ^{???? ? ??}^{? ??}^? ^???

? ? ? ? ???_{? ??}^? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?G ^? (5.11) dan

?? ?^???? ? ? ? ???^?_{? ??} ???? ? ? ????? ? ?_{? ?}^? ^??????? (5.12) jika ? ? ? G

Bukti dari (5.11) adalah sebagai berikut : Misalkan untuk setiap k = 0,1,2,…

?_? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?

?? ?^{? ???} ?

?

? ? ?? ? ?G

(37)

24

Untuk ? ? ? dan setiap ? ? ? interval ?? ? ? ? ? ?? ?^{? ? ??}?? ? ? ? ? ?? ?^{? ? ??}? dan

?? ? ?? ? ?? ?^{? ? ??}?? ? ?? ? ?? ?^{? ???}? adalah saling lepas. Hal ini mengakibatkan untuk setiap ? ? ?? peubah acak ?_? dan ?_? adalah saling lepas. Selanjutnya diperoleh bahwa ??_??, k = 0,1,2,… adalah barisan dari peubah acak yang memenuhi i.i.d (independent and identically distributed), dengan nilai harapan

? ?_? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?

?? ?^{? ???} ?

?

? ? ????? ? ??

dan varian

? ? ???_?? ? ? ? ^? ?? ? ?? ? ? ?

?? ?^{? ???} ?

?

? ? ????? ? ??

yang berhingga, karena kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi [-1,1].

Sehingga penduga ??^?_{? ??} ??? dapat dinyatakan dengan

??^?_{? ??}??? ? ?

???^?^?? ?_?

?

? ? ?

merupakan jumlah peubah acak i.i.d dikalikan dengan suatu konstanta.

Dengan menggunakan Teorema Limit Pusat dapat diperoleh (5.11).

Untuk membuktikan (5.12), terlebih dahulu ruas kirinya dinyatakan sebagai berikut :

? ?? ?^???? ? ? ???^?_{? ??}????

Selanjutnya dengan menggunakan (5.4) persamaannya menjadi :

? ?? ?^{? ??} ??? ???

?? ?^??? ? ?^? ^??? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

?? ?^{? ??}?? ? ? ?? ??? ? ?^? ^????

? ? ? ? ? ? ?? ? untuk ? ? ? ? maka diperoleh (5.12).

Selanjutnya untuk membuktikan (5.9), dengan menggunakan (5.2), ruas kiri pada (5.9) dapat dinyatakan dengan

?? ?^??? ?? ??_{? ??}^? ??? ? ?????

? ?? ?^??? ? ???? ? ?

??^????????^{? ??} ? ?^? ^?? ?? ?? ? ? ? ??? ?^{? ??}?

? ? ? ? ????

? ?? ?^{? ??}??

? ?^????????^{? ??}? ?^? ^?? ?? ?? ? ? ? ??? ?^{? ??}?

? ? ?

(38)

? ?? ?^{? ??}??

? ?^????????^{? ???}? ?^? ^?? ?? ?? ? ? ? ??? ?^{? ? ??}?

? ? ?

? ??

??^????? ? ?^? ^?? ?? ?? ? ? ? ?? ?

? ? ?

untuk ? ? ? ? maka diperoleh (5.9).

Dengan demikian Teorema 5.1 terbukti.

Teorema 5.2 (Kenormalan asimtotik (Studentization) bagi ??_{? ??}^? ????

Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua ?? berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2),(K3), maka berlaku

?? ?^{? ??}

? ???^?_{? ??} ??? ? ?_{? ?}^? ^??? ?? ?

???^?_{? ??}??? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??^? ?? G? ? ?

Bukti :

Untuk membuktikan (5.13), akan ditunjukkan bahwa

? ??^?_{? ??}???

? ????

? ? ?? ?? G? ? ?

jika ? ? ? G

Jika kedua ruas (5.14) dikuadratkan maka diperoleh

?

? ? ??_{? ??}^? ???