BAB IV. METODE SIMPLEKS
• Penentuan solusi optimal menggunakan simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan.
• Penentuan solusi optimal dilakukan dengan memeriksa titik ekstrim (ingat kembali solusi grafik) satu per satu dengan cara perhitungan iteratif.
• Sehingga penentuan solusi optimal dengan simpleks dilakukan tahap demi tahap yang kita sebut dengan iterasi.
• Iterasi ke-i hanya tergantung dari iterasi sebelumnya (i-1).
• Ada beberapa istilah yang sangat sering kita gunakan dalam metode simpleks, diantaranya iterasi, variabel non basis, variabel basis, solusi atau nilai kanan, variabel slack, variabel surplus, variabel buatan, kolom pivot, baris pivot, elemen pivot, variabel masuk, variabel keluar. Semua istilah ini harus anda ingat baik-baik, karena akan selalu digunakan dalam riset operasional.
BENTUK BAKU
Ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku/standar, yaitu:
1. fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu variabel slack.
2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu variabel surplus.
3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu artificial variable (variabel buatan).
Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2 Kendala: x1 + x2 = 90 0.001x1 + 0.002x2 ≤ 0.9 0.09x1 + 0.6x2 ≥ 27 0.02x1 + 0.06x2 ≤ 4.5 x1, x2 ≥ 0
Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman linearnya. Kedalam bentuk baku/standar, model matematik tersebut akan berubah menjadi:
Minimumkan z = 2 x1 + 5.5 x2 Terhadap: x1 + x2 + s1 = 90 0.001x1 + 0.002x2 + s2 = 0.9 0.09x1 + 0.6x2 - s3 = 27 0.02x1 + 0.06x2 + s4 = 4.5 x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0
Fungsi kendala pertama mendapatkan variabel buatan (s1), karena bentuk
umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan keempat (s2 dan s4) mendapatkan variabel slack karena bentuk
umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan surplus variabel (s3) karena bentuk umumnya
menggunakan pertidaksamaan ≥.. Perhatikan juga kasus berikut:
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2
10x1 + 5x2 ≤ 600
6x1 + 20x2 ≤ 600
8x1 + 15x2 ≤ 600
x1, x2 ≥ 0
Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum. Perubahan kedalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya. Maka bentuk bakunya adalah sebagai berikut:
Maksimumkan z = 2x1 + 3x2 + 0s1 +0s2 + 0s3 Terhadap : 10x1 + 5x2 + s1 = 600 6x1 + 20x2 + s2 = 600 8x1 + 15x2 + s3 = 600 x1, x2, s1, s2, s3 ≥ 0
s1, s2, s3 oleh karenanya merupakan variabel slack.
PEMBENTUKAN TABEL SIMPLEKS
Gunakan kasus di atas, maka tabel awal simpleksnya adalah :
VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi z -2 -3 0 0 0 0 S1 10 5 1 0 0 600 S2 6 20 0 1 0 600 S3 8 15 0 0 1 600
LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN
Langkah-langkah penyelesaian adalah sebagai berikut:
1. Periksa apakah tabel layak atau tidak. Kelayakan tabel simpleks dilihat dari solusi (nilai kanan). Jika solusi ada yang bernilai negatif, maka tabel tidak layak. Tabel yang tidak layak tidak dapat diteruskan untuk dioptimalkan.
2. Tentukan kolom pivot. Penentuan kolom pivot dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai di sebelah kanan baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Jika tujuan berupa maksimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien negatif terbesar. Jika tujuan minimisasi, maka kolom pivot adalah kolom dengan koefisien positif terkecil. Perhatikan, kita tidak menggunakan kata-kata nilai terkecil dan terbesar, karena kita memang tidak memilih nilai terkecil dan terbesar. Jika kolom pivot ditandai dan ditarik ke atas, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika nilai negatif terbesar (untuk tujuan maksimisasi) atau positif terbesar (untuk tujuan minimisasi) lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
3. Tentukan baris pivot. Baris pivot ditentukan setelah membagi nilai solusi dengan nilai kolom pivot yang bersesuaian (nilai yang terletak dalam satu baris). Dalam hal ini, nilai negatif dan 0 pada kolom pivot tidak diperhatikan, artinya tidak ikut menjadi pembagi. Baris pivot adalah baris dengan rasio pembagian terkecil. Perhatikan, rasio pembagian tidak mungkin bernilai negatif, karena nilai kanan tidak negatif demikian juga dengan nilai kolom pivot. Jika baris pivot ditandai dan ditarik ke kiri, maka kita akan mendapatkan variabel keluar. Jika rasio pembagian terkecil lebih dari satu, pilih salah satu secara sembarang.
4. Tentukan elemen pivot. Elemen pivot merupakan nilai yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot.
5. Bentuk tabel simpleks baru. Tabel simpleks baru dibentuk dengan pertama sekali menghitung nilai baris pivot baru. Baris pivot baru adalah baris pivot lama dibagi dengan elemen pivot. Baris baru lainnya merupakan pengurangan nilai kolom pivot baris yang bersangkutan dikali baris pivot baru dalam satu kolom terhadap baris lamanya yang terletak dalam satu kolom juga.
6. Periksa apakah tabel sudah optimal. Keoptimalan tabel dilihat dari koefisien fungsi tujuan (nilai pada baris z) dan tergantung dari bentuk tujuan. Untuk tujuan maksimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah positif atau 0. Pada tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua nilai pada baris z sudah negatif atau 0. Jika belum, kembali ke langkah no.2, jika sudah optimal baca solusi optimalnya.
Kita selesaikan kasus di atas. Iterasi 0 (tabel awal simpleks).
VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi rasio
z -2 -3 0 0 0 0 -
S1 10 5 1 0 0 600 600/5=120
S2 6 20 0 1 0 600 600/20=30
S3 8 15 0 0 1 600 600/15=40
X2 adalah variabel masuk dan s2 adalah variabel keluar. Elemen pivot
adalah 20. Iterasi 1
VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi Rasio
z -11/10 0 0 3/20 0 90 -
S1 8.5 0 1 -1/4 0 450 52.9
X2 3/10 1 0 1/20 0 30 100
S3 3.5 0 0 -¾ 1 150 42.857
Perhitungan kita lanjutkan ke iterasi 2.
Variabel masuk adalah x1 dan variabel keluar adalah s3.
Iterasi-2 VB X1 X2 S1 S2 S3 Solusi z 0 0 0 9/70 1/35 94.2857 S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155 X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329 X1 1 0 0 -3/14 2/7 42.857
Tabel sudah optimal, sehingga perhitungan iterasi dihentikan!
Membaca tabel optimal adalah bagian penting bagi pengambil keputusan. Ada beberapa hal yang bisa dibaca dari tabel optimal :
1. Solusi optimal variabel keputusan. 2. Status sumber daya.
3. Harga bayangan (dual/shadow prices). Menggunakan tabel optimal di atas:
VB X1 X2 S1 S2 S3 solusi
z 0 0 0 9/70 1/35 94.2857
S1 0 0 1 11/7 -17/7 85.7155
X2 0 1 0 8/70 -3/35 17.1329
Solusi optimal : x1 = 42.857; x2 = 17.1329 dan z = 94.2857, artinya untuk
mendapatkan keuntungan maksimum sebesar $94.2857, maka perusahaan sebaiknya memproduksi produk 1 sebesar 42.857 unit dan produk sebesar 17.1329 unit.
Status sumber daya : sumber daya pertama dilihat dari keberadaan
variabel basis awal dari setiap fungsi kendala pada tabel optimal. Dalam kasus di atas, fungsi kendala pertama periksa keberadaan s1 pada
variabel basis tabel optimal; periksa keberadaan s2 pada variabel basis
tabel optimal untuk fungsi kendala kedua; periksa keberadaan s3 pada
variabel basis tabel optimal untuk fungsi kendala ketiga.
¾ s1 = 85.7155. Sumber daya ini disebut berlebih (abundant)
¾ s2 = s3 = 0. Kedua sumber daya ini disebut habis terpakai (scarce).
Harga bayangan : harga bayangan dilihat dari koefisien variabel slack
atau surplus pada baris fungsi tujuan.
¾ koefisien s1 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 0, dengan
demikian harga bayangan sumber daya pertama adalah 0.
¾ Koefisien s2 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 9/70, dengan
demikian harga bayangan sumber daya kedua adalah 9/70.
¾ Koefisien s3 pada baris fungsi tujuan tabel optimal = 1/35, dengan
