ESTIMASI. Jika parameter populasi disimbolkan dengan θ maka θ yang tidak diketahui harganya ditaksir oleh harga

(1)

ESTIMASI

Salah satu aspek untuk menarik kesimpulan

mengenai suatu populasi dengan memakai sampel yang diambil dari populasi tersebut menggunakan estimasi (penaksiran)

Jika parameter populasi disimbolkan dengan θ maka

θ yang tidak diketahui harganya ditaksir oleh harga

yang dinamakan dengan estimator (penaksir)

θˆ

▸ Baca selengkapnya: jika dalam suatu populasi berjumlah 5000 orang diketahui 0 04

(2)

Ciri-ciri estimator / penaksir yang baik

1. Tak bias, jika rata-rata semua harga akan sama dengan θ, E( )= θ

2. Efisien, jika memiliki varians yang minimun 3. Konsisten, jika θ yang dihitung berdasarkan

sampel acak berukuran n semakin besar n menyebabkan mendekati _θˆ θ

θˆ

θˆ menyebabkan mendekati _θ θ θ θˆ n lim = ∞ → Contoh :

1. rata-rata dari distribusi sampling rata-rata maka rata-rata sampel penaksir tak bias

µ µ

x =

(3)

2. rata-rata dari dist sampling rata-rata, dan juga tetapi

sedemikian hingga dist rata-rata memiliki varians lebih kecil dari dist median sehingga rata-rata

sampel sebagai penaksir yang efisien

µ µ _Med = n σ σ_s =

n

σ

1.2533

σ

_Med

=

µ µ x =

(4)

CARA MENAKSIR

1. Interval Estimations (Interval taksiran)

dari penelitian dan perhitungan-perhitungan harga statistik suatu sampel, bisa dihitung suatu interval dimana dengan peluang tertentu, harga parameter yang hendak ditaksir terletak dalam interval tersebut (A < θ < B)

(A < θ < B)

2. Point Estimations (titik taksiran)

harga parameter hanya ditaksir dengan satu harga

(5)

Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisin

kepercayaan dengan 0 < γ < 1

Untuk menentukan interval taksiran parameter θ dengan

koefisien kepercayaan γ maka sebuah sampel acak

diambil, lalu hitung nilai-nilai statistik yang diperlukan

P(A < θ < B) = γ

A θ B

P(A < θ < B) = γ

dengan A dan B fungsi dari statistik, yang berarti peluangnya adalah γ bahwa

interval yang sifatnya acak yang

terbentang dari A ke B akan berisikan θ

atau 100 γ % percaya bahwa parameter θ akan berada dalam interval A dan B

(6)

I. MENAKSIR RATA-RATA, µ

• Titik taksiran untuk µ

populasi dengan parameter rata-rata µ akan

ditaksir, diambil sampel yang dihitung nilai

statistik . Titik taksiran untuk µ adalah

• Interval taksiran untuk µ

x _x

a) Simpangan baku diketahui, populasi normal

maka 100γ % interval kepercayaan untuk µ

adalah ) 1 .( ... n σ z x µ n σ z x _γ _γ 2 1 2 1 < < + −

(7)

b) Simpangan baku tidak diketahui, populasi

normal maka 100γ % interval kepercayaan untuk

µ adalah

dengan t_p = niali t dari daftar dist t, p = ½ (1 + γ) dk = derajat kebebasan = n – 1

Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :

) 2 .( ... n s t x µ n s t x − _p < < + _p

Jika n besar dengan N populasi (n/N > 0.05) maka :

1 N n N n s t x µ 1 N n N n s x 1 N n N n σ z x µ 1 N n N n σ z x p p γ γ

:

menjadi

)

2 (

:

menjadi

(1)

2 1 2 1 − − + < < − − − − − + < < − − − t

(8)

Contoh :

1. Ukuran berat dari sebuah sampel acak yang terdiri

dari 200 bola-bola yang dihasilkan oleh sebuah mesin tertentu selama satu minggu menunjukkan rerata sebesar 0.824 kg dan simpangan baku 0.042 kg tentukan batas interval bila 95% bagi berat rata-rata semua bola !

Penyelesaian : Penyelesaian :

n = 200 s = 0.042

Berarti simpangan baku σ tidak diketahui, diasumsikan

normal maka dengan 95% interval kepercayaan adalah ……… (silahkan coba dihitung)

824 .

0

=

(9)

2. Suatu biro riset ingin mengestimasi rata-rata

pengeluaran untuk pembelian bahan

makanan per minggu dari ibu-ibu rumah

tangga. Sebuah sampel acak yang terdiri dari

100 ibu rumah tangga telah dipilih dari

populasi ibu rumah tangga. Dari ke-100

tersebut diketahui rata-rata pengeluaran Rp

190.600 dengan simpangan baku Rp 10.600.

Hitung 98% interval kepercayaan untuk

pengeluaran rata-rata untuk pembelian

bahan makanan per minggu dari semua

ibu-ibu rumah tangga

(10)

II. MENAKSIR PROPORSI, P

populasi binom berukuran N dimaka terdapat proporsi P untuk peristiwa A

Titik taksiran untuk P

titik taksiran untuk P adalah dg x banyaknya peristiwa A

Interval taksiran untuk P

n x pˆ =

Interval taksiran untuk P

100γ% interval kepercayaan P adalah

dengan q = 1 – p n x pˆ = n pq z pˆ P n pq z pˆ _γ _γ 2 1 2 1 < < + −

(11)

Contoh :

Sebuah sampel acak yang terdiri 100 penggarap sawah, 60 orang penggarap di atas ternyata juga merupakan pemilik sawah yang bersangkutan.

Tentukan 90% interval kepercayaan guna penaksiran proporsi penggarap yang juga pemilik sawah

Penyelesaian :

n = 100 dan x = 60 maka = 0.6 dan q = …..

n x pˆ =

z_1/2_γ = z_(1/2)0.9 = 1.64 n

Sehingga 90% interval kepercayaan adalah …….< P < ……..

Dengan demikian 90% interval kepercayaan, proporsi populasi berkisar diantara ……….

(12)

III. MENAKSIR SELISIH RATA-RATA, µ₁ – µ₂

Titik taksiran untuk (µ₁ – µ₂) adalah

a) σσσσ₁ = σσσσ₂ populasi normal dengan σσσσ₁ = σσσσ₂= σσσσ

Interval taksiran :

Jika besarnya σ = σ = σ tidak diketahui

(

)

(

)

2 1 γ 2 1 2 1 2 1 γ 2 1 n 1 n 1 σ z x x µ µ n 1 n 1 σ z x x 2 1 2 1 + < − < − + + − −

(

x

1

−

x

2

)

Jika besarnya σ₁ = σ₂= σ tidak diketahui

(

)

(

)

2 ) 1 ( ) 1 ( n 1 n 1 s t x x µ µ n 1 n 1 s t x x 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 p 2 1 2 1 2 1 p 2 1 − + − + − = + + − < − < + − − n n s n s n s p = ½ (1 + γ) dk = n₁ + n₂ - 2

(13)

b) σσσσ₁ ≠ σσσσ₂

Dilakukan pendekatan dengan memisalkan s₁= σ₁ dan s₂ = σ₂ , interval taksiran :

(

)

(

)

2 1 γ 2 1 2 1 2 1 γ 2 1 n 1 n 1 σ z x x µ µ n 1 n 1 σ z x x 2 1 2 1 + < − < − + + − − c) Observasi Berpasangan c) Observasi Berpasangan

Variabel acak X dan variabel acak Y diambil sampel

berukuran sama n₁= n₂ = n tiap data sampel dari kedua variabel acak saling dipasangkan. Misal x₁ dengan y₁, x₂ dengan y₂ dan seterusnya sehingga diperoleh beda rata-rata µ_B= µ_x – µ_y dan selisih tiap pasangan B₁ = x₁ – y₁ ,

(14)

Interval taksiran :

(

B

)

B n s n B B : dengan n s t B µ n s t B 2 i 2 i i B p B B p − = = + < < −

∑

p = ½ (1 + γ) dk = n + n - 2

(

)

1) n(n B B n s _B i i − − =

∑

dk = n1 + n2 - 2

(15)

Contoh :

Ada 2 cara pengukuran untuk mengukur kelembaban suatu zat :

Cara I dilakukan 50 kali dengan rata-rata 60.2 dan varians 24.7

Cara II dilakukan 60 kali dengan rata-rata 70.4 dan varians 37.2

varians 37.2

Tentukan 95% interval kepercayaan mengenai

perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu

(16)

53 . 31 2 60 50 2 . 37 ) 1 60 ( 7 . 24 ) 1 50 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 = − + − + − = − + − + − = n n s n s n s_gab p = ½ (1 + γ) =….. dk = n₁₁ + n₂₂ – 2 =….. Sehingga t_p =……

Batas-batas interval taksiran adalah

(

)

(

)

60 1 50 1 31.53 1.984 2 . 60 4 . 70 n 1 n 1 s t x x 2 1 p 2 1 + ± − + ± −

(17)

Sehingga diperoleh : ….. < µ₁ – µ₂ < ……

Dengan demikian 95% percaya bahwa selisih rata-rata pengukuran kedua cara itu akan berada pada interval ……….. 2 2 2 1 1 1 ˆ ˆ n x p n x p = =

IV. MENAKSIR SELISIH PROPORSI, P₁ – P₂

Misal

Interval taksiran untuk interval kepercayaan 100γ% selisih

(P₁ – P₂) adalah 1 1 1 1 1 1 γ 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 γ 2 1 n q p n q p z ) pˆ pˆ ( P P n q p n q p z ) pˆ pˆ ( 2 1 2 1 + < − < − + + − − Dengan q₁ = 1 – p₁ q₂ = 1 – p₂

(18)

Contoh

Sampel acak dari 100 kendaraan masing-masing yang telah dipilih dari populasi terdiri dari

kendaraan di dua kota A dan kota B. di kota A, 80 buah ternyata sudah melunasi pajak kendaraan, sedangkan di kota B hanya 66 buah. Buat interval keprcayaan 95% untuk menaksir harga perbedaan proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota proporsi pelunasan pajak kendaraan di kedua kota Penyelesaian :

n₁ = n₂ = 100

γ = 0.95 z_1/2_γ = 1.96

interval taksiran untuk interval kerpercayaan 95% adalah ………. < P₁ – P₂ < ………

...

ˆ

...

ˆ

₁

=

_p

₂

=

p

(19)

V. MENAKSIR SIMPANGAN BAKU, σσσσ

Jika populasi berdistribusi normal dengan varians

σ2 _{maka interval taksiran 100}γ_{% untuk}σ2

adalah ( ) 2( )1 γ 2 2 2 γ 1 2 2 1 2 1 χ 1)s (n σ χ 1)s (n − + − < < − Contoh

Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan

bakuσ . Dihasilkan harga statistik s2 _{= 7.8 dengan}

koefisien kepercayaan 0.95 dan dk = 29 maka diperoleh

14 . 14 95 . 4 16 8 . 7 29 7 . 45 8 . 7 29 0 . 16 7 . 45 2 2 2 025 . 0 2 975 . 0 < < ⇔ • < < • = = σ σ χ χ

(20)

Dapat disimpulkan 95% percaya bahwa simpangan

baku σ akan berada dalam interval 2.23 dan 3.75

θˆ

VI. MENENTUKAN UKURAN SAMPEL

Perbedaan antara θ dan , b = | θ - | untuk koefisien

kepercayaan γ dan berdistribusi normal dengan simpangan

baku σ diketahui, ukuran sampel n ditentukan oleh :

θˆ 2 z σ   2 γ b z σ n 2 1         ≥

x

(21)

Jika yang ditaksir itu proporsi P oleh adalah : | pˆ -P | b dan n x pˆ = = 2 γ

b

z

P)

P(1

n

2 1













−

≥

Apabila P(1 – P) tidak diketahui dianggap P(1 – P) = 0.25

Contoh :

Misal Depdiknas perlu mengetahui ada berapa % kira-kira anak SD yang bercita-cita jadi guru. Koefisien

kepercayaan 0.95 dengan kekeliruan menaksir tidak lebih dari 2%. Berapa anak SD yang perlu dIiteliti?