MODEL PENENTUAN LOKASI SERVER GANDA

(1)

MODEL PENENTUAN LOKASI SERVER GANDA

TESIS

Oleh

NINA ZAKIAH 137021033/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2015

(2)

MODEL PENENTUAN LOKASI SERVER GANDA

T E S I S

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

NINA ZAKIAH 137021033/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2015

(3)

Judul Tesis : MODEL PENENTUAN LOKASI SERVER GANDA

Nama Mahasiswa : Nina Zakiah Nomor Pokok : 137021033

Program Studi : Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc) (Dr. Sawaluddin, M.IT )

Ketua Anggota

Ketua Program Studi Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus : 16 Desember 2015

(4)

Telah diuji pada

Tanggal : 16 Desember 2015

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Dr. Sawaluddin, M.IT

2. Prof. Dr. Muhammad Zarlis 3. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

(5)

PERNYATAAN

MODEL PENENTUAN LOKASI SERVER GANDA

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya

Medan, 16 Desember 2015 Penulis,

Nina Zakiah

(6)

ABSTRAK

Pada tulisan ini, diperkenalkan model permasalahan lokasi server dengan mengasumsikan model antrian m/m/k. Jumlah server harus berada pada node jaringan.

Permintaan untuk server ini dihasilkan pada setiap node dan bagian dari node harus dipilih untuk mencari satu atau lebih server di setiap titik. Tidak ada batasan pada jumlah server yang dapat dibentuk di setiap node. Setiap pelanggan pada node memilih server terdekat jumlah permintaan dibagi sama ketika jarak terdekat diukur untuk lebih dari satu node. Tujuannya adalah untuk meminimalkan jumlah waktu perjalanan dan waktu rata-rata yang dihabiskan di server untuk semua pelanggan dengan mempertimbangkan biaya pengeluaran.

Kata kunci : Model lokasi, Server ganda, Lokasi fasilitas

(7)

ABSTRACT

In this paper, we introduce the multiple server center location problem. Thus the system is modeled as an M/M/k queue. P servers are to be located at nodes of a network. Demand for services of these servers is located at each node and a subset of nodes are to be chosen to locate one or more servers in each. Each customer selects the closest server. The objective is to minimize the maximum time spent by any customer, including travel time and waiting time at the server sites, with taking into account the cost of expenses.

Keyword: Location model, Multi server, Facility location

(8)

KATA PENGANTAR

Ucapan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan berkat dan rahmat-NYA sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul MODEL PENENTUAN LOKASI SERVER GANDA. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Ma- gister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada:

Prof. Subhilhar, Ph.D selaku Pejabat Rektor Universitas Sumatera Utara.

Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Mate- matika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Mate- matika FMIPA USU dan sekaligus penguji kedua penulis yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Pertama penulis yang telah memberikan banyak masukan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Dr. Syawaluddin, M.IT selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan dan masukan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Penguji Pertama yang telah banyak mem- berikan bimbingan serta masukan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.

(9)

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.

Kakanda Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Mate- matika FMIPA USU yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

Rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU angkatan 2013-genap (bang Julham Efendi Nasution, Kristina Pestaria Sinaga, Dian Yulis Wulandari, Rahayu Sashanti, kak Aida Fitriani, Indah Simamora dan kak meiria jolina tarigan) yang telah saling memotivasi dalam perkuliahan dan penulisan tesis. Begitu juga untuk angkatan 2013-ganjil (Husna Sigalingging, Bu Rena, Kak Eri) dan yang lainnya, terimakasih untuk motivasi yang diberikan.

Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya dan penghar- gaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Nurhayati Nasution dan aya- handa tersayang Drs. Marham, Ms abangda Habibur Rahman, S.T kakanda Miftah Rizqi, M.Pd adinda Aulia Rahman, SE dan Julita Arnis, M.kes yang telah memberikan motivasi dan mencurahkan kasih sayang serta dukungan doa, moril maupun materil kepada penulis.

Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang membutuhkannya.

Terima kasih.

Medan, 16 Desember 2015 Penulis,

Nina zakiah

(10)

RIWAYAT HIDUP

Nina Zakiah, dilahirkan di Pematang Siantar pada tanggal 07 Mei 1990 dari pasangan Bapak Drs. H. Marham, Ms dan Ibu Nurhayati Nasution. Penulis mena- matkan pendidikan Sekolah Dasar di SD Sultan Agung Pematang Siantar Sumate- ra utara pada tahun 2002, selanjutnya Penulis meneruskan pendidikan di tingkat Tsanawiyah dan Aliyah di Pondok Pesantren Raudhatul Hasanah Paya bundung Medan Sumatera Utara selama 6 tahun dan tepatnya pada tahun 2008 penulis tamat. Kemudian pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikannya di Universitas Negeri Padang Fakultas MIPA Jurusan Matematika dan selesai pada tahun 2013, Kemudian, pada tahun 2014, penulis melanjutkan pendidikan pada Program Studi Magister (S-2) Matematika Universitas Sumatera Utara.

(11)

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

KATA PENGANTAR iv

RIWAYAT HIDUP vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR GAMBAR ix

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 3

1.5 Metodologi Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 4

2.1 Lokasi Fasilitas 4

2.2 Pemodelan Lokasi 5

2.3 Permasalahan Penentuan Lokasi 7

2.4 Metode Kualitatif Menentukan Lokasi 8

2.5 Metode Kuantitatif Penentuan Lokasi 9

2.6 Multiple Facility Location 12

BAB 3 LANDASAN TEORI 14

3.1 Struktur Dasar Sistem Antrian 14

(12)

3.1.1 Sumber 14

3.1.2 Antrian 15

3.1.3 Disiplin antrian 15

3.1.4 Pelayanan 15

3.1.5 Keluaran 17

3.2 Karakteristik Antrian 17

3.3 Model Antrian Infinite 18

3.4 Model Sistem Antrian dengan Jumlah Server Lebih dari Satu 18

3.5 Klasifikasi Taksonomi Model Lokasi 19

3.5.1 Model covering based 20

3.6 Algoritma 1: Menemukan Lokasi Terbaik (Berman et al.,2007) 27

BAB 4 PEMBAHASAN 28

4.1 Formulasi Masalah 28

4.2 Expected Travel Time (E(T(S)) 29

4.3 Espektasi Waktu Tunggu 31

4.4 Pembentukan Model 33

4.5 Algoritma 1: Menemukan Lokasi Terbaik (Berman et al., 2007) 34

4.6 Solusi Algorithma 35

4.7 Algoritma 2 : Prosedure Descent 35

BAB 5 KESIMPULAN 37

DAFTAR PUSTAKA 38

(13)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

3.1 Sistem antrian 14

3.2 Single server single phase 16

3.3 Single server, multi phase 16

3.4 Multi server single phase 16

3.5 Klasifikasi model (Daskin, 2008) 20

(14)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pembahasan tentang lokasi pasti tidak dapat dipisahkan dengan ruang dan wilayah, karena yang menjadi landasan dari lokasi adalah ruang. Ruang dalam studi tentang wilayah dinyatakan bahwa permukaan bumi baik yang ada diatas maupun yang ada di bawahnya sepanjang manusia masih dapat menjangkaunya.

Lokasi mengambarkan posisi atau koordinat pada ruang tertentu. Pembahasan tentang lokasi yang menjadi perhatian bukanlah kemampuan untuk membuat daftar posisi berbagai benda dan kegiatan yang ada dalam lokasi tersebut, melainkan analisis akan dampak dan keterkaitan antara kegiatan di suatu lokasi dengan berbagai kegiatan lain pada lokasi yang berbeda.

Sebagian fasilitas yang mendukung kegiatan ekonomi, membutuhkan pemilihan lokasi terbaik dalam pembangunannya. Terdapat beberapa faktor yang perlu dipertimbangkan dalam pemilihan lokasi diantaranya adalah ketersediaan lahan, bahan baku, energi, transportasi, jaminan keamanan, daya serap pasar lokal, sta- bilitas politik, kepuasan pelanggan dan sarana penunjang lainnya tergantung pada jenis bisnis tersebut. Pada pemilihan lokasi pembangunan fasilitas ekonomi da- lam bidang sistem pelayanan (server) mempertimbangkan beberapa faktor yang bertujuan memaksimalkan kepuasan pelanggan dalam menggunakan server terse- but. Kepuasan pelanggan akan tercapai saat harapan dan kebutuhannya dapat terpenuhi oleh fasilitas sistem pelayanan (server) yang tersedia. Adapun bebera- pa hal yang biasa menjadi harapan pelanggan terhadap sistem pelayanan (server) yang dibangun diantaranya waktu perjalanan menuju server serta waktu tunggu pada server dapat seminimal mungkin dan keamanan serta kenyamanan pada lokasi server.

Penelitian ini difokuskan pada tujuan memenuhi harapan pelanggan dalam meminimalkan waktu perjalanan menuju server dan waktu tunggu serta waktu pelayanan pada server. Adapun beberapa hal yang dapat dipertimbangkan guna memenuhi kepuasan pelanggan diantaranya membangun server pada banyak

(15)

2

titik lokasi guna meminimalkan perjalanan pelanggan dan membangun lebih dari satu server pada titik yang ramai didatangi pelanggan dengan tujuan dapat mem- perpendek antrian sehingga meminimalkan waktu tunggu pelanggan pada server.

Permasalahan pada pembangunan server yang harus dipertimbangkan diantaranya adalah Penyediaan fasilitas keamanan sendiri atau pemanfaatan fasilitas keamanan yang sudah ada dengan menyewa harga tanah yang jauh lebih mahal.

Pada tulisan ini akan dirancang sebuah model yang dapat membantu dalam pemilihan lokasi pembangunan server secara optimal. Model ini meneruskan model yang telah diteliti sebelumnya oleh Berman dan Krass (2002). Pemba- hasan utama dari tulisannya yaitu model coverage dan model P-median. Mo- del coverage umumnya berkaitan dengan menyediakan pelanggan dengan caku- pan yang memadai bukan dengan mengurangi biaya yang berhubungan dengan perjalanan yang merupakan fokus dari model P-median. Model P-median da- pat diklasifikasikan dalam dua kategori yaitu model dengan server bergerak yaitu server yang melakukan perjalanan menuju pelanggan untuk memberikan layanan yang diperlukan dan model dengan server dengan fasilitas tetap yaitu, Pelang- gan yang melakukan perjalanan ke fasilitas untuk mendapatkan layanan. Kedua model tersebut terdapat perbedaan mendasar pada setiap kategori. Pada fasilitas server bergerak waktu perjalanan menuju fasilitas merupakan bagian dari waktu pelayanan, akibatnya model ini lebih rumit dari sudut pandang teori antrian.

Penelitian ini selanjutnya dikembangkan oleh Wang et al., (2002) dengan mempe- rimbangkan permasalahan lokasi server dengan sistem pelayanan tunggal mengacu pada model antrian M/M/k Penelitian yang sama dikembangkan oleh Berman dan Krass (2002) dengan menambahkan batasan batasan kendala. Pada penelitian ini akan dikembangkan lagi model P-median dengan kategori fasilitas tetap dan sis- tem pelayanan ganda dengan mengacu pada model sistem antrian M/M/k dan mempertimbangkan perhitungan biaya.

1.2 Perumusan Masalah

Penempatan suatu fasilitas system pelayanan (server) yang selalu berhu- bungan dengan jarak keterjangkauan layanan dan aktivitas ekonomi yang ada di sekitarnya guna memaksimalkan pelayanan dan kepuasan pelanggan (customer).

(16)

3

Secara khusus perumusan masalah ini adalah bagaimana model menentukan lokasi server ganda yang meminimalkan waktu perjalanan dan waktu tunggu pelanggan pada server yang efisien dengan pertimbangan biaya.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah menentukan model lokasi server ganda yang meminimalkan waktu perjalanan dan waktu tunggu pelanggan pada server yang efisien dengan pertimbangan biaya.

1.4 Manfaat Penelitian

Hasil Penelitian ini diharapkan bermanfaat untuk memperkaya literatur tentang model penentuan lokasi server ganda dan memberikan suatu model persoalan pemilihan lokasi multiserver dengan biaya yang efisien.

1.5 Metodologi Penelitian

Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan. Untuk memperoleh model lokasi optimal server ganda akan dilakukan langkah-langkah seperti berikut:

1. Mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal mengenai masalah faktor-faktor yang perlu dipertimbangkan dalam pemilihan lokasi bisnis dan permasalahan lokasi server ganda;

2. Mempelajari teori-teori yang terkait dengan faktor-faktor penentuan lokasi bisnis dan pembuatan model menentukan lokasi server ganda;

3. Pembahasan dan pemahaman persoalan pembuatan model pemilihan lokasi bisnis yang optimal pada server ganda, pada tahap ini akan dipelajari faktor- faktor penting yang perlu dipertimbangkan dalam pemilihan lokasi terbaik dalam peletakan server, dan variable-variable penting lainnya yang berguna dalam pembuatan model lokasi server ganda;

4. Mengembangkan model yang digunakan dalam pemilihan lokasi optimal pada server ganda dengan pertimbangan biaya.

(17)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Lokasi Fasilitas

Menentukan lokasi fasilitas adalah proses pemilihan lokasi geografis untuk suatu operasi-operasi suatu perusahaan. Melokasikan fasilitas dalam ilmu riset operasi diselesaikan dengan pemodelan,pengembangan algoritma dan teori-teori yang kompleks (Daskin, 2008). Pemodelan lokasi dapat diaplikasikan untuk menentukan lokasi terbaik untuk pembangunan beberapa kegiatan ekonomi seperti emergency medical service (EMS), stasiun pemadam kebakaran, sekolah, rumah sakit, ban- dara, tempat pembuangan sampah, dan gudang, atm dan beberapa fasilitas sistem pelayanan (server) lainnya. Salah satu teori dan pemodelan lokasi yang dipelo- pori oleh Weber (1929) adalah mempertimbangkan lokasi fasilitas dengan tujuan untuk meminimalkan jarak perjalananan antara tempat fasilitas dan kumpulan konsumen-konsumen.

(Wang et al., 2002) menyelesaikan masalah pelokasian fasilitas pelayanan de- ngan mempertimbangkan antrian costumer dengan model antrian M/M/I. Selan- jutnya (Berman dan Krass, 2002) mengembangkan permasalahan dengan penam- bahan resiko kehilangan costumer karena lamanya waktu tunggu pada fasilitas.

Model lokasi pada dasarnya memodelkan hubungan antara titik permintaan dan titik lokasi fasilitas pelayanan. Variabel keputusan pada model lokasi umumnya adalah menentukan dimana lokasi-lokasi yang optimal untuk dibangun fasilitas pelayanan. Asumsi dan fungsi objektif pada model lokasi adalah berbeda-beda menurut variannya. Pemodelan lokasi diklasifikasikan menjadi 4 macam, yaitu analytical models, continuous models, network models, dan discrete models.

Analytic model berasumsi bahwa alternatif lokasi fasilitas dan alternatif titik- titik permintaan keduanya tersebar kontiniu (uniform) pada suatu area. Semen- tara continuous models merupakan model dengan permintaan hanya muncul pada lokasi atau titik-titik tertentu, tetapi alternatif lokasinya mencakup seluruh titik pada area tersebut. Network model dan discrete model keduanya berasumsi bahwa

(18)

5

alternatif lokasi dan titik-titik permintaan keduanya bersifat diskrit, yaitu hanya terdapat pada titik-titik tertentu saja dalam area. Network model mengasumsi- kan adanya network/path atau jalan yang menghubungkan titik-titik permintaan dengan titik-titik alternatif lokasi sementara discrete models tidak memerlukan asumsi seperti itu.

Daskin (2008) membagi model diskrit 3 cabang, yaitu covering base models, median base models, p dispersion. Dalam model ini menunjukkan bahwa adanya batasan-batasan permintaan pada suatu titik (node) yang sekaligus dijadikan se- bagai titik alternatif lokasi. Teori lokasi dapat didefinisikan sebagai ilmu yang menyelidiki tata ruang (spatial order) kegiatan ekonomi (Drezner dan Wesolowsky, 2002), atau dapat juga diartikan sebagai ilmu tentang alokasi secara geografis dari sumber daya yang langka serta hubungan atau pengaruhnya terhadap lokasi berba- gai macam usaha atau kegiatan lain (activity). Secara umum, pemilihan lokasi oleh suatu unit aktivitas ditentukan oleh beberapa faktor seperti: bahan baku lokal (lo- cal input), permintaan lokal (local demand), bahan baku yang dapat dipindahkan (transferred input), dan permintaan luar (outside demand).

2.2 Pemodelan Lokasi

Pemodelan lokasi dapat diaplikasikan untuk menentukan lokasi emergency medical service (EMS), stasiun pemadam kebakaran, sekolah, rumah sakit, ban- dara, tempat pembuangan sampah, dan gudang. Pemodelan lokasi juga digunakan pada penentuan rute, dan analisis area arkeologi. Salah satu teori dan pemodelan lokasi yang dipelopori oleh Weber (1929) adalah mempertimbangkan facility loca- tion dengan tujuan untuk meminimalkan jumlah jarak perjalanan antara tempat fasilitas dan kumpulan konsumen-konsumen.

Model lokasi fasilitas dapat di klasifikasikan sebagai berikut:

1. Ketajaman atau topografi dari himpunan model lahan pertanian potensial, model lokasi jaringan dan model program integer campuran atau model lokasi diskrit. Untuk setiap sub kelas jarak ditentukan menggunakan beberapa matriks;

(19)

6

2. Tujuan boleh merupakan tipe minsum atau minmax. Model minsum dide- sain untuk meminimumkan rata-rata jarak. Model minmax adalah untuk meminimumkan jarak maksimum. Model minsum merupakan problema lokasi untuk kepentingan perusahaan dan fokus model minmax adalah problema lokasi berdasarkan sektor publik;

3. Model tanpa kendala kapasitas tidak membatasi lokasi permintaan. Jika kendala kapasitas untuk lokasi potensial telah disesuaikan dengan permintaan maka akan dialokasikan secara hati-hati;

4. Model stage tunggal. Model ini fokus pada sistem distribusi hanya untuk satu stage saja,

5. Model produk tunggal memiliki karakteristik yaitu permintaan biaya dan kapasitas untuk beberapa produk. Jika produksi tidak homogen maka desain dari sistem distribusi harus dianalisis;

6. Frekuensi model lokasi berdasarkan asumsi permintaan adalah elastis. Per- mintaan adalah bebas dari keputusan. Jika permintaan adalah elastis maka hubungan antara jarak dan permintaan akan masuk kedalam perhitungan secara tepat;

7. Model statis dicoba untuk mengoptimalkan kelayakan sistem untuk satu periode representatif. Dengan model kontras dinamis berhubungan dengan data (biaya, permintaan, kapasitas, dan lain-lain);

8. Pada input model secara praktis biasanya tidak diketahui kepastiannya. Data berdasarkan peramalan. Sebagai hasilnya akan diperoleh model determinis- tik jika diketahui kepastian atau model probabilistik dengan syarat kendala merupakan ketidakpastian,

9. Pada model klasik diperoleh kualitas model lokasi permintaan diukur pada isolasi untuk setiap pasangan titik penawaran dan permintaan.

(20)

7

2.3 Permasalahan Penentuan Lokasi

Lima permasalahan yang selalu jadi pokok pembahasan dalam penentuan lokasi yaitu:

1. P-median problem

P-Median problem atau P − M P berkaitan dengan penempatan fasilitas i dalam p lokasi dengan tujuan untuk meminimasi kriteria biaya. Jika besar p adalah 1, maka permasalahannya menjadi 1 − M P dan seterusnya. Biaya dapat dalam bentuk waktu, mata uang, banyaknya perjalanan (number of trip), total jarak, atau bentuk ukuran apapun. P − M P juga sering disebut sebagai minsum problem atau Weber problem.

2. P-center problem

P-center problem disebut juga P − CP dan berkaitan dengan penempatan sejumlah P fasilitas dengan tujuan meminimasi jarak maksimum dari fasilitas ke titik permintaan yang harusnya dilayani. Umumnya merupakan permasalahan yang berkaitan dengan pelayanan darurat publik, seperti pemadam kebakaran, pelayanan ambulans, dan kantor polisi.

3. Uncapacitated facility location problem (UFLP)

Uncapacitated facility location problem (UFLP) memiliki tujuan akhir bersi- fat minsum dan memperhitungkan biaya fixed cost tergantung dimana lokasi fasilitas tersebut berada. Jumlah fasilitas yang akan dibangun tidak ditentukan sebelumnya, namun diketahui diakhir perhitungan setelah proses mi- nimasi biaya. Oleh karena kapasitas di tiap fasilitas tidak ditentukan, maka tidak menguntungkan untuk membagi demand kepada lebih dari satu titik supply.

4. Capacitated facility location problem (CFLP)

Capacitated facility location problem (CFLP) mirip dengan (U F LP ) namun dengan perbedaan bahwa kapasitas di setiap fasilitas terbatas sehingga solusi optimum yang didapat nantinya akan menyatakan bahwa konsumen dapat dilayani oleh lebih dari satu fasilitas.

(21)

8

5. Quadratic assignment problem QAP)

Quadratic Assignment Problem (QAP) Adalah menentukan sejumlah n fa- silitas, contohnya sejumlah mesin yang masing-masing memiliki alur, harus ditempatkan dalam sejumlah n lokasi secara simultan agar didapat total biaya minimum dengan perhitungan flow dikali jarak. Lokasi merupakan hal yang sangat penting dalam suatu supply chain. Sebuah lokasi menentukan pola distribusi yang akan digunakan, dimana didalamnya terdapat karakteristik seperti waktu, biaya, dan efisiensi.

Banyak buku dan jurnal yang membahas dan memberikan solusi dalam penyelesaian masalah lokasi tersebut. Secara garis besar terdapat dua metode penyelesaian facility location problem, yaitu kualitatif dan kuantitatif (Dileep dan Sule, 2001).

2.4 Metode Kualitatif Menentukan Lokasi

Terdapat empat pendekatan secara kualitaf dalan penentuan lokasi, yaitu:

1. Prosedur ranking

Setelah ditentukan kriteria penentuan lokasi dan lokasi alternatif maka dilakukan pemberian ranking atau nilai dari 0-100 untuk tiap kriteria terhadap tiap lokasi alternatif. Setelah nilai total tiap alternatif diketahui maka lokasi dengan nilai tertinggi adalah yang terpilih.

2. Model ekonomi

Dalam penentuan lokasi, 3 model ekonomi yang umum digunakan adalah:

(a) Payback period

Payback Period model ini digunakan untuk menentukan berapa tahun yang dibutuhkan agar keuntungan yang dicapai lebih besar atau sama dengan investasi awal untuk tiap lokasi. Lokasi yang dipilih adalah lokasi dengan payback period terkecil.

(22)

9

(b) Rate of return(ROR)

Rate of Return (ROR) digunakan untuk menentukan ROR tiap lokasi alternatif dan lokasi dengan nilai ROR tertinggi adalah yang terpilih.

3. Benefit/cost ratio

Benefit/cost ratio digunakan untuk menghitung nilai keuntungan dan biaya saat ini. Ambil rasionya dan pilih lokasi yang memiliki rasio tertinggi. terda- pat dua metode yang biasa digunakan dalam pehitungan benefit (cost rasio) yaitu:

(a) Logika fuzzy

Hal perlu dilakukan pertama kali pada logika fuzzy adalah membagi kriteria dalam tiga atribut, yaitu: kritis, obyektif, dan subyektif. Atribut kritis harus dimiliki oleh tiap alternatif lokasi, atribut obyektif dapat dinyatakan dalam bentuk mata uang seperti, biaya buruh, biaya investasi awal, dan lain-lain, sedangkan atribut subyektif bersifat kualitatif seperti ketersediaan pekerja.

(b) Analytical hierarchy procedure (AHP)

Analytical hierarchy procedure (AHP)adalah Metode AHP membantu proses pengambilan keputusan karena AHP mensortir penilaian subyek- tif yang tidak konsisten.

2.5 Metode Kuantitatif Penentuan Lokasi

Berikut adalah Model Kuantitatif Penentuan Lokasi, yaitu:

1. Single-facility minsum location

Single-facility minsum location umumnya menggunakan perhitungan metode travel cost (biaya perjalanan) dimana demand diasumsikan sebagai sebuah titik yang dinyatakan dalam koordinat x − y, kemudian tentukan banyaknya perjalanan yang diperlukan untuk konsumen menuju lokasi. Biaya diukur dengan mengalikan banyak perjalanan dengan besarnya jarak. Dalam penentuan lokasi yang sesuai dengan tujuannya maka terdapat lima macam per- hitungan biaya yang dapat dipilih yaitu : rectilinear distance cost, quadratic

(23)

10

cost, euclidean distance cost, distance measured as p-power, areas as demand point.

2. Alternatives objectives in single facility location

Pada masalah alternatives objectives in single facility location terdapat su- atu kemungkinan bahwa minimalisasi total perjalanan (masalah minmax) kurang tepat untuk digunakan untuk menentukan sebuah lokasi yang aku- rat. Contohnya, seseorang lebih memilih untuk meminimalkan jarak tempuh maksimum konsumen dari rumah sakit (UGD) karena rumah sakit harus- lah berada tidak terlalu jauh dari populasi yang dilayani. Berikut adalah beberapa alternatif penyelesaian untuk beberapa masalah sejenis, yaitu:

(a) Minmax location problem

Model Minmax location problem cocok digunakan apabila lama waktu perjalanan menjadi pertimbangan yang penting dalam penentuan sebuah lokasi. Apabila ingin membangun sebuah pom bensin ataupun toko bahan makanan (grocery) hal yang penting diperhatikan adalah agar lokasinya sedekat mungkin dengan populasi yang ada dengan harapan banyak konsumen akan datang. Asumsi yang digunakan adalah perjalanan bersifat rectilinier mengingat umumnya sebuah jalan diran- cang dengan arah utara-selatan dan barat-timur.

(b) Weighted customer problem

Permasalahan weighted customer problem ini muncul bila terdapat bebe- rapa konsumen yang memiliki nilai kepentingan lebih jika dibandingkan dengan konsumen lainnya, sehingga harus diutamakan. Permasalahan inilah yang disebut dengan masalah pembobotan. Dalam formulasi fungsinya dimasukkan pula faktor baru yang disebut addendum (hi).

Nilai addendum dapat memberikan hasil yang signifikan dimana jika nilai hi besar, maka respon harus secepat mungkin atau meminimalkan jarak tempuh dari pos hingga populasi untuk meminimalkan total waktu atau jarak yang dibutuhkan dari populasi ke pos.

(c) Circle covering problem

Circle covering problem umumnya digunakan apabila ingin membangun sebuah stasiun radio untuk disiarkan ke beberapa wilayah, dengan biaya

(24)

11

minimum maka harus mempertimbangkan watt yang digunakan karena besarnya watt mempengaruhi biaya transmitter sehingga secara tidak langsung mempengaruhi jangkauan siaran.

3. Undesireable facility location

Undesireable facility location atau fasilitas yang tidak diinginkan merupakan fasilitas yang harus dibangun sejauh mungkin dari fasilitas yang sudah ada.

Contohnya adalah penentuan lokasi pabrik nuklir, pabrik kimia, dan tempat pembuangan akhir. Penduduk tidak ingin lokasi ketiga fasilitas tersebut dekat dengan rumah penduduk, namun dengan adanya lokasi tersebut dapat memberikan lapangan pekerjaan bagi penduduk sekitar. Fungsi tujuannya adalah memaksimumkan jarak minimum antara fasilitas yang ada dengan fasilitas yang baru.

4. Location for a linear path facility

Location for a linear path facility merupakan Fasilitas yang tidak hanya beru- pa bangunan, namun dapat berupa jalan sehingga permasalahannya adalah bagaimana menentukan lokasi sebuah alur dimana nantinya dapat meminimalkan jarak tegak lurus dari tiap konsumen menuju fasilitas, sehingga memberikan jarak terpendek bagi konsumen untuk menuju fasilitas.

5. Facility location with limited distance

Dalam permasalahan ini, tujuan yang ingin dicapai adalah meminimasi biaya total maksimum dalam melayani semua konsumen pada waktu yang bersamaan dan meminimalkan biaya maksimum dalam melayani konsumen.

Permasalahan ini dapat diformulasikan dalam bentuk mixed integer program- ming (Drezner dan Wesolowsky, 1991).

(25)

12

2.6 Multiple Facility Location

Terdapat dua variasi utama dari multiple facility problem, yaitu:

1. Multiple facilty of different types

Multiple facilty of different types dapat diartikan sebagai setiap fasilitas me- layani satu permintaan. Sehingga terdapat kemungkinan terdapat permintaan yang belum terlayani diantara fasilitas tersebut. Pada permasalahan ini yang menjadi permasalahan utama adalah meminimasi biaya perjalanan lokasi fasilitas yang baru dengan konsumen ataupun dengan fasilitas baru lainnya. Tipe jarak yang digunakan dapat berupa jarak rectilinier, euclidean dan kuadratic.

2. Multiple facility of same types

Multiple facility of same types dapat diartikan bahwa semua fasilitas memiliki satu tujuan. Konsumen dibagi pada tiap fasilitas yang ada sehingga satu fasilitas melayani satu konsumen. Permasalahan yang dihadapi adalah menentukan titik permintaan yang nantinya akan diarahkan menuju fasilitas lokasi serta menentukan fasilitas mana untuk tiap titik permintaan sehingga dapat meminimasi biaya total perjalanan untuk tiap konsumen. Permasalahan muncul karena lokasi fasilitas yang baru belum diketahui sehingga sulit untuk menentukan titik permintaan mana yang tepat untuk tiap fasilitas baru.

Dalam permasalahan network facility location dicoba untuk memecahkan ma- salah penentuan lokasi dengan menggunakan prinsip network atau jaringan.

Dalam cara ini, umumnya menggunakan titik (node) yang dapat dianggap se- bagai titik permintaan, konsumen, atau usulan lokasi baru dan dihubungkan dengan garis-garis yang disebut jalan. Fasilitas baru dapat dibangun di titik tersebut atau di sepanjang jalan. Jika fasilitas dibangun di titik tersebut maka permasalahan disebut sebagai verteks masalah. Sedangkan apabila fasilitas akan dibangun di sepanjang jalan maka permasalahan disebut sebagai p-center problem. Terdapat beberapa metode dalam membantu permasala- han network facility location, yaitu:

(26)

13

(a) Metode dominasi baris-kolom

Dalam metode ini data ditampilkan dalam bentuk matriks 0-1, jika sebuah titik dapat dijangkau dari titik pusat yang berada di tengah-tengah titik lainnya, maka titik tersebut diberi nilai 1, jika tidak maka nilainya 0. Umumnya kolom menyatakan titik pusat (center j) dan baris me- nyatakan titik lainnya i. Pada metode ini digunakan pengurangan baris atau kolom.

(b) Metode pertimbangan biaya

Apabila ada pertimbangan biaya tetap seperti harga tanah, biaya pembangunan, dan lain-lain, maka permasalahan yang muncul adalah menentukan jumlah fasilitas yang dapat menjangkau seluruh network (jaringan) dengan adanya batasan waktu dengan biaya minimum. Untuk penyelesaiannya dapat menggunakan pendekatan program linear.

(c) Masalah P-center absolut

Tujuan dari permasalahan ini adalah menempatkan lokasi yang dapat melayani titik permintaan dimana nilai maksimum dari kriteria yang diukur seperti jarak atau waktu menjadi seminimal mungkin ataupun berada dalam batasan nilai yang diinginkan (masalah minmax). Con- tohnya adalah penempatan layanan gawat darurat agar dapat merespon panggilan darurat dalam batasan kurun waktu tertentu.

(d) Masalah lokasi hub

Tujuan permasalahan ini adalah mengembangkan rancangan alur trans- portasi yang minim biaya (least-cost). Umumnya tujuan dari penentuan lokasi hub adalah menentukan lokasi hub yang optimal dan menentukan titik mana saja yang harus dihubungkan dengan hub tersebut untuk meminimasi total biaya transportasi. Ada banyak contoh penggunaan hub-spoke, diantaranya usaha penerbangan, kereta api, komunikasi, ja- ringan komputer, jasa angkut truk dan sistem pengiriman surat. Secara matematis, permasalahan lokasi hub dapat diformulasikan dalam model linier programming, namun jumlah variabelnya dapat bertambah dengan cepat, oleh karena N4, sehingga solusi secara heuristik umumnya diambil sebagai alternatif langkah penyelesaiannya.

(27)

BAB 3

LANDASAN TEORI

Pada bab ini dipaparkan mengenai materi-materi yang berhubungan dan mendukung untuk pembentukan model lokasi server ganda. Tujuannya untuk membentuk model penentuan lokasi server ganda dengan pertimbangan biaya. Ma- teri tersebut akan dijadikan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini sehingga mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab selanjutnya.

3.1 Struktur Dasar Sistem Antrian

Struktur dasar sistem antrian diasumsikan bahwa sistem antrian mengikuti Pelanggan yang datang dan memerlukan jasa pelayanan yang disebut sebagai input atau sumber. pelanggan tersebut masuk dalam sistem antrian dan bergabung dengan pelanggan lainnya yang sedang menunggu untuk dilayani, dimana pada waktu tertentu pelanggan yang sedang menunggu tersebut, dipilih untuk dilayani, cara memilih pelanggan untuk dilayani ini disebut dengan disiplin antrian.

Gambar 3.1 Sistem antrian

3.1.1 Sumber

Sumber disebut juga populasi adalah pelanggan yang datang untuk minta jasa pelayanan, ukuran daripada sumber adalah jumlah pelanggan yamg minta jasa pelayanan dari waktu ke waktu, atau jumlah pelanggan potensial tertentu.

Sumber atau masukan diasumsikan finite atau infinite, sehingga sumber disebut juga terbatas dan tidak terbatas.

(28)

15

3.1.2 Antrian

Antrian disebut juga sebagai garis tunggu, atau pelanggan pelanggan yang sedang antri, yaitu jumlah pelanggan maksimum yang diizinkan untuk menunggu dilayani dalam sisten antrian. Antrian disebut antrian finite atau infinite. Antrian finite artinya panjang antrian terbatas sedangkan infinite artinya panjang antrian yang tidak terbatas.

3.1.3 Disiplin antrian

Disiplin antrian adalah cara server memilih anggota antrian untuk dilayani.

Adapun beberapa aturan disiplin antrian yaitu :

1. Yang datang pertama, yang dilayani terlebih dahulu FIFO (First In First Out). Disiplin antrian ini sering digunakan dalam kehidupan seharihari;

2. Prioritas, anggota antrian yang mempunyai prioritas tertinggi, akan dilayani terlebih dahulu;

3. Random, semua anggota antrian mempunyai kesempatan yang sama untuk dilayani terlebih dahulu;

4. Yang datang terakhir akan dilayani terlebih dahulu LIFO (Last In Frist Out).

Disiplin antrian ini hampir tidak pernah digunakan dalam kehidupan seharihari.

3.1.4 Pelayanan

Pelayanan dalam sistem antrian yang dapat memuat satu atau lebih proses pelayanan, proses pelayanan ini disebut juga phase dimana setiap proses pelayanan memuat satu server atau lebih. Server atau pelayanan adalah individu baik orang maupun mesin yang akan memberikan jasa pelayanan kepada anggota antrian.

Waktu yang dibutuhkan oleh server untuk melayani satu anggota antrian dise- but sebagai waktu pelayanan, dimana distribusi waktu pelayanan diasumsikan distribusi ekponensial. Ada empat struktur model pelayanan pada sistem antrian menurut Wallace (2005), yaitu:

(29)

16

1. Single server, single phase artinya dalam sistem antrian tersebut terdapat hanya satu server dan pelanggan hanya dilayani satu kali.

Gambar 3.2 Single server single phase

2. Single server, multi phase artinya dalam sistem antrian tersebut hanya ada satu server dan setiap pelanggan dilayani lebih dari satu kali proses pelayanan.

Gambar 3.3 Single server, multi phase

3. Multi server, single phase artinya dalam sistem antrian tersebut ada lebih dari satu server dan setiap pelanggan hanya dilayani satu kali

Gambar 3.4 Multi server single phase

(30)

17

3.1.5 Keluaran

Keluaran adalah pelanggan yang keluar dari sistem antrian karena sudah selesai mendapatkan pelayanan secara lengkap.

3.2 Karakteristik Antrian

Pada pembahasan teori antrian terdapat beberapa karakteristik yang menjadi dasar-dasar pada sistem antrian yaitu :

1. Laju Kedatangan pelanggan (λ)

Laju kedatangan pelanggan (λ) adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang datang dalam interval waktu tertentu.

2. Laju pelayanan (µ)

Laju pelayanan (µ) adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang mening- galkan sistem dalam interval waktu tertentu.

3. Periode sibuk (ρ)

Jika mekanisme pelayanan sibuk, dapat dikatakan bahwa sistem antrian sedang dalam periode sibuk. Peluang bahwa sistem antrian sedang dalam keadaan sibuk pada saat random, dinamakan peluang periode sibuk. Peluang periode sibuk dari sistem antrian dengan pelayanan tunggal sama dengan intensitas lalu lintas. Oleh karena itu bila ρ merupakan fungsi peluang periode sibuk, maka persamaan fungsi peluang periode sibuk menurut Robertazzi(2000) sebagai berikut:

ρ = λ

µ (3.1)

4. Distribusi peluang adanya pelanggan di sistem

Berdasarkan persamaan (3.1) bila ρ merupakan peluang bahwa sistem antrian adalah sibuk, maka tentu 1−ρ merupakan peluang bahwa sistem tidak dalam keadaan tidak sibuk pada waktu random. Artinya 1 − ρ merupakan peluang

(31)

18

sistem antrian tidak mempunyai langganan. Misalnya Pnmerupakan peluang adanya n langganan antrian, maka untuk n = 0 : P0 = 1-ρ. Karena Pn = ρⁿ. P0, maka persamaan peluang dari n langganan sistem adalah sebagai berikut:

Pn= ρⁿ(1 − ρ) (3.2)

Asumsi yang harus dipenuhi adalah waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan mempunyai sebaran diskrit.

3.3 Model Antrian Infinite

Model antrian infinite adalah model antrian dimana inputnya atau kedatangan pelanggan ke sistem antrian berdistribusi poisson dan waktu pelayanannya berdistribusi eksponensial. Model antrian semacam ini dapat dinyatakan dalam bentuk simbol yaitu M/M/s /I/I dimana simbol M menunjukkan tingkat kedatangan yang berdistribusi poisson, simbol kedua M menunjukkan waktu pelayanan yang berdistribusi eksponensial tetapi Penataran pada laporan ini waktu kedatangan dan waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, simbol ketiga S menunjukkan jumlah server, simbol keempat I menunjukkan sumber populasi infinite, simbol kelima I menunjukkan panjang antrian infinite. Model sistem antrian ini mengasumsikan bahwa rata-rata laju kedatangan konstan yaitu λ0 = λ = · · · = λn = λ, begitu pula ratarata laju pelayanan juga konstan, yaitu µ1 = µ2 = · · · = µn= µ.

3.4 Model Sistem Antrian dengan Jumlah Server Lebih dari Satu Model ini menunjukkan bahwa waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial, waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, jumlah server sebanyak s, ser- ta sumber populasi (input) dan panjang antrian bersifat tidak terbatas dimana λn

= λ dan µn = µ untuk n = 0, 1, 2, 3 · · · dengan menggunakan persamaan balance, yaitu rate in = rate out. Probabilitas ada n pelanggan didalam sistem dirumuskan dengan:

(32)

19

P0 = 1

PS−1 n=0

(^λ_µ)ⁿ

n! + ⁽

λ S)ⁿ S!(1−(^Λ

Sµ))

(3.3)

Sehingga jika 0 ≤ n ≤ S

Pn= (^λ_µ)ⁿ

n! .P0 (3.4)

Dan jika n ≥ S

Pn = (^λ_µ)ⁿ S! .( λ

Sµ) = (^λ_µ)ⁿ

S!(S^n−S).P0 (3.5)

Dengan cara yang sama diperoleh:

Lq= P0(^λ_µ)^s.ρ

S!(1 − ρ)² (3.6)

L = Lq+λ

µ (3.7)

Wq = Lq

λ (3.8)

W = Wq+ 1

µ (3.9)

(Hillier et al., 1994)

3.5 Klasifikasi Taksonomi Model Lokasi

Model lokasi dibagi atau diklasifikasikan menjadi beberapa model, diantaranya adalah analytic model, continuous model, network model, discrete model yang ter- lihat seperti pada gambar 3.5

(33)

20

Gambar 3.5 Klasifikasi model (Daskin, 2008)

3.5.1 Model covering based

Pada model covering-based, permintaan muncul pada titik atau lokasi tertentu yang harus terpenuhi secara merata dengan mempertimbangkan adanya jarak dan waktu untuk memenuhi semua permintaan pada titik lokasi yang telah ditentukan. Model lokasi seperti ini biasanya digunakan untuk mendesain atau meran- cang emergency services. Sebagai contoh adalah penentuan lokasi pos pemadam kebakaran, yang harus memenuhi permintaan pada titik atau lokasi yang ditentukan dengan memeperhatikan jarak dan waktu dalam pemenuhannya. Tiga mo- del yang mendasari terbentuknya model covering diantaranya adalah model set covering, model max covering dan model P-center.

1. Set covering

Model set covering bertujuan untuk meminimumkan jumlah titik lokasi fa- silitas pelayanan yang dapat memenuhi semua titik permintaan. Untuk menggambarkan model set covering dapat dirumuskan atau di formulasikan sebagai berikut:

Dimana:

I = Titik demand dengan indek i

J = Titik alternatif lokasi dengan indek j

dij = Jarak antara titik permintaan i dengan alternatif lokasi j Dc = Jarak pemenuhan

Ni = { j|dij ≤ Dc }.

= semua alternatif lokasi yang meliputi titik permintaan i

(34)

21

Variable keputusannya:

xj =





1 jika penentuan lokasi pada alternatif jJ 0 jika sebaliknya

Dengan notasi tersebut maka dapat di formulasikan sebagai berikut:

Minimize X

jJ

xj (3.10)

kendala:

X

jN_i

≥ 1∀iI (3.11)

xj{0, 1}∀jJ (3.12)

Berdasarkan formulasi tersebut dapat diuraikan menjadi tujuan (3.10) untuk meminimasi jumlah fasilitas. Constrains atau batasan (3.11) setiap titik pemintaan dapat dipenuhi sedikitnya oleh satu fasilitas, (3.12) variabel keputusan benar atau tidaknya suatu keputusan.

2. Maximal Covering

Model lokasi maximal covering menunjukkan adanya suatu batasan pada banyaknya fasilitas untuk dijadikan sebagai lokasi. Tujuan maximal covering adalah untuk memaksimalkan semua permintaan pada banyaknya fasilitas atau titik permintaan yang telah ditentukan sebagai daerah lokasi, sehingga semua permintaan dapat terpenuhi. Model maximal covering dapat diformu- lasikan sebagai berikut:

(35)

22

hi = Demand atau permintaan pada titik i P = Banyaknya fasilitas untuk penentuan lokasi variabel keputusan:

xj =





Minimize X

iI

hizi (3.13)

dengan kendala:

X

jN_i

xj − zi ≥ 1 ∀iI (3.14)

X

jJ

xj = P (3.15)

xj{0, 1} ∀jJ (3.16)

zi{0, 1} ∀iI (3.17)

Berdasarkan formulasi atau rumus pada model maximal covering dapat dike- tahui, tujuan (3.13) memaksimalkan total permintaan yang dapat dipenuhi.

Batasan (3.14) banyaknya fasilitas yang dapat memenuhi titik permintaan.

(3.15) P sebagai banyaknya fasilitas yang diharapkan. (3.16 dan 3.17) sebagai variabel keputusan.

3. P-Centre

Dalam P-centre memiliki fungsi objektif yaitu meminimumkan rata-rata jarak yang terjauh (coverage distance) antara titik permintaan dan titik lokasi fa- silitas pelayanan. Fungsi objektif dalam model P − center sering disebut MinMax objektif. Model P − centerdiformulasikan sebagai berikut:

(36)

23

W = Meminimasi jarak maksimal antara titik permintaan dan fasilitas yang telah ditentukan.

variabel keputusan:

yij =





1 jika titik permintaan iI ditentukan pada lokasi alternatif jJ 0 jika sebaliknya

Minimize W (3.18)

dengan kendala:

X

jJ

xj = P (3.19)

X

jJ

yij = 1 ∀iI, ∀jJ (3.20)

yij − xj ≤ 0 ∀iI, ∀jJ (3.21)

W −X

jJ

hidijyij ≥ 0 ∀iI, ∀jJ (3.22)

xj{0, 1} ∀jJ (3.23)

yi{0, 1} ∀iI∀jJ (3.24)

Pada formulasi tersebut maka dapat diketahui fungsi tujuan adalah(3.18) meminimasi jarak pada demand-weighted pada tiap titik permintaan dengan lokasi yang terdekat sehingga dapat bernilai maksimal. Batasan (3.19) mene- tapkan p sebagai banyaknya fasilitas. (3.20) setiap titik permintaan untuk menentukan tepat satu fasilitas saja. (3.21) adanya alternatif lokasi yang

(37)

24

dapat memenuhi permintaan. (3.22) meminimasi jarak yang maksimum antara titik permintaan dengan fasilitas. (3.23) sebagai variabel keputusan.

Model lokasi lain yang masih termasuk dalam model lokasi discrete adalah P −Dispersion. P −dispersion mempunyai pandangan yang sedikit berbeda dengan model lokasi lainnya, yaitu dalam menentukan lokasi yang satu dengan yang lain harus memperhatikan jarak antar lokasi tersebut , tujuannya adalah memaksimalkan jarak antara lokasi yang sama. Untuk merumuskan model ini diperlukan adanya tambahan notasi (M) dan variable keputusan (D).

M = Large constant

D = Jarak yang minimum pada beberapa lokasi yang sama.

Dengan notasi tersebut maka model p-dispersion dapat diformulasikan sebagai berikut:

Minimize D (3.25)

dengan kendala:

Minimize W (3.26)

dengan kendala:

X

jJ

xj = P (3.27)

D + (M − dij)xi+ (M − dij)xi ∀jJ, i < j (3.28)

xj{0, 1} ∀jJ (3.29)

xi{0, 1} ∀iI (3.30)

Pada formulasi model p-dispersion tersebut dapat diketahui fungsi tujuan (3.25) memaksimalkan jarak antara dua lokasi yang saling berdekatan. Fungsi batasan (3.26) p sebagai banyaknya lokasi yang ditentukan (3.27) menggambarkan lokasi yang sama pada wilayah yang berbeda dalam pemilihan lokasi, jika xi atau xj bernilai nol, maka tidak terikat oleh suatu batasan dan jika

(38)

25

keduanya bernilai 1 maka batasan tersebut adalah D = dij. (3.28) seba- gai variabel keputusan. Model median-based digunakan dalam meminimasi atau memperkecil jarak rata-rata untuk menentukan demand-weighted, yang berada diantara suatu titik permintaan dengan titik permintaan lainnya.

Model ini biasanya digunakan dalam suatu perencanaan jalur distribusi atau pengiriman barang untuk meminimasi jarak dan total biaya pengangkutan atau perjalanan. Ada dua model yang termasuk dalam median-based yaitu P-Median dan fixed charge.

4. Model P − median

Model p − median merupakan salah satu rumus pemrograman matematika yang telah digunakan secara luas, dan diperlukan suatu koefisien persamaan untuk memecahkannya. Model seperti ini akan menjadi bermanfaat pada kasus penentuan fasilitas atau lokasi untuk bidang-bidang layanan dan jasa, sebagai contoh dalam kasus penentuan lokasi supermarket, sekolah dan kantor-kantor administrasi. Model p-median merupakan salah satu model klasik yang pertama kali diperkenalkan oleh Hakimi (1964), yaitu untuk menentukan suatu lokasi dengan meminimasi jarak rata-rata antara titik permintaan dan fasilitas. Model ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

Minimize X

iI

X

jJ

hidijyij (3.31)

dengan kendala:

X

jJ

xj = P (3.32)

X

jJ

yij = 1 ∀iI, (3.33)

yij − xj ≤ 0 ∀iI, ∀jJ (3.34)

xj{0, 1} ∀jJ (3.35)

(39)

26

yij{0, 1} ∀iI∀jJ (3.36)

dimana :

I = Kumpulan dari titik permintaan i, I = 1,...N J = Kumpulan dari alternatif lokasi j, J = 1,...M hi = Permintaan pada titik i

dij = Jarak antara titik permintaan iI dan lokasi alternatif jJ p = Banyaknya lokasi yang menjadi daerah penentuan lokasi

xj =





yij =





Dari formulasi diatas maka dapat diketahui fungsi tujuan (3.31) meminimasi total jarak antara titik permintaan dengan lokasi yang terdekat. Dengan batasan (3.32) p sebagai tempat penentuan lokasi, (3.33) setiap titik permintaan dilayani tepat satu fasilitas saja. (3.34)adanya alternatif lokasi yang dapat memenuhi permintaan.(3.35 dan 3.36) sebagai batasan nilai integral atau variabel keputusan. Berdasarkan formulasi P − median, dapat diketahui bahwa dalam P − median tidak adanya suatu variabel yang menunjukkan tentang dalam penentuan lokasi, maka model ini dikembangkan lagi dengan model fixed charge. Fixed Charge merupakan bagian dari model lokasi median-based, tujuan dari fixed charge adalah meminimasi dari banyaknya fa- silitas dan biaya transportasi. Maka dapat dirumuskan sebagai berikut.

fj = Penetapan biaya pada lokasi alternatif j Cj = Kapasitas pada lokasi alternatif j

α = Biaya pada tiap unit permintaan dan jarak

Minimize X

jJ

fixj + αX

iI

X

jJ

hidijyij (3.37) dengan kendala:

X

jJ

yij = 1 ∀iI, (3.38)

(40)

27

yij − xj ≤ 0 ∀iI, ∀jJ (3.39) X

jJ

hiyij − Cjxj ≤ 0 ∀iI (3.40)

xj{0, 1} ∀jJ (3.41)

yij{0, 1} ∀iI∀jJ (3.42)

Formulasi tersebut dapat diuraikan menjadi, fungsi tujuan (3.37) meminimasi biaya penentuan lokasi dan transportasi untuk memenuhi semua demand atau permintaan. Fungsi batasan (3.38) setiap titik permintaan dilayani satu fasilitas saja. (3.39) adanya alternatif lokasi yang dapat memenuhi permintaan.

(3.40) banyaknya kapasitas pada suatu fasilitas yang dapat memenuhi permintaan. (3.41) dan (3.42) sebagai nilai variabel keputusan.

3.6 Algoritma 1: Menemukan Lokasi Terbaik (Berman et al.,2007)

1. Temukan jumlah minimum server yang diperlukan pada setiap simpul S dalam pelayanan permintaan. Jumlah minimum ini dapat dicari dengan formula

`i = int[λi(S)

µ ] + 1 (3.43)

2. JikaPq

i=1`i > p maka tidak ada solusi yang layak.

3. Jika Pq

i=1`i < p periksa penurunan waktu tunggu dengan mengubah `i ke

`i + 1 Tingkatkan jumlah server dari satu pada simpul dengan penurunan waktu maksimum.

4. Ulangi sampai Pq

i=1`i = p

(41)

BAB 4 PEMBAHASAN

Pada bab ini akan di bahas masalah pembuatan model menentukan lokasi terbaik dalam peletakan server, dengan mempertimbangkan kebutuhan konsumen meminimkan waktu perjalanan dan waktu tunggu pada server.

4.1 Formulasi Masalah

Asumsikan permintaan pelanggan pada titik-titik diskrit N = {1, 2, · · · , N } dan misalkan t adalah variabel dari waktu maka rata-rata permintaan λi persatuan waktu dengan titik iN dan rata-rata tingkat layanan untuk semua server adalah µ persatuan waktu, dianggap bahwa distribusi kebutuhan dan distribusi tingkat pelayanan server mengikuti distribusi Poisson.

Selanjutnya perlu mencari lokasi optimal untuk peletakan server dari beberapa lokasi lokasi berkapasitas yang telah ditentukan sebelumnya dimana M ⊂ N (|M | = m). Berasumsi bahwa tidak ada batasan pada jumlah server yang dapat didirikan di setiap lokasi. Dengan demikian, sebuah situs potensial mungkin tidak memiliki server atau memiliki server sebanyak server p. Asumsikan bahwa setiap costumer berjalan dari lokasi awal menuju server dan kembali ke lokasi awal dengan jarak yang sama. λj(S) didefenisikan sebagai laju kedatangan di server (s) yang terletak di situs jS. Kemudian memudahkan pembuatan model diasumsikan tidak ada ikatan berasumsi bahwa tidak ada jarak yang memiliki pengaruh beda (ikatan). Sehingga dapat dinotasikan sebagai berikut:

λi(S) = X

jC_i(S)

λj (4.1)

Tujuan utama dari fungsi adalah meminimalkan total waktu perjalanan dan waktu pelayanan semua pelanggan pada server yang dibangun, dengan mengasumsikan bahwa semua pelanggan memiliki informasi yang cukup mengenai lamanya waktu tunggu pada tiap server, sehingga pelanggan lebih memilih server yang

(42)

29

sedikit lebih jauh dengan espektasi waktu tunggu yang lebih sedikit, misal fungsi F (S, K) dengan K = {k1, k2, · · · , kq} merupakan server yang ditugaskan pada himpunan S dan S ⊂ M , E(T (S)) merupakan nilai espektasi travel time E(W (S, K)) merupakan espektasi waktu tuggu pada server. Maka tujuan fungsi yang dimini- malkan adalah

Minimize F (S, K) = E(T (S)) + E(W (λi(S), µ)) (4.2)

Berdasarkan Berman dan Drezner (2007). Fungsi objektif meminimalkan F (S, K) seperti berikut:

Min(S,K) {F (S, K) =X

jS

[ X

jCi(s)

λjdij + λi(s)Wki(λi(s), µ]} (4.3)

X

iS

Ki = P (4.4)

4.2 Expected Travel Time (E(T(S))

Setiap kostumer selalu berusaha menghemat penggunaan waktu dalam kegia- tannya, termasuk dalam perjalanan masuk atau keluar dari sebuah fasilitas. Pe- ngukuran waktu ini biasanya dilakukan dengan menghitung rata-rata waktu yang dihabiskan dalam perjalanan atau biasa disebut dengan average travel time atau bisa juga disebut dengan expected travel time. Expected travel time merupakan interpertasi dari waktu perjalanan yang dilakukan oleh kostumer untuk sampai pada fasilitas dan keluar lagi dari fasilitas tersebut.

Model mimize F (S, K) pada persamaan (4.2) menggunakan model p-median dalam perhitungan nilai ekspektasi travel time, pada model tersebut belum terdapat suatu variabel yang menunjukkan tentang penghitungan biaya-biaya dalam penentuan lokasi, maka model tersebut dikembangkan lagi dengan mempertimbangkan biaya-biaya yang dibutuhkan, hal ini dilakukan dengan menambahkan beberapa variabel tambahan yang memperhitungkan biaya yaitu:

(43)

30

fj = Penetapan biaya pada lokasi alternatif j Cj = Kapasitas pada lokasi alternatif j

α = Biaya pada tiap unit permintaan dan jarak

Dengan variabel tambahan tersebut, maka model ekspektasi travel time E(T (S)) yang dikembangkan pada penelitian ini mengikuti model fixed charge. Fixed Charge merupakan bagian dari model lokasi median-based. Tujuan dari fixed charge adalah meminimasi dari banyaknya fasilitas dan biaya transportasi, jadi nilai E(T (s)) mengikuti model fixxed charge dirumuskan sebagai berikut:

Minimize E(T(s)) = X

jJ

fixj+ αX

iI

X

jJ

λidijyij (4.5)

dengan kendala:

X

jJ

yij = 1 ∀iI, (4.6)

yij − xj ≤ 0 ∀iI, ∀jJ (4.7)

X

jJ

λiyij − Cjxj ≤ 0 ∀iI (4.8)

xj{0, 1} ∀jJ (4.9)

yij{0, 1} ∀iI∀jJ (4.10)

dimana :

I = Kumpulan dari titik permintaan i, I = 1,...N J = Kumpulan dari alternatif lokasi j, J = 1,...M λi = Tingkat laju kedatangan pada titik i

λj = Tingkat laju kedatangan pada titik j

xj =





(44)

31

yij =





Formulasi tersebut dapat diuraikan menjadi, fungsi tujuan (4.5) meminimasi biaya penentuan lokasi dan transportasi untuk memenuhi semua demand atau permintaan. Fungsi batasan (4.6) setiap titik permintaan dilayani satu fasilitas saja.

(4.7) Adanya alternatif lokasi yang dapat memenuhi permintaan. (4.8) Banyaknya kapasitas pada suatu fasilitas yang dapat memenuhi permintaan. (4.9) dan (4.10) sebagai nilai variabel keputusan.

4.3 Espektasi Waktu Tunggu

Total waktu perjalanan dimodelkan sebagai p-median objective. Sedangkan espektasi waktu yang dihabiskan pada server tergantung pada tingkat laju kedatangan, tingkat laju pelayanan dan jumlah server pada lokasi yang dipilih. Misalkan Wk(λ, µ) merupakan ekspektasi waktu yang dihabiskan di sebuah lokasi server yang terdiri dari k server dengan tingkat kedatangan λ dan tingkat pelayanan µ. Un- tuk Ki ≥ 1 merupakan jumlah server yang tidak diketahui ditugaskan pada lokasi iS. Dengan K = {kl, · · · , kq} adalah penugasan server pada titik S. Dengan p adalah jumlah server maksimal yang akan dibangun, dan dij merupakan jarak dari titik i menuju titik j sedangkan wki((λi(s)), µ) adalah rata-rata waktu tunggu pada server. Jadi nilai espektasi waktu tunggu merupakan perkalian antara laju kedatangan λi dengan ratarata waktu tunggu, Sehingga dapat dibuat formula:

E(W (λi(S), µ) = λi(S).wki((λi(s)), µ) (4.11)

Misalkan λ merupakan tingkat kedatangan suatu server k, dan tingkat pelayanannya adalah µ dengan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial, waktu pelayanan berdistribusi eksponensial, jumlah server sebanyak k, serta sum- ber populasi (input) dan panjang antrian bersifat tidak terbatas dimana λn = λ dan µn = µ untuk n = 0, 1, 2, 3 · · · dengan menggunakan persamaan balance, yaitu ratein = rateout. Probabilitas ada n pelanggan didalam sistem dirumuskan dengan:

(45)

32

P0 = 1

PS−1 n=0

(^λ

µ)ⁿ

n! + ⁽

λ S)ⁿ S!(1−(_Sµ^Λ))

(4.12)

Sehingga jika 0 ≤ n ≤ k

Pn= (^λ_µ)ⁿ

n! .P0 (4.13)

dan jika n ≥ k

Pn = (^λ_µ)ⁿ S! .( λ

Sµ) = (^λ_µ)ⁿ

S!(S^n−S).P0 (4.14)

Misalkan Lq adalah panjang antrian yaitu ekspektasi jumlah pelanggan dalam antrian (rata-rata jumlah pelanggan yang sedang antri). Dan L adalah ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem antrian (rata-rata jumlah pelanggan yang sedang antri dan dilayani).W adalah ekspektasi menunggu dalam sistem antrian (rata- rata waktu yang diperlukan dalam antrian dan pelayanan). Wq adalah espektasi waktu menunggu dalam antrian (rata-rata waktu yang diperlukan menunggu dalam antrian). Dimana N (t) adalah jumlah pelanggan dalam sistem antrian pada waktu t. Pn(t) adalah probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem antrian pada waktu t. Maka diperoleh:

Lq(λ, µ) = P0(^λ_µ)^s.ρ

S!(1 − ρ)² (4.15)

L(λ, µ) = Lq(λ, µ) + λ

µ (4.16)

Wq(λ, µ) = Lq(λ, µ)

λ (4.17)

(46)

33

wq(λ, µ) = Lq(λ, µ)

λ (4.18)

W (λ, µ) = Wq(λ, µ) + 1

µ (4.19)

jadi

Misal a(1) = 1 dan ai = 1 +^µλ₍ i − 1)ai− 1 maka

Wk(λ, µ) = λ

(kµ − λ)²(ak +_(kµ−λ)^λ ) + 1

µ (4.20)

4.4 Pembentukan Model

Berdasarkan persamaan (4.1), (4.2), (4.3), (4.5) dan (4.11) Maka fungsi objektif meminimalkan F (S, K) adalah:

Minimize F (S, K) = E(T (S)) + E(W (λi(S), µ)) (4.21)

Minimize E(T(s)) =X

jJ

fixj+ αX

iI

X

jJ

λidijyij+X

jJ

λi(S).wki((λi(s)), µ)(4.22)

dengan kendala:

X

jJ

yij = 1 ∀iI, (4.23)

yij − xj ≤ 0 ∀iI, ∀jJ (4.24)

X

jJ

λiyij − Cjxj ≤ 0 ∀iI (4.25)

xj{0, 1} ∀jJ (4.26)

yij{0, 1} ∀iI∀jJ (4.27)

(47)

34

dimana :

λi(S) = X

jC_i(S)

λj (4.28)

I = Kumpulan dari titik permintaan i, I = 1,...N J = Kumpulan dari alternatif lokasi j, J = 1,...M λi = Tingkat laju kedatangan pada titik i

λj = Tingkat laju kedatangan pada titik j

xj =





yij =





Formulasi tersebut dapat diuraikan menjadi, fungsi tujuan (4.22) meminimasi biaya penentuan lokasi dan transportasi untuk memenuhi semua demand atau permintaan. Fungsi batasan (4.23) setiap titik permintaan dilayani satu fasilitas saja.

(4.24) adanya alternatif lokasi yang dapat memenuhi permintaan. (4.25) banyaknya kapasitas pada suatu fasilitas yang dapat memenuhi permintaan. (4.26) dan (4.27) sebagai nilai variabel keputusan.

4.5 Algoritma 1: Menemukan Lokasi Terbaik (Berman et al., 2007) .

1. Temukan jumlah minimum server yang diperlukan pada setiap simpul S dalam pelayanan permintaan. Jumlah minimum ini dapat dicari dengan formula

`i = int[λi(S)

µ ] + 1 (4.29)

2. JikaPq

i=1`i > p maka tidak ada solusi yang layak.

(48)

35

3. Jika Pq

i=1`i < p periksa penurunan waktu tunggu dengan mengubah `i ke

`i + 1 Tingkatkan jumlah server dari satu pada simpul dengan penurunan waktu maksimum.

4. Ulangi sampai Pq

i=1`i = p

4.6 Solusi Algorithma

Untuk satu himpunan node S, alokasi optimal dari server ke node di S dapat ditemukan dengan Algoritma 1. Biarkan F (S) = {M inkF (K, S)}. Masalahnya dikonversi untuk mencari yang terbaik himpunan S yang meminimalkan F (S).

Hal ini dapat dilakukan dengan menerapkan pendekatan metaheuristik seperti tabu search, anil simulasi, atau algoritma genetika. Terdapat kesamaan antara formulasi kami dan p-median atau p-center formula. Namun, kardinalitas dari himpunan S tidak tetap dan fungsi tujuan tidak linear. Algoritma berikut metaheuristik, dan parameter yang digunakan untuk mengimplementasikannya, masing-masing adalah hasil dari eksperimen yang luas (kecuali untuk keturunan satu).

4.7 Algoritma 2 : Prosedure Descent

Pendekatan descent dibangun dengan mendefinisikan lingkungan dari satu himpunan node S. Lingkungan didefinisikan dengan baik menghapus node dari S, atau menambahkan node ke S, atau menambahkan node ke S dan menghapus node lain dari S. kardinalitas lingkungan tersebut adalah n + q(nq) di mana q adalah kardinalitas S.

Prosedur Descent dapat dilihat sebagai berikut:

1. Mulailah secara acak S dan menghitung F (S) oleh Algoritma 1. Dalam percobaan kami, kami mulai dengan q = 1 karena satu himpunan S dengan hanya satu simpul selalu layak;

2. Periksa semua himpunan bagian S di lingkungan S dan menghitung F (S⁰) untuk setiap. Menemukan minimum dari nilai-nilai F min dan subhimpunan S min;

(49)

36

3. Jika f (min) < F (S) perubahan S untuk S(min) dan pergi ke langkah 2.

4. Jika tidak, algoritma descent berakhir. Pada tulisan ini, diperkenalkan model permasalahan lokasi server dengan mengasumsikan model antrian m/m/k.

Jumlah server harus berada pada node jaringan. Permintaan untuk server ini dihasilkan pada setiap node, dan bagian dari node harus dipilih untuk mencari satu atau lebih server di setiap titik. Tidak ada batasan pada jumlah server yang dapat dibentuk di setiap node. Setiap pelanggan pada node memilih server terdekat jumlah permintaan dibagi sama ketika jarak terdekat diukur untuk lebih dari satu node. Tujuannya adalah untuk meminimalkan jumlah waktu perjalanan dan waktu rata-rata yang dihabiskan di server, untuk semua pelanggan dengan mempertimbangkan biaya-biaya pengeluaran.

(50)

BAB 5 KESIMPULAN

Permasalahan model lokasi server adalah untuk menemukan lokasi efisien untuk penempatan sejumlah server. Tujuan dari model penentuan lokasi server ganda ini adalah peletakan server di lokasi yang efisien sehingga dapat menghemat waktu perjalanan pelanggan menuju server terdekat dan waktu yang dihabiskan pelanggan pada server serta mempertimbangkan biaya-biaya yang efisien. Hasil dari model tersebut menyatakan bahwa peletakan efisien server pada node graph, dimana server p harus berada di beberapa node jaringan. Pada satu node me- mungkinkan diletakkan lebih dari satu atau tepat satu server, atau tidak ada satu server pun pada node tersebut.

(51)

DAFTAR PUSTAKA

Berman, O, dan Krass, D. (2002). Facility location problems with stochastic demands and congestion. In Z. Drezner and H. W. Hamacher (Eds.), Location analysis applications and theory (pp. 329371) Springer , NewYork.

Berman O, dan Drezner Z. (2007). The multiple server location problem. Journal of the Operational Research Society 2007;58:919.

Daskin. (2008). What You Should Know About Location Modeling. Naval Research Logistics, Vol. 55.

Drezner Z. (1986) Location Of Regional Facilities Naval Research Logistic Quarterly, 33, 523-529.

Drezner Z, dan Wesolowsky GP (1991) Facility location when demand is time de- pendent. Naval Res Logist 38:763777.

Drezner Z, dan Hamacher H (2002) Facility location Applications and theory.

Springer, Berlin.

Dileep R, dan Sule (2001). Logistics of Facility Location and Allocation Marcel Dekker,Inc;New York.

Hakimi SL (1964) Optimum locations of switching centers and the absolute centers and medians of a graph. Oper Res 12:450459.

Robertazzi, T,(2000). Computer Networks and Systems Queing Theory and Perfor- mance Evaluation. Third Edition. Springer-Verlag, New York.

Wallace J. H (2005) Single Server Queueing Models, Department of Industrial En- gineering and Management Sciences Northwestern University, Newyork.

Wang Q, Batta R dan Rump CM (2002). Algorithms for a facility location problem with stochastic customer demand and immobile servers. Operation Research 111: 17-3.

Weber, A.(1929). Uber den Standort der Industrien, Tubingen, (English translation by friedrich, C. J. (1929)). Theory of the Location of Industries, University of Chicago Press. Chicago.