44 Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan Kuadrat

2-1 FUNGSI

2-1-1 KajianUlang tentang Fungsi atau Pemetaan A. Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau pemetaan adalah relasi himpunan A ke himpunan B yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat pada satu anggota himpunan B.

Jika fungsi itu diberi nama f, maka fungsi tersebut dituliskan dengan lambing

B A

f :  (dibaca: f memetakan A ke B)

Apabila fungsi f memetakan setiap x € A dengan tepat ke satu anggota y € B, maka

y x

f :  _{(dibaca: y adalah peta dari x oleh f)}

Peta dari x € A oleh fungsi f sering dituliskan sebagai f(x) dan bentuk f(x) disebut rumus bagi fungsi f.

Sebagai contoh, fungsi _f :_{x x}2_2_x3 _{dapat dinyatakan:} a) Rumus untuk fungsi f adalah   2 2 3

  x x

x

f dengan x R.

b) Peta dari 0 adalah  0 02 2(0) 3 3    

f

Peta dari 1 adalah  1 12 2(1) 3 2    

f , . . . dan seterusnya.

Ingat bahwa f(0) adalah nilai fungsi f(x) untuk x = 0.

Jadi, secara umum f(a) = a2 _{– 2a +3 adalah nilai fungsi f untuk x = a.}

c) Grafik fungsi f digambarkan dengan persamaan _yx2 _2_x3_.

B. Daerah Asal, DAerah Kawan, dan Daerah Hasil

Misalkan f sebuah fungsi yang memetakkan tiap anggota himpunan A ke himpunan B ( f :A B_{), maka:}

a) Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) fungsi f b) Himpunan B dinamakan daerah kawan (kodomain) fungsi f

c) Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan A dinamakan wilayah hasil (range) fungsi f.

Fungsi-fungsi yang termasuk dalam fungsi khusus diantaranya adalah fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linier, fungsi kuadrat, dan fungsi modulus.

1. Fungsi Konstan

Fungsi konsta adalah suatu fungsi y = f(x) dengan f(x) sama dengan sebuah konstanta (tetapan) untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Artinya untuk semua nilai x dalam daerah asal Df hanya berpasangan dengan sebuah nilai dalam wilayah hasil Wf. Dalam bentuk pemetaan, fungsi konstan ditulis sebagai

k x f x

f :  ( ) , dengan x R dan k adalah sebuah konstanta atau nilai

tetapan.

2. Fungsi Identitas

Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua niali x dalam daerah asalnya. Ini berarti untuk sebuah nilai x dalam daerah asal Df berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam wilayah hasil Wf. Fungsi identitas f(x) = x seringkali dituliskan sebagai I(x) = x (I menyatakan identitas)

3. Fungsi Linier

Fungsi linier adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = ax + b (a dan b R, a0) untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linier juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi sukubanyak berderajat satu dalam variable x.

4. Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah ( ) 2 ( , , , 0)   

 

 f x ax bx c a b c R a

y untuk semua

nilai x dalam darah asalnya. Fungsi kuadrat juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi sukubanyak berderajat dua dalam variable x.

Grafik fungsi kuadrat y f(x)ax2bxcdalam bidang cartesius dikenal sebagai parabola.

5. Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak

Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi y = f(x) dengan

x x

f( ) untuk semua niali x dalam daerah asalnya. Bentuk x _dibaca

  

 

  

0 ,

0 ,

x x x x

Oleh karena nilai mutlak suatu bilangan real x tidak pernah negative, maka grafik fungsi y f(x) x _{tidak pernah terletak dibawah sumbu x.}

D. Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif 1. Fungsi Surjektif

Untuk memahami pengertian fungsi surjektif, perhatikan himpunan

1,2,3,4



A _{dan himpunan} B _a,b,c_. Dari himpunan A ke hipunan B

ditentukan fungsi-fungsi f dan g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.

B A

f :  _dengan f _



(1,a),(2,b),(3,c),(4,c)



B A

g:  _{dengan g }



_{(1,a),(2,a),(3,b),(4,b)}



Definisi:

Fungsi f :A B_{disebut sebagai}

 Fungsi kepada B, jika wilayah hasil fungsi f sama dengan himpunan B

atau Wf = B.

 Fungsi ke dalam B, jika wilayah hasil fungsi f merupakan himpunan

bagian dari himpunan B atau Wf  B.

2. Fungsi Injektif

Untuk memahami pengertian fungsi injektif, himpunan A1,2,3 _dan

a b c

B  , , . Dari himpunan A ke himpunan B ditentukan fungsi f dan fungsi

g dalam bentuk pasangan terurut sebagai berikut.

B A

f :  _dengan f _



(1,a),(2,b),(3,c)



B A

g:  _{dengan g }



_{(1,a),(2,b),(3,c)}



Definisi:

Fungsi f :A B _{disebut fungsi atu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya}

jika untuk sembarang a1dan a2 Adengan a1 a2berlaku f(a1) f(a2).

3. Fungsi Bijektif

Fungsi f :A B _{disebut fungsi bijektif, jika dan hanya jika fungsi f adalah}

fungsi surjektif dan juga fungsi injektif.

2.1.2 Fungsi Linier

Fungsi linier adalah fungsi y  f(x)dengan f(x)axb(a,bR,a0)untuk semua x dalam daerah asalnya. Fungsi linier juga dikenal sebagai fungsi polinom atau fungsi sukubanyak berderajat satu dalam variable x.

Grafik fungsi linier y f(x)axbdalam bidang cartesius berupa garis lurus yang tidak sejajar dengan sumbu X maupun sumbu Y. grafik fungsi linier ini memotong sumbu Y di sebuah titik dengan ordinat y = b. Bilangan a disebut gradient atau koefisien arah dari garis lurus tersebut, dan atan, _adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus terhadap sumbu X positif.

2.1.3 Fungsi Kuadrat

Perhatikan beberapa fungsi berikut ini.

 ( ) 2 1

 x

x f

 f(x) 2x2 6x

 

 ( ) 2 4 3

  

x x

x f

 ( ) 3 2 4 3

 

 x x

x f

Pangkat tertinggi bagi peubah x pada tiap fungsi diatas sama dengan dua. Fungsi yang mempunyai cirri seperti itu disebut fungsi kuadrat dalam peubah x. dengan demikian bentuk umum fungsi kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Bentuk Umum Fungsi Kuadrat

Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a0_{, maka fungsi yang dirumuskan oleh}

c bx ax x

f( ) 2  dinamakan fungsi kuadrat dalam peubah x.

Grafik fungsi kuadrat ditulis dalam notasi y f(x)ax2 bxcdan grafik fungsi kuadrat disebut parabola.

Misalkan suatu fungsi kuadrat ditentukan dengan rumus

) 0 , , , ( )

( 2

  

 

 f x ax bx c a b c R a

y . Grafik fungsi kuadrat itu adalah sebuah

parabola dengan persamaan yax2bxc.

Sketsa grafik fungsi kuadrat itu secara umum dapat digambar dengan cara menentukan terlebih dahulu:

a) Titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y. b) Titik puncak atau titik balik parabola. c) Persamaan sumbu simetri.

1. Titik Potong dengan sumbu X dan sumb Y

a. Titik potong dengan sumbu X

Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika ordinat Y = 0, sehingga

0

2

  bx c

ax , yang merupakan persamaan kuadrat dalam x. Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu X.

Nilai diskriminan persamaan kuadrat 2 0   bx c

ax , yaitu D b2 4ac



 ,

menentukan banyak titik potong dengan sumbu X. 1. Jika 2 4 0

  ac

b , maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua

titik yang berlainan.

2. Jika 2 4 0

  ac

b , maka grafik fungsi f memotong sumbu X di dua

titik berimpit. Dalam hal demikian, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu X.

3. Jika 2 4 0   ac

b , maka grafik fungsi f tidak memotong maupun

menyinggung sumbu X. b. Titik potong dengan sumbu Y

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika absis x = 0, sehingga

. )

0 ( ) 0

( 2 _{b c c}

a

y    Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,c).

1. Jika c > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di atas titik asal O.

3. Jika c < 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu Y di bawah titik asal O.

2. Titik Puncak atau Titik Balik dan Persamaan Sumbu Simetri

Titik puncak atau ttik balik sebuah parabola dapat dicari dengan mengubah bentuk kuadrat pada ruas kanan persamaan parabola menjadi bentuk kuadrat sempurna. Dari bentuk kuadrat itu selanjutnya dapat pula ditentukan persamaan sumbu simetrinya.

Mari kita tinjau persamaan parabola berikut.

a

a selalu positif atau sama dengan nol untuk semua x R, maka

2

nilai itu tercapai jika 2 2 

 . Jadi, titik puncak atau titik

Bentuk ₂ 2

a selalu negatif atau sama dengan nol untuk semua xR, maka

2

a = 0 merupakan nlai terbesar (maksimum) dari

2

 mempunyai nilai maksimum





a

 . Jadi, titik puncak atau titik

balik maksimum parabolay a x b_a b _aac

Dari keterangan di atas, kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Parabola ( ) 2 ( , , , 0)

2. Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas. Jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.

3. Persamaan sumbu simetri parabola y ax2bxcadalah

Setelah kita memahami pengertian titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y, titik puncak atau titik balik parabola, serta persamaan sumbu simetri, kini tiba gilirannya untuk mempelajari cara menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum. Langkah-langkah untuk menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat secara umum adalah sebagai berikut.

Langkah 1

Tentukan titik-titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y.

Langkah 2

Langkah 3

Gambakan koordinat titik-titik hasil Langkah 1 dan Langkah 2 pada bidang koordinat. Kemudian hubungkan titik-titik itu dengan kurva yang mulus, dengan memperlihatkan apakah parabola itu terbuka ke atas atau ke bawah.

2.1.5 Membentuk fungsi Kuadrat

Dalam pasal 2-1-4 telah dibahas cara-cara membuat sketsa grafik fungsi kuadrat apabila persamaan atau rumus fungsi kuadrat tersebut sudah diketahui. Sebaliknya apabila sketsa grafik suatu fungsi kuadrat diketahui kia dapat menentukan rumus fungsi kuadrat tersebut. Proses demikian disebut membentuk atau menyusun fungsi kuadrat.

Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat seringkali mempunyai cirri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya sebagai berikut. a. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di Ax1,0 dan Bx2,0, serta

melalui sebuah titik tertentu.

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:



1



2



)

(x a x x x x

f

y   

Dengan nilai a ditentukan kemudian.

b. Grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X di Ax1,0dan melalui sebuah

titik tertentu.

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:

 2

1

)

(x a x x f

y  

Dengan nilai a ditentukan kemudian.

c. Grafik fungsi kuadrat melalui titik puncak atau titik balik P(xp,yp), dan melalui sebuah titik tertentu.

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:



x xp



yp

a x f

y ( )  2

Dengan nilai a ditentukan kemudian.

d. Grafik fungsi kuadrat melalui titik-titik Ax1,y1, Bx2,y2, dan Cx3,y3.

Persamaan fungsi kuadratnya dapat dinyatakan sebagai:

c bx ax x f

Dengan nilai a ditentukan kemudian.

2.1.6 Merancang Model Matematika yang Berbentuk Fungsi Kuadrat

Dalam beberapa perhitungan matematika dan dalam kehidupan sehari-hari, seringkali diperoleh model matematika yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Nilai ekstrim (maksimum atau minimum) mempunyai peran penting dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi kuadrat. Dalam kehidupan sehari-hari, nilai maksimum atau nilai minimum diungkapkan dengan menggunakan kata yang berbeda-beda misalnya:

a. Kata-kata terjauh, terbesar, tertinggi, terpanjang, terluas, . . . atau yang searti dengan kata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai maksimum fungsi kuadrat.

b. Kata-kata terekat, terkecil, terendah, terpendek, tersempit, . . . atau yang searti dengan kata-kata itu, dapat dihubungkan dengan konsep nilai minimum fungsi kuadrat.

Jika dalam sebuah masalah memuat kata-kata seperti di atas, maka hal ini merupakan indicator bahwa masalah tersebut dapat dipecahkan dengan menggunakan model matematika berbentuk fungsi kuadrat. Setelah diketahui bahwa karakteristiik masalahnya berkaitan dengan model matematika yang berbentuk fungsi kuadrat, langkah-langkah penecahan masalah selanjutnya adalah sebagai berikut:

1. Nyatakan besaran yang adadalam masalah sebagai variable (dilambangkan dengan huruf-huruf) untuk mendapatkan hubungan atau ekspresi matematikanya.

2. Rumuskan fungsi kuadrat yang merupakan model matematika dari masalah. 3. Tentukan penyelesaian sari model matematika fungsi kuadrat yang diperoleh

pada langkah 2.

4. Tafsirkan hasil-hasil yang diperoleh pada langkah 3 terhadap masalah semula.

2-2-1 Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Sebelum membahas cara-cara untuk menentukan akar-akar dari sebuah persamaan kuadrat, akan dibahas terlebih dahulu bentuk umum dari suatu peramaan kuadrat. Untuk tujuan itu, simaklah beberapa persamaan berikut ini:

.

Perhatikan bahwa, setiap persamaan di atas mempunyai pangkat tertinggi bagi peubah x sama dengan dua. Persamaan yang mempunyai bentuk seperti itu disebut persamaan kuadrat dalam peubah x atau persamaan berderajat dua dalam peubah x. berdasarkan fakta ini, bentuk umum dari persamaan kuadrat dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Misalkan a,b,c Rdan a0, maka persamaan berbentuk 2 0   bx c

ax

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x.

Dalam persamaan kuadrat 2 0

 adalah sebagai berikut:

 2 3 0

Berkaitan dengan nilai-nilai dari a, b, dan c, dikenal beberapa nama persamaan kuadrat, diantaranya adalah:

1. Jika a = 1, maka persamaan menjadi 2 0   bx c

ax dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa.

2. Jika b = 0, maka persamaan menjadi 2 0  c

3. Jika c = 0, maka persamaan menjadi 2 0  bx

ax dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat tidak lengkap.

4. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan real, maka 2 0   bx c

ax disebut

persamaan kuadrat real.

5. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional, maka 2 0   bx c

ax disebut

persamaan kuadrat rasional.

Selain itu, ada beberapa persamaan kuadrat yang dinyatakan tidak dalam bentuk baku, misalnya: melakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada persamaan pada umumnya. Sifat-sifat yang dimaksudkan adalah:

1. Kedua ruas suatu persamaan dapat ditambah atau dikurangi dengan suatu bilangan atau variable yang sama. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula.

2. Kedua ruas suatu persamaan dapat dikali atau dibagi dengan suatu bilangan atau variable yang sama, asalkan bilangan atau variable itu tidak sama dengan nol. Persamaan baru yang diperoleh tetap ekuivalen dengan persamaan semula.

2.2.2 Akar-akar Persamaan Kuadrat

Persamaan 2 0

  bx c

ax dapat disesuaikan dengan cara menentukan nilai pengganti x yang memenuhi persamaan itu. Nilai pengganti x yang memenuhi

persamaan kuadrat 2 0

  bx c

Kita masih ingat bahwa untuk menyelesaikan (menentukan akar-akar) persamaan kuadrat ada beberapa cara, di antaranya adalah dengan cara:

a. memfaktorkan

b. melengkapkan kuadrat sempurna c. menggunakan rumus kuadrat, dan

d. menggambarkan sketsa grafik fungsi f(x)ax2bxc

Kita akan pelajari kembali 3 cara yang pertama untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat.

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada system bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut.

Jika a,b Rdan ab0, maka a = 0 atau b = 0

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Bentuk-bentuk seperti _{9 3}2_,4 2 _{(2 )}2_{,( 1)}2_{,(2 3)}2

 



 x x x x merupakan beberapa

contoh bentuk kuadrat sempurna. Pada hakikatnya, tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar yang diperlukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah atau mengurangi bagian suku tetapan, seperti diperlihatkan pada ilustrasi berikut ini.

 Bentuk 2 2 4

  x

x dapat dimanipulasi aljabar sebagai berikut.

2 2 4   x

x

, 4 ) 1 ( ) 1 2 ( 2

    

 x x mengapa ditambah dengan (-1)?

, 3 ) 1

( 2

 

 x bentuk ini memuat bentuk kuadrat sempurna (x1)2.

Proses pengubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrta sempurna semacam ini dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.

Sekarang, proses melengkapkan kuadrat akan digunakan untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat 2 10 21 0

 

 x

x sebagai berikut.

Langkah 1: Melengkapkan Kuadrat Sempurna 2 10 21 0

 

 x

21

Kita ubah bagian ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna: 2 10 21

Langkah 2: Menentukan akar-akar

Dari persamaan yang terakhir ini, akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan memakai sifat sebagai berikut.

Jika p0_{dan berlaku}x2  p, maka x p dengan p0 Dengan menggunakan sifat di atas, maka diperoleh:

( 5)2 4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 2 10 21 0  

 x

x adalahx1 7 atau x2 3. dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan HP =3,7_.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna melalui langkah-langkah sebagai berikut:

1. Ubahlah persamaan kuadrat semula ke dalam bentuk

, persamaan yang terakhir.

q p

x )

( _atau xp q

Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat dengan Memakai Rumus Kuadrat

Metode paling umum untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat

y = 0.75 (x + 3.333) (x - 6-000)

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

dapat dituliskan menjadi

.

dan

.

2-3 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Perubah (variable) adalah lambang (symbol) yang digunakan untuk menyatakan sebarang anggota suatu himpunan. Jika himpunannya R maka perubahnya disebut perubah real. Selanjutnya, yang dimaksudkan dengan perubah adalah perubah real.

Pertidaksamaan (inequality) adalah pernyataan matematis yang memuat satu perubah atau lebih dan salah satu tanda ketidaksamaan (<, >, , ).Menyelesaikan suatu pertidaksamaan memiliki arti mencari seluruh bilangan



real yang dapat dicapai oleh perubah-perubah yang ada dalam pertidaksamaan tersebut sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi benar.Himpunan semua bilangan yang demikian ini disebut penyelesaian. Sifat-sifat dan hukum dalam R sangat membantu dalam mencari penyelesaian suatu pertidaksamaan.

CONTOH 1:

Tentukan penyelesaian pertidaksamaan: x² - 5x + 6 > 0!

Jawab :

Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka diperoleh: (x-2) (X - 3) > 0.Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu

(i). Jika ke dua faktor positif maka:x -2>0 dan x-3>0 ↔x>2 dan x>3, sehingga diperoleh: x>3

Perhatikan pertidaksamaan dibawah ini : x2 _{– 4x + 3 < 0}

x2 _{+ 2x - 3 ≤ 0}

2x2 _{– 11x + 5 > 0}

3x2 _{–4x - 2 ≥ 0}

Setiap persamaan memuat variabel x berpangkat 2. pertidaksamaan yang berbentuk seperti ini disebut pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x. ada 4 macam, yaitu :

ax 2 _{+ bx + c < 0}

ax 2 _{+ bx + c ≤ 0}

ax 2 _{+ bx + c > 0}

ax 2 _{+ bx + c ≥ 0 , dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a ≠ 0.}

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ada dua cara yaitu

Dengan grafik

Contoh : x2 _{– x < 3x}

Penyelesaian :

Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi 0 yaitu x2 _{– x < 3x ; x}2 _{– 4x < 0}

Fungsi kuadrat adalah f(x)=x2 _{– 4x. pembuat nol fungsi tersebut adalah}

x2 _{– 4x = 0}

x(x – 4) = 0 x = 0 atau x =4

karena f(x)=x2 _{– 4x,maka nilai a =1 > 0 dan D = 16 >0 yang berarti grafik x}2 _{– 4x}

memotong sumbu x dan membuka ke atas dengan titik-titk potongnya adalah (0,0) dan (4,0)untuk x < 0 atau x > 4, f(x) bernilai positif f(x) > 0(pada grafik, nilai f(x) terletak diatas sumbu x)untuk 0 < x > 4, f(x)bernilai negative f(x)<0(pada grafik, nilai f(x) terletak dibawah sumbu x)jadi penyelesaian dari pertidaksamaan x2 _{– x <}

Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ada dua cara yaitu a. Dengan garis bilangan.

Contoh : x2 _{– 3x + 2 > 0}

Penyelesaian : x2 _{– 5x + 6 ≤ 0}

x2 _{– 3x + 2 = 0 --> Langkah 1}

(x – 1) (x - 2) = 0 --> Langkah 2

X1 = 1 atau X2 = 2 --> Langkah 3 (nilai-nilai pembuat nol)

Sekarang perhatikan (x-1) bernilai positif untuk x >1 dan bernilai negatif untuk x <1, begitu juga untuk (x-2) akan bernilai positif untuk x > 2 dan bernilai negatif untuk x < 2. untuk menentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan dapat dilihat tabel dibawah ini :

Tabel 1. Garis bilangan x2 _{– 3x + 2 > 0}

Dari tabel tersebut dapat dijelaskan :

Untuk x < 1

(x-1) dan (x-2) keduanya bernilai negatif, maka hasil kalinya positif, contoh x = 0; (0-1) (0-2); (-1) (-2) = 2, berarti (x-1) (x-2) > 0

Untuk 1 < x < 2

(x-1) bernilai positif dan (x-2) bernilai negatif, maka hasil kalinya negatif yaitu (x-1) (x-2) < 0

Untuk x > 2

Jadi dapat disimpulkan bahwa : x2 _{-3x + 2 > 0 akan terpenuhi oleh x < 1 dan x > 2}

aatu himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < 1 atau x > 2, x € R }, garis bilangannya adalah :

Gambar 2. Garis bilangan x2 _{– 3x + 2 > 0}

Latihan Soal Bab 2

1 Penyelesaian pertidaksamaan x 2 _{– x – 6 < 0 adalah ....}

a < x < 3 b < x < 2

c < x < 3

d x < - 2 atau x > 3 e x < -3 atau x > 2

2 Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (x + 1 ) 2 _{- 5(x + 1 ) + 6 < 0 adalah ....}

a x < 2 b x > 1

c x < 1 atau x > 2

d 1 < x < 2 e 1 < x < 2

3 Penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 _{– 3x – 5 < - x – 2 adalah ....}

a x < - 1 atau x > 3 b x < - 3 atau x > 1 c 1 < x < 3

d < x < - 1

e x < 1 atau x > 3

4 Persamaan kuadrat x2 _{– 5x + 6 = 0 mempunyai akar – akar x}

1 dan x2.

Persamaan kuadrat yang akar – akarnya x1 – 3 dan x2 – 3 adalah ….

a x2 _{– 2x = 0}

b x2 _{– 2x + 30 = 0}

c x2 _{+ x = 0}

d x2 _{+ x – 30 = 0}

e x2 _{+ x + 30 = 0}

5 Pak Musa mempunyai kebun berbentuk persegi panjang dengan luas 192 m2_.

Selisih panjang dan lebarnya adalah 4 m. Maka ukuranya adalah... a 11 , 12

b 11, 13 c 12, 16