A. Tujuan Pembelajaran - Identitas Trigonometri

Kegiatan Belajar 2

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat a. Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian

b. Membuktikan identitas trigonometri sederhana dengan menggunakan rumus hubungan antara perbandingan trigonometri

c. Memahami hubungan antara koordinat kutub dan koordinat cartesius suatu titik.

B. Uraian Materi 2

Identitas Trigonometri

a). Identitas Pythagoras

Pada gambar di atas berlaku :

θ θ

θ θ

cos cos

sin sin

2

Sehingga titikP (x, y)kita bisa menuliskan menjadiP (r cos , r sin )dengan menggunkan teorema Pythagoras maka akan didapat

(

)

(

)

(

)

1 sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

sin cos

Hubungan dari persamaan-persamaan di atas disebutidentitas trigonometri dan sering disebut dengan identitas Pythagoras.

Dari identitas di atas dapat diturunkan menjadi beberapa identitas, diantaranya.

θ

cos cot

1 ).

sec tan

1

b). Identitas Kebalikan

θ

tan 1 cot

cot 1 tan

. 3

cos 1 sec

sec 1 cos . 2

sin 1 cos

cos 1 sin

.

atau atau

ec atau

ec

c). Identitas Perbandingan (Kuesien)

θ

sin cos cot

. 2

cos sin tan

. 1

= =

Contoh :

1. Jika diketahui

12 5

tanA=− dan 90o<A< 180otentukan a. secA b. sinA

Penyelesaian

a. Dengan menggunakan identitas Pythagoras maka

12 13 sec

144 169 sec

144 25 144 sec

144 25 1 sec

sec 12

5 1

Karena 90o<A< 180oterletak dikuadran II maka secA= 12 13

−

b. Dengan menggunakan identitas kebalikan

13 12 cos

12 13 1 cos

sec 1 cos

−

Selanjutnya diselesaikan dengan identitas perbandingan

13 5 sin

12 5 13 12 sin

cos tan

sin

cos sin tan

=

2. Buktikan bahwa

A A A

A

sin 1

cos tan

sec

+ + =

Penyelesaian

Kita ubah ruas kanan

A A A

A A

sin 1

cos cos

sin sec

+

sec sec

cos 1 sec

sin 1 cos

1 sin sec

sin 1 cos

cos sin

sin sec

sin 1 cos

cos . cos sin

1 sin sec

2 2

Jadi, terbukti

A A A

A

sin 1

cos tan

sec

3. Sederhanakan bentuk dari a.

θ θ θ

sin tan cos 2

b. 3 – 3 cos2

Penyelesaian

a.

θ θ θ θ

θ θ θ

sin cos sin . cos sin

tan cos

2 2

=

θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ

tan cos sin

sin 1 cos

sin sin cos sin

2 2

= =

× =

=

Koordinat kutub

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri maka nilai pada gambar di atas adalah 45o. titik P (3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, yakni P (3 2, 45o) .

Titik P(3, 3) disebut koordinat cartesius sedangkang P (3 2, 45o) disebut sebagai koordinat

kutub.

Secara umum koordinat cartesius dapat ditulis P(x, y) dan koordinat kutub P(r, ) Kita telah mengetahui bahwa

r x r y

= =

θ θ

cos sin

maka kita temukan hubungan antara koordinat cartesius dan koordinat kutub

θ θ

θ θ

cos sin

cos .

sin .

2 2

x r atau y

r

x y r

r x

r y

= =

+ = = =

Contoh

1. Tentukan koordinat cartesius titik R (4, 150o)

Penyelesaian

•

••

••

••

•

•

•

•

•

•

•

•

••

••

•

•

•

•

•

•

•

•

P (3, 3)

r = 4 = 150o

150 cos 4

cos

−

150 sin 4

sin

=

2. Tentukan koordinat kutub dari Q(6, 3)

Penyelesaian

5 4472 , 0 sin

5 5 1 sin

5 3

3 sin sin

C. Rangkuman 2

1. Jenis-jenis identitas trigonometri a. Identitas Pythagoras

1 sin cos2_θ+ 2_{θ =}

θ

θ 2

2 _sec

tan 1+ =

θ

θ 2

2

cos cot

1+ = ec

b. Identitas Perbandingan

θ θ θ

cos sin tan =

θ θ θ

cos sin cot =

c. Identitas kebalikan

sin 1 cos

cos 1

sin = θ =

θ

θ atau ec

ec

θ θ

θ θ

cos 1 sec

sec 1

cos = atau =

θ θ

θ θ

tan 1 cot

cot 1

tan = atau =

2. Hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub

r y

= θ

sin

r x

= θ

cos

θ

sin .

r y =

θ

cos .

r x =

2 2

x y

r= + atau

θ

θ cos

sin

x r atau y

D. Lembar Kerja 2

1. Sederhanakanlah a. cos x.tan x

b. sin2x. cot2x + cos2x. tan2x c. sec x. tan x. cos x

………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. 2. Buktikan bahwa

a. (sin x – cosx)2= 1 – 2 sin x cos x b. (sin + cos )2+ (sin – cos )2= 2

c. x

x x x

x sin tan

cos sin

cos 1

= −

d. A A

A A

A A

cos sin 1 cos sin

cos sin3 3

− = +

+

e. θ θ

θ θ

cot cos

cos 1

cos 1

− =

+ −

ec

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 3. Nyatakan bentuk akar berikut ini ke dalam bentuk fungsi trigonometri sederhana

dengan mensubtitusikan x yang diberikan. a. 9−x2; untuk x =6sinα

b. 16−x2; untuk x=4cosβ

c. 4+x2; untuk x=2tanθ

4. Tentukan koordinat cartesius dari titik a. R (6, 30o) c. P (5, 240o) b. Q (2, 120o) d. T (8, 300o)

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 5. Tentukan koordinat kutub dari

a. R (5, 13) c. P (−2 15,−2 10) b. Q (- 24, 7) d. T (- 5, - 5)

6. Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 037o. kecepatan rata-rata perahu itu adalah 12 KM/jam, setelah 5 jam hitunglah:

a. Jarak dari pelabuhan b. jarak dari timur pelabuhan c. jarak dari utara pelabuhan

……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… 7. Gambar di samping adalah bandul B yang diayun ke

kanan sebesar 30o. jika panjang tali 30 cm, hitunglah a. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi tali (BA) b. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi atap (BC) ……… ……… ……… ……… ………

……… ……… ……… ……… ……… ………

30o Atap

Tali

Bandul

A B

E. Tes Formatif 2

sec 1 sec −

d. 2θ

cos 1−

b.

θ θ

sec tan

e.

θ θ θ

ec

cos cos . sec

c.

θ θ

ec

cos cot

2. Betnuk sederhana dari .... cos

sin cos sin4 4

3. Bentuk yang senilai dengan 5.tan2x + 3 adalah….

a. 2

sin 5

cos 5

2 _x− e. _cos 5

2

2_x+

c. 3

sin 5

2 +

x

4. Bentuk yang senilai dengan bentuk

x x

sin cos 1−

adalah…

a.

x x

cos 1

sin

+ −

d.

x x

cos 1

cos

+

b.

x x

sin 1

cos

− −

e.

x x

cos 1

sin

+

c.

x x

cos 1

sin

−

5. Bentuk

(

1−sin2 A

)

tan2 Adapat disederhanakan menjadi… a. 2 sin2A – 1 d. 1 – sin2A

6. Nilai dari

x x 2

tan 1

tan . 2

+ adalah…

a. 2. sin x. cos x d. 2 sin x b. sin x cos x e. 2 cos x c. 1 – 2 sin x

7. Bentuk sederhana dari

x x

x

sin tan

sec 1

+ +

adalah… a. sec x d. cosec x

b. sin x e. cos x

c. tan x

8. Diketahui p−q=cosx dan 2pq =sinx makap2+ q2=….. a. sin x + cos x d. sin2x + sin2x

b. sin2x + cos2x e. cos2x – sin2x c. sin2x – cos2x

9. Untuk setiap sudut , maka bentuk (1 – sin2 )(1 + tan2 ) dapat disederhanakan menjadi…

a. 1 + sin2 d. 1 b. sin2 – cos2 e. sin2 c. 1 + cos2

10. Bentuk sederhana dari

A A A

sin 1

cos tan

+

+ adalah…

a. sec A d. tan A

b. cos A e. cosec A c. cot A

11. Koordinat kutub (8, 30o) jika dinyatakan dalam koordinat cartesius adalah…. a.

(

4,4 3

)

d.

(

4 2,4 3

)

12. Koordinat kutub dari titik

(

−1, 3

)

adalah.. a. (2, 120o) d. (2, 330o)

b. (2, 240o) e. (2, 360o) c. (2, 300o)

13. Koordinat cartesius dari titik P (1, y) dan koordinat kutubnya adalah P ( 2, o), jika titik P terletak di kuadran I. maka nilai y dan berturut-turut adalah… a. 3 dan 30o d. 2 dan 225o

b. 1 dan 45o e. 1 dan 315o c. 1 dan 135o

14. Koordinat titik P adalah (3, 30o). posisi P pada koordinat cartesius adalah..

a. 3

2 3 , 2 3

d. 3 2 3 , 3

b.

2 3 , 3 2 3

e. 3,3 2 3

c. 2 3 , 3

15. Koordinat titik Q adalah 2 2 1 , 2 2 1

. Posisi Q dalam koordinat kutub adalah..

a. 3 ,

1 π d.

4 , 2 1 π

b. 6 ,

1 π e.

3 , 1 π