IDENTITAS TRIGONOMETRI. Tujuan Pembelajaran

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami jenis-jenis identitas trigonometri.

2. Dapat menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian masalah.

3. Dapat membuktikan kebenaran identitas trigonometri dengan menggunakan rumus hubungan perbandingan trigonometri.

4. Dapat mengubah koordinat kutub menjadi koordinat Cartesius dan sebaliknya. 5. Dapat menerapkan identitas trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.

A. Jenis-Jenis Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah suatu persamaan yang memuat fungsi-fungsi trigonometri dan bernilai benar untuk setiap konstanta anggota domain fungsinya. Identitas trigonometri dasar dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu sebagai berikut.

1. Identitas Kebalikan

Identitas kebalikan diperoleh dari defi nisi perbandingan trigonometri. a. sin

sin θ

θ θ θ

= 1 = 1

cosec ataucosec b. cosθ=_sec1_θatausecθ=_cos1_θ c. tan

tan θ

θ θ θ

= 1 = 1

cotan ataucotan

matematika WAJIB

K

e

l

a

s X

2

2. Identitas Perbandingan (Kuosien)

Sama halnya dengan identitas kebalikan, identitas perbandingan juga diperoleh dari definisi perbandingan trigonometri.

y r θ x a. tan sin cos θ θ θ = = ÷ = = y x y x r r y r x r

Jadi, identitas perbandingan tan sin cos θ θ θ = . b. cotan θ θ θ = = ÷ = = x y x y r r x r y r cos sin

Jadi, identitas perbandingan cotan θ θ θ =cos

3

3. Identitas Pythagoras

Identitas ini diperoleh dari teorema Pythagoras. Perhatikan gambar berikut. r P (x, y) y Y θ x X O

Pada gambar tersebut, berlaku:

x y r y r y r x r x r 2₊ 2₌ 2 = → = = → = sin sin cos cos θ θ θ θ

Berdasarkan definisi tersebut, titik P (x, y) dapat kita tuliskan menjadi P(r cos θ, r sin θ). Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh:

x y r r r r r r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = ⇔

(

)

+

(

)

= ⇔ + = ⇔ + cos sin cos sin cos s θ θ θ θ θ iin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 ₁ θ θ θ θ θ

(

)

= ⇔ + = ⇔ + = r r r

Jadi, identitas Pythagoras adalah sin2_θ+cos2_{θ= 1}.

Identitas Pythagoras yang lain dapat diperoleh dengan membagi persamaan Pythagoras dengan sisi kuadrat lainnya, misalnya dengan sisi x2_.

x y r x x x y x r x y x r x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 + = ⇔ + = ⇔ +    _ =_ _ ⇔ +tan θ=secc2_θ

4

Jika persamaan dari teorema Pythagoras dibagi dengan sisi y2_{, diperoleh:}

x y r y x y y y r y x y r y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 + = ⇔ + = ⇔      + =      ⇔cotan θ+ =ccosec2_θ

Jadi, identitas Pythagoras yang lain adalah cotan2_{θ+ =1} cosec2_θ.

Contoh Soal 1

Jika tan A= − 5 dengan < <A

12 90 180

o o_{, tentukan nilai berikut.}

a. sec A b. sin A

Pembahasan:

a. Dengan menggunakan identitas Pythagoras, diperoleh: 1 1 5 12 1 25 144 144 2 2 2 2 2 2 + = ⇔ + −   _ = ⇔ = + ⇔ = + tan sec sec sec sec A A A A A 225 144 169 144 13 12 ⇔ = ± ⇔ = ± sec sec A A

Oleh karena 90o _{< A < 180}o_{, maka A terletak dikuadran II, sehingga sec A = −}13

12. Jadi, sec A = −13

5

b. Dengan menggunakan identitas kebalikan, diperoleh: cos sec cos cos A A A A = ⇔ = − ⇔ = − 1 1 13 12 12 13

Selanjutnya, dengan menggunakan identitas perbandingan, diperoleh: tan sin

cos

sin tan cos sin si A A A A A A A = ⇔ = × ⇔ = −   _ −_ _ ⇔ 5 12 12 13 nn A = 5 13 Jadi, sin A = 5 13.

Contoh Soal 2

Diketahui cosA−sinA= 7

5 . Nilai dari cos A + sin A = ….

Pembahasan:

Mula-mula, kuadratkan bentuk cos A − sin A. cos sin cos sin cos sin

(cos sin ) A A A A A A A A −

(

)

= − + ⇔    _ = + 2 2 2 2 2 2 2 7 5 −− ⇔ = − ⇔ = − 2 49 25 1 2 2 24 25 sin cos sin cos sin cos A A A A A A

6

Selanjutnya, kuadratkan bentuk cos A + sin A. cos sin cos sin cos sin

cos sin (cos sin

A A A A A A A A A +

(

)

= + + ⇔

(

+

)

= + 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 1 24 25 25 2 A A A A A A A ) sin cos cos sin cos sin + ⇔

(

+

)

= + −   _ ⇔

(

+

)

= 55 24 25 1 25 1 5 2 − ⇔

(

+

)

= ⇔ + = ± cos sin cos sin A A A A

Jadi, nilai dari cosA+sinA= ± 1 5.

B. Membuktikan Kebenaran Identitas Trigonometri

Suatu identitas trigonometri perlu dibuktikan kebenarannya. Cara membuktikannya adalah dengan menggunakan rumus-rumus atau identitas-identitas yang telah dibuktikan sebelumnya. Secara umum, ada tiga cara yang dapat digunakan dalam pembuktian ini, yaitu sebagai berikut.

1. Ruas kiri diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kanan. 2. Ruas kanan diubah bentuknya sehingga menjadi tepat sama dengan ruas kiri. 3. Ruas kiri dan kanan diubah menjadi bentuk lain sehingga kedua bentuk hasil

pengubahan tersebut tepat sama.

Dalam proses pembuktian, selain yang disebutkan di atas, ada hal-hal penting yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut.

1. Perubahan-perubahan bentuk yang dilakukan harus diarahkan ke bentuk yang menjadi tujuan pembuktian. Bentuk-bentuk yang dituju biasanya adalah bentuk yang lebih sederhana dan dapat disesuaikan dengan bentuk-bentuk lainnya. 2. Selain menggunakan hubungan antara sekan dan tangen, serta kosekan dan

kotangen, fungsi-fungsi tangen, kotangen, sekan, dan kosekan dapat diubah menjadi fungsi sinus atau kosinus.

7

Contoh Soal 3

Buktikan identitas berikut.

a. sinα⋅cos tan = 1 cosα⋅ α ( − α)(1+ cosα) b. sin tan + cos = secβ⋅ β β β

Pembahasan:

a. Kita ubah bentuk ruas kiri.

sin cos tan sin cos sin sin si α α α α α α α α α ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = sin cos nn cos cos cos 2 2 1 1 1 α α α α = − = −

(

)

(

+

)

Jadi, terbukti bahwa sinα⋅cosα⋅tan = 1 cosα ( − α)(1 cos+ α). b. Kita ubah bentuk ruas kiri.

sin tan + cos = sin β β β β sin _cosβ_β+ cos β β β ⋅ ⋅ =sin cos + c 2 oos sin cos + cos cos sin cos cos cos 2 2 2 2 β β β β β β β β β β = = + = = 1 sec

Jadi, terbukti bahwa sin tan + cos = secβ⋅ β β β.

Contoh Soal 4

Buktikan bahwa sec2_α

(

₁₋cos2_α

)

₌tan2_α

8

Pembahasan:

Kita ubah bentuk ruas kiri. sec cos cos sin sin cos tan 2 2 2 2 2 2 2 1 1 α α α α α α α −

(

)

=

(

)

= =

Jadi, terbukti bahwa sec2_α

(

₁₋cos2_α

)

₌tan2_α.

Contoh Soal 5

Buktikan bahwa sin2_α+sin cos2_α 2_α+cos4_{α= .1}

Pembahasan:

Kita ubah bentuk ruas kiri.

sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin s 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 α α α α α α α α α α + + = + +

= + iin cos cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 1 2 1 α α α α α α α +

(

)

= +

( )

= + =

jadi, terbukti bahwa sin2_α+sin cos2_α 2_α+cos4_{α= .1}

Contoh Soal 6

Buktikan bahwa sec tan cos sin A A A A = + + 1 . Pembahasan:

Kita ubah bentuk ruas kanan. tan cos sin sin cos cos sin

sin sin cos cos

A A A A A A A A A A A + + = + + =

(

+

)

+ ⋅ 1 1 1 ccos sin sin sin cos

cos sin sin cos sin A A A A A A A A A 1 1 1 1 2 2 +

(

)

= + + +

(

)

= + + AA A A

(

)

= = 1 cos sec

9

tan cos sin sin cos cos sin

sin sin cos cos

A A A A A A A A A A A + + = + + =

(

+

)

+ ⋅ 1 1 1 ccos sin sin sin cos

cos sin sin cos sin A A A A A A A A A 1 1 1 1 2 2 +

(

)

= + + +

(

)

= + + AA A A

(

)

= = 1 cos sec

Jadi, terbukti bahwa sec tan cos sin A A A A = + + 1 .

Contoh Soal 7

Buktikan bahwa sec4_θ−sec2_θ=tan4_θ+tan2_{θ .}

Pembahasan:

Cara 1: Kita ubah bentuk ruas kiri. sec sec sec sec

sec .tan tan tan tan 4 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 θ θ θ θ θ θ θ θ − =

(

−

)

= = +

(

)

= θθ+ tan4θ

Cara 2: Kita ubah bentuk ruas kanan. tan tan tan tan

sec sec sec sec 4 2 2 2 2 2 4 2 1 1 θ θ θ θ θ θ θ + =

(

+

)

=

(

−

)

= − ‚

Jadi, terbukti bahwa sec4_θ−sec2_θ=tan4_θ+tan2_θ.

C. Koordinat Kutub

Perhatikan gambar berikut ini.

P (3, 3)

X Y

O 3 2

10

Dengan menggunakan perbandingan trigonometri, diketahui nilai θ pada gambar tersebut adalah 45o_{. Titik P(3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu P 3 2 45}

(

_{, °}

)

_{. Titik}

P(3, 3) merupakan koordinat Cartesius, sedangkanP 3 2 45

(

, °

)

merupakan koordinat kutub.

Secara umum, koordinat Cartesius ditulis P (x, y), sedangkan koordinat kutub ditulis

P ( r, θ). Untuk mengetahui hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat kutub,

perhatikan penjabaran berikut. sin cos θ θ = = y r x r

Dengan demikian, diperoleh:

y r r y x r r x r x y = ⋅ → = = ⋅ → = = + sin sin cos cos θ θ θ θ 2 2

_{Contoh Soal 8}

Tentukan koordinat Cartesius dari titik R (4, 150o_).

Pembahasan:

Diketahui: r = 4 θ = 150o

Dengan menggunakan rumus hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat kutub, diperoleh:

R (4, 150o₎ y

x O

11

x r= = ° = −   _ = − cos cos θ 4 150 4 1 2 3 2 3 y r= = ° =    _ = sin sin θ 4 150 4 1 2 2

Jadi, koordinat Cartesius dari titik R (4, 150o_{) adalahR −}

(

2 3 2, .

)

Contoh Soal 9

Tentukan koordinat kutub dari titik Q (6, 3).

Pembahasan:

Diketahui:

x = 6 dan y = 3

Dengan menggunakan rumus hubungan antara koordinat Cartesius dan koordinat kutub, diperoleh: r= x +y = + = + = = 2 2 2 2 6 3 36 9 45 3 5 sin sin sin , sin , θ θ θ θ θ = ⇔ = ⇔ = = ⇔ =

(

)

⇔ ≈ ° y r 3 3 5 1 5 5 0 4472 0 4472 27 arc

12

D. Aplikasi Identitas Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh Soal 10

Simpangan suatu partikel yang bergerak di sekitar titik tetap O dinyatakan sebagai y = 4sin2 _{t. Jika cos}2_t−sin2_{t=cos2t, nyatakan simpangan partikel tersebut dalam}

bentuk cos 2t.

Pembahasan:

Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:

y t t t t t t t = = + =

(

+

)

=

(

− +

)

= − 4 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin cos sin ((cos sin ( cos ) cos 2 2 2 1 2 2 2 2 t t t t −

(

)

= − = −

Jadi, simpangan partikel tersebut dalam bentuk cos2t adalah y = 2 − 2 cos2t.

Contoh Soal 11

Sebuah benda dilemparkan ke atas hingga membentuk sudut θ dengan 45o _{< θ < 90}o

terhadap bidang mendatar. Diketahui kecepatan objek adalah v_o dalam meter per detik dan dasar bidang membentuk sudut 45o _{seperti ilustrasi berikut.}

Jika gesekan dengan udara diabaikan, jarak tempuh R benda diberikan dalam bentuk fungsi berikut. R v v θ θ θ θ θ θ

( )

=

[

− −

]

= _ − − − _ 0 2 0 2 2 2 2 32 2 2 1 2 32 2 1 sin cos

sin (cos sin )

== _ − − − − _ = − − v v 0 2 2 2 0 2 2 2 32 2 1 1 2 32 2 1 2

sin ( sin sin ) sin ( sin ) θ θ θ θ θ −−   = _ − + − _ = _ + −  1 2 32 2 1 2 1 2 32 2 2 2 0 2 2 0 2 2 v v sin sin sin sin θ θ θ θ _

13

a. Nyatakan fungsi jarak tempuh R benda dalam sinus.

b. Hitunglah jarak yang ditempuh benda jika kecepatannya 32 meter per detik dan θ = 60o_.

Pembahasan:

a. Untuk menyatakan fungsi jarak tempuh R dalam sinus, gunakan identitas trigonometri. R v v θ θ θ θ θ θ

( )

=

[

− −

]

= _ − − − _ 0 2 0 2 2 2 2 32 2 2 1 2 32 2 1 sin cos

sin (cos sin )

== _ − − − − _ = − − v v 0 2 2 2 0 2 2 2 32 2 1 1 2 32 2 1 2

sin ( sin sin ) sin ( sin ) θ θ θ θ θ −−   = _ − + − _ = _ + −  1 2 32 2 1 2 1 2 32 2 2 2 0 2 2 0 2 2 v v sin sin sin sin θ θ θ θ _

Jadi, fungsi jarak tempuh benda dalam sinus adalah

R

( )

θ =v02 2_ θ+ 2θ− _ 32 sin2 2sin 2

b. Jika v_o = 32 meter per detik dan θ = 60o _maka:

R

( )

θ =v _ θ+ θ− _ =

( )

_ ° + − 0 2 2 2 2 2 32 2 2 2 32 2 32 120 2 60 2 sin sin sin sin o  = +    _ −         =  + −    = − 32 2 1 2 3 2 1 2 3 2 32 2 1 2 3 3 2 2 32 2 1 2 3 2 11 2 32 1 41 1 2 1 73 1 2 45 12 0 365 16 47 16     =

(

) (



)

−    =

(

)

= ≈ , , , , , ,55 meter

14

R

( )

θ =v _ θ+ θ− _ =

( )

_ ° + − 0 2 2 2 2 2 32 2 2 2 32 2 32 120 2 60 2 sin sin sin sin o  = +    _ −         =  + −    = − 32 2 1 2 3 2 1 2 3 2 32 2 1 2 3 3 2 2 32 2 1 2 3 2 11 2 32 1 41 1 2 1 73 1 2 45 12 0 365 16 47 16     =

(

) (



)

−    =

(

)

= ≈ , , , , , ,55 meter

Jadi, jarak yang ditempuh benda jika kecepatannya 32 meter per detik dan θ = 60o