Materi Lengkap Trigonometri Dengan Fungs

Materi Lengkap Trigonometri Dengan Fungsi ,

Rumus Dan Pembahasan Contoh Soal

Dalam merancang kerangka sebuah jembatan perhitungan yang dilakukan tidaklah mudah. Beban, tegangan, serta gaya yang bekerja pada jembatan menjadi

pertimbangan utama para perancang untuk mengonstruksikan model

rancangannya. Proses ini didasarkan atas pengetahuan dari bangsa Romawi bahwa busur dapat menjangkau jarakyang lebih jauh dan menahan berat yang lebih berat daripada lintel (bentuk balok yang lurus horizontal). Atas dasar ini semakin banyak pula jembatan berbentuk busur yang dibangun. Penggunaan bentuk busur ini melibatkan kelengkungan yang perlu diperhitungkan kemiringan sudutnyayang diberikan dalam persamaan trigonometri. Lebih lanjut mengenai persamaan trigonometri akan Anda pelajari pada uraian berikut.

A. Perbandingan Trigonometri

Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r2 _{= x}2 + y2 _{sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut.}

1. Rumus Jumlah dan Selisih dua Sudut

a. Rumus untuk Cosinus jumlah selisih dua sudut

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. Rumus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Contoh Soal

2. Rumus Trigonometri untuk sudut rangkap

a. Dengan menggunakan rumus sin (A+ B) untuk A = B, maka

diperoleh:

sin2A= sin (A + B)

= sin A cos A + cos A sin A = 2 sin A cos A

Jadi,sin2A =2 sin A cos A Atau

Atau

b. Dengan menggunakan rumus cos (A + B) untuk A = B, maka

diperoleh:

cos 2A = cos (A + A) = cos A cos A-sin A sin

A = cos2_{A-sin2A ………(1)} Cos 2A = cos2 _{A – sin}2 _A = 2 cos2 _A-1

= 1 – 2 sin2 _A

Cos 2A = cos2_A-sin2_A = (1 -sin2_A)-sin2_A

= 1 – 2 sin2_{A ………. (3)} Cos 2A = cos2_A-sin2_A = cos2 _{A- (1 – cos}2 _A) = cos2 _{A – 1 + cos}2 _A = 2 cos2 _{A – 1 ……….(2)}

Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkan rumus sebagai berikut.

c. Dengan menggunakan rumus tan (A+B) untuk A=B, diperoleh

B. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

a. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B) 2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)

Contoh Soal

Jawab:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)° = cos 90° + cos 60°

= 0 + ½ = ½

b.Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B) sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B) cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B) cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

tan A + tan B =

tan A – tan B =

Contoh Soal

Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15° jawab:

sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)° = 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°

= sin 60° cos 45°

C. Identitas Trigonometri

Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut.

Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah dengan salah satu dari cara-cara berikut.

Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan. Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.

Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.

Contoh Soal

Buktikan bahwa sin4 _{α – sin}2 _{α = cos}4 _{α – cos}2 _α Jawab.

sin4 _{α – sin}2 _{α = (sin}2 _α)2 _{– sin}2 _α = (1 cos2 _α) 2 _{– (1 cos}2 _α)