TUGAS KELOMPOK TUGAS KELOMPOK RISET OPERASI RISET OPERASI
METODE SIMPLEKS
METODE SIMPLEKS
KASUS MEMAKSIMUMKAN
KASUS MEMAKSIMUMKAN
KELOMPOK 1 KELOMPOK 1RINI ANGGRAINI S (H121 11 010)
RINI ANGGRAINI S (H121 11 010)
NURUL MUTHIAH (H121 11 252)
NURUL MUTHIAH (H121 11 252)
RAINA DIAH GRAHANI (H121 11 268)
RAINA DIAH GRAHANI (H121 11 268)
FATIMAH ASHARA (H121 11 278)
FATIMAH ASHARA (H121 11 278)
PRODI STATISTIKA PRODI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS HASANUDDIN UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR MAKASSAR 2013 2013
METODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN
Metode simpleks diperkenalkan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode ini menjadi terkenal ketika ditemukannya alat hitung elektronik dan menjadi popular ketika munculnya komputer. Proses perhitungan metode simpleks adalah dengan menggunakan iterasi berulang-ulang sampai tercapai hasil optimal. Proses perhitungan metode simpleks menjadi lebih mudah dengan menggunakan komputer, karena komputer dirancang untuk melakukan pekerjaan berulang-ulang yang mungkin akan membosankan jika dilakukan oleh manusia.
Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagian dari jumlah solusi basis dalam bentuk tabel. Tabel simpleks hanya menggambarkan masalah program linier dalam bentuk koefisien saja, baik koefisien fungsi tujuan maupun koefisien fungsi kendala. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan.
Ada 2 kasus yang dapat kita cari solusinya yaitu Kasus Memaksimumkan dan Kasus Meminimumkan, dalam pembahan ini kita akan membahas Kasus memamaksimumkan. Dalam kasus memaksimumkan kita harus memenuhi syarat yaitu model program linear harus diubah dulu ke dalam suatu bentuk umum yang dinamakan “bentuk baku”.
Perlu diperhatikan bahwa Metode Simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga jika tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dahulu ke bentuk standar.
Untuk memudahkan dalam melakukan transformasi ke bentuk standar, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan :
a. Fungsi pembatas, suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda ≤ diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variabel (variable pengurang).
b. Fungsi Tujuan, dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi
tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini,
karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan,
Contoh soal. Fungsi tujuan: Maksimumkan
= 85000
+ 75000
+ 70000
Fungsi pembatas:
+
+ 2
≤ 17
2
+ 2
+
≤ 22
3
+ 2
+ 2
≤ 30
,
,
≥ 0
Langkah 1Ubah system pertidaksamaan ke dalam system persamaan linear dengan menambahkan variable tiruan atau disebut slack.
Fungsi tujuan: Maksimumkan
= 85000
+ 75000
+ 70000
Fungsi pembatas:
+
+ 2
+
= 17
2
+ 2
+
+
= 22
3
+ 2
+ 2
+
= 30
Langkah 2.Menyusun semua persamaan ke dalam table simpleks.
Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
Keterangan.CB : koefisien variable basis yang masuk pada fungsi tujuan VDB : variabel basis yang masuk
NK : nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda “=”
: nilai fungsi tujuan, yaitu jumlah dari hasil kali variable ke-
dan CB
: koefisien variable pada fungsi tujuan (bilangan yang terletak di atas variabel) Hitung nilai
dan
sebagai berikut.VARIABEL
NK17 ∙ 0 + 22 ∙ 0 + 30 ∙0 = 0
1∙ 0+ 2∙ 0+ 3∙ 0 = 0
0 85000 = 85000
1∙ 0+ 2∙ 0+ 2∙ 0 = 0
0 75000 = 75000
2∙ 0+ 1∙ 0+ 2∙ 0 = 0
0 70000 = 70000
1∙ 0+ 0∙ 0+ 0∙ 0 = 0
0 0 = 0
0∙ 0+ 1∙ 0+ 0∙ 0 = 0
0 0 = 0
0∙ 0+ 0∙ 0+ 1∙ 0 = 0
0 0 = 0
Selanjutnya kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks.
Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
17 1 1 2 1 0 0 0
22 2 2 1 0 1 0 0
30 3 2 2 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
85000 75000 70000
0 0 0 Langkah 3.Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio.
Kolom kunci : suatu kolom yang nilai
paling kecil Baris kunci : baris yang memiliki rasio positif paling kecil Bilangan kunci : bilangan yang terletak pada pertemuan antara kolom kunci dan baris
kunci
Rasio : bilangan yang ditentukan oleh perbandingan antara NK dan kolom
Rasio untuk baris pada variabel:
=
= 17
=
= 17
=
= 10
Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
17 1 1 2 1 0 0 17 0
22 2 2 1 0 1 0 11 0
30 3 2 2 0 0 1 10
0 0 0 0 0 0 0
85000 75000 70000
0 0 0 Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci.Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.
Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu 3 (bilangan dengan text berwarna merah).
Langkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjuntya
menggantikan
, CB pada baris ketiga kita isi dengan 85000.Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
0
85000
10 12
3
2
3
0 01
3
Langkah 5.
Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris selain baris kunci melalui operasi baris elementer (OBE) ,sehingga nilai-nilai kolom kunci
= 0
.Dapat juga melalui perhitungan sebagai berikut.
nilai baris baru = nilai baris lama
–
(KAKK x NBKK)Dimana,
KAKK : Koefisien Angka Kolom Kunci (nilai setiap baris kolom kunci) NBBK : Nilai Baris Baru Kunci
Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
17 1 1 2 1 0 0 0
22 2 2 1 0 1 0 85000
10 12
3
2
3
0 01
3
Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.
Baris baru
Baris lama 17 1 1 2 1 0 0 KAKK x NBBK 1 [ 10 12
3
2
3
0 01
3
] Baris baru 7 01
3
4
3
1 013
Baris baru
Baris lama 22 2 2 1 0 1 0 KAKK x NBBK 2 [ 10 12
3
2
3
0 01
3
] Baris baru 2 02
3
1
3
0 123
Input nilai baris baru
dan
ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
7 01
3
4
3
1 013
0
2 02
3
13
0 123
85000
10 12
3
2
3
0 01
3
Selanjutnya kita hitung nilai
dan
sebagai berikut.VARIABEL
NK7 ∙ 0 + 2 ∙ 0 + 10 ∙ 85000 = 850000
0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 85000 = 85000
85000 85000 = 0
1
3 ∙ 0 +
2
3 ∙ 0 +
2
3 ∙ 85000 =
170000
3
170000
3 75000 =
55000
3
4
3 ∙ 0 +
1
3 ∙ 0 +
2
3 ∙ 85000 =
170000
3
170000
3 70000 =
40000
3
1 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 85000 = 0
0 0 = 0
0 ∙ 0 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 85000 = 0
0 0 = 0
13∙0+
2
3 ∙ 0 +
1
3 ∙ 85000 =
85000
3
85000
3 0 =
85000
3
Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks. Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
7 01
3
4
3
1 013
0
2 02
3
13
0 123
85000
10 12
3
2
3
0 01
3
85000 85000170000
3
170000
3
0 085000
3
055000
3
40000
3
0 085000
3
Mengulangi langkah 3 sampai langkah 5Langkah 3
Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. Rasio untuk baris pada variabel:
=
= 21
=
= 3
=
= 15
Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
7 01
3
4
3
1 013
0
2 0
13
0 123
85000
10 12
3
2
3
0 01
3
85000 85000170000
3
170000
3
0 085000
3
055000
3
40000
3
0 085000
3
Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci.Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.
Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu
(bilangandengan text berwarna merah).
Langkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjutya
menggantikan
, CB pada baris kedua kita isi dengan 75000.Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
75000
3 01
12
03
2
1
85000
Langkah 5.
Membuat baris baru.
Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
7 01
3
4
3
1 013
75000
3 01
12
03
2
1
85000
10 12
3
2
3
0 01
3
Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.
Baris baru
Baris lama 7 01
3
4
3
1 013
KAKK x NBBK1
3
[ 3 01 12
03
2 1
] Baris baru 6 00 32
112
0 Baris baru
Baris lama 10 12
3
2
3
0 01
3
KAKK x NBBK2
3
[ 3 01 12
03
2 1
] Baris baru 8 10 1
01 1
Input nilai baris baru
dan
ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
6 00
3
2
112
0 75000
3 01
12
03
2
1
85000
8 10
1
01
1
Selanjutnya kita hitung nilai
dan
sebagai berikut.VARIABEL
NK6 ∙ 0 + 3 ∙ 75000 +8 ∙ 85000 = 905000
0 ∙ 0 + 0 ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 85000
85000 85000 = 0
0 ∙ 0 + 1 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 75000
75000 75000 = 0
3
2 ∙0+(
1
2) ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 47500
47500 70000 = 22500
1 ∙ 0 + 0 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 0
0 0 = 0
12∙0+
3
2 ∙ 75000+ 1∙ 85000 = 27500
27500 0 = 27500
0 ∙ 0 + 1 ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 10000
10000 0 = 10000
Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks.
Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
6 00
3
2
112
0 75000
3 01
12
03
2
1
85000
8 10
1
01
1
90500 85000 75000 47500 0 27500 10000
0 022500
0 27500 10000Ulangi kembali langkah 3 sampai langkah 5 Langkah 3
Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. Rasio untuk baris pada variabel:
=
= 4
=
−
= 6
=
= 8
Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
0
6 00
112
0 4 75000
3 01
12
03
2
1
6
85000
8 10
1
01
1
8
90500 85000 75000 47500 0 27500 10000
0 022500
0 27500 10000 Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci.Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.
Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu
(bilanganLangkah 4.
Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjutnya
menggantikan
, CB pada baris kedua kita isi dengan 70000.Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
70000
4 00
1
2
3
34
0 75000
85000
Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.
Langkah 5.
Membuat baris baru.
Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
70000
4 00
1
2
3
34
0 75000
3 01
12
03
2
1
85000
8 10
1
01
1
Baris baru
Baris lama 3 01 12
03
2 1
KAKK x NBBK12
[ 4 00 1 23
3
4
0 ] Barisbaru 5 0 1 01
3
9
8 1
Baris baru
Baris lama 8 10 1
01 1
KAKK x NBBK1
[ 4 00 1 23
3
4
0 ] Barisbaru 4 1 0 023
1
4
1Input nilai baris baru
dan
ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
70000
4 00
1
2
3
34
0 75000
5 0 1 01
3
9
8
1
85000
4 1 0 023
1
4
1
Selanjutnya kita hitung nilai
dan
sebagai berikut. VARIABEL
NK4 ∙ 70000 + 5 ∙ 75000 +4 ∙ 85000 = 995000
0 ∙ 70000 + 0 ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 85000
85000 85000 = 0
0 ∙ 70000 + 1 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 75000
75000 75000 = 0
1 ∙ 70000 + 0 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 70000
70000 70000 = 0
2
3 ∙70000+
1
3 ∙75000+(
2
3) ∙ 85000 = 15000
15000 0 = 15000
34∙ 70000+
9
8 ∙75000+
1
4 ∙ 85000 = 10625
10635 0 = 10625
0∙70000+1∙75000+1∙85000 = 10000
10000 0 = 10000
Kemudian kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks.
Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK
70000
4 00
1
2
3
34
0 75000
5 0 1 01
3
9
8
1
85000
4 1 0 023
1
4
1
995000 85000 75000 70000 15000 10625 10000
0 0 0 15000 10625 10000Dari tabel di atas terlihat bahwa baris evaluasi
