Tabel simpleks bentuk umum
Pendahuluan
Bentuk program linier yang ada bukan hanya bentuk standar.
Bentuk program linier yang mungkin dapat berupa:
Fungsi tujuan diminimalkan fungsi tujuan di maksimalkan Fungsi kendala dengan bentuk ≥ atau =
Variable dapat bernilai negatif
Konstanta RHS dapat bernilai negatif
Pada pembahasan ini akan dibahas:
Bagaimana menyelesaikan program linier bentuk umum dengan
Fungsi tujuan diminimalkan
Ada dua cara untuk menyelesaikan fungsi tujuan yang
diminimalkan:
Fungsi tujuan yang diminimalkan tersebut dikalikan dengan -1,
dan akan menghasilkan fungsi tujuan yang dimaksimalkan.
Sebagai contoh:
Dikonversi menjadi:
Cara yang kedua adalah fungsi tujuan tetap dalam bentuk
minimal, tetapi aturan dalam proses manipulasi metode simpleks diubah, seperti:
Uji optimalisasi, keadaan optimal dicapai jika semua nilai dibaris fungsi
tujuan tidak ada yang positif.
Pemilihan entering basic variable, pilihlah koefisien yang paling positif di
baris fungsi tujuan.
3 2 1 min 12x 5x 7x Z 3 2 1 5 7 12 ) (Zmaks x x x
Fungsi kendala dalam bentuk
persamaan (1)
Misalkan sebuah program linier dengan bentuk:
4 3 2 10 15 2 1 2 1 2 1 x x x x x x Zmaks
Fungsi kendala dalam bentuk
persamaan (2)
Dengan bentuk program
linier di atas, maka titik
origin (0,0) tidak lagi
berada di dalam feasible
region
Fungsi kendala ketiga hanya
dipengaruhi oleh x
1dan x
2
Pemberian nilai-nilai x
1dan
x
2tersebut sulit dilakukan
untuk memenuhi bentuk
persamaan
Fungsi kendala dalam bentuk
persamaan (3)
Jika terdapat fungsi kendala dalam bentuk persamaan, maka
perlu ditambahkan variable non-negative yang disebut dengan
artificial variable.
Jadi, program linier yang telah dikonversi menjadi:
Dengan a
1merupakan artificial variable
4 3 2 10 15 1 2 1 2 2 1 1 2 1 a x x s x s x x x Zmaks
Fungsi kendala dalam bentuk
persamaan (4)
Artificial variable tidak sama dengan slack variable.
Jika a
1merupakan slack variable, maka kita dapat
menggunakan titik origin (x
1,x
2,s
1,s
2,
a
1)=(0,0,2,3,
4
) sebagai
feasible cornerpoint awal iterasi.
Tetapi harus diperhatikan, bahwa nilai a
1tidak boleh
nonzero
(harus
NOL
) supaya fungsi kendala ketiga dalam keadaan
benar.
Dengan demikian, metode simpleks akan “memaksa” semua
Fase pertama metode simpleks (1)
Penyelesaian program linier bentuk umum akan terdapat dua
fungsi tujuan,
Fungsi tujuan fase pertama untuk menentukan feasible cornerpoint
solution sebagai awal proses iterasi dan
Fungsi tujuan program linier itu sendiri
Fase pertama bertujuan meminimalkan nilai-nilai artificial
variable yang ada pada program linier, dalam hal ini a
1.
Jika semua nilai artificial variable dapat diubah menjadi NOL,
maka feasible cornerpoint solution untuk memulai iterasi didapatkan.
Kemudian iterasi metode simpleks dijalankan berawal dari
Fungsi tujuan fase pertama (1)
Fungsi tujuan fase pertama adalah untuk meminimalkan
jumlah dari semua artificial variable yang ada.
Secara umum dapat dituliskan sebagai:
Karena bentuk fungsi tujuan di atas adalah minimalisasi, maka
dilakukan konversi dengan cara mengalikan -1 ke fungsi
tujuan tersebut, maka diperoleh:
... 3 2 1 min a a a W 0 ... 3 2 1 Wmaks a a a
Fungsi tujuan fase pertama (2)
Dalam membuat tabel simpleks, fungsi tujuan fase kedua (fungsi
tujuan program linier) juga diikutsertakan,
Fungsi tujuan fase pertama digunakan selama fase pertama, tetapi juga
meng-update nilai-nilai fungsi tujuan fase kedua pada saat yang bersamaan.
Setelah fase pertama selesai, fungsi tujuan fase pertama tersebut
diabaikan (tidak digunakan lagi),
Semua artificial variable tidak digunakan lagi.
Catatan: fungsi tujuan fase pertama belum dalam bentuk proper
table, hal ini disebabkan artificial variable akan muncul dua kali,
yaitu:
Sekali pada fungsi kendala, dan sekali pada fungis tujuan
Teble simpleks bentuk umum (1)
Table di atas merupakan tabel dari model program linier
sebagai berikut:
4 3 2 10 15 2 1 2 1 2 1 x x x x x x ZmaksTeble simpleks bentuk umum (2)
Tabel di atas memiliki dua buah fungsi tujuan:
Fungsi tujuanW untuk fase pertama, yang bertujuan untuk
meminimalkan jumlah dari seluruh artificial variable yang ada (dalam kasus ini hanya ada a1).
Fungsi tujuan Z untuk fase kedua, merupakan fungsi tujuan dari
program linier yang dibahas.
Dengan memperhatikan kolom a
1, dapat disimpulan bahwa
tabel belum dalam bentuk proper table.
Koefisien a1 pada fungsi tujuan fase pertama, W, perlu
dieliminasi .
Eliminasi dilakukan dengan mengurangi baris fungsi tujuanW
Teble simpleks bentuk umum (3)
Tabel simpleks setalah dilakukan eliminasi terhadap fungsi
tujuanW adalah sebagai berikut:
Selama fase pertama ini, fungsi tujuan yang digunakan adalah
fungsi tujuanW.
Dalam meng-update table, fungsi tujuan fase kedua, Z, juga
Iterasi fase pertama (1)
Dengan memperhatikan kolom x
1dan x
2pada fungsi tujuan
W, diperoleh x
1dan x
2yang memiliki koefisien yang sama
(-1) untuk menjadi entering basic variable.
Entering basic variable dipilih secara acak, misal yang dipiliha
adalah x
2. Perhitungan table ditunjukkan pada table berikut
ini, dengan s
2sebagai leaving basic variable.
Iterasi fase pertama (2)
Setelah entering basic variable dan leaving basic variable ditentukan,
maka table di-update dan menghasilkan table berikut ini:
Dari table diatas, jumlah dari fungsi tujuan fase pertama, W, telah
berkurang menjadi -1.
Fase pertama belum selesai, karena masih terdapa koefisien yang
negatif pada baris fungsi tujuanW.
Catatan: fungsi tujuan fase kedua, Z, juga telah di-update
Iterasi fase pertama (3)
Dari table di atas diperoleh:
Entering basic variable x1 Leaving basic variable a1
Table di-update dan diperoleh hasil sebagai berikut:
Dari table di atas dapat dilihat bahwa fungsi tujuanW telah bernilai
NOL dan tidak ada koefisien variable yang negaif.
Fase pertama telah selesai, dan sekarang berada di feasible
Iterasi fase kedua (1)
Sekarang, fungsi tujuan fase pertama, W, dikeluarkan dari table
simpleks demikian juga dengan semua artificial variable.
Fungsi tujuan fase kedua, Z, yang telah diikutsertakan dalam
perhitungan, di-update dan telah berada dalam bentuk proper table, dan siap untuk diiterasi.
Dan karena masih terdapat koefisien yang negatif pada baris fungsi
Iterasi fase kedua (2)
Table di atas adalah hasil update dari tabel sebelumnya
Pada baris fungsi tujuan sudah tidak terdapat koefisien
variable yang negatif dengan demikian iterasi telah selesai dan
keadaan optimal tercapai:
Di titik (x1,x2,s1,s2) = (2,2,0,1) Dengan nilai Z sebesar 50
Program linier yang infeasible
Program linier yang infeasible dapat dengan mudah dikenali
dengan cara:
Jika fase pertama metode simpleks telah selesai, dengan hasil
tidak ada nilai koefiesien variable yang negatif, tetapi nilaiW masih positif, maka:
Tidak semua fungsi kendala (dengan artificial variable) telah dieliminasi. Hal ini berarti bahwa program linier bersifat infeasibel (tidak memiliki
Fungsi kendala dengan bentuk lebih
dari atau sama dengan (≥)
Fungsi kendala dengan bentuk lebih dari atau sama dengan (≥)
merupakan bentuk yang tidak boleh pada program linier bentuk standar.
Untuk konversi bentuk pertidaksamaan ini perlu ditambahan
dengan sebuah surplus variable yang berisfat sama seperti slack
variable,
Tetapi surplus variable diletakkan di bagian RHS persamaan. Contoh: 3x1 + 5x2 ≥ 20 ⇒ 3x1 + 5x2 − s1 = 20
Surplus variable tidak dapat digunakan sebagai basic variable karena
bernilai -1, sedangkan yang dibutuhkan adalah variable dengan koefisien +1.
Dari contoh di atas, sekarang pertidaksamaan telah diubah menjadi
bentuk persamaan, dengan demikian perlakuan yang sama untuk bentuk persamaan berlaku:
Tambahkan artificial variable dan jalankan prosedur iterasi fase
RHS bernilai negatif
Penyelesaian untuk masalah ini adalah kalikan dengan -1 dan
Berapa banyak variable?
Reformulasi penyelesaian program linier dengan menggunakan
metode simpleks akan menambah jumlah variable.
Misalkan sebuah program linier memiliki:
n buah variable asal
l buah fungsi kendala dengan bentuk ≤ g buah fungsi kendala dengan bentuk ≥
Dan e fungsi kendala dengan bentuk persamaan (=)
Maka jumlah variable setelah proses reformulasi program linier
adalah:
n buah variable asal l buah slack variable g buah surplus variable
g + e buah artificial variable
Catatan: seluruh g + e buah artificial variable akan dieliminasi selama
