METODE SIMPLEKS KASUS MEMAKSIMUMKAN

TUGAS KELOMPOK

RISET OPERASI

METODE SIMPLEKS

KASUS MEMAKSIMUMKAN

KELOMPOK 1

RINI ANGGRAINI S (H121 11 010)

NURUL MUTHIAH (H121 11 252)

RAINA DIAH GRAHANI (H121 11 268)

FATIMAH ASHARA (H121 11 278)

PRODI STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2013

1 METODE SIMPLEKS

KASUS MEMAKSIMUMKAN

Metode simpleks diperkenalkan oleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode ini menjadi terkenal ketika ditemukannya alat hitung elektronik dan menjadi popular ketika munculnya komputer. Proses perhitungan metode simpleks adalah dengan menggunakan iterasi berulang-ulang sampai tercapai hasil optimal. Proses perhitungan metode simpleks menjadi lebih mudah dengan menggunakan komputer, karena komputer dirancang untuk melakukan pekerjaan berulang-ulang yang mungkin akan membosankan jika dilakukan oleh manusia.

Metode simpleks merupakan pengembangan metode aljabar yang hanya menguji sebagian dari jumlah solusi basis dalam bentuk tabel. Tabel simpleks hanya menggambarkan masalah program linier dalam bentuk koefisien saja, baik koefisien fungsi tujuan maupun koefisien fungsi kendala. Penentuan solusi optimal menggunakan metode simpleks didasarkan pada teknik eliminasi Gauss Jordan.

Ada 2 kasus yang dapat kita cari solusinya yaitu Kasus Memaksimumkan dan Kasus Meminimumkan, dalam pembahan ini kita akan membahas Kasus memamaksimumkan. Dalam kasus memaksimumkan kita harus memenuhi syarat yaitu model program linear harus diubah dulu ke dalam suatu bentuk umum yang dinamakan “bentuk baku”.

Perlu diperhatikan bahwa Metode Simpleks hanya bisa dipakai (diaplikasikan) pada bentuk standar, sehingga jika tidak dalam bentuk standar harus ditransformasikan dahulu ke bentuk standar.

Untuk memudahkan dalam melakukan transformasi ke bentuk standar, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan :

a. Fungsi pembatas, suatu fungsi pembatas yang mempunyai tanda ≤ diubah menjadi suatu bentuk persamaan (bentuk standar) dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan slack variabel (variable pengurang).

b. Fungsi Tujuan, dengan adanya slack variable pada fungsi pembatas, maka fungsi tujuan juga harus disesuaikan dengan memasukkan unsur slack variable ini, karena slack variable tidak mempunyai kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan, maka konstanta untuk slack variable tersebut dituliskan nol.

2 Contoh soal. Fungsi tujuan: Maksimumkan 𝑍 = 85000𝑥1 + 75000𝑥2+ 70000𝑥3 Fungsi pembatas:  𝑥1+ 𝑥2+ 2𝑥3 ≤ 17  2𝑥₁+ 2𝑥₂ + 𝑥₃ ≤ 22  3𝑥₁+ 2𝑥₂ + 2𝑥₃ ≤ 30  𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0 Langkah 1

Ubah system pertidaksamaan ke dalam system persamaan linear dengan menambahkan variable tiruan atau disebut slack.

Fungsi tujuan: Maksimumkan 𝑍 = 85000𝑥₁ + 75000𝑥₂+ 70000𝑥₃ Fungsi pembatas:  𝑥₁+ 𝑥₂+ 2𝑥₃+ 𝑠₁ = 17  2𝑥1+ 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑠2 = 22  3𝑥1+ 2𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑠3 = 30 Langkah 2.

Menyusun semua persamaan ke dalam table simpleks.

Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 𝑠₁ 𝑠2 𝑠₃ 𝑧_𝑗 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗 Keterangan.

CB : koefisien variable basis yang masuk pada fungsi tujuan VDB : variabel basis yang masuk

3

NK : nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda “=”

𝑧𝑗 : nilai fungsi tujuan, yaitu jumlah dari hasil kali variable ke-𝑗 dan CB

𝑐_𝑗 : koefisien variable pada fungsi tujuan (bilangan yang terletak di atas variabel)

Hitung nilai 𝑧_𝑗 dan 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗 sebagai berikut.

VARIABEL 𝑧𝑗 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 NK 17 ∙ 0 + 22 ∙ 0 + 30 ∙ 0 = 0 𝑥₁ 1 ∙ 0 + 2 ∙ 0 + 3 ∙ 0 = 0 0 − 85000 = −85000 𝑥2 1 ∙ 0 + 2 ∙ 0 + 2 ∙ 0 = 0 0 − 75000 = −75000 𝑥₃ 2 ∙ 0 + 1 ∙ 0 + 2 ∙ 0 = 0 0 − 70000 = −70000 𝑠₁ 1 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 = 0 0 − 0 = 0 𝑠2 0 ∙ 0 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 0 = 0 0 − 0 = 0 𝑠₃ 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 0 = 0 0 − 0 = 0

Selanjutnya kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks.

Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 17 1 1 2 1 0 0 0 𝑠₂ 22 2 2 1 0 1 0 0 𝑠₃ 30 3 2 2 0 0 1 𝑧𝑗 0 0 0 0 0 0 0 𝑧_𝑗 − 𝑐_𝑗 −85000 −75000 −70000 0 0 0 Langkah 3.

Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio.

 Kolom kunci : suatu kolom yang nilai 𝑧_𝑗 − 𝑐_𝑗 paling kecil

 Baris kunci : baris yang memiliki rasio positif paling kecil

 Bilangan kunci : bilangan yang terletak pada pertemuan antara kolom kunci dan baris kunci

 Rasio : bilangan yang ditentukan oleh perbandingan antara NK dan kolom kunci

4

Rasio untuk baris pada variabel:

 𝑠1 =17₁ = 17  𝑠2 =22₂ = 17  𝑠3 =30₃ = 10 Iterasi 0 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 17 1 1 2 1 0 0 17 0 𝑠2 22 2 2 1 0 1 0 11 0 𝑠₃ 30 3 2 2 0 0 1 10 𝑧𝑗 0 0 0 0 0 0 0 𝑧_𝑗 − 𝑐_𝑗 −85000 −75000 −70000 0 0 0

Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.

Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu 3 (bilangan dengan text berwarna merah).

Langkah 4.

Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjuntya 𝑥1 menggantikan 𝑠3, CB pada baris ketiga kita isi dengan 85000.

Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠1 0 𝑠₂ 85000 𝑥₁ 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 𝑧_𝑗 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗

5 Langkah 5.

Membuat baris baru dengan mengubah nilai-nilai baris selain baris kunci melalui operasi baris elementer (OBE) ,sehingga nilai-nilai kolom kunci= 0.

Dapat juga melalui perhitungan sebagai berikut.

nilai baris baru = nilai baris lama – (KAKK x NBKK)

Dimana,

KAKK : Koefisien Angka Kolom Kunci (nilai setiap baris kolom kunci) NBBK : Nilai Baris Baru Kunci

Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 17 1 1 2 1 0 0 0 𝑠₂ 22 2 2 1 0 1 0 85000 𝑥₁ 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 𝑧𝑗 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗

Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.

Baris baru 𝑠1 Baris lama 17 1 1 2 1 0 0 KAKK x NBBK 1 [ 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 ] Baris baru 7 0 1 3 4 3 1 0 − 1 3

6 Baris baru 𝑠₂ Baris lama 22 2 2 1 0 1 0 KAKK x NBBK 2 [ 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 ] Baris baru 2 0 2 3 − 1 3 0 1 − 2 3

Input nilai baris baru 𝑠₁dan 𝑠₂ ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 7 0 1 3 4 3 1 0 − 1 3 0 𝑠₂ 2 0 2 3 − 1 3 0 1 − 2 3 85000 𝑠₃ 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 𝑧𝑗 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗

Selanjutnya kita hitung nilai 𝑧𝑗 dan 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 sebagai berikut.

VARIABEL 𝑧𝑗 𝑧𝑗 − 𝑐𝑗 NK 7 ∙ 0 + 2 ∙ 0 + 10 ∙ 85000 = 850000 𝑥1 0 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 1 ∙ 85000 = 85000 85000 − 85000 = 0 𝑥₂ 1 3∙ 0 + 2 3∙ 0 + 2 3∙ 85000 = 170000 3 170000 3 − 75000 = − 55000 3 𝑥₃ 4 3∙ 0 + − 1 3∙ 0 + 2 3∙ 85000 = 170000 3 170000 3 − 70000 = − 40000 3 𝑠₁ 1 ∙ 0 + 0 ∙ 0 + 0 ∙ 85000 = 0 0 − 0 = 0 𝑠2 0 ∙ 0 + 1 ∙ 0 + 0 ∙ 85000 = 0 0 − 0 = 0 𝑠₃ −1 3∙ 0 + − 2 3∙ 0 + 1 3∙ 85000 = 85000 3 85000 3 − 0 = 85000 3

7

Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam tabel simpleks.

Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 7 0 1 3 4 3 1 0 − 1 3 0 𝑠₂ 2 0 2 3 − 1 3 0 1 − 2 3 85000 𝑥₁ 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 𝑧_𝑗 85000 85000 170000 3 170000 3 0 0 85000 3 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 0 −55000 3 − 40000 3 0 0 85000 3

Mengulangi langkah 3 sampai langkah 5 Langkah 3

Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. Rasio untuk baris pada variabel:



𝑠

₁

=

71 3

= 21



𝑠

₂

=

22 3

= 3



𝑠

₃

=

102 3

= 15

8 Iterasi 1 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 7 0 1 3 4 3 1 0 − 1 3 0 𝑠₂ 2 0 𝟐 𝟑 − 1 3 0 1 − 2 3 85000 𝑥₁ 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 𝑧_𝑗 85000 85000 170000 3 170000 3 0 0 85000 3 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 0 −55000 3 − 40000 3 0 0 85000 3

Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.

Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu 2₃ (bilangan dengan text berwarna merah).

Langkah 4.

Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjutya 𝑥₂menggantikan 𝑠₂, CB pada baris kedua kita isi dengan 75000.

Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 75000 𝑥₂ 3 0 1 −1 2 0 3 2 −1 85000 𝑥₁ 𝑧𝑗 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗

9 Langkah 5.

Membuat baris baru.

Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 7 0 1 3 4 3 1 0 − 1 3 75000 𝑥₂ 3 0 1 −1 2 0 3 2 −1 85000 𝑥₁ 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 𝑧_𝑗 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗

Kuning untuk NBBK dan biru untuk KAKK.

Baris baru 𝑠₁ Baris lama 7 0 1 3 4 3 1 0 − 1 3 KAKK x NBBK 1 3 [ 3 0 1 − 1 2 0 3 2 −1 ] Baris baru 6 0 0 3 2 1 − 1 2 0 Baris baru𝑠₃ Baris lama 10 1 2 3 2 3 0 0 1 3 KAKK x NBBK 2 3 [ 3 0 1 − 1 2 0 3 2 −1 ] Baris baru 8 1 0 1 0 −1 1

10

Input nilai baris baru 𝑠₁dan 𝑠₃ ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 6 0 0 3 2 1 − 1 2 0 75000 𝑥₂ 3 0 1 ₋1 2 0 3 2 −1 85000 𝑥₁ 8 1 0 1 0 −1 1 𝑧_𝑗 𝑧𝑗− 𝑐𝑗

Selanjutnya kita hitung nilai 𝑧_𝑗 dan 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗 sebagai berikut.

VARIABEL 𝑧_𝑗 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗 NK 6 ∙ 0 + 3 ∙ 75000 + 8 ∙ 85000 = 905000 𝑥₁ 0 ∙ 0 + 0 ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 85000 85000 − 85000 = 0 𝑥2 0 ∙ 0 + 1 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 75000 75000 − 75000 = 0 𝑥3 3₂∙ 0 + (−1₂) ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 47500 47500 − 70000 = −22500 𝑠₁ 1 ∙ 0 + 0 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 0 0 − 0 = 0 𝑠₂ −1 2∙ 0 + 3 2∙ 75000 + (−1) ∙ 85000 = 27500 27500 − 0 = 27500 𝑠3 0 ∙ 0 + (−1) ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 10000 10000 − 0 = 10000

Lalu kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks.

Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑠1 𝑠2 𝑠3 0 𝑠₁ 6 0 0 3 2 1 − 1 2 0 75000 𝑥₂ 3 0 1 ₋1 2 0 3 2 −1 85000 𝑥₁ 8 1 0 1 0 −1 1 𝑧_𝑗 90500 85000 75000 47500 0 27500 10000 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 0 0 −22500 0 27500 10000

11 Ulangi kembali langkah 3 sampai langkah 5

Langkah 3

Menentukan kolom kunci, baris kunci, bilangan kunci, dan rasio. Rasio untuk baris pada variabel:



𝑠

₁

=

63 2

= 4



𝑠

₂

=

3 −1₂

= −6



𝑠

₃

=

8₁

= 8

Iterasi 2 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 0 𝑠₁ 6 0 0 𝟑 𝟐 1 − 1 2 0 4 75000 𝑥₂ 3 0 1 −1 2 0 3 2 −1 −6 85000 𝑥₁ 8 1 0 1 0 −1 1 8 𝑧_𝑗 90500 85000 75000 47500 0 27500 10000 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 0 0 −22500 0 27500 10000

Kolom berwarna biru dipilih sebagai kolom kunci. Baris berwarna kuning dipilih sebagai baris kunci.

Bilangan kunci adalah perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci, yaitu 3₂ (bilangan dengan text berwarna merah).

12 Langkah 4.

Mengubah nilai-nilai pada baris kunci dengan cara membaginya dengan bilangan kunci. Selanjutnya 𝑥3 menggantikan 𝑠1, CB pada baris kedua kita isi dengan 70000.

Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 70000 𝑥₃ 4 0 0 1 2 3 − 3 4 0 75000 𝑥₂ 85000 𝑥₁ 𝑧_𝑗 𝑧𝑗− 𝑐𝑗

Baris berwarna kuning dapat disebut sebagai nilai baris baru kunci.

Langkah 5.

Membuat baris baru.

Dari langkah sebelumnya kita dapat mengetahui KAKK dan NBBK, seperti yang tertera pada tabel berikut. Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 70000 𝑥₃ 4 0 0 1 2 3 − 3 4 0 75000 𝑥₂ 3 0 1 −1 2 0 3 2 −1 85000 𝑥₁ 8 1 0 1 0 −1 1 𝑧_𝑗 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗

13 Baris baru 𝑠₂ Baris lama 3 0 1 −1 2 0 3 2 −1 KAKK x NBBK −1 2 [ 4 0 0 1 2 3 − 3 4 0 ] Barisbaru 5 0 1 0 1 3 9 8 −1 Baris baru 𝑠₃ Baris lama 8 1 0 1 0 −1 1 KAKK x NBBK 1 [ 4 0 0 1 2 3 − 3 4 0 ] Barisbaru 4 1 0 0 −2 3 − 1 4 1

Input nilai baris baru 𝑠₂ dan 𝑠₃ ke dalam tabel simpleks, sehingga tabel menjadi seperti berikut. Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 70000 𝑥₃ 4 0 0 1 2 3 − 3 4 0 75000 𝑥₂ 5 0 1 0 1 3 9 8 −1 85000 𝑥₁ 4 1 0 0 −2 3 − 1 4 1 𝑧_𝑗 𝑧𝑗− 𝑐𝑗

14

Selanjutnya kita hitung nilai 𝑧𝑗 dan 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 sebagai berikut.

VARIABEL 𝑧𝑗 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 NK 4 ∙ 70000 + 5 ∙ 75000 + 4 ∙ 85000 = 995000 𝑥₁ 0 ∙ 70000 + 0 ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 85000 85000 − 85000 = 0 𝑥2 0 ∙ 70000 + 1 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 75000 75000 − 75000 = 0 𝑥₃ 1 ∙ 70000 + 0 ∙ 75000 + 0 ∙ 85000 = 70000 70000 − 70000 = 0 𝑠₁ 2 3∙ 70000 + 1 3∙ 75000 + (− 2 3) ∙ 85000 = 15000 15000 − 0 = 15000 𝑠₂ −3 4∙ 70000 + 9 8∙ 75000 + (− 1 4) ∙ 85000 = 10625 10635 − 0 = 10625 𝑠₃ 0 ∙ 70000 + (−1) ∙ 75000 + 1 ∙ 85000 = 10000 10000 − 0 = 10000

Kemudian kita input nilai-nilai tersebut ke dalam table simpleks.

Iterasi 3 85000 75000 70000 0 0 0 Rasio CB VDB NK 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑠₁ 𝑠₂ 𝑠₃ 70000 𝑥₃ 4 0 0 1 2 3 − 3 4 0 75000 𝑥₂ 5 0 1 0 1 3 9 8 −1 85000 𝑥₁ 4 1 0 0 −2 3 − 1 4 1 𝑧_𝑗 995000 85000 75000 70000 15000 10625 10000 𝑧𝑗− 𝑐𝑗 0 0 0 15000 10625 10000

Dari tabel di atas terlihat bahwa baris evaluasi 𝑧_𝑗− 𝑐_𝑗 sudah tidak ada yang negatif, maka program telah optimal. Dengan demikian, dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa 𝒙_𝟏 = 𝟒, 𝒙_𝟐= 𝟓, dan 𝒙_𝟑 = 𝟒 dengan nilai maksimum 𝒛 = 𝟗𝟗𝟓𝟎𝟎𝟎.