NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI TRIGONOMETRI

1 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

NILAI EKSAK PERBANDINGAN FUNGSI

TRIGONOMETRI

1.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 0

o Jika titik P(x,y)menuju A(r,0), maka  = 0, maka xr dan y0, sehingga

r y

 α

sin  sin00 0

r

r x

 α

cos  cos0 1

r r

x y

 α

tan  tan000

r

y x

 α

cot   rTD

0 0

cot (Tidak Didefinisikan)

x r

 α

sec  sec0 1

r r

y r

 α

csc  r TD

0 0

csc (Tidak Didefinisikan)

2.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 90

o

Jika titik P(x,y)menuju B(0,r), maka  = 90o, maka x0 dan yr, sehingga

r y

 α

sin  sin90 1

r r

r x

 α

cos  cos9000

r

x y

 α

tan  r TD

0 90

tan (Tidak Didefinisikan)

y x

 α

cot  cot9000

r

x r

 α

sec   r TD

0 90

sec (Tidak Didefinisikan)

y r

 α

csc  csc90 1

r r

3.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 180

o

Jika titik P(x,y)menuju C(r,0), maka  = 180o, maka xr dan y0, sehingga

r y

 α

sin  sin18000

r

r x

 α

cos  cos180 1

r r

x y

 α

tan  tan180 0 0

  

r

y x

 α

cot  rTD

0 180

cot (Tidak Didefinisikan)

x r

 α

sec  sec180 1

  

r r

y r

 α

csc   rTD

0 180

csc (Tidak Didefinisikan)

X Y

O _A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y)

r



Gambar 1

x y

X Y

O _A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y)

r



Gambar 2

x y

X Y

O _A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y)

r _

Gambar 3

y

2 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

4.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 270

o

Jika titik P(x,y)menuju D(0,r), maka  = 270o, maka x0 dan yr, sehingga

r y

 α

sin  sin270 1

r r

r x

 α

cos  cos27000

r

x y

 α

tan  rTD

0 270

tan (Tidak Didefinisikan)

y x

 α

cot  cot270 0 0

  

r

x r

 α

sec  r TD

0 270

sec (Tidak Didefinisikan)

y r

 α

csc  csc270 1

  

r r

5.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 360

o

Jika titik P(x,y)menuju A(0,r), maka  = 360o, maka xr dan y0, sehingga

r y

 α

sin  sin36000

r

r x

 α

cos  cos360 1

r r

x y

 α

tan  tan36000

r

y x

 α

cot  r TD

0 360

cot (Tidak Didefinisikan)

x r

 α

sec  sec360 1

r r

y r

 α

csc   rTD

0 360

csc (Tidak Didefinisikan)

6.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 30

o

dan 60

o

Definisi:

Jika sudut-sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku besarnya adalah 30o dan 60o, maka perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa) adalah 1: 3:2. Sebaliknya, Jika perbandingan (rasio) sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring dalam suatu segitiga siku-siku adalah 1: 3:2, maka sudut-sudut dihadapan sisi siku-siku terpendek, sisi siku-siku terpanjang, dan sisi miring (hipotenusa) berturut-turut adalah 30o, 60o, dan 90o.

X Y

O _A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y)

r



Gambar 4

 y

x

X Y

O A(r,0)

B(0,r)

C(r,0)

D(0,r)

P(x,y)

r



Gambar 5

A

B

C

2

1

3 30o

60o Gambar 6 2

1 0 3

sin  3 1

3 30

cot  

3 2 1 2

3 30

cos   3 3 2 3 2 30

sec  

3 3 1 3 1 30

tan  

3 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

7.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 45

o

Definisi:

Jika kedua sudut lancip dalam suatu segitiga siku-siku masing-masing besarnya sama dengan 45o, maka perbandingan (rasio) sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) adalah 1:1: 2.

Sebaliknya:

Jika perbandingan (rasio) kedua sisi siku dan sisi miring (hipotenusa) dalam suatu segitiga siku-siku adalah 1:1: 2, maka sudut-sudut dihadapan kedua sisi siku-siku dan sisi miring (hipotenusa) berturut-turut adalah 45o, 45o, dan 90o.

2

2 1 2

2 45

sin  

2

2 1 2

2 45

cos  

1

1 1 45 tan  

1

1 1 45 cot  

2

1 2 45

sec  

2

1 2 45

csc  

8.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 15

o

dan 75

o

1.

Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15

o

dan 75

o

Menggunakan Pertolongan Geometri

Alternatif 1:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di C, dengan A60dan B30. 2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, segitiga ABD sama kaki.

Akibatnya BADBDA15.

3. Ambillah AC = 1, maka AB = BD = 2, dan BC = 3 . Sehingga CD2 3. Menurut Pythagoras:

2 2

CD AC

AD   12 



2 3



2  84 3

₂

8 2

8 p _  p

 , dengan p 82 

 

4 32 4 (harus bilangan rasional)

2 4 8 2

4

8 _ 

  6 2

Dengan demikian,

Perhatikan ACDsiku-siku di C.

A

B

C

1

1 2

45o

45o

Gambar 7 3

2 1 2

3 60

sin   3 3 1 3 1 60

cot  

2 1 0 6 os

c 

1 2 60 sec  3

1 3 60

tan   3 3 2 3 2 60

4 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

Alternatif 2:

1. Buatlah ACD siku-siku sama kaki, D90dan AD = CD. 2. Buatlah BCD siku-siku di D, DBC30dan BCD60.

3. Perpanjang AC dan tarik garis tegak lurus dari titik B, sehingga memotong perpanjangan garis AC di

E, sehingga EBC15dan BCE75. 4. Ambillah AD = 1, maka

Perhatikan ADC, CD = AD = 1, dan AC = 2 . Perhatikan BDC, BD 3dan BC2. Sehingga AB1 3.

Perhatikan BEAsiku-siku sama kaki, dengan E90 dan AEBE.

Dengan demikian,

5 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

Alternatif 3:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, B90dan AB = BC.

Alternatif 4:

6 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

3. Tarik garis tegak lurus dari titik D, ke sisi AC sehingga memotongnya di E. Akibatnya

 

DAC 15 dan ADE75. 4. Ambillah AB1, maka

Perhatikan ABC: AC2dan BC 3. Perhatikan ABD: BD1dan AD 2. Sehingga CDBCBD 31. Perhatikan DECsiku-siku di E.



3 1



2 1

2  

CD

DE







3 3



2 1 3 1 3 2 1

3    

DE CE



 

1 3



2 1 3 3 2 1

2   

  AC CE AE

Dengan demikian,

Perhatikan ADEsiku-siku di E:







6 2



4

1 2

1 3 2 1 15

sin  

 

 

AD DE







6 2



4

1 2

3 1 2 1 15

cos  

   

AD AE









2 3 3

1 2 1

1 3 2 1 15

tan  

  

 

AE DE







6 2



4

1 2

3 1 2 1 75

sin  

   

AD AE







6 2



4

1 2

1 3 2 1 75

cos  

 

 

AD DE









2 3 1

3 2 1

3 1 2 1 75

tan  

    

DE AE

Alternatif 5:

1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, BC75, A30dan AB = AC.

2. Tarik garis tegak lurus dari titik B, ke sisi AC sehingga memotongnya di D. Akibatnya

 

DBC 15 dan BCD75. 3. Ambillah ABAC2, maka

Perhatikan ABD: BD1 dan AD 3. SehinggaCDACAD2 3. Perhatikan BCDsiku-siku di D. Menurut Pythagoras:

2

2 _CD

BD

BC   12 



2 3



2  84 3

A

D C

B E

75o

45o 15o

45o 30o

60o

7 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

2 8 2

8p _ p

 , karenap 82 

 

4 32 4(harus bilangan rasional)

2 4 8 2

4

8 _ 

  6 2

Dengan demikian,

Perhatikan BCDsiku-siku di D:



6 2



4 1 2 6

3 2 15

sin  

    

BC CD



6 2



4 1 2 6

1 15

cos  

   

BC BD

2 3

1 3 2 15

tan     

BD CD



6 2



4 1 2 6

1 75

sin  

   

BC BD



6 2



4 1 2 6

3 2 75

cos  

    

BC CD

3 2 3 2

1 75

tan  

   

CD BD

Alternatif 6:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, A60dan C30. 2. Buatlah garis bagi CD. Akibatnya BCD15dan BDC75. 3. Ambillah AC2, maka AB1dan BC 3

4. Menentukan panjang CD menggunakan Dalil Garis Bagi: DA:DBCA:CB2: 3

DA 32DB

3

2 1

AD

BD

AB1 ADBD1

3 1

2

1 _

 AD AD



2 3



AD2

3 2

2  

AD 42 3

3



4 2 3



2 3 3

2 1 3 2

1 _{    }

 AD BD

CD2 ACBCADDB

CD22 3



42 3

 

 2 33



2 3



8 312126 3



2412 3

CD 2412 3 2 63 3 , karena p 62 

 

3 3 2 3 (harus bilangan rasional)

_

  

 

 _

  

2 3 6 2

3 6

2



3 2 6



2 1

2 

 3 2 6

A

D

C B

60o 15o

30o

75o

Gambar 12

A D B

C

15o 15o

60o 75o

8 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

Menentukan panjang CD dengan menggumakan Dalil Pythagoras: Perhatikan BCDsiku-siku di B, dengan BC 3dan BD2 33 CD2 BC2 BD2

CD2 

  

3 2  2 33



2 2412 3 CD 2412 3

2 8 2

8 p _ p

 , karena p 242 

 

12 32 12 (harus bilangan rasional)

2 12 24 2

12

24 _ 

 3 2 6

Dengan demikian,

Perhatikan BCDsiku-siku di B:



6 2



4 1 6 2 3

3 3 2 15

sin  

  

 

CD BD



6 2



4 1 6 2 3

3 15

cos  

   

CD BC

2 3

3 3 3 2 15

tan     

BC BD



6 2



4 1 6 2 3

3 75

sin  

   

CD BC



6 2



4 1 6 2 3

3 3 2 75

cos  

  

 

CD BD

3 2 3 3 2

3 75

tan  

   

BC BD

Alternatif 7:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku di B, A60dan C30. 2. Bagilah sudut A menjadi 4 bagian yang sama besar.

Akibatnya BCDDAEEAFFAC15,BAD75, dan BEA60. 3. Ambillah AC2, maka AB1dan BC 3

4. Perhatikan segitiga BEA siku-siku di B, dengan BEA60, BAE30, dan AB1

3 1 

BE dan

3 2 

AE

3 2 : 1 : :DEAB AE BD

BDDE

3 2

3 1 

BE

3 1  DE BD

3 1 3

2 _

 BD BD

E

D

B F

A

C

75o 15o

15o 15o 15o

30o

9 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

BD



2 3



1

BD2 3

Perhatikan ABDsiku-siku di B, dengan BD2 3dan AB1 AD AB2BD2  12 



2 3



2  84 3

2 8 2

8p _ p

 , karena p 82 

 

4 32 4 (bilangan rasional)

2 4 8 2

4

8 _ 

  6 2

Dengan demikian,

Perhatikan ABDsiku-siku di B:



6 2



4 1 2 6

3 2 15

sin  

    

AD BD



6 2



4 1 2 6

1 15

cos  

   

AD AB

2 3

1 3 2 15

tan     

AB BD



6 2



4 1 2 6

1 75

sin  

   

AD AB



6 2



4 1 2 6

3 2 75

cos  

    

AD BD

3 2 3 2

1 75

tan  

   

BD AB

2.

Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15

o

dan 75

o

Menggunakan Pertolongan Geometri Aturan Kosinus atau Aturan Sinus, dan Sudut

Berelasi.

Alternatif 1:

1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan AB75, C30, dan ACBC. 2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D. Akibatnya ADBD. 3. Ambillah ACBC1.

Menurut Aturan Kosinus:

C BC AC BC

AC

AB2  2  2 2  cos

     

12 12 2 1 1 cos30

2

AB 2 3

AB 2 3

2 2 2

2p _  p

 , dengan p 22 

 

32 1 (rasional)

2 1 2 2

1

2 _ 





6 2



2

1 _





6 2



4 1 2

1 _{ }

 BD AB AD

4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan DAC75, A D B

C

15o 15o

75o 75o

10 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

Alternatif 2:

1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, dengan AB15, C150, dan ACBC. 2. Tarik garis tinggi dari titik C ke sisi AB sehingga memotongnya di D, sehingga ADBD. 3. Ambillah ACBC1.

Menurut Aturan Kosinus:

11 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014



6 2



4 1 2

1 _{ }

 BD AB AD

4. Lihat ADC siku-siku di D, dengan DAC15, ACD75, AC1, dan



6 2



4

1 _



AD

Menurut Pythagoras:

CD AC2 AD2





2

2 _{6 2}

4 1 1

  

 _



 2 3

2

1 _



_

  

 

  _  

2 8 2

8 2

1 p p

, karena karena p 22 

 

32 1 (harus bilangan rasional)

_

  

 

 _

  

2 1 2 2

1 2 2

1





2 6 4

1 _



Dengan demikian,

Perhatikan ACDsiku-siku di B:







6 2



4

1 1

2 6 4 1 15

sin  

 

 

AC CD







6 2



4

1 1

2 6 4 1 15

cos  

 

 

AC AD









2 3 2

6 4 1

2 6 4 1 15

tan  

  

 

AD CD







6 2



4

1 1

2 6 4 1 75

sin  

 

 

AC AD







6 2



4

1 1

2 6 4 1 75

cos  

 

 

AC CD









2 3 2

6 4 1

2 6 4 1 75

tan  

  

 

CD AD

Alternatif 3:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, B90dan AB = BC.

2. Buatlah segitiga ABD siku-siku di B, DAB30dan ADB60. Sehingga DAC15dan

  ADC 120 .

3. Ambillah ABBC3, maka Perhatikan ABC: AC = 3 2.

Perhatikan ABD: BD 3dan AD2 3. Sehingga CDBCBD3 3.

Menurut Aturan Kosinus dalam ADC.

C D

B A

15o 15o

75o 75o

12 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

Selanjutnya kita dapat

menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan

perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.

_{AB AC}2 _BC2 _{ 4}2 _



_{6 2}



2 _{ 84 3}

cos  

, kita dapat menentukan perbandingan fungsi

trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoran dan sudut berelasi.

13 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

4

3 2 15

sin   2 3

2

1 _



_

  

 

 _

  

2 2 2

2 2

1 p p

, dengan p 22 

 

32 1 (harus bilangan rasional)

_   

 

 _

  

2 1 2 2

1 2 2

1





2 6 4 1

 









2 3 2

6 4 1

2 6 4 1 15 cos

15 sin 15

tan  

  

   



6 2



4 1 15

sin   







6 2



4 1 75 90

sin    



6 2



4

1 75

cos  



6 2



4 1 15

cos   







6 2



4 1 75 90

cos    



6 2



4

1 75

sin  

3 2 15

tan    tan



9075



2 3 cot752 3

2 3 3

2 1 75

tan  

  

Alternatif 4:

1. Buatlah ABC siku-siku di B, A60dan C30. 2. Buatlah ABD siku-siku sama kaki, B90dan ABBD. Sehingga DAC15dan ADC135.

3. Ambillah AB1, maka

Perhatikan ABC: AC = 2 dan BC 3. Perhatikan ABD: ABBD1dan AD 2. Sehingga CDBCBD 31.

Menurut Aturan Kosinus dalam ADC.

AD AC

CD AD AC DAC

    

2 cos

2 2 2

  



2 2 2

1 3 2

2 15 cos

2 2

2

 

  

 

2 4

3 2 4 2 4   

2 4

3 2 2





6 2



4

1 _



Kita juga dapat menggunakan Aturan Sinus sebagai berikut.

Menurut Aturan Sinus dalam ADC.

ACD AD DAC

CD

 

 sin

sin

   

30 sin

2 15

sin 1 3

A

D C

B

135o

45o 15o

45o 30o

14 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

Selanjutnya kita dapat

menentukan perbandingan fungsi trigonometri lainnya menggunakan

perbandingan trigonometri pada segitiga lancip.

_PQ _PR2 _QR2  ₄2 



₆ ₂



2 _{ 84 3}

trigonometri lainnya menggunakan identitas Pythagoras dan sudut berelasi.

15 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014



6 2



4 1 75

sin  

3 2 15

tan    tan



9075



2 3 cot752 3

2 3 3

2 1 75

tan  

  

3.

Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 15

o

dan 75

o

Menggunakan Pertolongan Perbandingan Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut

dan Sudut Rangkap

1.

Menentukan

sin15

Alternatif 1:

sin15sin



4530



sin45cos30cos45sin30

2 1 2 2 1 3 2 1 2 2 1

  





6 2



4 1

 

Alternatif 2:

sin15sin



6045



sin60cos45cos60sin45 2 2 1 2 1 2 2 1 3 2

1 _{  }





6 2



4

1 _



Alternatif 3:

cos2xcos2 xsin2x

cos2x12sin2 x



2 2 cos 1

sinx  x

,

x

sudut lancip

2 30 cos 1 15

sin   

2 2

3 1

 2 3

2

1 _



_

  

 

 _

  

2 2 2

2 2

1 p p

, denan

p 22 

 

32 1

(hrus bilangan rasional)

2 1 2 2

1

2 

 





6 2



2

1 _



Alternatif 4:

x15

6x90

2x904x

sin2xsin



904x



sin2xcos4x

sin2x12sin22x

2sin2 2xsin2x10

4 8 1 1 2

sin x  

4 3 1 



, dengan

(

sin2x0

)

2 1 2 sin x

16 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

16sin4 x16sin2 x10

32 64 256 16

sin2 x  

32 3 8 16 

4 3 2



, dengan

sinx0

4 3 2

sin2x 

(diterima) atau

4 3 2

sin2 x 

(ditolak)

4 3 2

sinx  2 3

2

1 _



_

  

 

 _

  

2 2 2

2 2

1 p p

, karena

p 22 

 

32 1

(bilangan rasional)

_

  

 

 _

  

2 1 2 2

1 2 2

1





2 6 4

1 _







6 2



4

1 15

sin  

2.

Menentukan

cos15

Alternatif 1:

cos15cos



4530



cos45cos30sin45sin30

2 1 2 2 1 3 2 1 2 2

1 _{  }





6 2



4

1 _



Alternatif 2:

cos15cos



6045



cos60cos45sin60sin45 2 2 1 3 2 1 2 2 1 2

1_{  }





6 2



4

1 _



Alternatif 3:

cos2xcos2 xsin2x

cos2x2cos2 x1



2 2 cos 1

cosx  x

,

x

sudut lancip

2 30 cos 1 15

cos   

2 2

3 1

 2 3

2

1 _



_

  

 

 _

  

2 2 2

2 2

1 p p

, karena

p 22 

 

32 1

(harus bilangan rasional)

2 1 2 2

1

2 _ 





6 2



2

1 _



Alternatif 4:

x15

6x90

2x904x

cos2xcos



904x



18 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

x x x

2 tan 2

2 tan 4 4 2 tan

2    

x x 2 tan

2 tan 1 1  2

 

Karena

x

sudut lancip, maka

x x x

2 tan

2 tan 1 1 tan

2    

  

   

30 tan

30 tan 1 1 15 tan

2

3 1

3 1 1 1

2

         

3 1

3 3 2 1 

 2 3

Alternatif 5:

x15

6x90

2x904x

tan2xtan



904x



tan2xcot4x

tan2xtan4x1

1

2 tan 1

2 tan 2 2 tan

2 _

 

 

 x

x x

2tan22x1tan2 2x

3tan22x1

, dengan

tan2x0

3 1 2 tan x

3 1 tan

1 tan 2

2 

 x

x

2 3tanx1tan2x

tan2x2 3tanx10

2 4 12 3 2

tanx  

2 4 3

2 



  32

, dengan

tanx0

tanx2 3

(ditolak) atau

tanx2 3

(diterima)



tan152 3

4.

Menentukan

sin75

Alternatif 1:

sin75sin



4530



sin45cos30cos45sin30

2 1 2 2 1 3 2 1 2 2

1 _{  }





6 2



4

1 _



Alternatif 2:

cos2xcos2 xsin2 x

cos2x12sin2 x



2 2 cos 1

sinx  x

,

x

sudut lancip

2 150 cos 1 75

sin   

2 2

3 1

 2 3

2

1 _

19 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

Alternatif 1:

cos75cos



4530



cos45cos30sin45sin30

Alternatif 1:

20 | Husein Tampomas, Trigonometri, 2014

9.

Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut-sudut 22,5

o

dan 67,5

o

1.

Menentukan Nilai Eksak Perbandingan Fungsi Trigonometri Sudut 22,5

o

dan 67,5

o

Menggunakan Pertolongan Geometri

Alternatif 1:

1. Buatlah segitiga ABC siku-siku sama kaki, C90dan ACBC. 2. Perpanjang garis CB, sehingga AB = BD. Jadi, ABD sama kaki.

Akibatnya BADBDA22,5.

3. Ambillah AC = BC = 1, maka AB = 2 dan CD1 2. Perhatikan segitiga ACD siku-siku di C.

Menurut Pythagoras:

2

2 _CD

AC

AD   12 



1 2



2  42 2

Dengan demikian,

Perhatikan ACDsiku-siku di C.

Alternatif 2:

1. Buatlah segitiga ABC sama kaki, A45, BC67,5, dan ACAB. Menurut Pythagoras:

2

2 _CD

BD

BC   12 



21



2  42 2

Dengan demikian,