IR o func þie realã de p variabile reale, p

FORMULA LUI TAYLOR. EXTREME

Vom extinde în acest capitol formula lui Taylor la funcþii scalare de mai multe variabile de forma f : A  IRp  IR. Reamintim cã _{în cazul p=1, dac}ã _{A este un}

interval, fCn+1(A) ºi a,xA, atunci existã _un  _{între a ºi x astfel încât:}







 

    n

0 k

1 n k

a d f(x a)

)! 1 n (

1 ) a x ( f d ! k

1 )

x (

f (*) Vom arã_{ta c}ã _{ºi pentru p}_{1, în anumite condiþii, exist}ã _{o formul}ã _similarã_, adicã _{putem s}ã _aproximã_{m într-o vecin}ã_{tate V}

V

_{a funcþia f cu polinomul Taylor Tn} (de grad n):





 

 n

0 k

k a

n d f(x a)

! k

1 )

x ( T ) x (

f .

Una din problemele cele mai stringente din tehnicã_{, economie, etc. este cea} a optimizã_{rii diverselor procese; optimizarea unui proces const}ã _{în aflarea extremelor} (minime ori maxime) unei funcþii  funcþie care modeleazã _{matematic procesul} respectiv  în anumite condiþii impuse variabilelor  condiþii care dau domeniul de definiþie al funcþiei. De aceastã _problematicã _{se ocup}ã _{teoria optimiz}ã_{rii. Noi vom} aborda aici doar câteva tehnici de depistare a punctelor de extrem (locale, uneori ºi globale) ºi a naturii acestora folosind formula (*).

A. FORMULA LUI TAYLOR

Fie f : A IRp IR o funcþie realã _{de p variabile reale, p}_1.

Definiþia 1. Dacã _{f este diferenþiabil}ã _{de n ori în punctul a}_{A atunci funcþia} polinomialã _{Tn : IR}p _IR

A x ), a x ( f d ! n

1 ... ) a x ( f d ! 1 1 ) a ( f ) x (

T n

a a

n       

se numeºte polinomul lui Taylor de grad n asociat funcþiei f în punctul a; notând )

a ( f f

d0_a  , atunci putem scrie





  n

0 k

k a

n d f(x a)

! k

1 )

x (

T . Funcþia:

Rn: A  IR , Rn(x)=f(x)Tn(x), xA

se numeºte restul de ordinul n, iar relaþia f(x)= Tn(x)+ Rn(x), xA

o numim formula lui Taylor de ordinul n, sau dezvoltarea Taylor a funcþiei f în jurul punctului a.

Observaþie.Folosind operatorul de diferenþiere d avem )

a ( f dx x ... dx x f d

) k (

p p 1

1 k

a 

  

  

    



 ;

)

Pentru a extinde formula (*) valabilã _{pe intervalul A pentru cazul p}_{1 avem nevoie de} douã _{noþiuni noi: cea de segment ºi cea de mulþime convex}ã_. funcþiilor compuse ºi observaþiei precedente obþinem:

…

ºi formula lui Taylor este demonstratã_.

Observaþia 1. Pentru n=0, din formula lui Taylor rezultã

constituie o generalizare (pentru p1) a formulei creºterilor finite a lui Lagrange. Observaþia 2. Restul de ordinul n din formula lui Taylor:

x)

ne permite sã _evaluã_{m eroarea din aproximarea de ordinul n:}



în cazul în care derivatele parþiale de ordinul n+1 ale funcþiei f pe A (care intervin în expresia diferenþialei de ordinul n+1) sunt mã_{rginite de aceeaºi constant}ã _M_0:

1

) y , x ( R ) b y ( ) a x )( b , a ( y x

f C

! n

1

... n n k k _n

0 k

k k n

n k

n   

 

 

 

 



,

unde:

k k

1 n 1

n

0 k

k k 1 n

1 n k

1 n

n ( , )(x a) (y b)

y x

f C

)! 1 n (

1 ) y , x (

R   

 

 

  

 







,

(0,1) cu

b), -(y b ), a x (

a    



 .

În acest caz graficul funcþiei f este o suprafaþã _{de ecuaþie:} S : z = f(x,y), (x,y)A.

Sã _{presupunem c}ã _f_C2_{(A), d f 0 d}2 _f

) b , a ( )

b , a

(   ºi U este o vecinãtate a punctului

(a,b)A.

Aproximarea de ordinul 0: f(x,y)T₀(x,y)f(a,b), (x,y)U înseamnã_{, din} punct de vedere geometric, cã _dacã _(x,y)_{U punctul M(x,y,f(x,y)) este înlocuit cu} punctul M0(x,y,f(a,b)) aparþinând porþiunii de plan paralel cu xOy de ecuaþie:

S0 : z = T0(a,b) = f(a,b), (x,y)A,

aproximare care, în general, este nesatisfã_cã_{toare chiar dac}ã _vecinã_{tatea U este} “micã”.(vezi Fig.1.)

Aproximarea de ordinul întâi: f(x,y)T₁(x,y)f(a,b)d_(a,b)f(x-a,y-b), (x,y)U este mai finã_{, c}ã_{ci presupune înlocuirea punctului M cu punctul M1(x,y,T1(x,y)) din} porþiunea de plan tangent în punctul P(a,b,f(a,b)) la suprafaþa S:

S1 : z = T1(x,y), (x,y)A.

(vezi Fig.2.).

Aproximarea de ordinul al doilea:

U y) (x, b), -y a, -f(x d 2 1 b) -y a, -f(x d ) b , a ( f ) y , x ( T ) y , x (

f  ₂   _(a,b)  ₍2_a,b) 

este mai finã _{decât precedenta; în acest caz punctul M(x,y,f(x,y)) de pe graficul S,} (x,y)U este înlocuit cu punctul M2(x,y,T2(x,y)) aparþinând suprafeþei de ecuaþie:

S : z = T (x,y), (x,y)A,

M0

M z

y

x

0

z=T0(x,y)

(a,b,f(a,b))

U

(a,b,0)

suprafaþã _tangentã _{în P(a,b,f(a,b)) la suprafaþa S ºi care are drept plan tangent în P} planul S1(vezi Fig.3.).

Exemplul 1. Sã _{se dezvolte polinomul f(x,y,z) = x}3_+y3_+xyz_z2_+xy+x_z+1 dupã _{puterile lui x}_{1, y+1 ºi z}_1.

Rezolvare. Vom folosi dezvoltarea Taylor a funcþiei f în jurul punctului a=(1, 1,1) IR3. Cum f este un polinom de gradul al treilea d4f=0, deci R3(x,y,z)=0 ºi

formula lui Taylor este:

) 1 z , 1 y , 1 x ( f d 6 1 ) 1 z , 1 y , 1 x ( f d 2 1 ) 1 z , 1 y , 1 x ( f d ) 1 , 1 , 1 ( f ) z , y , x (

f 3(1, 1,1)

2 ) 1 , 1 , 1 ( )

1 , 1 , 1

(           

 

 _{  }

Dar df 3x2dx3y2dyyzdxzxdyxydz2zdzydxxdydxdz,

dxdy 2 dz 2 dz ) xdy ydx ( dy ) xdz zdx ( dx ) ydz zdy ( ydy 6 xdx 6 f

d2 _ 2_ 2 _{      } 2_{ , iar}

) dxdydz dy

dx ( 6 f

d₃  3  3  .

M M1 S1

z

y

x

0

z=T1(x,y)

(a,b,f(a,b))

(a,b,0)

Fig.2.

S2

z

y

x

0

z=T2(x,y)

(a,b,f(a,b))

(a,b,0) A

Calculã_{m acum f(1,}_1,1)=_{2, d f 2dx 5dy 4dz}

Exemplul 2. Folosind formula lui Taylor de ordinul al treilea sã _{se calculeze} valoarea aproximativã _{a num}ã_{rului (0,9)}2,1_.

Rezolvare. Ne intereseazã _{valoarea funcþiei f(x,y)=x}y _{în punctul (x,y)=(0,9;} 2,1); vom alege drept punct (a,b) în jurul cã_{ruia vom dezvolta funcþia f unul în care}

putem calcula exact funcþia f ºi derivatele sale parþiale ºi, totodatã_{, cât mai apropiat} de (x,y). Fie deci (a,b)=(1,2). Atunci:



estimare a erorii comise. Dacã _{dorim s}ã _calculã_{m o expresie cu o precizie prestabilit}ã

2

aproximarea de ordinul întâi:

975

MULTE VARIABILE

Fie f : AIRpIR, p1.

extrem global (sau absolut) al funcþiei f.

Am vã_{zut c}ã_{, în cazul funcþiilor cu o singur}ã _variabilã _realã_{, teorema lui} Fermat oferã _{condiþii necesare de extrem (dac}ã _a



I este un punct de extrem pentru funcþia f : I IR  IR ºi f este derivabilã _{în a, atunci f'(a)}_{0 sau, echivalent, daf=0).} Teorema lui Fermat admite o generalizare pentru funcþiile de mai multe variabile.

Demonstraþie. Deoarece punctul a din interiorul mulþimii A este un extrem local pentru funcþia f, rezultã _cã _existã _r_{0 astfel ca E(x)= f(x)}_{f(a) s}ã _pã_{streze semn} constant pentru orice xS(a,r)A. Fie s un versor arbitrar din IRp ºi funcþia auxiliarã

ts) f(a g(t) , I ) r , r ( :

g   R   . Atunci g(t)g(0)f(ats)f(a)E(ats) pã_streazã semn constant pentru t(r,r), cã_{ci a}_ts_{S(a,r), adic}ã _{funcþia g are un extrem local în} t=0. Cum g este derivabilã _{în t=0 (fiind o compus}ã _{de funcþii derivabile), din teorema} lui Fermat rezultã _cã _{(a) 0}

s f ) 0 ( '

g 

 

 ; prin urmare (a) 0

s

f _

 

, pentru orice versor s din IRp; în particular, punând s=ek, k1 ,p (vectorii bazei canonice din IRp) obþinem

p 1, k , 0 ) a ( x

f

k

  



, sau daf=0.

Definiþia 4. Fie f : AIRpIR, p1 ºi aÅ.

Dacã _{f este diferenþiabil}ã _{în a ºi daf=0, punctul a se numeºte punct staþionar}

al funcþiei f.

Dacã _{a este punct staþionar pentru f, sau dac}ã _{f nu este diferenþiabil}ã _{în a,} spunem cã _{a este punct critic al funcþiei f (pentru funcþia f).}

Observaþia 1. Din teorema lui Fermat rezultã _cã _{punctele interioare de} extrem local ale funcþiei diferenþiabile f se gã_{sesc, dac}ã _existã_{, printre soluþiile} sistemului de p ecuaþii cu p necunoscute

p 1, k , 0 ) x ,... x ( x

f

p 1 k

 

 

.

Observaþia 2. Ca ºi în cazul p=1, teorema lul Fermat dã _{condiþii necesare,}

nu ºi suficiente, de existenþã _{a punctelor de extrem local. De exemplu, funcþia} f : IR2IR, f(x,y)=xy are derivatele parþiale nule în (0,0), dar originea nu este punct

de extrem local al funcþiei f (f fiind o formã _pã_traticã _nedefinitã_{). Deci (0,0) este un} punct staþionar (deci ºi critic) pentru f care nu este extrem local. În schimb, pentru funcþia g : [0,)[0,)  IR, g(x,y)=xy , originea (0,0) este un punct critic (g nu este diferenþiabilã _{în (0,0)) care nu este staþionar, dar este un punct de extrem global.}

Observaþia 3. Am vã_{zut c}ã _{la funcþiile de o singur}ã _variabilã _semnul diferenþialei de ordinul al doilea într-un punct staþionar ne dã _{informaþii asupra naturii} acestui punct. În cazul funcþiilor de mai multe variabile semnul diferenþialei de ordinul doi (care este o formã _pã_traticã_{) într-un punct staþionar va stabili natura punctului} respectiv. Vom utiliza urmã_{toarele leme:}

Lema 1. Fie  : IRpIR o formã _pã_traticã_.

(a) Dacã _{este pozitiv definit}ã _(adicã_(x)_{0, pentru orice x} _IRp _{\ {0}) exist}ã m0 astfel ca (x)mx 2, pentru x IRp .

(b) Dacã _{este nedefinit}ã _{atunci exist}ã _{s1, s2} _IRp _{\ {0} astfel încât} _(ts1)_{0 ºi}

(ts2)0, pentru orice t IR*.

Demonstraþie. (a). Fie S



xIRp | x 1



. Atunci S este o mulþime închisã ºi mã_rginitã_{, deci o mulþime compact}ã_{, iar}  _{este o funcþie continu}ã_{, prin urmare}  este mã_rginitã _{ºi îºi atinge marginile pe S (teorema 16, cap.1). Fie m minimul funcþiei}

 pe S; desigur m0 cã_ci  _{este pozitiv definit}ã _ºi:

Fie acum x IRp \ {0}; atunci x S conform (2) obþinem:

Fie (a)0 ºi





 

 



 p

1 j , i

j j i i ij

2 (x)(x a)(x a )

a x

2 )

x

( . Atunci din (1) ºi (4) rezultã _cã_:

) x ( a x ) a x ( f d 2 1 ) a x ( f d ) a ( f ) x (

f 2

a

a      



 .

Rã_{mâne s}ã _{dovedim c}ã _{lim (x) 0}

a

x   . Aplicând succesiv inegalitatea modulelor,

respectiv inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwarz (vezi exemplul 14, cap.1) obþinem:

  

  









p

1 j , i

j j i i

ij(x) (x a)(x a )

a x

1 )

x (







 



   

  

 p

1 j , i

ij p

1 j , i

2 j j 2 i i p

1 j , i

2 ij

2 (x) (x a) (x a ) (x)

a x

1

, iar din (3) ºi teorema cleºtelui obþinem: lim (x) 0

a

x   .

Teorema 3 (condiþii suficiente de extrem). Fie f : AIRpIR, o funcþie de clasã _C2 _{ºi a}_{A un punct staþionar pentru f. Dac}ã _d2_f

a este pozitiv (negativ) definitã,

atunci a este un punct de minim (respectiv maxim) local al funcþiei f. Dacã _d2_f

a este

nedefinitã _{atunci a nu este punct de extrem pentru funcþia f.}

Demonstraþie. Deoarece a este punct staþionar rezultã _cã _{d f 0}

a  ; conform

lemei 3 rezultã _cã _{pentru orice x}_A

) x ( a x ) a x ( f d 2 1 ) a ( f ) x (

f 2 2

a    



 (1) ºi lim (x) 0 (a)

a

x    .

1. Presupunem cã _d2_f

a este pozitiv definitã; conform lemei 1 rezultã cã:

 m0 astfel încât 2 2

af(x a) mx a

d    (2) pentru orice x IRp. Din (1) ºi (2) rezultã _cã_:

2

a x ) x ( 2 m ) a ( f ) x (

f  

  



 _



 (3) pentru orice xA. Dar lim (x) 0

a

x   ºi m0, deci exist

ã _V

V

_{a astfel ca:} 0

) x ( 2

m_{ }

, pentru orice xV (4) Din (3) ºi din (4) rezultã _cã _f(x) _f(a)  _{0 pentru orice x}_A  _V,adicã _{a este un minim} local al funcþiei f.

2. Dacã _da2_{f este negativ definit}ã _{, iar g= - f, atunci da}2_{g este pozitiv definit}ã_ºi conform punctului precedent, existã _V

V

_{a astfel ca:}

g(x) - g(a) = f(x) + f(a)  0, pentru orice x  V  A , adicã _{a este un maxim} local pentru funcþia f.

3. Presupunem acum cã _da2_{f este nedefinit}ã_{. Conform lemei 1(b) rezult}ã _cã existã _douã _{direcþii s1 , s2}  _IRp_{-{0} astfel încât:}

Luând x = a + ts1 ºi y = a + ts2, cum aÅ, existã o vecinãtate V0 a punctului 0 IR

astfel ca x,yA, pentru tV0. Din (1) obþinem :

f(x) - f(a) = t2( 2 1

da2f(s1) + (x)) (6)

f(y) - f(a) = t2( 2 1

da2f(s2) + (y)) (7)

Dar

0 t

lim

 (x) = 0 = limt0 (y), deci exist

ã _{o vecin}ã_{tate U a punctului 0} _{IR, U}_{V0, astfel} ca:

21 da

2_f(s

1) + (x) > 0 ºi

2

1 da2f(s2) + (y) < 0 (8)

pentru tU. În sfârºit, din (8),(6) ºi (7) rezultã _cã _{pentru t}_{U: f(x)}_{f(a)>0 ºi f(y)}_f(a)<0, adicã _{punctul a nu este un extrem pentru funcþia f.}

Observaþie. În condiþiile teoremei precedente da2f este o formã pãtraticã a

cã_{rei matrice este hessiana funcþiei f în a: Hf(a)=}

p , 1 j

p , 1 i j i

2

) a ( x x

f

 

    

  

 



. Reamintim cã _dacã

valorile proprii 1,2,…,p sunt mai mari (mici) sau egale cu 0, atunci da2f este pozitiv

(negativ) definitã_{, iar dac}ã _existã _{i>0 ºi} _{j < 0 ea este nedefinit}ã_{. De asemenea,} pentru stabilirea naturii punctului a putem aplica criteriul lui Sylvester:

notând cu 1=f_x''2(a)

1 , 2=_{f (a) f (a)}

) a ( f ) a ( f

'' x ''

x x

'' x x ''

x

2 2 2

1

2 1 2

1

,…, p=detHf(a), atunci:

(a) dacã _k_{0, k= p1, , atunci a este un minim local;}

(b) dacã _{1<0 ,} _{2>0 ,} _3<0,…., (1)p p >0, atunci a este un maxim local

pentru f;

(c) dacã _{în inegalitat}ã_{þile de la (a), respectiv (b) exist}ã _{k astfel încât} _k=0 metoda nu decide natura punctului a;

(d) în rest da2f este nedefinitã, deci a nu este punct de extrem pentru funcþia f.

Exemplul 4. Sã _determinã_{m extremele locale ale funcþiei f : IR}2_IR, 13

y 2 2 y 3 y x 2 2 x 3 3 x ) y , x ( f

2 3 2

3

     

 . Cum fC2(IR2) rezultã _cã _{putem determina}

toate punctele de extrem prin metoda descrisã_:

Pasul 1. Determinã_{m punctele staþionare din sistemul:}

   

   

   

0 2 y y ) y , x ( ` f

0 2 x 3 x ) y , x ( ` f

2 y

2 2 x

,

deci punctele (1,1), (1,-2), (2,1) ºi (2,-2) sunt conform teoremei lui Fermat posibile puncte de extrem.

Pasul 2. Studiem natura punctelor staþionare folosind criteriul lui Sylvester. Hessiana funcþiei f în punctul curent este :

Hf(x,y)= 

  

 

 

1 y 2 0

0 3 x 2

, iar 1(x,y)=2x3, 2(x,y)=(2x3)(2y1).

În (1,1), 1=1 ºi 2=1, deci acest punct nu este punct de extrem pentru f.

În punctul (1, 2), 1 = 1 < 0, 2 = 5 > 0, deci (1,-2) este un maxim local ºi

Deoarece 1(2,1) = 1, 2(2,1) = 1 > 0 rezultã cã (2,1) este un punct de minim

local pentru f ºi fmin=23/2.

În sfarºit, în (2, 2) avem 1= 1<0, 2= 5<0, deci punctul (2, 2) nu este un

extrem al funcþiei f.

Observaþie. Dacã _{într-un punct staþionar a al funcþiei f diferenþiala a doua se} anuleazã _{ºi f este de clas}ã _Cn_{, n}_{3 atunci folosim o dezvoltare de ordin superior în} formula lui Taylor; dacã _{primele derivate parþiale nenule sunt de ordin impar, atunci} punctul staþionar nu este extrem pentru f.

Exemplul 5. Sã _{se determine extremele locale ale funcþiei f : IR}3 _IR, f(x,y,z)=x4+y4+z4- 4xyz.

Rezolvare. Determinã_{m mai întâi punctele staþionare rezolvând sistemul:}

    

  

  

  

0 ) xy z ( 4 ) z , y , x ( ` f

0 ) zx y ( 4 ) z , y , x ( ` f

0 ) yz x ( 4 ) z , y , x ( ` f

3 z

3 y

3 x

Deci punctele (0,0,0), (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) sunt posibile puncte de extrem. Hessiana funcþei f în punctul curent este:

Hf(x,y,z)=4

  

 

  

 

 

 

 

2 2 2

z 3 x y

x y

3 z

y z x

3

.

(a). Deoarece Hf(0,0,0) este matricea nulã, d2(0.0.0)f=0. Vom studia semnul

diferenþialei de ordinul trei în (0,0,0). Cum d2f 4



3



x2dxy2dyz2dz



2



zdxdy



zdxdy ydxdz

 , avem d3f = 24(xdx3+ydy3+zdz3-dxdydz), deci d3(0,0,0)f(x,y,z) = 

24dxdydz, adicã _d3_{(0,0,0)f(x,y,z) =} _{24xyz, care este o form}ã _ternarã _{ce îºi schimb}ã semnul în orice vecinã_{tate a originii; prin urmare (0,0,0) nu este un punct de extrem} pentru f.

(b). Deoarece Hf(1,1,1)=4

  

 

  

 

 

 

 

3 1 1

1 3 1

1 1 3

, avem 1=12, 2=842,

3=1643>0 ºi conform criteriului lui Sylvester, (1,1,1) este un minim local, iar

fmin=f(1,1,1)=-1.

(c). Deoarece f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y), pentru a studia natura punctelor staþionare rã_{mase este suficient s}ã _analizã_{m natura punctului (1,-1,-1). Cum}

Hf(1,-1,-1)=4

  

 

  

 

 

3 1 1

1 3 1

1 1 3

, avem 1 = 12, 2 = 842, 3 = 1643 > 0; rezultã cã

cele trei puncte sunt de minim local pentru f ºi fmin= f(1,1,1)= f(1,1,1)=

f(1,1,1)= 1.

Exemplul 6. Dintre toate paralelipipedele drepte pentru care suma lungimilor laturilor este egalã _{cu a>0 s}ã _{se determine cel al c}ã_{rui volum e maxim.}

V(x,y,z) = xyz, unde V:A={(x,y,z) IR3| x + y + z = a, x,y,z > 0}. Valoarea

Deci singurul punct staþionar este 



ºi maximul ei absolut este atins în interior; deci _



maxim absolut pentru f, iar 

 parealelipipedul cã_{utat este cubul de latur}ã

3 a

.

Observaþie. Dacã _{f : A}  _IRp _{IR este o funcþie continu}ã _{ºi A este o mulþime} compactã_{, atunci extremele sale absolute se determin}ã _astfel:

(b) determinã_{m extremele locale pe frontiera Fr A;}

atunci maximul absolut e cel mai mare maxim local, iar minimul global este cel mai mic minim local (dintre cele determinate la (a) ºi (b)). Pentru funcþiile de douã variabile problema determinã_{rii extremelor pe frontier}ã _{se reduce, ca în exemplul} precedent, la determinarea extremelor unor funcþii de o singurã _variabilã_{. În cazul} funcþiilor de trei variabile determinarea extremelor pe frontierã _{revine la studiul} extremelor unor funcþii de douã _{variabile, º.a.m.d. Ne vom ocupa de aceast}ã problemã _{în secþiunea consacrat}ã _{extremelor cu leg}ã_turi.

Exemplul 7. Determinaþi extremele absolute ale funcþiei f(x,y) = xy pe domeniul triunghiular de vârfuri O(0,0), A(1,0), B(0,2).

Rezolvare. Domeniul de definiþie al funcþiei f este D={(x,y) IR2 | x,y  0, x + y / 2 1}.

1. Pe interiorul mulþimii D, deci pe



D ={(x,y)|x,y > 0, 2x + y <2} sistemul:

  

 

 

0 x ` f

0 y ` f

y x

are o unicã _{soluþie (0,0)}



D . Neavând puncte staþionare rezultã _cã _pe



D f nu are extreme locale.

2. Pe frontiera Fr D=OABO considerã_{m cazurile:}

2.1. Pe segmentul [OA] avem y = 0 ºi x[0,1]. Funcþia g(x) = f(x,0) = 0 este constantã _{pe [0,1].}

2.2. Pe segmentul [OB] avem x = 0 ºi y[0,2]. Funcþia h(y) = f(0,y) = 0 este constantã _{pe [0.2].}

2.3. Pe segmentul deschis AB avem y = 2 - 2x, x(0,1). Atunci funcþia k(x) = f(x,2-2x) = 2x(1-x) are un maxim în x =

2 1

, kmax = k(

2 1

) = 2 1

.

Prin urmare fmin = f(x,0) = f(0,y) = 0, pentru x[0,1], respectiv y[0,2] ºi fmax =

f( 2 1

,1) = 2 1

, iar Im f = f(D) = [0, 2 1

].

Observaþie. Sã _{presupunem c}ã _{sunt îndeplinite condiþiile din teorema} funcþiilor implicite astfel ca ecuaþia f



x,y,z



0, f:A IR3  IR, fC2(A) sã defineascã _{funcþia z} _z

 

_{x,y într-o vecin}ã_{tate a punctului}



_a,b,c



_{A. Dac}ã

 

_a,b este un punct de extrem local al funcþiei z putem sã _determinã_{m condiþii simple (ca} în cazul funcþiilor de o variabilã _{definite implicit} – vezi exemplul 11, cap. 3 ºi observaþia care îl precede) pentru a stabili natura sa. Cum derivatele de ordinul întâi sunt:

x

f f x z

     

, y

f f y z

     

D

0 y

x

punctul



a,b,c



trebuie sã _{fie o soluþie a sistemului:}



x,y,z



0

f  , f_x



x,y,z



0, f_y



x,y,z



0, iar f_z



a,b,c



0. Atunci:

 









 







a,b,c



f

c , b , a f f

z f f f f z f f b , a z

z x

c , b , a 2

z

x z zx x z x xz x x

2 2

2 2

    

              

 ,





_



_



c , b , a f

c , b , a f b

, a z

z xy

xy _

  

 _ºi

 







a,b,c



f

c , b , a f b , a z

z y y

2 2

   

 .

Prin urmare, dacã ₂

x

z



(a,b)

z

_y



2(a,b)(

z

_xy



(a,b))

2 _{ 0, atunci pentru}

2

x

z



(a,b)  0 punctul

 

a,b este un minim local pentru z ºi z_min z

 

a,b c, iar dacã ₂

x

z



(a,b) 0 atunci

 

a,b este un maxim local al funcþiei implicite z z

 

x,y ºi

z

max



z

 

a

,

b



c

.

Exemplul 8. Sã _{se determine extremele funcþiei z} _z

 

_{x,y definit}ã _{implicit de} ecuaþia



x2 y2 z2



2 2x2 z2.

Rezolvare. Desigur funcþia f



x,y,z







x2 y2 z2



2 x2 z2 2 _{este de} clasã _C2_{pe IR}3_{, iar f}



_x,y,z



_4z



_x2 _y2 _z2



_2z

z     este nenulã pentru z0. Prin

urmare ecuaþia datã _determinã _{unic funcþia z} _z

 

_{x,y într-o vecin}ã_{tate a unui punct}



a,b,c



 IR3, cu c0, care verificã _aceastã _{ecuaþie. Vom determina}



_a,b,c



_{, c}_{0 astfel} ca funcþia implicitã _z  _{z(x,y) s}ã _admitã _{punctul (a,b) ca punct staþionar din sistemul} f(x,y,z)0, f



x,y,z



4x



x2 y2 z2



2x 0

x      , f



x,y,z



4y



x y z



0

2 2 2

y     ;

obþinem xy0 ºi z1. Conform teoremei funcþiilor implicite existã _douã _funcþii

 

U

C z ,

z_{1 2} 2 , unde UV_{ 0,0 care admit punctul (0,0) ca punct staþionar, iar}

 

0,0 1

z₁  ºi z₂

 

0,0 1.

Dar

f

_x



2(x,y,z) 4(x2+y2+z2)+8x2+2,

f

xy



(x,y,z) 8xy ºi

f

_y



2(x,y,z) 4(x2+y2+ z2)+8y2,

Iar

f

_x



2(0,0,1)  6,

f

_xy



(0,0,1)  0, f_y2



0,0,1



4 ºi

f

_z



(0,0,1) 6. Aºadar hessiana

funcþiei z1 este

 

_

  

  

  

3 2 0

0 1 0

, 0 H

1

z ,

1

1 

 ºi

3 2

2 

 , deci funcþia z1 are un maxim local în (0,0) ºi z1 max  z1(0,0)1.

Analog

 

_

      

3 2 0

0 1 0 , 0 H

2

z ,

iar ₁ 10, 0 3 2

2  

 ; prin urmare funcþia z2 are un minim local în origine ºi z2 min

C. EXTREME CONDI

Þ

ION

ATE

Definiþia 5. Fie f : A  IRp IR ºi B  A. Spunem cã _{punctul a}_{B este un}

extrem local al funcþiei f relativ la mulþimea B(extrem condiþionat de B) dacã _existã V

V

_{a astfel ca expresia E(x)}_f(x)_{f(a) s}ã _pã_{streze semn constant pe mulþimea}

B

V ; dacã _E

 

_x _{0 pe V}_{B, a este un minim local al funcþiei f relativ la B; iar} dacã _E

 

_x _{0 pe V}_{B, a poart}ã _{numele de maxim local relativ la B. Extremele} relative la o submulþime B  A (adicã _{extremele funcþiei restricþie f}_{B) se numesc}

extreme condiþionate.

Vom analiza în continuare doar cazul în care B este definitã _{de mulþimea} soluþiilor unui sistem de mp ecuaþii cu pnm variabile: x₁,...,x_n,y₁,...,y_m; notând x(x1,...,xn), y(y1,...,ym), ne propunem sã gãsim extremele funcþiei f : A  IRn+mIR,

f(x,y) f(x1,...,xn,y1,...,ym)

relative la mulþimea

 

 



x,y Ag x,y 0,j 1,m



B  _j   ,

unde g_j :A IR, j



1,2,...,m



. Ecuaþiile ale cã_{ror soluþii definesc mulþimea B:}

 

x,y 0

g_j  , j1,m (*) se mai numesc legã_{turi, iar extremele locale ale funcþiei f condiþionate de mulþimea} B – extreme cu legã_turi.

Observaþie. Dacã _legã_{turile (*) sunt explicitabile, adic}ã _existã _funcþiile



C :

y IRnIR, astfel ca



x,y_j

 

x



B, j1,m ºi g_j



x,y₁

 

x,...,y_m

 

x



0, xC, m

, 1

j , atunci problema aflã_{rii extremelor condiþionate ale funcþiei f se reduce la cea} a depistã_{rii extremelor funcþiei de n variabile h:C} _IR,



x1,...,xn



f



x1,...,xn,y1



x1,...,xn



,...,ym



x1,...,xn





h  .

Aceastã_metodã _{a înlocuirii variabilelor am folosit-o deja în exemplul 7, unde leg}ã_tura a

z y

x   a condus, prin înlocuirea variabilei zaxy în funcþia V, la aflarea extremelor unei funcþii de douã _variabile.

Aceastã _{observaþie ne sugereaz}ã _sã _{impunem sistemului (*) condiþiile} teoremei funcþiilor implicite de aºa manierã _{încât leg}ã_{turile (*) s}ã _defineascã _funcþiile

 

x y

y_j  _j , j1,m. Astfel, teorema lui Fermat (Teorema 2) ne va da condiþii necesare de existenþã _{a extremelor condiþionate, iar teorema 3 ne va furniza condiþii suficiente} ºi chiar tehnici de stabilire a naturii acestor extreme. J.P. Lagrange a fost cel care a fã_{cut aceste constat}ã_{ri, constat}ã_{ri care l-au condus la elaborarea unui procedeu} practic ingenios de aflare a extremelor cu legã_turi.

Metoda multiplicatorilor lui Lagrange

Teorema 4.(condiþii necesare pentru extreme cu legã_{turi). Fie f,g :A}

j  IRn+m  IR, j1,m funcþii de clasã _C1 _{pe A. Dac}ã

 

_a,b _{A, unde}





n 1,...,a

a

a ,



b1,...,bm



b este un punct de extrem local al funcþiei f cu legã_{turile (*), iar:}







y ,...,y

  

a,b 0 D

g ,..., g D

m 1

m

atunci existã _numerele    

m 2

1, ,..., IR numite multiplicatorii lui Lagrange astfel încât

punctul (a,b) sã _{fie un punct staþionar al funcþiei F:A}_IR,

Demonstraþie. Determinantul matricii sistemului

 

 

_{ }

 

 

     

 

   









 

m

1

k 2 i

m

1

j k

j j i

k _a,b

x f b

, a y

g a

x y

 





_{ }





 

  



 m

1

k i k 6

k _{a,b 0}

y f a x y

, i 1,n, ºi teorema este complet demonstratã_.

Definiþia 6. Fie f, gj : A  IRn+m IR, ,j1,m funcþii de clasã C2 pe A, unde

funcþiile gj verificã (. Atunci L:A IRm IRn+2m IR, definitã prin:



x,y,ë

  

f x,y ë g

 

x,y ë g

 

x,y ... ë g

 

x,y

L   _{1 1}  _{2 2}   _{m m}

pentru orice (x,y)A ºi orice 



1,...,m



 IR

m

se numeºte funcþia lui Lagrange, iar variabilele   _m 

2

1, ,..., IR se numesc multiplicatorii lui Lagrange.

Conform teoremei precedente punctele de extrem ale funcþiei f cu legã_{turile (*}_, dacã _existã_{, se g}ã_{sesc printre soluþiile sistemului de n+2m necunoscute n}

2 1

,

x

,...,

x

x

,

m 2 1

,

y

,...,

y

y

,



₁

,



₂

,...,



_m:

m 1, j 0, L , m 1, k 0, y

L , 1,n i 0, x

L

j k

i

   

 

 

 

 

 _(***)

Sã _remarcã_{m faptul c}ã _dacã



_a,b,0



_{este o soluþie a acestui sistem ( deci punct} staþionar pentru L ), iar funcþiile g₁,g₂,...,g_m verificã_**_{, atunci d(a,b)gj=0 ºi}

 

 

 

 

a,bdy 0, j 1,m

x g ... dy b a, y g dx b a, x g ... dx b a, x g

m m

j 1

1 j n n

j 1

1

j _{ }

    

  

   



(****) este un sistem liniar compatibil determinat, care, prin regula lui Cramer, permite explicitarea proiecþiilor dy₁,..,dy_m în funcþie de proiecþiile dx₁,..,dx_n. Aceastã constatare ne permite sã _dã_{m condiþii suficiente pentru determinarea extremelor} condiþionate ale funcþiei f ºi sã _elucidã_{m natura acestora prin studiul unei forme}

pã_{tratice de n variabile.}

Teorema 5. (condiþii suficiente pentru extreme cu legã_{turi). Fie} f,g C2

 

A,j 1,m

j  ºi





0

, b ,

a  un punct staþionar al funcþiei lui Lagrange care verificã

** ºi funcþia:

 

x,y L



x,y,



f

 

x,y g

   

x,y, x,y A F

m

1 j

j 0

j

0    









.

Fie, de asemenea, : IRn IR forma pã_traticã _obþinutã _{prin înlocuirea proiecþiilor}

m 1,...,dy

dy în funcþie de proiecþiile dx₁,...,dx_n ( rezultate din sistemul ****)) în d_{ }2 F

b , a .

Dacã  este pozitiv ( negativ ) definitã _{atunci (a,b) este un punct de minim ( maxim )} local al funcþiei f cu legã_turile _*_{; dac}ã _{f este nedefinit}ã _{atunci (a,b) nu este punct de} extrem condiþionat pentru funcþia f.

Demonstraþie. Fie B



 

x,y A|g_j

 

x,y 0,j1,m



. Din *** rezultã _cã

 

a,b

g_j =0, j1,m, deci (a,b)B. Atunci, pentru orice

 

x,y B ,E

   

x,y Fx,y 

     

a,b f x,y f a,b

F  

 , deci extremele locale ale funcþiei F coincid cu extremele

Pe de altã _{parte, cum}



_a,b,0



_{este punct staþionar al funcþiei lui Lagrange,} din *** rezultã _cã_:







a

,

b

,



0,

i

1,

n

,

k

1,

m

y

L

º

i

0

,

b

,

a

x

L

0

k 0

i





















deci

 

 

 

a

,

b

0

,

i

1,

n

x

F

b

,

a

x

g

b

,

a

x

f

i i

j m

1 j

0 j i



























 

 

 

a

,

b

0

,

k

1,

m

y

F

b

,

a

y

g

b

,

a

y

f

k k

i m

1 j

0 j k



























, adicã _{(a,b) este punct staþionar pentru funcþia F.}

În sfârºit, cum f, gj sunt funcþii de clasã C2 pe a rezultã cã FC2

 

A ºi, în

acord cu teorema 3, putem stabili natura punctului (a,b) cu ajutorul d_{ }2_a,bF; dar în forma pã_traticã _{d }2 _F

b ,

a de n+m variabile proiecþiile dyj,j1,m sunt, dupã rezolvarea

sistemului ****, combinaþii liniare ale proiecþiilor dx1,...,dxn; deci signatura formei

 F

d2_a,b coincide cu cea a formei pã_tratice  de n variabile. Prin urmare din teorema 3 rezultã _cã _dacã  este pozitiv (negativ) definitã_{, atunci (a,b) este un punct de minim} (maxim) local pentru f cu legã_turile _*_{, iar dac}ã  este nedefinitã_{, atunci (a,b) nu este} un extrem condiþionat al funcþiei f.

Observaþie. Schematizând rezultatele precedente, dacã _{f,g C}2

 

_{A,j 1,m}

j  ,

atunci metoda multiplicatorilor lui Lagrange de determinare a extremelor funcþiei f cu legã_turile _* _{presupune parcurgerea urm}ã_{toarelor etape:}

1. Formã_{m funcþia lui Lagrange j}

m

1 j

j

g

f

L











_{ºi îi determin}ã_{m punctele}

staþionare rezolvând sistemul ***. Apoi, pentru fiecare punct staþionar



a,b,0



care verificã_** _rezolvã_{m urm}ã_{torii paºi:}

2. Formã_{m funcþia auxiliar}ã _F

 

_x,y _L



_x,y,0



_{, x,y}_{A ºi calcul}ã_{m d }2 _F

b

a, ( de

2m variabile ).

3. Rezolvã_{m sistemul liniar} _**** _{în raport cu proiecþiile}

m 1,...,dy

dy apoi le înlocuim în d_{ }2_a,bF obþinând forma pã_traticã _{de n variabile.}

4. Analizã_{m signatura formei p}ã_{tratice ( reducând-o la o form}ã _canonicã _prin metoda lui Gauss sau Jacobi, ori prin criteriul lui Sylvester ) ºi tragem concluziile: dacã _{este pozitiv ( negativ ) definit}ã _{atunci (a,b) este un minim ( maxim ) local al} funcþiei f cu legã_turile _*_{, iar dac}ã _{este nedefinit}ã _{atunci (a,b) nu este punct de} extrem al funcþiei f cu legã_turile _*_.

Exemplul 9. Sã _{se determine imaginea funcþiei} f : A={(x,y)



2

|

x2 + y2≤ 1} ,f

 

x,y xy13

Rezolvare. Funcþia f este continuã _{pe compactul A} _IR2_{; prin urmare} imaginea f(A) este compactã _{în IR (teorema 15, cap.1) ºi f îºi atinge marginile} (teorema 16, cap.1). Rã_{mâne s}ã _determinã_{m aceste margini. Cum f}' _{1 0,}

interiorul A _



(x,y) |(x2 _y2 _1



_{nu existã puncte sta}

þionare, deci nici extreme (teorema lui Fermat); prin urmare extremele sunt atinse pe frontiera mulþimii A, FrA = {(x,y)  IR2| x2+ y2 = 1}, ceea ce înseamnã _cã _{trebuie s}ã _determinã_m extremele funcþiei f cu legã_{tura x}2 _y2 ₁_{0. Fie}  _{IR multiplicatorul lui}

Lagrange; funcþia lui Lagrange este:



x,y,



x y 13



x y 1



L      2  2  ,

iar sistemul *** este format din ecuaþiile: 0

x 2 1

L_x     , L_y 12y0, L_ x2y210, deci

  

2 1

x ,

  

2 1

y ºi 1

4 1 2 ₂ 

 . Pentru 2

1



 avem x=

2 1 y , 2 1

 

 ºi

pentru

2 1

 

 obþinem

2 1

x ºi

2 1

y . Calculã_{m diferenþiala de ordinul al} doilea a funcþiei F

  

x,y L x,y,



unde  este constantã ₍

2 1



 sau

2 1

 

 ).

Obþinem d2F2



dx2 dy2



. Prin diferenþierea legã_{turii x}2 _y2 ₁_{0 obþinem} xdx+ydy=0 ºi cum y=-x0, dx=dy; deci forma pã_traticã  este definitã _prin

 

_{h 4dx}2

 

_{h 4h}2

 .

Dacã

2 1



 , _

 

_{h 2 2h}2 _{este pozitiv definitã, deci (}

2 1

 ,

2 1

) este un minim absolut pentru f ºi fmin=f(

2 1

 ,

2 1

)=13- 2 ; dacã

2 1

 

 ,  este negativ

definitã_{, (} 2 1

, 2 1

 ) este un maxim global pentru f ºi fmax=13+ 2 . În consecinþã

imaginea funcþiei f este f(A)= 13- 2 ,13+ 2.

Exemplul 10. Sã _{se determine extremele funcþiei f : IR}3 _{IR, f}



_x,y,z



_=xyz cu legã_{turile x + y + z = 5 ºi xy + yz + zx = 8.}

Rezolvare. Fie  multiplicatorii lui Lagrange. Atunci funcþia lui Lagrange este:



x,y,z, ,



xyz



x y z 5

 

xy yz zx 8



L           iar sistemul *** este format din ecuaþiile:



y z



yz

L'

x    =0, L zx á â



z x



'

y     =0, L xy



x y



'

z    =0,

0 5 z y x

L'_      , L'_ xyyzzx80.

Sã _remarcã_{m întâi c}ã _{sistemul este simetric în x,y,z ºi c}ã _{prin adunarea primelor trei} relaþii obþinem 8+310=0. Cu aceste constatã_{ri punctele staþionare ale funcþiei L} sunt:

- pentru  = 4,  = -2,



x,y,z

 





2,2,1

 

, 2,1,2

 

,1,2,2





- pentru =16, = -4,





   

 

   

     

     

  

3 4 , 3 4 , 3 7 , 3 7 , 3 7 , 3 4 , 3 7 , 3 4 , 3 4 z

, y , x

F

d2 ₌



_{zdyydz}



_dydz





_dx



_{zdxxdz}



_dzdx





_dy



_{ydyxdy}



_dxdy





_dz.

Prin diferenþierea legã_{turilor avem}

dx+dy+dz=0 ºi (y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz=0 (1)

Cazul 1. Pentru =4, = -2, (x,y,z)=(2,2,1) din sistemul (1) obþinem dz = 0 ºi dy= - dx, iar d_2_2,2,1F 2dx2 0. Prin urmare (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2) sunt puncte de minim ale funcþiei f cu legã_{turile date ºi fmin= 4.}

Cazul 2. Pentru

3 7 z , 3 4 y x , 3 4 ,

9 16

      

 obþinem dz = 0 ºi dy= -dx,

iar 2 2

3 7 , 3 4 , 3

4 F 2dx

d 

    

 . În consecinþã _

 

     

     

 

3 4 , 3 4 , 3 7 , 3 4 , 3 7 , 3 4 , 3 7 , 3 4 , 3 4

sunt puncte de maxim local pentru funcþia f cu legã_{turile x + y + z -5 = 0 ºi xy + yz + zx} – 8 = 0, iar

. 27 112 3

7 , 3 4 , 3 4 f

f_max 

  

  

Exemplul 11. Sã _{se determine distanþa de la sfera de ecuaþie S : x}2 _{+ y}2 ₊ + z2 = 1 la dreapta de ecuaþii D : y = x, z = x +2.

Rezolvare. Distanþa de la un punct M (x, y, z)  S la un punct P( u, v, w) D defineºte o funcþie de ºase variabile:

d (P, M) = g (x, y, z, u, v, w) =



xu

 

2 yv

 

2  zw



2 (1) Problema noastrã _constã _{în determinarea minimului absolut al funcþiei g cu leg}ã_turile:

x2 + y2 + z2– 1 + 0; v – u = 0 ºi w – u – 2 = 0 (2) Deoarece funcþia lui Lagrange asociatã _{are nou}ã _{variabile (cele ºase ale} funcþiei g plus trei multiplicatori) iar derivatele sunt complicate, vom încerca sã simplificã_{m problema. S}ã _constatã_{m întâi c}ã _{punctul de minim al funcþiei g coincide} cu cel al funcþiei:

f (x, y, z, u) = (x - u)2 + (y - u)2 + (z – u - 2)2 (3) cu singura legã_turã

x2 + y2 + z2 – 1 = 0. (4)

Funcþia lui Lagrange este în acest caz:

L (x, y, z, u, ) = (x - u)2 + (y - v)2 + (z – u - 2)2 + (x2 + y2 + z2 - 1) (5) Sã _determinã_{m punctele staþionare pentru L din:}

L’x = 2 [( + 1)x - u] = 0, L’y = 2[( + 1)y - u] = 0, L’z = 2[( + 1)z – u - 2] = 0,

L’u = 2(x + y + z - 3u – 2) = 0 ºi L’ = x2 + y2 + z2 – 1 = 0.

Rezolvând acest sistem obþinem:





3

2 2 1 ,

1 3

4 z

, ) 1 ( 3

2 y

x , 3 2

u  

   

    

 (6)

Diferenþiind legã_{tura (4), din (6) rezult}ã_:



dx dy



2 1

dz  (7) Ne intereseazã _{doar minimul funcþiei auxiliare}

F (x, y, z, u) = L (x, y, z, u, ) (8) unde  este o constantã_{. Diferenþiind obþinem succesiv:}

dF = 2[(x-u)(dx-du) + (y-u)(dy-du) + (z-u-2)(dz-du) + (xdx+ydy+zdz)], d2F = 2[(dx-du)2 + (dy-du)2 + (dz-du)2 + (dx2+dy2+dz2)] =

= 2[(+1) (dx2+dy2+dz2)+3du2 -2du (dx + dy + dz)]

) 7

(2











 

 _{   }

du dy dx 3 du 3 dxdy 2 dy 5 dx 5 4

1 2 2 2

. (9) Conform criteriului lui Sylvester, pentru ca forma pã_traticã _{(9) s}ã _{fie pozitiv definit}ã

este necesar ca 0

2 1 5

1 

  

 . Prin urmare din (6) obþinem:

3 2 u , 6 2 z , 6 1 y x , 3 2 2

1    



 (10)

Din punct de vedere geometric problema este unic determinatã_{; prin urmare distanþa} de la sfera S la dreapta D este, conform formulelor (10), (1) ºi (2):



2 2 3



3 5 3

4 , 3 2 , 3 2 , 6 2 , 6 1 , 6 1 d ) D , S (

d _ 

  

 

   



_{ }

   



_{ }

 .

D. EXERCI

Þ

I

I

Exercþiul 1. Sã _{se dezvolte dup}ã _{puterile lui x + 1, y + 1, z} – 1 polinoamele (a) f(x, y) = x3 + y3– 3 x y + 13

(b) f(x, y, z) = x3 + y3 - z3 + 3x2y – 3xy + z2– z + 22

Rã_{spuns. (a) f (x, y) = 8 + 6(x + 1) + 6(y + 1)} – 3 (x + 1)2 – 3(y + 1)2– 3(x + +1)(y + 1) + (x +1)3 + (y + 1)3; (b) f(x, y, z) = 13 + 12(x + 1) + 15(y + 1) – 2 (z - 1) – – 6(x + 1)2 – 3 (y + 1)2 – 2 (z - 1)2 – 9(x + 1)(y + 1) +(x + 1)3 + (y + 1)3 – (z - 1)3 + +6(x + 1)2(y + 1).

Exerciþiul 2. Sã _{se scrie polinomul Taylor de gradul al doilea pentru:} (a) f(x, y) = ln(x2 + x + y2) în punctul (0,1)

(b) f(x,y,z) = ex arctg (y + z) în punctul (0,0,1) Rã_{spuns. (a) T2(x,y) =}

2 1

x2 – 2xy – y2 +3x – 3; (b) T2 (x, y, z)=

8



x2 – y2 – –z2 +

2

1

xy +

2

1

xz – 2yz + x

2 1 4 _

 

  

+

2

5

y+

2

5

z+ 4



-2

3

.

Exerciþiul 3. Folosind formula lui Taylor de ordinul al doilea sã _{se arate c}ã_: (a)

   

1,013  1,99 3 2,9851

(b) 1,033 0,98 1,0081 (c) (1,1)1,02 1,1021

Exerciþiul 4. Sã _{se determine E1 = (1,1)}1,2 _{ºi E2 = (0,99)}1,01 _{+ (1,01)}1,001 ₊ +(1,001)0,99 ºi E3 = (1,01)0,99 + (0,99)0,999 + (0,999)1,01 cu trei zecimale exacte.

Rã_{spuns. E 1} _{1,121; E2} _{3,001; E 3} _2,999.

Exerciþiul 5. Sã _{se determine extremele locale ale funcþiilor} (a) f(x,y) = x3– 3xy2 + x2– 2xy + 3y2 + 2y +

27 370 (b) f(x,y) = 2x3– y3 +(y-x)2

(d) f(x,y,z) = x2 + y2 + z 2 – xy + x – 2z (e) f(x,y,z) = x 3 + y 2 + z2 + 12xy + 2z (f) f(x,y,z) = x +

y z x 4 y x

2 2 2

 

(g) f(x,y,z) =

y x

z x z

y z y

x

   

 , x,y,z >0

(h) f(x,y,z) = x3 + y3 – z3 – x2y + 3z2 + 13

Rã_{spuns. (a) f min= 13;} 3

1 , 3 1

f 

  

 _{ }

(b) fmin= ;

27 2 12 17 3

2 2 , 3

1 2

f _ 

  



 _

  

(c) fmax=f(0,2k)=2, k 

Z

; (d) fmin = ;

3 4 1 , 3 1 , 3 2

f 

  



_{  (e) f}

min = f(24, -144, -1) = -6913;

(f) nu are extreme; (g) fmin=f(a,a,a) = ,a 0;

2 3

 (h) f min= f(0,0,0)=13, fmax = f(0,0,2) =

17.

Exerciþiul 6. Sã _{se determine punctele de extrem local ºi extremele locale} ale funcþiilor y = y(x) ºi x = x(y) definite implicit de ecuaþiile:

(a) x3 + y3– 3x2y – 3 = 0 (b) ey + y = x2 +1

Rã_{spuns. (a) y min = y1(0) =}3 _{3 ; y}

max = y2 (-2) = -1; xmax = x1

 

3 3 33;

xmax = x2(-1)=1; (b) ymin = y(0) = 0.

Exerciþiul 7. Sã _{se determine punctele de extrem local ºi extremele locale} ale functiilor implicite z = z(x,y) definite implicit de ecuaþiile

(a) x2 + y2 + z2– 4 z = 0

(b) x2 + y2 + z2 – xz – yz + 2x + 2y + 2z + 2=0 (c) x2 + y2 + z3 + z = 0

Rã_{spuns. (a) zmin=z1(0,0)=0, zmax=z2(0,0)=4; (b) zmin=z1}



₃ _6,₃ ₆





, 6 2 44



 z max = z2



6 3, 63



2 64;(c) z max = z (0,0) = 0.

Exerciþiul 8. Sã _{se studieze extremele locale ale funcþiilor de clas}ã _C2 definite implicit de ecuaþia x2–2x + y2 + z + ez = 0.

Rã_{spuns: zmax = z(1,0)=0; celelalte funcþii implicite definite de ecuaþie} (z = z(x,y), x = x(y,z), y = y(z,x)) nu admit extreme locale.

Exerciþiul 9. Sã _{se studieze extremele locale ale funcþiilor de clas}ã _C2 definite implicit de ecuaþia:(x2+y2+z2)2= a2-x2-z2, aIR*.

Rã_{spuns. Dintre funcþiile z = z(x,y), definite de ecuaþie, dou}ã _{admit extreme:} zmin=z1(0,0)= 2



1 4a 1



,

2

1 _ 2 _



zmax=z2(0,0)= 2



1 4a 1



2

1 _ 2 _

; analog, pentru x = x(y,z), xmin= 2



1 4a 1



x

 

0,0,

2 1

1

2  

 

xmax=x2(0,0)= 2



1 4a 1



;

2

funcþiile y = y(x,z) douã _{admit extreme: ymin=y1(0,0)=} _{a ºi ymax=y2(0,0)= a ,} pentru a (0,).

Exerciþiul 10. Sã _{se determine extremele cu leg}ã_{turi ale funcþiei f:} (a) f(x,y) = xy, y=x

(b) f(x,y) = x2 + y2, 3x + 2y = 6 (c) f(x,y) = cos2 x + cos2 y, y = x +

4



Rã_{spuns. (a) fmin = f(0,0)=0; (b) fmin = f}

13 36

13 12 , 13 18

    



 _{; (c) f}

max =

=

2 2 1 8 k , 8 k

f  

  



 

   

 , fmin= ,

2 2 1 8 5 k , 8 3 k

f  

  



 

   

 k 

Z

.

Exerciþiul 11. Sã _{se determine extremele urm}ã_{toarelor funcþii cu leg}ã_turile specificate în dreptul lor:

(a) f(x,y,z) = x2y + z2– xy – x – y – z –1, 2x – y – z = 0, x – 2y + z =0. (b) f(x,y,z) = sin x sin y sin z, x+ y + z = ,

2



x,y,z  (0,).

(c) f (x,y,z) = xp + yp + zp, xp-1 + y p-1 + z p-1 = a p-1, a > 0, p  IN, p  2.

Rã_{spuns. (a) fmin = f (1,1,1) = 1, fmax = f (-1, -1, -1) = -3; (b) fmax =}

=f ;

8 1 6 , 6 ,

6 _

 



  

(c) dacã _p  _{2 IN,}



1p 1p 1p



1p p p

min f 3 a ,3 a ,3 a 3 a

f        2 ; dacã _{p este}

impar:



1p 1p 1p



1p p p

max f 3 a , 3 a , 3 a 3 a

f           2 ,



1p 1p 1p



1p p p

min f 3 a ,3 a ,3 a 3 a

f        2 .

Exerciþiul 12. Sã _{se determine imaginile funcþiilor} (a) f : {(x,y)  IR2x2+y2 _≤ 1}  IR ,f(x,y)xy (b) f : {(x,y)  IR2|x|+|y|_≤ 1}  IR _,f(x,y)_x2_y2

(c) f : {(x,y)  IR2 y _≤ 2x, x _≤ 3, y _≥ 0}{x,y) IR2-2 _≤ x _≤ 3, -3 _≤ y _≤ 0} IR , f(x,y) = x3 – 3x + y3 – 12y.

Rã_{spuns. (a)}

  



2 1 , 2 1

; (b) [-1, 1]; (c) [ - 18, 162]. Exerciþiul 13. Sã _{se determine imaginile funcþiilor:}

(a) f(x,y,z) = x + 3 y – 2 z, f : {(x,y,z)  IR3 |x2 + y2 + z2 _≤ 14} IR

(b) f(x,y,z) = x2 y2 z2 , f : {(x,y,z)  IR3| x,y,z _≥ 0 , x + y + z _≤ 13} IR Rã_{spuns. (a) [-14, 14]; (b) [0,13].}

Exerciþiul 14. Sã _{se arate c}ã _{punctul din planul de ecuaþie x + y + z = a care} este cel mai apropiat de origine este _

  

 

3 a , 3 a , 3 a

Exerciþiul 15. Sã _{se determine distanþa de la planul de ecuaþie P : x+ y+ z= 6} la elipsoidul de ecuaþie E : 2z 1

2 y

x 2

2

2   _.

Rã_{spuns. d(P,E) =}



_{14 1}



3

3 _

.

Exerciþiul 16. Sã _{se calculeze aria elipsei de intersecþie a cilindrului de}

ecuaþie 1

b y a x

2 2 2 2



 cu planul de ecuaþie Ax + By + Cz = 0 ( a,b > 0, C > 0).

Rã_{spuns. A}2 _B2 _C2 C

ab

 

 .

Exerciþiul 17. Sã _{se arate c}ã _{dintre toate patrulaterele care pot fi construite} cu laturile de lungime datã_{, patrulaterul de arie maxim}ã _{este inscriptibil.}

Exerciþiul 18. O cisternã _{de forma unui paralelipiped drept deschis în partea} superioarã _{trebuie construit}ã _{din tabl}ã _{cu aria 300 m}2_{. S}ã _{se determine dimensiunile} acestei cisterne astfel încât sã _aibã _{capacitatea maxim}ã_.

Rã_{spuns: Vmax = V(10, 10, 5) = 500 m}3_.

Exerciþiul 19. Sã _{se determine imaginile funcþiilor z = z (x,y), definite implicit} de ecuaþia x4 + y4 + z4 = 13, unde z : {(x,y)  IR2x2+y2=1}  IR.

Rã_{spuns. Ecuaþia defineºte dou}ã _{funcþii z=z1(x,y) ºi z=z2(x,y);}

   

   

  

 

 



2 5 , 3 2 z

Im , 3 2 , 2 5 z