PENGERTIAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM RUANG
Pengertian Dasar Unsur-Unsur dalam Ruang
Titik, garis, dan bidang merupakan unsur-unsur dalam ruang atau sering disebut unsur ruang.
a. Titik
Titik biasanya dilukiskan dengan noktah ( ) atau tanda (×) dan ditulis dengan huruf besar, seperti A, B, C dan seterusnya.
Titik tidak mempunyai ukuran, dan sering disebut benda berdimensi nol.
b. Garis (garis lurus)
Garis sering dijumpai sebagai rusuk dari benda ruang. Sebuah garis panjangnya tak hingga, karena itu gambar sebuah garis biasanya dilukiskan dengan wakil dari garis itu. Pemberian nama sebuah garis dapat dilakukan dengan melukiskan wakilnya atau titik-titik ujung garis itu.
Satu garis dapat dilukiskan dengan huruf kecil, seperti l ,m , n . Garis merupakan benda berdimensi satu.
l Garis l
A B Garis AB
c. Bidang
Bidang yang dimaksud disini adalah bidang datar. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar, panjang dan tinggi, atau tinggi dan lebar, sering disebut benda berdimensi dua. Suatu bidang selalu dianggap dapat diperluas menurut arah panjang atau lebarnya. Luas sebuah bidang besarnya tak terbatas, karena itu gambar sebuah bidang biasanya yang dilukis adalah wakil bidang itu.
latin : v , w , x ,… dan seterusnya, huruf khusus:α , β , γ , … dan seterusnya, atau dengan menuliskan titik-titik sudut dari wakil bidang tersebut.
α
Bidang α Bidang ABCD
KEDUDUKAN TITIK, GARIS, DAN BIDANG
1. Kedudukan titik terhadap garis
a. Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah garis, jika titik itu dilalui garis.
b. Sebuah titik terletak di luar garis, titik itu tidak dilalui garis.
Catatan : sebuah garis dapat dibuat melalui dua buah titik, atau melalui dua buah titik hanya dapat dilukiskan sebuah garis saja.
2. Kedudukan titik terhadap bidang
a. Sebuah titik dikatakan terletak pada sebuah bidang, jika titik itu dilalui bidang. b. Sebuah titik terletak di luar bidang, jika titik itu tidak dilalui bidang.
Catatan : i. Melalui tiga titik sembarang, paling sedikit dapat dibuat satu bidang. ii. Melalui tiga titik yang tidak segaris hanya dapat dibuat satu bidang, atau sebuah bidang tertentu dapat dibuat melalui tiga titik yang tidak segaris.
3. Kedudukan garis terhadap garis
a. Dua garis dikatakan berpotongan, jika dua garis itu sebidang dan mempunyai satu titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Pada gambar di bawah, garis l dan m berpotongan di titik P.
m
l
b. Dua garis dikatakan sejajar, jika dua garis itu sebidang dan tidak mempunyai titik persekutuan. Pada gambar di bawah, garis l dan garis m sejajar.
l m
c. Dua buah garis dikatakan bersilangan, jika dua buah garis itu tidak sebidang atau melalui kedua garis itu tidak dapat dibuat sebuah bidang datar (seperti gambar di bawah ini ).
l
m
4. Kedudukan garis terhadap bidang
a. Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika setiap titik pada garis terletak juga pada bidang (seperti gambar di bawah).
m
v
b. Sebuah garis dikatakan memotong (menembus) bidang, jika garis dan bidang mempunyai satu titik persekutuan dan titik itu disebut titik potong atau titik tembus.
l
α
c. Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang tidak bersekutu pada
satu titik pun. l
α
5. Kedudukan bidang terhadap bidang
a. Dua bidang dikatakan sejajar, jika kedua bidang itu tidak bersekutu pada satu titik pun.
b. Dua bidang dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu mempunyai sebuah garis persekutuan atau garis potong.
β
α (α , β)
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Tentukan :
A B
C D
E
G H
a. Titik yang berada pada garis DF b. Titik yang berada diluar bidang BCHE c. Garis yang sejajar dengan CF
d. Garis yang berpotongan dengan BE e. Garis yang bersilangan dengan FG f. Bidang yang sejajar dengan bidang BDG Jawab :
a. Titik D dan F b. Titik A, D, F, G c. DE
d. EA, EF, ED, EH e. AB, DC, AE, DH f. AFH
JARAK TITIK, GARIS, DAN BIDANG 1. Menghitung antara Dua Buah Titik
Jarak antara dua buah titik adalah panjang garis yang menghubungkan kedua titik itu. Formula untuk menentukan jarak antara dua titik dalam ruang dapat dilakukan sebagai berikut.
a. Jika kedua titik telah diketahui atau dapat ditentukan
A
(
xA, yA, zA)
dan B(xB, yB, zB) , maka jarak AB adalah |AB|=√
(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2b. Jika kedua titik tidak diketahui atau sulit ditentukan, pergunakan rumus-rumus trigonometri pada segitiga yang dibentuk oleh kedua titik tersebut dan satu titik lainnya.
Contoh :
a. Jarak titik A dan titik C b. Jarak titik A dan titik G
Jawab :
a.
Berdasarkan teorema Pythagoras, diperoleh :
AC2=AB2+BC2=a2+a2=2a2
AC=
√
2a2=a
√
2cmJadi, jarak titik A dan titik C adalah a
√
2cmb.
Berdasarkan teorema Pythagoras, diperoleh :
AG2=AC2+CG2=(a
√
2)2+a2=2a2+a2=3a2AG=
√
3a=a√
3cmJadi, jarak titik A dan titik G adalah a
√
3cm .2. Menghitung jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis merupakan panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik sampai memotong garis tersebut secara tegak lurus.
A
A D B C
F E
H G
H G
E F
A B
Jarak antara titik A dengan garis g
A dalah AB, karena AB tegak lurus
Dengan garis g
Contoh :
1. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk α cm. Hitunglah jarak titik A ke garis CF.
Jawab :
Dengan menghubungkan A dengan F dan C akan terbentuk segitiga sama sisi AFC dengan panjang rusuk:
AF=AC=CF=a
√
2cm .Perhatikan ⊿AFC
Cara I : (dengan rumus Trigonometri)
Jarak titik A ke garis CF adalah AA’
AA’= AF sin 600
AA’= a
√
2.12
√
3= 12a
√
6cm .AF
Jadi, jarak titik A ke garis CF adalah a
2
√
6cm .3. Menghitung jarak antara titik dan bidang
Jarak antara titik dan bidang adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik diluar bidang sampai memotong tegak lurus bidang.
Jarak titik A ke bidang H
Adalah AB, karena garis AB
Tegak lurus dengan bidang H
4. Menghitung jarak antara 2 garis
a. Dua garis yang berpotongan tidak mempunyai jarak
b. Jarak antara dua garis yang sejajar adalah panjang ruas garis yang ditarik dari suatu titik pada salah satu garis sejajar dan tegak lurus garis sejajar yang lain.
Jarak antara garis g dan h
c. Jarak dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis hubung yang letaknya tegak lurus pada kedua garis bersilangan itu.
Jarak antara garis g dan h adalah AB karena AB tegak lurus g dan h.
5. Menghitung jarak antara garis dan bidang
Jarak antara garis dan bidang yang sejajar adalah jarak antara salah satu titik pada garis tehadap bidang.
Jarak antara garis g dan bidang H adalah AB, karena AB tegak lurus g dan bidang H. h
g
A
B
H
g
B A
6. Jarak antara dua bidang
Jarak antara dua bidang yang sejajar sama dengan jarak antara sebuah titik pada salah satu bidang ke bidang yang lain.
Jarak antara bidang G dan H
Adalah AB.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah jarak antara :
a. Titik A ke H
b. Titik A ke P (P adalah perpotongan diagonal ruang) c. Titik A ke garis CE
d. Titik A ke bidang BCGF e. Titik A ke bidang BDHF f. Titik A ke bidang BDE g. Garis AE ke garis CG h. Garis AE ke garis CG i. Bidang ABCD ke EFGH
A
B H
d. Jarak titik A ke bidang BCGF = AB = 10 cm
e. Jarak titik A ke bidang BDHF = AR (R titik tengah garis BD)
AR = ½ AC = ½
10
√
2
=5
√
2
cmg. Jarak titik A ke bidang BDE
Perhatikan persegi panjang ACGE sbb :
Garis AG berpotongan tegak lurus dengan
Garis ER dititik T, sehingga jarak A ke
Bidang BDE adalah AT.
ER =
√
AR
2+
AE
2=
√
50
+
100
=
√
150
=
5
√
6
cm.A B
C D
G H
E F
T
A C
G E
R T
L . ARE = ½. AR. AE = ½. RE. AT
½.
5
√
2.10
= ½ .5
√
6.
AT
50
√
2
=5
√
6.
AT
AT =
50
√
2
5
√
6
=10
3
√
3 cmh. Jarak AE ke CG = AC =
10
√
3
i. Jarak ABCD dan EFGH = AC = 10 cm
SUDUT ANTARA GARIS DAN BIDANG 1. Sudut antara dua garis berpotongan
Sudut antara dua garis berpotongan diambil sudut yang lancip.
Garis g berpotongan dengan garis h di titik A, sudut yang dibentuk adalah α .
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Sudut antara dua garis bersilangan ditentukan dengan membuat garis sejajar salah satu garis bersilangan tadi dan memotong garis yang lain dan sudut yang dimaksud adalah sudut antara dua garis berpotongan itu.
g
h
A
α
h
Garis g bersilangan dengan garis h
Garis h1 sejajar dengan h
Dan memotong garis g
Sudut antara garis g dan garis h sama dengan sudut antara g dan h1
3. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang hanya ada jika garis menembus bidang.
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang itu.
Garis g menembus bidang H dititik A.
Proyeksi garis g pada bidang H adalah g1
Sudut antara garis g dengan bidang H
Adalah sudut yang dibentuk garis g dg g1
4. Sudut antara bidang dengan bidang
Sudut antara dua bidang terjadi jika kedua bidang saling berpotongan.
Untuk menentukannya sbb :
a. Tentukan garis potong kedua bidang
b. Tentukan sebarang garis pada bidang pertama yang tegak lurus garis potong kdua bidang g
g
g1
H
c. Pada bidang kedua buat pula garis yang tegak lurus garis potong kedua bidang dan berpotongan dengan garis pada bidang pertama tadi.
d. Sudut antara kedua bidang sama dengan sudut antara kedua garis tadi
e.
Bidang G dan H berpotong pada garis (G,H). Garis g pada G tegak lurus gais (G,H). Garis h pada H tegak lurus garis (G,H)
Sudut antara bidang G dan H sama dengan sudut antara garis g dan h
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan :
a. Besar sudut antara BG dan bidang ABCD b. Cosinus sudut antara BH dan ABCD Jawab :
H G
g
h
(G,H)
C D
E F
a. Sudut antara BG dengan ABCD adalah sudut CBG = 450
b. Cosinus sudut antara BH dengan ABCD adalah Cos DBH = BD BH
=
5
√
2
5
√
3
=
√
6
3
LATIHAN
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH denan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara :
a. Titik H ke garis AC
b. Titik B ke garis AG
c. Titik C ke BDG
d. garis AE dan CG
e. garis AB dan CDHG
f. bidang HFC dan DBE
2. Diketahui balik PQRS.TUVW dengan PQ = 4 cm, QR = 3 cm, PT = 6 cm
Hitung jarak antara :
a. V ke RSTU b. Q ke PRVT
3. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm, TA = 12 cm. Hitung jarak antara :
a. titik B ke AT
b. titik T ke ABCD
c. titik A ke TBC
4. Diketahui bidang empat beraturan T.ABC dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak T ke bidang ABC.
5. ABCD.EFGH adalah sebuah balok. Nyatakan dan gambarkan kemudian beri nama sudut antara :
a. CH dan ABCD
b. AG dan EFGH
6. T. ABCD adalah limas tegak beraturan. Panjang rusuk alas 4 cm dan panjang rusuk tegak 8 cm. Hitunglah :
a. Tan sudut antar TC dan ABCD
b. Cos sudut antara TQ dan ABCD dimana Q titik tengah AD
7. Diketahui limas beraturan T. ABCD dengan AB = 6 cm dan TC =
3
√
5
cm. Hitung:a. Cosinus sudut antara bidang ABCD dan TDC
b. Sinus sudut antara TAB dan TCD
8. Diketahui limas segitiga T.ABC. TA tegak lurus bidang alas. Segitiga ABC siku-siku di B. Panjang AB = 6 cm, BC = 8 cm. Panjang TA = 24 cm. O titik tengah BC. Hitunglah :
a. Panjang AC, TC, AO
