Hatane Semuel FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS KRISTEN PETRA

FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS KRISTEN PETRA

TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI, DAN STATISTIKA

• Teori Ekonomi mengungkapkan hubungan antar variabel ekononomi secara kualitatif

• Misalnya, jika harga naik/turun kuantitas permintaan berkurang/naik

• Teori Ekonomi tidak memberikan ukuran kekuatan hubungan secara tegas antara variabel ekonomi tersebut.

• Matematika Ekonomi dapat membantu

menyederhanakan hubungan tersebut dalam model matematika, misal Q = f(P), dengan Q adalah

kuantitas permintaan dan P harga yang kemudian dapat diperjelas dengan model linear

Q = a + bP

• Sehingga model teori ekonomi yang kualitatif dapat didekati dengan model kuantitatif matematika.

TEORI EKONOMI, MATEMATIKA EKONOMI DAN STATISTIKA

• Menemukan nilai parameter a dan b

dalam persamaan matematika Q = a + bP di atas dapat didekati dengan konsep

matematika maupun statistika

• Untuk itu dalam matematika ekonomi perlu dipelajari konsep-konsep persamaan,

pertidaksamaan, dan konsep lainnya yang dibutuhkan.

PERSAMAAN DERAJAT SATU

DENGAN SATU VARIABEL

• SEBUAH PERNYATAAN PERSAMAAN

ADALAH KESAMAAN DARI DUA EKSPRESI ALJABAR, DAPAT DINYATAKAN DALAM

SATU ATAU LEBIH VARIABEL sebagai contoh :

3x – 10 = 22 – 5x (satu variabel derajat satu) (tiga variabel derajat satu) w2 _{– 5w = -16 (satu variabel derajat 2)}

100

3

8

5

2

=

+

−

s

t

r

JAWABAN PERSAMAAN

• JAWABAN DARI SEBUAH PERSAMAAN TERDIRI ATAS ANGKA ATAU BILANGAN, KETIKA

DISUBSTITUSI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN AKAN MENJADI BENAR

• BILANGAN ATAU NILAI DARI VARIABEL YANG MEMBUAT PERSAMAAN ITU MENJADI BENAR DISEBUT DENGAN AKAR PERSAMAAN

IDENTIFIKASI JENIS PERSAMAAN

• PERSAMAAN YANG BENAR UNTUK SETIAP NILAI UNTUK VARIABEL DALAM PERSAMAAN

5(X+Y) = 5X + 5Y

• PERSAMAAN YANG HANYA MEMPUNYAI NILAI TUNGGAL UNTUK VARIABEL

X + 3 = 5

• PERSAMAAN YANG MERUPAKAN PERNYATAAN YANG SALAH, TIDAK TERDAPAT SATU

NILAIPUN YANG MEMENUHI

ATURAN MANIPULASI

PERSAMAAN

• NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA

KEDUA SISI PERSAMAAN DITAMBAH DENGAN BILANGAN YANG SAMA

• NILAI JAWABAN PERSAMAAN TIDAK BERUBAH JIKA KEDUA SISI PERSAMAAN DIKALIKAN ATAU DIBAGI DENGAN BILANGAN KONSTAN YANG SAMA (≠ 0) • KEDUA SISI PERSAMAAN DIKUADRATKAN ATAU

DIAKARKAN ATAU DILAKUKAN OPERASI YANG SAMA (LOGARITMA)

• KEDUA SISI PERSAMAAN DAPAT DIBAGI DENGAN

BEBERAPA ALASAN PERLUNYA PERSAMAAN LINEAR

• KEBANYAKAN FENOMENA NYATA DAPAT

DIREPRESENTASIKAN SECARA MATEMATIK, SALAH SATUNYA ADALAH HUBUNGAN LINEAR, ATAU PALING TIDAK DAPAT DIDEKATI SECARA LINEAR

• APLIKASI KONSEP LINEAR CUKUP LUAS PENERAPANNYA

• LEBIH MUDAH MENGINTERPRETASI

KARAKTERISTIK PERSAMAAN LINEAR

• BENTUK UMUM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

ax + by = c; x,y adalah variabel a,b dan c konstante

• LINEAR KARENA PANGKAT VARIABEL DALAM PERSAMAAN ADALAH PANGKAT SATU (1) DAN TIDAK TERDAPAT BENTUK PERKALIAN ANTAR VARIABEL

REPRESENTASE MENGGUNAKAN PERSAMAAN LINEAR

• SUATU PERSAMAAN LINEAR ax+by=c MEMPUNYAI HIMPUNAN JAWABAN

PASANGAN TERURUT (x,y) YANG

MEMENUHI PERSAMAAN TERSEBUT • JIKA S ADALAH HIMPUNAN JAWABAN

DAPAT DITULIS;

PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR

• UNTUK MENDAPATKAN NILAI PASANGAN TERURUT (x,y) ASUMSIKAN SALAH SATU

NILAI DAN SUBSTITUSIKAN KE PERSAMAAN UNTUK MENDAPATKAN PASANGAN

NILAINYA

contoh: persamaan 2x + 4y = 16; untuk x = -2; y = 5

APLIKASI PADA BIDANG PRODUKSI

• SEBUAH PERUSAHAAN MEMPUNYAI DUA JENIS PRODUK; YAITU A DAN B, MINGGU DEPAN PERUSAHAAN ALOKASIKAN 120 JAM KERJA UNTUK MENGHASILKAN DUA PRODUK TERSEBUT. DALAM MENGEJAR TARGET, PERUSAHAAN

MENGALOKASIKAN WAKTU 3 JAM UNTUK PRODUK A DAN 2.5 JAM UNTUK PRODUK B. BAGAIMANA MODEL PERSAMAANNYA?

• Jawaban :

• Jika didefinisikan variabel:

y = banyak unit produk A yang diproduksi x = banyak unit produk B yang diproduksi Maka alokasi jam produksi untuk dua jenis produk tersebut adalah :

2.5 x + 3 y = 120

Jika produksi produk B, x = 30 unit, maka produk A diproduksi, y = 15 unit

PERSAMAAN LINEAR DENGAN n VARIABEL

• Persamaan linear dengan n variabel meliputi x₁, x₂, x₃, …….., x_n, mempunyai bentuk umum :

a₁x₁+ a₂x₂+ a₃x₃+ ……..+ a_nx_n = b, dengan a_{1 ,} a_{2 ,} a_{3, ………… ,}a_n dan b adalah bilangan

konstan dan a_{1 ,} a_{2 ,} a_{3, ………… ,}a_n tidak semuanya nol.

Sebagai contoh:

JAWABAN PERSAMAAN LINEAR

• Jawaban Persamaan linear dengan n variabel adalah mentukan himpunan

S = {(x_1,x_2,x_3, ….., x_n)| a₁x₁+ a₂x₂+ a₃x₃+ ..+ a_nx_n = b}

Contoh: diberikan persamaan linear 2x₁+ 3x₂ - x₃+ x₄ = 16,

a. Berapakah derajat bebas persamaan ?

b. Tentukan himpunan jawaban untuk setiap

kombinasi nilai tiga variabel yang sama dengan nol.

KARAKTERISTIK GRAFIK PERSAMAAN LINEAR • Suatu persamaan linear yang mengandung dua

variabel digambarkan sebagai grafik garis lurus dalam dua dimensi.

• Garis lurus dapat digambarkan melalui dua

pasangan titik (x,y) yang memenuhi persamaan linear

• Pasangan titik (x,y) yang terletak pada garis akan merupakan kombinasi x dan y yang

memenuhi persamaan, artinya tidak ada jawaban tunggal.

CONTOH GRAFIK PERSAMAAN LINEAR

• Buat grafik dari persamaan 2x + 4y = 16

x y

(8.0) (0,4)

• Gambarkan grafik 4x-7y = 0 x (7,4) y 4x-7 y = 0 7 4

PERSAMAAN KONSTAN • PERSAMAAN x = k x y (k,0) x = k

PERSAMAAN KONSTAN

• PERSAMAAN y = k

x y

SLOPE GARIS LURUS

• Sebuah garis lurus kecuali garis vertikal , dapat dikarakterisasi berdasarkan slope garisnya.

• Dengan slope garis dapat diketahui garis bergerak naik atau turun dari kiri ke kanan sepanjang sumbu x

• Slope garis lurus dapat positip, nol, negatip, atau tidak terdefenisikan.

SLOPE GARIS LURUS y x (tidak didefinisikan) x y (-) x y (+) x y (0)

PENYELESAIAN PERSAMAAN

KUADRAT SATU VARIABEL

• BENTUK UMUM DARI PERSAMAAN KUADRAT DENGAN SATU VARIABEL X SEBAGAI BERIKUT:

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Identifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan berikut: 6x2- 2x + 1 = 0; 3x2- 12= 0; 2x2-1= 5x+9

• SEBUAH PERSAMAAN KUADRAT DAPAT MEMPUNYAI KONDISI JAWABAN (AKAR PERSAMAAN):

1. TIDAK MEMPUNYAI JAWABAN NYATA 2. MEMPUNYAI SATU JAWABAN NYATA 3. MEMPUNYAI DUA JAWABAN NYATA

PENYELESAIAN PERSAMAAN

KUADRAT SATU VARIABEL

• TERDAPAT BEBERAPA PROSEDUR YANG

DAPAT DIGUNAKAN UNTUK MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN KUADRAT.

• PROSEDUR YANG SANGAT UMUM DIGUNAKAN ADALAH METODE FAKTORISASI DAN

PENGGUNAAN RUMUS abc.

• METODE FAKTORISASI MENCOBA MEMBUAT PERSAMAAN KUADRAT MENJADI PERKALIAN DARI DUA FAKTOR SAMA DENGAN NOL,

SEHINGGA HASIL PERKALIAN TERSEBUT DAPAT TERJADI KARENA PALING SEDIKIT SALAHSATU FAKTOR SAMA DENGAN N0L

PENYELESAIAN PERSAMAAN

KUADRAT SATU VARIABEL

• CONTOH:

AKAR PERSAMAAN X2 _{– 4X = 0, DIFAKTOR}

X(X-4) = 0; SEHINGGA X = 0 ATAU X-4=0, ATAU X=4.

UNTUK MEMBEDAKAN KEDUA AKAR

PERSAMAAN DISEBUT X₁ = 0, DAN X₂ = 4

• AKAR PERSAMAAN X2 _{– 10X + 24 = 0,}

DIFAKTORKAN

(X-4)(X-6)=0; SEHINGGA, (X-4)=0 ; X₁ = 4; ATAU

PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT SATU VARIABEL

• PENGGUNAAN RUMUS abc Akar-akar persamaan kuadrat:

ax2 _{+ bx + c = 0, adalah:}

b2 _{– 4ac disebut Diskriminan atau D}

a

ac

b

b

x

2

4

2 2 , 1

−

±

−

=

INTERPRETASI DISKRIMINAN D

• Jika D > 0, terdapat dua akar nyata

• Jika D = 0, terdapat satu akar nyata • Jika D < 0, tidak ada akar nyata

Tentukan akar-akar persamaan: 1. x2 _{+ 3x + 1 = 0}

2. 3x2 _{- 2x + 5 = 0} 3. x2 _{+ 10x + 25 = 0}

KETIDAKSAMAAN

• Ketidaksamaan adalah ekspresi dua kuantitas yang tidak sama. Satu cara untuk menyatakan hubungan ketidaksamaan adalah “<“ (lebih kecil) atau “>”

(lebih besar)

Ketidaksamaan Interpretasi

3 < 5 3 kurang dari 5

x > 100 Nilai x lebih besar

dari 100

0<y<10 Nilai y lebih besar

dari 0 dan kurang dari 10

INTERVAL TERBUKA DAN

TERTUTUP

• Notasi interval terbuka; (a,b) = {x/a<x<b}

• Notasi interval tertutup kiri; [a,b) = {x/a≤x<b}

• Notasi interval tertutup kanan; (a,b] = {x/a<x≤b}

• Notasi interval tertutup; [a,b] = {x/a≤x≤b}

PENYELESAIAN

KETIDAKSAMAAN

• 2X + 3 ≥ -5 , JAWAB [-4,~) • -3 < x-2 < 2, JAWAB (-1,4) • 3X + 14 ≤ 5x, JAWAB [7, ~) • 2x – 5 ≥ 3x + 2, JAWAB (-~,-7] • (x-2)(x-3) ≤ 0, JAWAB [2,3] • X2 _{+ x – 12 ≥ 0} •

−

3

2 ≤

0

−

x

x

0

)

1

)(

3

(

)

2

(

≤

+

−

−

x

x

x

0

3

2 ≤

−

−

x

x

0

)

1

)(

3

(

)

2

(

≤

+

−

−

x

x

x

NILAI ABSOLUT

• NILAI ABSOLUT ADALAH SEBUAH BILANGAN SEBAGAI JARAK, YANG HARUS LEBIH BESAR ATAU SAMA DENGAN NOL, ATAU DARI NOL KE SEBUAH BILANGAN NYATA PADA GARIS

BILANGAN

• NILAI ABSOLUT DARI a DITULIS |a|

• DEFINISI DARI NILAI ABSOLUT a ADALAH: a jika a>0

|a| = 0 jika a=0 -a jika a<0

SIFAT NILAI ABSOLUT

• |a| ≥ 0 • |-a| = |a| • |X-Y| = |Y-X| • |ab| = |a||b| • b a b a =

HIMPUNAN

• Pengertian Himpunan • Penyajian Himpunan

• Himpunan Universal dan Himpunan Kosong • Operasi Himpunan

• Kaidah Matematika dalam Operasi Himpunan

HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang

didefinisikan dengan jelas.

Benda atau obyek yang dimuat suatu himpunan disebut anggota

Notasi Himpunan

Notasi Himpunan

Himpunan : Suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek. • Secara umum himpunan dilambangkan Æ A, B, C, ... Z

• Obyek dilambangkan Æ a, b, c, ... z • Notasi : - p A Æ p anggota A

- A B Æ A himpunan bagian dari B - A = B Æ himpunan A sama dengan B - = Æ ingkaran

∩

∩

Penyajian Himpunan

Penyajian Himpunan

• Penyajian Himpunan

a. cara deskripsi (kata-kata)

A= {himpunan bilangan prima kurang dari 10}

b. cara daftar (roster) Æ A = {1,2,3,4,5}

berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2,3,4, dan 5.

c. cara kaidah (rule) Æ A={x / 0 < x < 6; x bil bulat}

berarti himpunan A beranggotakan obyek x,

dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

Himpunan Universal dan

Himpunan Universal dan Himpunan Himpunan Kosong

Kosong

U adalah himpunan universal atau himpunan

besar dan dapat terdiri dari beberapa himpunan bagian

{ } atau Ø adalah himpunan kosong (tidak punya satu anggota), selain itu himpunan kosong juga merupakan himpunan bagian dari setiap hipunan apapun.

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A = {0,1,2,3,4}

B = {5,6,7,8,9 } C = {0,1,2,3,4 }

Contoh Soal – Soal :

1. Dari kumpulan hewan dibawah ini, manakah yang merupakan himpunan yang memiliki anggota atau himpunan kosong.

a. Kumpulan hewan melata b. Kumpulan hewan herbivora c. Kumpulan hewan langka

d. Kumpulan hewan yang hidup di air e. Kumpulan hewan berkaki tiga

Pembahasan :

Yang merupakan himpunan yang memilki anggota :

a. Kumpulan hewan melata b. Kumpulan hewan herbivora

c. Kumpulan hewan yang hidup di air

d. Kumpulan hewan langka

Yang merupakan himpunan kosong:

a. Kumpulan hewan berkaki tiga b. Kumpulan hewan bermata satu

2. Nyatakan himpunan dibawah ini dengan :

metode deskripsi, metode rule, metode Roster

a. A adalah himp bilangan genap positip kurang dari 12

b. B adalah himp bilangan prima kurang dari 8

c. C adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 8 d. D adalah himpunan huruf vokal

Pembahasan :

A adalah himp bilangan genap kurang dari 12

A = { 2, 4, 6, 8, 10 }

A = { himpunan bilangan genap kurang dari 12 } A = { x | x himp bilangan genap kurang dari 12 }

Pembahasan :

B adalah himp bil. prima kurang dari 8

B = { 2, 3, 5, 7 }

B = { himpunan bil. prima kurang dari 8} B = { x | x himp bil. prima kurang dari 8}

Pembahasan :

C adalah himp bilangan cacah kurang dari 8

C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

C = { himpunan bilangan cacah kurang dari 8 } B = { x | x himp bilangan cacah kurang dari 8}

Pembahasan :

D adalah himpunan huruf vokal D = { himpunan huruf vokal }

D = { x | x himpunan huruf vokal } D = { a, e, i, o, u }

LATIHAN - 1

• P = { faktor dari 30 yang habis dibagi 3 }. Pernyataan yang benar dibawah ini adalah…

• a. 6 ∉ P • b. 9 ∈ P • c. 12 ∉ P • d. 15 ∈ P

Pembahasan

• Faktor 30 yang habis dibagi 3 adalah

bilangan kelipatan 3 yang habis membagi 30 yaitu : 3, 6, 12, 15, 30. Jadi : • P = { 3,6, 15, 30 }, maka : • 6 ∉ P ( salah ) • 9 ∈ P ( salah ) • 12 ∉ P ( salah ) • 15 ∈ P ( benar ).

LATIHAN - 2

• Q = { huruf pembentuk kalimat “

SAHABAT SAYA BAIK SEKALI “ }. Nilai n(Q) = . . .

• a. 10 • b. 12 • c. 15 • d. 21

Pembahasan

• Kalimat : SAHABAT SAYA BAIK SEKALI,

• Huruf penyusunnya :

• S, A, H, B, T, Y, I, K, E, L

• P = { s, a, h, b, t, y, i, k, e, l } • n ( Q ) = 10

LATIHAN - 3

• Diketahui K = { bilangan asli kuadrat kurang dari 60 } . Himpunan K

dinyatakan dengan Roster adalah . . .

• a. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 } • b. { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 }

• c. { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 } • d. { 4, 9, 16, 25, 36, 49 }

Pembahasan

• K = { bilangan asli kuadrat kurang dari 60 }

• K = { 12, ₂2_{, 3}2_{, 4}2_{, 5}2_{, 6}2_{, 7}2 _}. • K = { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 }

Operasi Himpunan

Operasi Himpunan

• Gabungan (Union) A U B = {x; x Є A atau x Є B} • Irisan (Intersection) A ∩ B = {x; x Є A dan x Є B} • Selisih A - B = A|B = {x; x Є A tetapi x ∉ B} • Pelengkap (Complement) Ā = {x; x Є U tetapi x ∉ A} = U – A

Diagram Venn

Diagram Venn

Gabungan ( Gabungan ( AA U U BB )) Irisan Irisan

Lanjutan ...

Lanjutan ...

•

• Selisih ( Selisih ( AA –– BB = = AA||BB ))

•

Kaidah

Kaidah--kaidah Matematika dalam Pengoperasian kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan Himpunan Kaidah Idempoten a. A U A = A b. A ∩ A = A Kaidah Asosiatif a. ( A U B ) U C = A U ( B U C ) b. ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) Kaidah Komutatif a. A U B = B U A b. A ∩ B = B ∩ A Kaidah Distributif a. A U ( B ∩ C ) = ( A U B ) ∩ ( A U C ) b. A ∩ ( B U C ) = ( A ∩ B ) U ( A ∩ C )

Lanjutan ...

Lanjutan ...

Kaidah Identitas a. A U Ø = A b. A ∩ Ø = Ø c. A U U = U d. A ∩ U = A Kaidah Kelengkapan a. A U Ā = U b. A ∩ Ā= Ø c. ( Ā ) = A d. U = Ø Ø = U Kaidah De Morgan a. (A U B)= Ā ∩ B b. (A ∩ B) = Ā U B

Soal

Soal

1. Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika :

U = {1,2,3,4,5,6,7,8 } A = {2,3,5,7} B = {1,3,4,7,8 } Kemudian selesaikan : (a) A – B (c) A ∩ B (e) A ∩ B (b) B – A (d) A U B (f) B ∩ A

Soal

2. Dari 200 mahasiswa fakultas ekonomi ada yang mengikuti semester pendek, paling banyak mengambil 3 mata kuliah, yaitu A, B, dan C. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut :

Mengikuti mata kuliah A sebanyak 45 mahasiswa Mengikuti mata kuliah B sebanyak 50 mahasiswa Mengikuti mata kuliah C sebanyak 75 mahasiswa

Mengikuti mata kuliah A dan B sebanyak 20 mahasiswa Mengikuti mata kuliah A dan C sebanyak 15 mahasiswa Mengikuti mata kuliah C dan B sebanyak 20 mahasiswa Mengikuti mata kuliah A,B, dan C sebanyak 10 mahasiswa Tentukan : a) Jumlah mahasiswa yang tidak kuliah semester pendek

b) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 1 mata kuliah c) Jumlah mahasiswa yang hanya mengambil 2 mata kuliah

GAMBARAN DIAGRAM VENN

S 10 10 5 10 20 50 20 75 n(AUBUC) = 125 n(AUBUC)’ = n(S) – n(AUBUC) =200 -125 = 75 A B C

CARTESIAN PRODUCT

(PERKALIAN KARTESIAN)

• Notasi: A × B = {(a, b) ⏐ a ∈ A dan b ∈ B } (i) Misalkan C = { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka

C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }

(ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka

CARTESIAN PRODUCT

(PERKALIAN KARTESIAN)

• Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: ⏐A × B⏐ = ⏐A⏐ . ⏐B⏐.

• Pasangan berurutan (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a).

• Perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A × B ≠ B × A dengan syarat A atau B tidak kosong.

CARTESIAN PRODUCT

(PERKALIAN KARTESIAN)

Contoh : Misalkan

A = himpunan makanan = { s = soto, g =

gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }

B = himpunan minuman = { c = coca-cola, t =

teh, d = es dawet }

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas?

Jawab: 4 x 3 = 12

yaitu {(s, c), (s, t), (s, d), (g, c), (g, t), (g, d), (n, c), (n, t), (n, d), (m,

CARTESIAN PRODUCT

(PERKALIAN KARTESIAN)

Contoh : Daftarkan semua anggota himpunan

berikut: (a) P(∅) (b) ∅ × P(∅) (c) {∅}× P(∅) (d) P(P({3})) • Penyelesaian: (a) P(∅) = {∅} (b) ∅ × P(∅) = ∅

(ket: jika A = ∅ atau B = ∅ maka A × B = ∅) (c) {∅}× P(∅) = {∅}× {∅} = {(∅,∅))

(d) P(P({3})) = P({ ∅, {3} }) = {∅, {∅}, {{3}}, {∅, {3}} }

CARTESIAN PRODUCT

(PERKALIAN KARTESIAN)

Perkalian Cartesian himpunan A dan B ditulis A x B = {(a,b)/ a є A dan b є B}

1.Jika A = { a1,a2,a3} dan B = { b1,b2 } Tentukan himpunan AxB

AxB = {(a1,b1), (a1,b2), (a2,b1), (a2,b2), (a3,b1), (a3,b2)} 2. Jika A = {x/x bilangan ganjil 2 < x < 10}

B = { y/y bilangan kelipatan 3 dengan 0 < y < 10} tentukan himpunan A x B

A = {3,5,7,9}; B = {3,6,9}

FUNGSI

• Dalam model matematika, relasi khusus dapat direpresentasikan dengan fungsi matematika

atau fungsi.

• Definisi Fungsi

Suatu fungsi dapat ditunjukan sebagai suatu proses input menjadi output.

fungsi

Defenisi fungsi

• Jika y = x2 _{+ 2x + 1, maka akan ditemukan sebagai berikut :} Input Hubungan Output

Jika x =1 y = (1)2 _{+ 2(1) + 1 = 4} Jika x = -1 y = (-1)2 _{+ 2(-1) + 1 = 0} Jika x = 2 y = (2)2 _{+ 2(2) + 1 = 9} • Persamaan di atas menunjukan suatu aturan yang

mentransformasikan satu nilai dari x kepada satu nilai y

• Jadi defenisi fungsi adalah : merupakan suatu aturan yang

menghubungkan setiap nilai input kepada satu dan hanya satu nilai output

• Defenisi Domain/Range

Domain dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri dari seluruh nilai input yang dimungkinkan.

Range dari sebuah fungsi adalah suatu himpunan yang terdiri dari seluruh nilai output yang dimungkinkan.

PENGERTIAN FUNGSI

• Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah

aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

• ATURAN :

– setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.

– tidak boleh membentuk cabang seperti ini.

ILUSTRASI FUNGSI

A f B

Input Kotak hitam Output

Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain (range). Elemen a A disebut argumen dan f(a) B disebut bayangan(image) dari a.

Himpunan R_f:= { y B : y = f(x) untuk suatu x A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S A maka himpunan

ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)

Fungsi

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan.

Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan.

GRAFIK FUNGSI

• Misalkan f: A Æ B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a))/a A} • Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1,

2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:

A B

CONTOH FUNGSI

1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2_+x+1.

2. Fungsi nilai mutlak f : R → R₊ , dimana fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.

3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia

maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.

4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan

perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z₊ dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x.

5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A Æ B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S.

Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.

6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ? ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = 0 jika 0 jika : ) ( x x x x x f

FUNGSI FLOORING dan CEILING

1. Fungsi flooring f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌊ x ⌋.

2. Fungsi ceiling f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌈ x ⌉.

CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling: ⌊0.5⌋ = 0, ⌈0.5⌉ = 1, ⌊-0.5⌋ = -1, ⌈-0.5⌉ = 0

⌊3.1⌋ = 3, ⌈3.1⌉ = 4, ⌊ 6 ⌋ = 6, ⌈ 6 ⌉ = 6.

SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN FUNGSI CEILING 1. ⌊x⌋ = n bila n ≤ x < n+1 2. ⌈x⌉ = n bila n-1< x ≤ n 3. ⌊x⌋ = n bila x-1 < n ≤ x 4. ⌈x⌉ = n bila x ≤ n < x+1 5. x-1 < ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌉ < x+1 6. ⌈-x⌉ = - ⌊x⌋ 7. ⌊-x⌋ = -⌈x⌉ 8. ⌊x+n⌋ = ⌊x⌋+n 9. ⌈x+n⌉ = ⌈x⌉ + n

• CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinyatakan dalam suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.

PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan ke atas, yaitu dibuthkan ⌈100/8⌉ = ⌈12.5⌉ = 13 byte. • CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone

network, data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan rata-rata 500 kilobyte per detik.

PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar 500,000 * 60*8 = 240,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masing-masing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu ⌊240,000,000/424⌋ = 70,754 ATM.

OPERASI ALJABAR FUNGSI

• Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g didefinisikan oleh :

(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x).

• Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x2 _{dan g(x) :=}

x – x2_{. Diperoleh (f+g)(x) = x,}

(fg)(x) = x3_-x4_.

• Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan

kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya.

FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)

• Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) → x = y ], atau [x y → f(x) f(y)].

Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:

x y [f(x) = f(y) Æ x = y] atau x y [x y → f(x) f(y)] maka fungsi f disimpulkan satu-satu.

Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu.

A B A B

• CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?

PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.

• CONTOH: Apakah fungsi f: R Æ R dengan f(x) = x2 _{satu-satu ?}

PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.

• CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?

PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh x + 5 ≠ y + 5 Æ g(x)≠ g(y). Jadi g injektif.

FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF)

• Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B terdapat x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:

y B x A sehingga y = f(x)

maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap x A, f(x)≠ y maka f tidak surjektif.

A B A B

• CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 _{dari R} ke R surjektif ?

PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu

bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2 _{= f(x)≠ y. Jadi, f tidak}

surjektif.

• CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?

PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka

y = x-3 Æ x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

INVERS FUNGSI

• Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 _dimana

f -1 _{: B → A. DKL,}

y = f(x) ↔ x = f -1 _(y)

• Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

A B

b=f(a) f(a)

f-1_(b)

FUNGSI BIJEKTIF

• Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.

• CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d}Æ {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.

PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.

A B

• CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan

f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.

PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel

dengan f -1_{(1)=c, f} -1_{(3)=b dan f} -1_(2)=a.

• CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2_{. Apakah f invertibel.}

PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektif maka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

KOMPOSISI FUNGSI

• Misalkan g: A Æ B dan f: B Æ C.

Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A Æ C dengan (f ◦

g)(x):= f(g(x)).

• Bila f: A Æ B dan g: D Æ E maka fungsi komposisi

f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) D.A B C

g f

FUNGSI MERUPAKAN HUBUNGAN MATEMATIS ANTARA SUATU VARIABEL DENGAN VARIABEL LAINNYA. UNSUR-UNSUR

PEMBENTUK FUNGSI ADALAH; VARIABEL, KOEFISIEN, DAN KONSTANTE ATAU PARAMETER.

VARIABEL MERUPAKAN UNSUR YANG SIFATNYA BERUBAH-UBAH DARI SATU KEADAAN KE KEADAAN LAINNYA, DAN DALAM SUATU RUMUSAN FUNGSI DAPAT DIBEDAKAN MENJADI VARIABEL BEBAS DAN TIDAK BEBAS.

VARIABEL BEBAS YAITU VARIABEL YANG DAPAT

MENERANGKAN VARIABEL LAINNYA (MEMPENGARUHI) VARIABEL TIDAK BEBAS YAITU VARIABEL YANG

KOEFISIEN IALAH BILANGAN ATAU ANGKA YANG DILETAKKAN TEPAT

DIDEPAN SUATU VARIABEL, DAN TERKAIT DENGAN VARIABEL YANG

BERSANGKUTAN.

KONSTANTA ADALAH SUATU BESARAN BILANGAN ATAU ANGKA YANG SIFATNYA TETAP DAN TIDAK TERKAIT DENGAN

SUATU VARIABEL

KONSTANTA DAN KOEFISIEN YANG SIFATNYA UMUM DISEBUT SEBAGAI PARAMETER, ARTINYA BESARANNYA TETAP UNTUK SUATU KASUS, TETAPI BERUBAH PADA KASUS LAINNYA

FUNGSI

FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON ALJABAR

ATAU TRANSENDEN

FUNGSI IRRASIONAL FUNGSI RASIONAL

FUNGSI POLINOM FUNGSI LINEAR FUNGSI KUADRAT FUNGSI KUBIK FUNGSI PANGKAT FUNGSI EKSPONEN FUNGSI LOGARITMA FUNGSI TRIGONOMETRI FUNGSI HIPERBOLA

PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR

(-2,0) ₀ (0,4) Y = 4 + 2 X Y X (0,4) (2,0) 0 Y X Y = 4 – 2 X KONSTANTA KOEFISIEN VARIABLE bebas bebas Td k b eb as Tdk b ebas

MODEL UMUM FUNGSI LINEAR :

Y = a + b X ;

a, b, konstanta (parameter) X, Y variabel

UNTUK MENEMUKAN NILAI a DAN b PADA PERSAMAAN LINEAR DI ATAS DAPAT DILAKUKAN DENGAN

1. ELIMINASI DAN SUBSTITUSI

CARA INI MEMBUTUHKAN DUA PERSAMAAN YANG MENGANDUNG DUA NILAI YANG TIDAK DIKETAHUI, YAITU a DAN b, UNTUK ITU DIBUTUHKAN DUA PASANGAN NILAI (X,Y)

MISAL TERDAPAT HUBUNGAN ANTARA X DAN Y DENGAN KONDISI X = 4, Y = 12,

DAN X = 8, Y = 20,

JIKA HUBUNGAN ANTARA X DAN Y LINEAR, TENTUKAN PERSAMAAN ; Y = a + b X PENYELESAIAN X = 4 ; Y = 12; JADI 12 = a + 4b (1) X = 8 ; Y = 20; JADI 20 = a + 8b - (2) -8 = -4b b = 2

SUBSTITUSI b = 2 PADA PERSAMAAN (1) DIPEROLEH ;

a = 12 – 8 = 4

PERSAMAAN FUNGSI LINEAR Y = 4 + 2X

2. Geometri garis lurus

Perhatikan gambar garis di bawah ini:

Terlihat bahwa garis lurus melalui pasangan titik (x1,y1) dan (x2,y2), jika perubahan y ditulis ∆y = y2-y1, dan perubahan x adalah ∆x = x2–x1, maka terlihat bahwa tg(β) = ∆y/∆x.

) 2 ....( 1 1 ) 1 ...( 1 2 1 2 x x y y tg juga x x y y x y tg − − = − − = ∆ ∆ = β β Y X y = a + bx x1 y1 x2 y2 ∆x =x2-x1 ∆y= y2–y1 β x y y-y1 x-x1

PERSAMAAN FUNGSI LINEAR

• Persamaan (1) dan persamaan (2) di atas

mempunyai nilai yang sama, sehingga dapat ditemukan : • atau 1 2 1 1 2 1 x x x x y y y y − − − −

₌

1 1 1 2 1 2 x x y y x x y y − − − −

₌

• Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (4,12) dan (8,20). 4 8 4 12 20 12 −− − −

₌

_x y 1 2 1 1 2 1 x x x x y y y y − − − −

₌

Y = 2x + 4

• Jika tgβ atau slope garis lurus

y = a + bx diketahui, maka tgβ = b, dan persamaan garis lurus melalui (x1,y1) di atas dapat ditulis sebagai berikut :

y – y₁ = b(x – x₁)

• Misal Y = a + bx, mempunyai sifat apabila x berubah satu satuan x maka y berubah 1/2 satuan y, dan

untuk x = 2, y = 5. tentukan persamaan linear tersebut.

• ∆x = 1, ∆y = ½ , jadi

b = ∆y/∆x = ½ , sehingga persamaanya menjadi: y-5 = ½(x-2)

y = ½ x -1 + 5 y = ½ x + 4

HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS

LURUS

• Jika terdapat dua garis lurus: y₁ = a₁ + b₁X dan y₂ = a₂ + b₂X maka dapat terjadi :

y₁ sejajar y₂ pada saat b₁ = b₂ y₁ berpotongan y₂ jika b₁≠b_2,

dan khusus berpotongan tegak lurus b₁ = -1/b₂

Gambar Grafik

• Garis Sejajar • α1 α2 X Y Y₁ = a₁ + b₁X Y₂ = a₂ + b₂X Y1 // Y2 b₁= b₂ atau tg α1 = tg α2 a1 a2

Gambar Grafik

• Garis Berpotongan tegak lurus

X Y Y₁ = a₁ + b₁X Y₂ = a₂ + b₂X Y1 Y2 b₁ = -1/ b₂ a1 a2

Gambar Grafik

• Garis Berpotongan X Y Y₁ = a₁ + b₁X Y₂ = a₂ + b₂X Y1 X Y2 b₁≠ b₂ a1 a2

Menentukan Titik Potong

• Untuk menentukan titik potong dua garis lurus y1 dan y2 pada gambar di atas, tidak lain adalah mencari pasangan titik (x,y)

yang memenuhi persamaan y1 = y2.

• Misal, tentukan titik potong antara garis lurus y = x - 10, dan y = 5 – x

Gambar Grafik

• Y = x – 10, titik potong sb-x; y = 0 x – 10 = 0, x=10, atau (10,0)

Titik potong sb-y; x=0, y = -10 atau (0,-10) • Y = 5 – x, titik potong sb-x; y = 0

5 – x = 0, x=5, atau (5,0)

Gambar Grafik

• Titik potong garis lurus, x-10=5-x; 2x = 15, x = 15/2.

Substitusi nilai x=15/2 pada salah satu

persamaan garis lurus; misal untuk y = x-10, diperoleh y = 15/2-10 = -5/2

Jadi titik potong antara dua garis

lurus tersebut adalah (15/2,-5/2)

Gambar Grafik

Y X Y = x - 10 Y = 5 - x 5 -10 5 0 _{15/2 10} -5/2

Fungsi Kuadrat

• Fungsi Kuadrat, adalah fungsi yang

variabel bebasnya berpangkat tertinggi dua (kuadrat).

• Bentuk umumnya untuk y = f(x) adalah :

• Grafik dari fungsi kuadrat adalah parabola, dengan sumbu simetri sejajar sumbu-Y

Parabola Dengan Sumbu Simetri

Sejajar Sumbu Y

X Y Y = aX2 _{+ bX + c} a < 0 Sumbu simetri

Parabola Dengan Sumbu Simetri

Sejajar Sumbu Y

X Y Y = aX2 _{+ bX + c} a > 0 Sumbu simetri

Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat

• Fungsi Kuadrat mempunyai nilai ekstrem tunggal (mutlak), atau hanya satu-satunya • Jenis Ekstrem fungsi Kuadrat akan sangat

bergantung pada nilai koefisien X2_{, yaitu} (a)

jika a > 0, maka ekstrem Minimum

Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi

Kuadrat

• Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi Kuadrat dapat didekati dengan dua pendekatan, yaitu

1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna

2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D)

• 1. Pendekatan Model Kuadrat Sempurna Perhatikan model fungsi kuadrat:

Y = aX2 _{+ bX + c, a≠0}

jika b = 0, maka persamaan kuadrat di atas

menjadi : Y = aX2 _{+ c, a≠0 dan disebut sebagai}

Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi

Kuadrat

Nilai X2_{>0, untuk setiap nilai X}

Jika a > 0, maka aX2 _{> 0, sehingga untuk :}

c > 0, aX2 _{+ c > c}

c < 0, aX2 _{+ c > c}

dan pada saat x = 0, Y = aX2_{+ c}

Y = 0 + c

Y = c, merupakan nilai terkecil Jadi Y(minimum) = c untuk x = 0.

Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi

Kuadrat

Nilai X2_{>0, untuk setiap nilai X}

Jika a < 0, maka aX2 _{< 0, sehingga untuk :}

c > 0, aX2 _{+ c < c}

c < 0, aX2 _{+ c < c}

dan pada saat x = 0, Y = aX2_{+ c}

Y = 0 + c

Y = c, merupakan nilai terbesar Jadi Y(maksimum) = c untuk x = 0.

Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi

Kuadrat

• Analogi dengan bentuk kuadrat sempurna di atas, maka:

Jika Y = aU2_{+c, akan memberikan}

kesimpulan yang sama, yaitu, jika a>0, maka y(minimum) = c untuk U = 0, dan jika a<0,

maka y(maksimum) = c untuk U = 0. • Apabila U=X+b, maka, bentuk di atas

menjadi Y = a(X+b)2_{+ c}

Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi

Kuadrat

• Jika a>0; Y(minimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0, atau X = -b.

• Jika a<0; Y(maksimum) = c untuk U = 0, atau X+b=0, atau X = -b.

• Andaikan a = 1; b = 2, dan c = 4 bagaimana penerapannya ?

• Andaikan a = -2, dan b = 3, dan c=10 bagaimana penerapannya

Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi

Kuadrat

a D a b a ac b a b a b a b a b a b a b X a Y maka ac b D X a Y c X a Y c X a Y c X X a Y 4 2 2 2 44 2 2 4 2 2 4 2 2 2 ) ( : , 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 − + = − = − + = − − + = + − + = + + = −

† 2. Pendekatan Penggunaan Rumus Diskriminan (D)

Perhatikan model fungsi kuadrat: Y = aX2 _{+ bX + c, a≠0;}

Menentukan Nilai Ekstrem Fungsi

Kuadrat

• Jadi untuk model fungsi kuadrat: Y = aX2_{+bX+c, a≠0; atau}

nilai ekstremnya adalah: y = -D/4a

Dengan D = b2_{-4ac, disebut Diskriminan}

Jika a > 0, Y(minimum)= untuk X=-b/2a Jika a < 0, Y(maksimum)= untuk X=-b/2a

a D a b

X

a

Y

=

(

+

₂

)

2

−

₄ a D 4

−

a D 4

−

• Tentukan Ekstrem fungsi: • 1. Y = 4 – 2x + x2 • 2. Y = 10 + 6x -3x2 • 3. Y = ½ x2 _{+ x + 2} • Gambar grafiknya • Peny. 1. Y = x2 _{-2x + 4} Y = (x-1)2₊₃ Y(min) = 3 untuk x = 1

Titik potong sumbu-y (0,4)

Menentukan Nilai Ekstrem

Fungsi Kuadrat

GAMBAR GRAFIK PARABOLA

1 3 Y X 4 Y = x2 _{-2x + 4} Y = (x-1)2 _{+ 3}

-1 3/2 Y X 2 Y = ½ x2 _{+ x + 2}

GAMBAR GRAFIK PARABOLA

Y = ½ (x2 _{+ 2x) + 2}

Y = 10 + 6x -3x2

GAMBAR GRAFIK PARABOLA

Y = -3(x2 _{– 2x) + 10} Y = -3(x -1)2 _{+ 13} 1 10 Y X 13

Perpotongan Parabola

Dengan Garis Lurus

• Jika parobola y₁=ax2 _{+ bx +c, a>0, dan} garis lurus y₂= px + q, p<0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut : Y = aX2 _{+ bX + c} a > 0 X Y Y₂ = px + q; p<0 Y₁ = Y₂ 1

Perpotongan Parabola Dengan Garis

Lurus

• Jika parabola y₁=ax2_{+bx+c, a<0 dan garis lurus, y}

2 =

px + q, p>0, yang saling berpotongan, maka dapat terjadi seperti gambar berikut:

Y1 = aX2 _{+ bX + c}

a < 0

X

Y _{Y2 = px + q}

Perpotongan Parabola Dengan Parabola

• Jika parabola y1=ax2_{+bx+c, a>0 dan parabola y2 =}

px2 _{+ qx + r, p<0, yang saling berpotongan, maka}

dapat terjadi seperti gambar berikut:

Y1 = aX2 _{+ bX + c} a > 0 X Y Y2 = pX2 _{+ qX + r} p < 0 Y1 = y2

HUBUNGAN FUNGSI EKSPONEN

DAN LOGARITMA

• FUNGSI EKSPONEN MEMPUNYAI HUBUNGAN YANG ERAT DENGAN FUNGSI LOGARITMA, KARENA

MERUPAKAN KEBALIKAN SATU SAMA LAINNYA • FUNGSI EKSPONEN BERBEDA DENGAN FUNGSI

PANGKAT

• FUNGSI PANGKAT ADALAH FUNGSI YANG

VARIABELNYA DIPANGKATKAN DENGAN BILANGAN KONSTAN

• FUNGSI EKSPONEN ADALAH KONSTANNYA YANG DIPANGKATKAN DENGAN VARIABEL

• Y = x1/2 _{ADALAH FUNGSI PANGKAT}

BASIS EKSPONEN

• Fungsi eksponen mempunyai dua basis

eksponen, yaitu (1) basis konstante a dengan 0<a<1, dan a>1 (bilangan biasa), dan (2) basis konstante e = 2.71828…..

• Y = ax _{dengan a>1, akan mempunyai perilaku} sebagai berikut :

• Nilai Y akan mendekati tak berhingga jika x

menuju tak berhingga positip, akan mendekati nol apabila x menuju tak berhingga negatip

GRAFIK FUNGSI EKSPONEN

• Grafik dari fungsi Y = 2x

Y X 1 2 1 Y = 2x

• Grafik fungsi eksponen Y = 2-x Y X 1 2 Y = 2-x -1

KARAKTERISTIK FUNGSI

EKSPONENSIAL

• Jika terdapat a>0 dan b> 0 dan m dan n bilangan nyata, maka berlaku :

1. bm_bn _{= b}m+n 2. bm_/bn _{= b}m-n 3. (bm₎n _{= b}mn 4. am_bm _{= (ab)}m 5. bm/n ₌

(b

m

)

1/n 6. am _{= a}n _{, maka m = n}

FUNGSI LOGARITMA

• Logaritma dapat diartikan sebagai pangkat dari sebuah bilangan pokok untuk menghasilkan

bilangan tertentu yang diinginkan.

• Bilangan dasar atau basis dari logaritma adalah bilangan bulat positip kecuali bilangan 1

• Dalam kasusus umum bilangan pokok yang digunakan adalah 10 atau e

• Bilangan pokok atau basis 10 biasanya tidak ditulis, sehingga log 10 = 1, karena 101_{= 10} • Bilangan pokok e juga tidak ditulis, tetapi

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

• Grafik fungsi logaritma merupakan

kebalikan dari fungsi eksponensial, namun grafik fungsi logaritma Y = log X hanya

berada pada nilai Domain: x > 0, dan nilai Range -~<Y<~; sedangkan grafik fungsi eksponen mempunyai Domain: 0<x<~ dan Range : -~<Y<~

GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

• Grafik y = log x y x 1 y = logx

SIFAT-SIFAT LOGARITMA

• Untuk a dan b bilangan positip • log ab = log a + log b

• log a/b = log a – log b • log ab _{= b log a}

• log 1 = 0 ; log 10 = 1

• log a = log b maka a = b

• Sifat yang sama berlaku untuk logaritma dengan basis e atau (ln), misal ln e = 1, dst

APLIKASI FUNGSI LINEAR

DAN KUADRATIK

APLIKASI FUNGSI LINEAR PADA FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARAN

• BERIKUT INI DATA TENTANG HARGA,

KUANTITAS PERMINTAAN, DAN KUANTITAS PENAWARAN SEBUAH KOMODITI

• TENTUKAN :

A. PERSAMAAN FUNGSI PERMINTAAN DAN PENAWARANNYA

B. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS C. GAMBAR GRAFIKNYA

D. ARSIR DAERAH SURPLUS KONSUMEN DAN SURPLUS PRODUSEN

Harga Harga P P Permintaan Permintaan Qd Qd Penawaran Penawaran Qs Qs 30 30 1010 3535 20 20 4040 1010 . . _Q P . . 10 35 40 20 30 . Qs = -40 + 2.5P Qd = 100 - 3P 25.4 23.8 E Keseimbangan harga Keseimbangan kuantitas .

KESEIMBANGAN KUANTITAS DAN

HARGA

• Qd = Qs • 100 - 3P = -40 + 2.5P • 5.5 P = 140 • Pe = 25.4 • Qe = 100 – 3(25.4) = 23.8

Fungsi Biaya, Penerimaan,

Keuntungan

• Suatu perusahaan mempunyai biaya tetap produksi

2000 dan biaya variabel per unit Q adalah 25. Harga jual produknya 50 per unit Q.

• Tentukan :

- Fungsi Biaya Total C

- Fungsi Penerimaan R - Fungsi Keuntungan Π - Titik Pulang Pokok (BEP)

Fungsi Biaya, Penerimaan, dan

Keuntungan

• Fungsi Biaya Total

TC = FC + VC; FC = biaya tetap

VC = total biaya variabel Jadi TC = 2000 + 25 Q

• Fungsi Penerimaan

TR = p Q ; p = harga jual per unit Q TR = 50 Q

• Fungsi Keuntungan Π = TR – TC

• = 50Q – (2000+25Q)

• = 25Q – 2000

GRAFIK FUNGSI

2000 -2000 BEP TC = 2000 + 25Q Π = 25Q - 2000 TR = 50 Q Q 80 4000 TC,Π,TR

Fungsi Biaya, Penerimaan, dan

Keuntungan

KUANTITAS Q TOTAL BIAYA C HARGA JUAL P 50 3500 25 100 4000

Tentukan, fungsi Biaya C, Penerimaan R, Keuntungan π, BEP, dan Gambar grafiknya

GRAFIK FUNGSI

3000 -3000 BEP TC = 3000 + 10Q Π = 15Q - 3000 TR = 25 Q Q 200 5000 TC,Π,TR jawab

FUNGSI PENDAPATAN, CONSUMSI

DAN TABUNGAN

• BERIKUT INI DATA PENDAPATAN,

CONSUMSI DAN TABUNGAN SUATU NEGARA DENGAN SATUAN MATA

UANG TERTENTU. • TENTUKAN :

A. FUNGSI CONSUMSI C = c_o + cY B. FUNGSI TABUNGAN S = s_o + sY C. KESEIMBANGAN PENDAPATAN

HUBUNGAN c DAN s, SERTA c

₀

DAN s

₀

Y = C + S

1 = c + s , sehingga s = 1-c

c = ∆C/∆Y disebut marginal propencity to consum (MPC) dan s = ∆S/∆Y,

disebut marginal propencity to save

∆C = perubahan konsumsi C akibat perubahan pendapatan Y ∆S = perubahan Tabungan S akibat perubahan pendapatan Y

c

c_{0 0} adalah consumsi pada saat Y = 0,adalah consumsi pada saat Y = 0, s

s_{0 0} adalah tabungan pada saat Y = 0, jadiadalah tabungan pada saat Y = 0, jadi s

s_{0 0} = = -- cc₀₀

Contoh: Jika Consumsi C = 2500 + 0.75 Y, maka Tabugan S = -2500 + 0.25Y

Pendapatan Y

Pendapatan Y Consumsi CConsumsi C Tabungan STabungan S 180 180 192192 --1212 250 250 220220 3030 Y C, Y, S E Y=Y C = 120 + 0.4 Y S = 0.6Y - 120 Ye = 200 250 220 450 120 -120 200

Q P -1 1 2 12 12 P1 = 12 - Q P₂ = a(Q+1)2 _{+ 1, P = 2 untuk Q = 0} P₂ = Q2 _{+ 2Q + 2}

GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN FUNGSI PENAWARAN P2 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN : a. FUNGSI PERMINTAAN DAN

PENAWARAN

b. KESEIMBANGAN HARGA DAN KUANTITAS Qe Pe P1 = P2 Q2 _{+ 2Q + 2 = 12-Q} Q2 _{+3Q-10 = 0} (Q+5)(Q-2) = 0 Qe = 2, Pe = 10 P1 P2

Perpotongan Parabola Dengan

Parabola

GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN P1 DAN FUNGSI PENAWARAN P2 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN : • a. FUNGSI PERMINTAAN DAN • PENAWARAN

b. KESEIMBANGAN HARGA DAN • KUANTITAS Q P P2 P1 -1/2 -1 3/4 1 14 13 Qe Pe P1 = a(Q+1)2 _{+ 14; Q = 0, P = 13} P2 = a(Q+1/2)2 + 3/4; Q = 0, P = 1

P QQ1=a(P+1) 2 _-2 Q1=P2_+2P-1 Q2 = 9 – P2 9 -2 -1

GAMBAR BERIKUT ADALAH FUNGSI PERMINTAAN Q2 DAN FUNGSI PENAWARAN Q1 DARI SUATU KOMODITI, TENTUKAN : • a. FUNGSI PERMINTAAN DAN • PENAWARAN

b. KESEIMBANGAN HARGA DAN • KUANTITAS Pe Qe -1 Q1 = Q2 P2 _{+ 2P -1 = 9 – P}2 2P2 _{+ 2P -10 = 0} P2 _{+ P – 5 = 0}

PAJAK DAN SUBSIDI

• PAJAK DAN SUBSIDI MERUPAKAN KEBIJAKAN FISKAL PEMERINTAH

• PAJAK DAN SUBSIDI AKAN MENGUBAH FUNGSI PENAWARAN

• JIKA FUNGSI PENAWARAN SEBELUM PAJAK DAN SUBSIDI

Qs = F(P), MAKA:

a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Qst = F(P-t)

b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Qss = F(P+s)

• JIKA FUNGSI PENAWARAN Ps = G(Q), MAKA:

a. setelah pajak t per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Pst = G(Q) + t

b. setelah subsidi s per unit Q yang terjual membuat fungsi penawaran menjadi Pss = G(Q)-s

• Qs = 2P – 10, JADI Q = F(P) • t = 2 , Qst = 2(P-2) -10 = 2P – 14 • s = 1, Qss = 2(P+1) – 10 = 2P – 8 • Ps = 5 + 3Q, P = G(Q) • t = 2, Pst = 5+3Q+2 = 7 + 3Q • s = 1, Pss = 5 +3Q-1 = 4 + 3Q

GAMBAR PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI TERHADAP FUNGSI PENAWARAN

P Q Qs = F(P) Qst = F(P-t) Qss = F(P+s) Qd = G(P) Qe Qes Qet Pe Pes Pet t s

PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN PRODUSEN P Q Qs = F(P) Qst = F(P-t) Qd = G(P) Qe Qet Pe Pet P₀ Pajak ditanggung Konsumen Pajak ditanggung Produsen t = Pet-Po

SUBSIDI KONSUMEN DAN

PRODUSEN

P Q Qs = F(P) Qss = F(P+s) Qd = G(P) Qe Qes Pe Pes P1 SUBSIDI KONSUMEN SUBSIDI PRODUSEN s = P1-Pes

SOAL

• Diketahui fungsi permintaan suatu barang Qd=8-0.5P, dan fungsi penawaran Qs=-2+P, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila

pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum pajak

b. Titik keseimbangan setelah pajak

c. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang ditanggung produsen dan konsumen

• Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas Qe sebelum pajak • (Qe,Pe) Qd = Qs 8 – 0.5 P = -2 + P 1.5 P = 10 Pe = 10/1.5 = 20/3 Qe = 14/3

• Fungsi penawaran setelah pajak t = 2 Q_st = -2 + (P – 2)

= -4 + P

• Keseimbangan harga setelah pajak P_st dan kuantitas setelah pajak Q_st adalah:

(Q_et,P_et) Q_st = Q_d

-4 + P = 8 – 0.5P P_et= 8, Q_et = 4

PAJAK TANGGUNGAN KONSUMEN DAN PRODUSEN P Q Qs = -2 + P Qst = -4 + P Qd = 8-0.5P 14/3 4 20/3 8 6 Pajak ditanggung Konsumen Pajak ditanggung Produsen t = 8-6 =2 Pkon= 4 (8-20/3) = 16/3 Pprod = 4(20/3 – 6) = 8/3

LATIHAN SOAL

• Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=20-0.5Q, dan fungsi penawaran P= 4 + 2.5Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan

a. Titik keseimbangan sebelum subsidi b. Titik keseimbangan setelah subsidi

c. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan konsumen

• Keseimbangan Harga Pe dan Kuantitas Qe sebelum subsidi • (Qe,Pe) Pd = Ps 20 – 0.5 Q = 4 + 2.5Q 3Q = 16 Qe = 16/3 Pe = 52/3

• Fungsi penawaran setelah subsidi s = 2 P_ss = 4 + 2.5Q - 2

= 2 + 2.5Q

• Keseimbangan harga setelah subsidi P_ss dan kuantitas setelah subsidi Q_ss adalah:

(Q_es,P_es) P_ss = P_d

2 + 2.5Q = 20 – 0.5Q Q_es= 18/3=6, P_es = 17

SUBSIDI KONSUMEN DAN

PRODUSEN

P Q Ps =4+2.5Q Pss = 2+2.5Q Pd = 20-0.5Q 16/3 6 52/3 17 19 SUBSIDI KONSUMEN SUBSIDI PRODUSEN Sprod. = 6(19-52/3) Skon. = 6(52/3 -17)

1. Sebuah komoditi mempunyai perilaku permintaan dan penawaran sebagai berikut; jika harganya Rp.5.000,- perusahaan akan menawarkan 300 unit, dan permintaan barangnya 500 unit, sedangkan jika harganya naik

menjadi Rp.6.000,- perusahaan menawarkan sebanyak 600 unit dan permintaannya menjadi 350 unit.

– Buatlah persamaan permintaan & penawarannya. – Tentukan Keseimbangan harga dan kuantitasnya

– Jika pajak yang ditarik pemerintah Rp. 300,- per unit tentukan pajak yang ditanggung produsen dan ditanggung konsumen

– Gambar grafiknya

– Jika pada kasus di atas pemerintah memberikan susidi Rp 200,- per unit yang terjual tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan juga konsumen

– Gambar grafiknya

2. Sebuah negara mempunyai komponen pendapatan nasional sebagai berikut; apabila pendapatan negara tersebut tidak ada maka konsumsi 700, sedangkan untuk setiap kenaikan satu satuan pendapatan, maka 90 % digunakan untuk konsumsi,

– Tentukan fungsi konsumsi dan tabungannya

– Gambarkan fungsi konsumsi dan tabungan tersebut – Tentukan keseimbangan pendapatan nasional

soal

3. Fungsi permintaan Qd = 26 – P2 _{dan fungsi}

penawaran Qs = P2 _{+ 2P – 14}

Tentukan keseimbangan harga dan kuantitas (Qe;Pe) dan gambar grafiknya

4. Diketahui fungsi permintaan suatu barang Pd=12-2Q, dan fungsi penawaran Ps=3+Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila pajak t = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan

a. Titik keseimbangan sebelum pajak b. Titik keseimbangan setelah pajak

c. Gambar grafik, dan tentukan pajak yang ditanggung produsen dan konsumen

5. Diketahui fungsi permintaan suatu barang P=10-0.5Q, dan fungsi penawaran P=4 + 2Q, dengan P adalah harga dan Q adalah kuantitas. Apabila

subsidi s = 2 untuk setiap Q yang terjual, tentukan a. Titik keseimbangan sebelum subsidi

b. Titik keseimbangan setelah subsidi

c. Gambar grafik, dan tentukan subsidi yang dinikmati produsen dan konsumen

6. Cari titik keseimbangan fungsi

permintaan berikut : 2P=34-3Q dan fungsi penawaran

Q = 2P-2 dalam (Q ; P), dan gambar grafik

7. Jika fungsi permintaan 3P + 2Q = 27 cari jumlah penerimaan R maksimum, jika

R = PQ, Gambar fungsi permintaan Qd dan R

PENDAHULUAN

• Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu

urutan dan aturan tertentu.

Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut dikatakan suku dari barisan.

• Perubahan teratur dari suku-suku secara berurutan tersebut ditentukan oleh suatu ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.

BARISAN ARITHMATIKA DAN GEOMETRI

• Apabila barisan bilangan mempunyai

tambahan bilangan yang besarannya tetap untuk dua suku berurutan, maka disebut

barisan arithmatika, sedangkan untuk

barisan yang mempunyai kelipatan

bilangan tetap antara dua suku berurutan disebut barisan geometri.

FINITE DAN INFINITE

• Berdasarkan banyaknya suku dari barisan, maka barisan dapat dibagi

menjadi dua jenis yaitu; barisan tertentu (finite) adalah barisan yang

suku-sukunya terbatas, dan barisan tak tentu (infinite) adalah barisan yang

DERET

Deret (series) adalah jumlahan suku-suku

dalam barisan, sehingga dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu deret arithmatika

(deret hitung) dan deret geometri (deret ukur). Dari banyak suku, deret geometri juga

digolongkan manjadi deret geometri hingga (finite geometric series) dan deret geometri tak-hingga (infinite geometric series).

BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA

Barisan arithmatika adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut urutan tertentu, misalnya :

2, 4, 6, 8, 10, …..

Tiap suku pada barisan di atas mempunyai beda yang sama dengan suku sebelumnya, yaitu sebesar 2. Hubungan bilangan pada suku barisan dengan suku

pertama dapat dijelaskan sebagai berikut : U1 = 2

U2 = 2 + 2 = U1 + 1.2=4

U3 = U2 + 2 = U1 + 2 + 2 = U1 + 2(2) = 6 U4 = U3+2=U1+3(2)=8

BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA

Seterusnya dapat ditentukan suku ke i+1 adalah suku ke i ditambah 2, yaitu U_i+1 = Ui + 2 . Terlihat bahwa beda antara dua suku berurutan adalah sama (konstan). Barisan seperti ini disebut barisan arithmatika. Secara umum apabila setiap suku barisan arithmetika dapat ditulis sebagai berikut :

U1, U2, U3, U4, U5, …..,Un maka hubungan yang dapat dijelaskan adalah;

U2 = U1 + b U3 = U1 + 2b U4 = U1 + 3b

. .

Un = U1 + (n-1)b, merupakan suku ke-n dengan b adalah beda antara dua suku berurutan.

BARISAN DAN DERET ARITHMATIKA

Penyelesaian; Suku pertama U1 = 7 dan beda b = 10-7 = 3. Dengan menggunakan rumus Un = U1 + (n-1)b, maka;

U15 = 7 + (15-1)3 = 7 + 42

= 49.

Contoh 1. Tentukan suku ke-15 dari

barisan arithmatika;

• Contoh 2. Tentukan suku ke-20 dari barisan

arithmatika jika diketahui suku ke-5 = 17 dan suku ke-8= 26.

• Penyelesaian ;

Suku ke-5 = 17 ditulis U5 = 17 artinya 17 = U1 + 4b

Suku ke-8 = 26 ditulis U8 = 26 artinya 26 = U1 + 7b

• Jika kedua persamaan di atas diselesaikan diperoleh beda b = 3 dan suku pertama U1 = 5, sehingga suku ke-20 dari barisan ini adalah;

U20 = U1 + 19 b = 5 + 19(3) = 5 + 57

DERET ARITHMETIKA

Deret arithmetika adalah jumlah dari suku-suku dalam suatu barisan arithmatika, bentuk umumnya adalah;

S_n = U₁ + U₂ + U₃+ U₄ + U₅ + …………+ U_n, atau jika digunakan beda b dan suku pertama U₁,

Maka Sn dapat ditulis ;

S_n = U₁ + (U₁+b)+ (U₁+2b) +(U₁+3b) +(U₁+4b) +………+(U₁+(n-1)b)

Jika U₁ diganti dengan simbol a (sering digunakan), maka deret tersebut dapat ditulis ;

S_n = a + (a+b)+ (a+2b) +(a+3b) +(a+4b) +………+(a+(n-1)b)

Nilai dari S_n dapat ditentukan sebagai berikut ;

S_n = a +(a+b) + …+3)b)+ 2)b)+ (a+(n-1)b)