BAB 1 ANALISA SKALAR DANVEKTOR

1

BAB 1

ANALISA SKALAR DANVEKTOR

1.1 Skalar dan Vektor

Skalar merupakan besaran yang dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan nyata.

Simbul x, y, dan z yang digunakan merupakan scalar, dan besarnya juga dinyatakan dalam scalar. Vektor mempunyai besar dan arah dalam suatu ruangan.

1.2 Aljabar Vektor

Dua buah vector dapat dijumlahkan secara grafik dengan menggambarkan kedua vector tersebut dari titik asal yang sama kemudian melengkapkan gambar jajaran genjangnya, atau memulai menggambarkan vector kedua dari ujung vector pertama dan melengkapkan gambar segitiga. Seperti pada gambar 1.1 berikut.

Gambar 1.1 Penjumlahan 2 vektor secara grafis

1.3 Sistem Koordinat Cartesian

Bentuk Koordinat Kartesian diperlihatkan pada gambar 1.2 berikut

Gambar 1.2 Sistem Koordinat Cartesian

Bentuk aplikasi penempatan titik dalam koordinat kartesian diperlihatkan pada gambar 1.3 berikut.

2

Gambar 1.3 Penempatan titik pada koordinat kartesian

Contoh jika titik P berada pada koordinat (x_o,y_o,z_o) dan P’ berada pada (x1,y₁,z₁) maka dapat dianalisis jarak antara PP’, seperti pada Gambar 1.4 berikut.

Gambar 1.4 Penggambaran titik pada koordinat kartesian

1.4 Komponen Vektor dan Vektor Satuan

Analisis vector dan vector satuan, diperlihatkan pada Gambar 1.5 berikut.

3

Gambar 1.5 Vektor dan Vektor Satuan

Mengacu pada gambar 1.5 bagian c dihasilkan bentuk persamaan, maka besar vector Rpq

1.5 Perkalian Titik

Tinjau dua vektor A dan B, perkalian skalarnya atau perkalian titiknya didefinisikan sebagai perkalian besar A dan besar B dikalikan dengan kosinus sudut antara kedua vector.

Mencari komponen sebuah vektor dalam arah tertentu, seperti diperlihatkan pada gambar 1.6 berikut.

Gambar 1.6 Dua vector A dan B

Komponen skalar vektor B pada arah vektor a adalah B.a = |B|.|a|cos Ba = |B|.|a|cos

Ba

4 1.6 Perkalian Silang

Bentuk perkalian silang dapat diasumsikan gerak putar pada sebuah skrup seperti diperlihatkan pada gambar 1.7 berikut. Arah A x B ialah arah majunya sekrup putar kanan.

Gambar 1.7. Arah putar skrup

Contoh Soal:

1. Tunjukkan bahwa vektor yang ditarik dari M(x₁,y₁,z₁) ke N(x₂,y₂,z₂) spt gambar adalah (x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az. Koordinat M dan N dipakai untuk menuliskan kedaua vektor A dan B.

A = x1ax + y1ay + z1az

B = x₂a_x + y₂a_y + z₂a_z

Maka B – A = (x2-x1)ax + (y2-y1)ay + (z2-z1)az

2. Diketahui A = 2 ax + 4 ay – 3 az dan B = ax – ay, tentukan A.B dan AxB.

A.B = (2 ax + 4 ay – 3 az).(ax – ay)

= (2.1 ax.ax + 2.-1 ax.ay) + (4.1 ay.ax + 4.-1 ay.ay) + (-3.1 az.ax+3.1 az.ay)

=(2 + 0) + (0-4) + (0+0)

= -2

A B

B-A N(x2,y2,z2)

x M(x1,y1,zA 1)

y z

5 A x B =

= [(4)(0)-(-3)(-1)] ax+ [(-3)(1)-(2)(0)]ay + [(2)(-1)-(4)(1)az] = -3 ax - 3 ay - 6 az

3. Tentukan vektor satuan normal terhadap bidang yang terdapat dua vektor OA = 4 ax + 10 ay

OB = 4 ax + 5 az

OA x OB =

= 50 ax – 20 ay – 40 az

az y 40 a x 20 a 50

az y 40 a x 20 a 50 an







 

=

16 4 25

a 4 a 2 a

5 _{x y z}









= (5a 2a 4a ) 5

3 1

z y

x  

4. Vektor A ditarik dari titik (2,-4,1) ke titik (0,0,-2) dalam koordinat kartesian dan satuan yang searah dengan A

A = (0-2) a_x + (-2+4)a_y + (0-1) a_z = -2 ax + 2 ay - az

A = (2)²(2)²(1)² aA =

A A

_{x y} a_x 3 a 1 3 a 2 3

2  





ax ay az

2 4 -3

1 -1 0

ax ay az

4 10 0

4 0 5

A (0,0,-2)

x (2,-4,1)

y z

6

(x,y,z)

(0,0,0)

4. Nyatakan vektor satuan dari suatu titik sembarang pada bidang dalam z =4 yang mengarah ke titik asal.

R = (0-x) a_x + (0-y) a_y + (0-4) a_z

R

a

_R

 R

=

2 2

2

z y x

) 4 ( ) y ( ) x (

a 4 ya xa

















1.7 Sistem Koordinat Tabung

Bentuk koordinat tabung diperlihatkan pada gambar 1.8 berikut. Ketiga bidang saling tegak lurus dalam koordinat tabung

Gambar 1.8 Bentuk koordinat tabung

Volume diferensial dalam koordinat tabung, dimana , dz : dimensi panjang, d : bukan dimensi panjang, luas permukaan tiap sisi dd, ddz, ddz, dan volume

dddz

7 Contoh soal:

5. Nyatakan vektor satuan dari suatu sumbu kuadrat silinder (r,,0) yang mempunyai titik (0,0,5)

R = - rar + 5 az

R a_R  R

=

25 ) r (

a 5 ra

2 z r







Perubah dalam koordinat cartesian dan koordinat tabung dapat dihubungkan melalui persamaan yang dibentuk melalui gambar 1.9 berikut.

Gbr 1.9 Koordinat tabung

dan

Hubungan perkalian titik dan vector satuan dalam koordinat tabung dan koordinat kartesian, dapat dilakukan dengan pendekatan matrik berikut.

(0,0,5) )

(r,,o)

8

1.8 Sistem Koordinat Bola

Bentuk system koordinat bola diperlihatkan pada gambar 1.10 berikut.

Gambar 1.10 Bentuk system koordinat bola Transformasi skalar dr sistem koordinat bola dan Cartesian,

Sebagai dasar :

Contoh soal-soal latihan:

9

1

BAB 2

HUKUM COULOMB & INTENSITAS MEDAN LISTRIK

2.1 Hukum Eksperimental coulomb

Coulomb menyatakan bahwa gaya antara dua benda yang sangat kecil dalam vakum atau ruang hampa yang terpisah pada jarak yang besar dibandingkan dengan ukurannya, berbanding lurus dengan muatan masing-masing benda tersebut dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat. Seperti diperlihatkan pada gambar 2.1 berikut.

Gambar 2.1 Dua buah muatan menpunyai jarak

Sehingga dapat ditulis dengan persamaan, Gaya Coulomb ¹ ₂²

, R

Q k Q F 

k = konstanta, 4 0

1





k



₀ 8.854x10^12

m x10 ⁹ F 36

1 _

 (permitivitas ruang hampa)

2

2 1

4 R

Q F Q



O



^{Dimana :} Q = muatan [C]

R = jarak antara muatan [m]

k = konstanta [SI]

F = gaya [N]

Contoh Soal:

Carilah gaya pada muatan 2 (F₂) dengan meninjau adanya muatan 1 sebesar 3x10^-4 C pada titik P(1,2,3) dan muatan 2 sebesar -10^-4 C pada titik Q(2,0,5). Penyelesainnya:

Q

1 R

Q

2

2 2.2 Intensitas Medan Listrik.

Muatan Q_t yang digerakkan mengelilingi Q₁ akan selalu timbul gaya yang bertumpu pada Qt, sehingga pada muatan Qt ini menunjukkan adanya suatu medan gaya. Gaya yang bertumpu pada Qt dinyatakan dengan hukum Coulomb:

Q1

Besaran pada ruas kanan hanya merupakan fungsi dari Q₁ dan segmen garis yang arahnya dari Q₁ ke kedudukan muatan uji. Hal ini menggambarkan sebuah medan vektor yang disebut dengan intensitas medan listrik. Intensitas Medan Listrik didefinisikan sebagai: gaya vektor yang bertumpu pada suatu satuan muatan uji yang positif.

Intensitaas medan listrik = Gaya vektor yang bertumpu pada satuan muatan positif





 C

N Q E F

t

t

coulomb meter Newton

Coulomb Joule

Volt 





 

 

 

 

 

 m

V C

N Coulomb

Newton meter

Volt

^t

t t

t

a

R Q F Q

_{2 1}

1 0 1

4 



^t

t t

t

a

R Q Q

F

2 1 1 0

1

.

4 



Medan vektor = intensitas medan listrik

Q

_t

Q

₁

3

r

1

1

r

₂

1 r-r

1

r

r-r

2

Q

1

Q

2

Q

3

Q

N

R1

R2

R3

RN

P aR1

aR2

a_R3 aRN

2.3 Medan dari n Muatan Titik

Untuk n buah titik -  jumlah gaya masing-masing muatan pada titik yang ditinjau

  m

m m n

m

r

a

r r

E Q

₂

1

4

0



 





2.4 Medan Distribusi Muatan Volume Malar Kerapatan muatan dari suatu distribusi kontinu

 ^ 





 





vol vol

v

dv dQ

Q

V P Q



0

lim

 

' ' ' 2

0 ' '

4 r r

r r r r

dv r E P

vol





  _ 

2.5 Medan Muatan Garis Muatan garis :

a. Asumsi gerak elektron lambat

b. Elektron statis kerapatan muatan/ satuan panjang konstan

c. Intensitas yang ditimbulkan dalam muatan garis dari - ke +  adalah sebagai berikut:

Q

1

Q

2

z

x

y E

1

E

2

E

1

+E

22

4

z

z

y

L R

 dQ=

L

d

L

P

dE

_z

dE

dE





Sifat kesimetrisan :

 terhadap koordinasi mana medan tidak berubah

 komponen medan madan yang tidak muncul

 bergerak dengan  & z  komponen  tidak berubah

 bergerak dengan  &  tetap  komponen z tidak berubah

 bergerak  & z tetap  medan berubah terhadap 

 tidak ada unsur yang membuat adanya komponen   E=nol

 setiap muatan menghasilkan E_ dan Ez, sedang Ez untuk -   Z  

saling meniadakan  Ez=0 L

L

Q

d

d  

3 2

2

4 4

4

sin

R d R

y R dL R

dE d

O L L O

L O

L L















 _{ }



2 2 2

 L  

R

5

P(x,0,0)

y

y x

z



s

d

y



 ^  ^

 



L

L E dL

O

L

;

4

^{2 2 32}

~

~

 







 _{cat }

~

~ 2 2 2

1

4  







 





 

 

 





L

E L

O L









O

E

L

 2

2.6 Muatan Bidang

Kerapatan muatan bidang = ^{S }

 

^c_m²

Bidang muatan pada bidang y z, dan titik yang ditinjau pada sumbu x

R²  L²²

Pendekatan seperti muatan garis yang panjang yang mempunyai beban kecil (pipih) yang banyak

_L= _S dy

Komponen yang ada hanya Ex, Karena Ey dan Ez saling menghilangkan



^{2 2}



2 0 2

0

cos 2

2 x y

xdy y

x

dE

_X ^S

dy

^S

 

 



 





6 dQ=SdS







L

L R L

R O

R d E a

R a dE dQ

2 0

2

4 4







R P L

dQ=_Ld_L





S

S R

S

d

R

E a

₂

4 

0 dQ=LdL



R P

S

S

R





V

V

R

d

R

E a

₂

4 

0



~ 1 ~

0 2

2

~ 0 ~

2 tan

2

_









^S

 

^{S xy}

X

x y

E xdy









O X S

E 



 2

_{X 0}

O X S

E 



 2



N O

X S

a

E 



 2

aN = Vektor satuan medan yang arahnya keluar dari bidang

2.7 MEDAN AKIBAT DISTRIBUSI MUATAN

 Muatan garis

 Muatan permukaan/lembaran

 Muatan Ruang

7

_S dQ=d_