Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI
Institut Teknologi Sepuluh Nopember
TE 091467 Teknik Numerik Sistem Linear
Operator Linear
Trihastuti Agustinah
O U T L I N E
2. Teori 3. Contoh
4. Simpulan 5. Latihan 1. Objektif
Mahasiswa mampu:
1) menggunakan transformasi linear menggunakan operator linear untuk suatu vektor
2) menggambarkan operator linear untuk vektor dalam representasi geometri dalam R
2dan R
3Contoh Simpulan Latihan
Objektif Teori
Tujuan Pembelajaran
Operator linear digunakan untuk memetakan vektor atau titik ke dalam vektor atau titik yang lain. Beberapa operator linear yang dibahas dalam
objek pembelajaran ini adalah refleksi, proyeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi, dan rotasi.
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Pendahuluan
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Operator Refleksi
Misal operator T: R
2 → R2memetakan vektor ke image simetris pada sumbu-y
Hubungan antara komponen x dan w
y x
x
w1 = − = − + 0 y x
y
w2 = = 0 +
= −
y x w
w
1 0
0 1
2
1Matriks standar T:
= −
1 0
0 ] 1
[T
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Refleksi pada sumbu–y
Operator refleksi: memetakan vektor ke dalam image simetrisnya pada garis atau bidang
(x, y) (-x, y)
w=T(x) x
x y
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Refleksi pada sumbu/garis
Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar
Refleksi pada sumbu-y
Refleksi pada sumbu-x
Refleksi pada garis y=x
(x, y) (-x, y)
w=T(x) x
x y
−
1 0
0 x 1
w1 = − y w2 =
x w1 =
y w2 = −
y w1 =
x w2 =
−1 0
0 1
0 1
1 0
(x, y)
(x, -y) x
w=T(x)
x y
(x, y) (y, x)
w=T(x) x x
y y= x
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Refleksi pada bidang
Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar
Refleksi pada bidang-xy
w1 = x w2 = y w3 = – z
Refleksi pada bidang-xz
w1 = x w2 = – y w3 = z
Refleksi pada bidang-yz
w1 = – x w2 = y w3 = z
(x, y, z)
(x, y, -z) x
x w
y z
(x, y, z) (x, -y, z)
w x
x
y z
(x, y, z) (-x, y, z)
x w
x
y z
−1 0
0
0 1 0
0 0 1
− 1 0 0
0 1 0
0 0 1
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Operator Proyeksi
Operator T: R
2 → R2memetakan vektor ke dalam proyeksi ortogonalnya pada sumbu-x
y x
x
w1 = = + 0 y x
w2 = 0 = 0 + 0
=
y x w
w
0 0
0 1
2 1
=
0 0
0 ] 1
Matriks standar T:
[THubungan antara komponen x dan w
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Proyeksi Ortogonal pada sumbu–x
Operator proyeksi: memetakan vektor ke dalam
proyeksi ortogonalnya pada garis atau bidang melalui origin
y
x (x, y)
(x, 0) x
w
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Proyeksi Ortogonal pada sumbu
Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar
Proyeksi
ortogonal pada sumbu-x
w1 = x w2 = 0
Proyeksi
ortogonal pada sumbu-y
w1 = 0 w2 = y (x, y)
(x, 0) x
w
x y
(x, y)
w x x
y (0, y)
0 0
0 1
1 0
0 0
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Proyeksi Ortogonal pada bidang
Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar
Proyeksi ortogonal pada bidang-xy
w1 = x w2 = y w3 = 0
Proyeksi ortogonal pada bidang-xz
w1 = x w2 = 0 w3 = z
Proyeksi ortogonal pada bidang-yz
w1 = 0 w2 = y w3 = z
(x, y, z)
(x, y, 0) x
x w
y z
(x, y, z) (x, 0, z)
w x
x
y z
(x, y, z) (0, y, z) x
w
x
y z
0 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 0 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Operator Rotasi
Rotasi vektor pada R
2sebesar sudut θ
Sudut rotasi positif:
berlawanan dengan jarum jamθ φ r
r x=(x, y)
w=(w1, w2)
x y
φ cos r
x = y = r sinφ
)
1 = r cos(θ +φ w
)
2 = rsin(θ +φ w
Hubungan antara x dan w:
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Operator Rotasi
Komponen vektor w
Operator rotasi:
θ θ sin
1 xcos y
w = −
θ θ cos
2 xsin y
w = +
−
= θ θ
θ θ
cos sin
sin ] cos
[T
φ θ
φ
θ cos sin sin
1 rcos r
w = −
φ θ
φ
θ cos cos sin
2 r sin r
w = +
Identitas trigonometri:
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Operator Kontraksi dan Dilasi
Operator T(x) = kx dengan k tidak negatif
T(x)=kx
x x
T(x)=kx
Kontraksi (0 ≤ k < 1) Dilasi (k > 1)
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Operator Kontraksi dan Dilasi
Operator Ilustrasi Persamaan Matriks standar
Kontraksi sebesar k pada R2 (0 ≤ k < 1)
w1 = kx w2 = ky
Dilasi sebesar faktor k pada R2
(k > 1)
w1 = kx w2 = ky x
w
y (kx, ky)
(x, y) x (x, y) x
w
x y
(kx, ky)
k k
0
0
Contoh 1
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Komposisi Transformasi Linear
Transformasi linear dari TA: Rn → Rk dan TB: Rk → Rm
Komposisi dari TB dengan TA
TA diikuti TB : transformasi dari Rn ke Rm
Notasi TB ○TA
TB(TA(x))=(TB○TA)(x) TB○TA
TB TA
Rn Rk Rm
x
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Representasi Komposisi
Komposisi dari rotasi sebesar θ1 dan θ2
berlawanan jarum jam (T2○T1)(x)= T2(T1(x))
θ 1
θ 2 x
T2(T1(x))
x y
θ 1+θ2
T1(x)
x T1(x)
T2(T1(x)) y=x
x
Komposisi dari refleksi y
pada garis y=x diikuti proyeksi ortogonal pada sumbu-y
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Komposisi: tidak komutatif
Komposisi dari refleksi pada garis (T1(x)) dan proyeksi ortogonal (T2(x))
x T1(x)
T2(T1(x))
y=x
x y
x y=x
T1(T2(x))
T2(x) x
y
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Komposisi: komutatif
Komposisi dari refleksi pada sumbu-x dan sumbu-y
x
T2(x) T1(T2(x))
(-x,- y) (x,-y)
(x,y) x y
(x,y) (-x,y)
(-x,- y)
x T1(x)
T2(T1(x))
x y
Contoh 2
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Interpretasi geometris dari eigenvektor
T: operator linear; A: matriks standar; x: vektor
T(x) =
λ x
A x =λ x
Eigenvektor untuk eigenvalue terkait Eigenvalue
Perkalian dengan A memetakan x ke dalam perkalian skalar terhadap dirinya
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Interpretasi geometris dari eigenvektor
Contoh 3
Perkalian dengan A di R2 dan R3 memetakan eigenvektor x ke dalam vektor yang segaris dengan x
λx x
λx x
λx x
λx x
-1≤λ≤0 λ≥1
0≤λ≤1 λ≤-1
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1
Dapatkan image dari
a) vektor (-1, 2) bila dilakukan refleksi terhadap garis y=x b) vektor (2,3,3) bila direfleksikan pada bidang–xz
c) vektor (3, -4) bila di rotasi sebesar 90°
d) vektor (2,-1,3) bila dilakukan proyeksi ortogonal pada bidang –yz
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1
a) Vektor image dari vektor x=(-1, 2) bila dilakukan refleksi terhadap garis y=x
= −
−
=
= 1
2 2
1 0
1
1 ) 0
(x w T
(-1, 2)
(2, -1) x
w=T(x)
x
y y = x
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1
b) Vektor image dari vektor x=(2,3,3) bila direfleksikan pada bidang–xz
−
=
−
=
=
3 3 2
3 3 2
1 0
0
0 1 0
0 0
1 )
(x w T
(2, 3, 3) x
w
x
y z
(2, -3, 3)
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1
c) Vektor image dari vektor x=(3,-4) bila di rotasi sebesar 90°
−
−
=
= 4
3 90
cos 90
sin
90 sin 90
) cos (x w T
(4, 3)
(3, -4) x
w
x y
=
−
−
= 3
4 4
3 0
1
1 0
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 1
d) Vektor image dari vektor x=(2, -1,3) bila dilakukan proyeksi ortogonal pada bidang –yz
−
=
−
=
=
3 1 0
3 1 2
1 0
0
0 1 0
0 0
0 )
(x w T
(0, -1, 3)
x
w
x
y z
(2, -1, 3)
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 2
a) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisi proyeksi ortogonal pada sumbu-y diikuti kontraksi dengan faktor k=½
Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri
b) Dapatkan matriks standar untuk komposisi dari operator linear pada R3: refleksi pada bidang –xy, diikuti proyeksi ortogonal pada bidang –xz
Buktikan apakah komposisi tersebut komutatif serta berikan contoh secara geometri
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 2
a) T1: proyeksi ortogonal pada sumbu-y
T2: kontraksi dengan faktor k=½ = 0 1 0 0
T1
=
2 1 2 1
2 0
T 0
=
=
2 1 2
1 2 1 1
2 0
0 0 1
0 0 0 0
T 0
T
=
=
2 1 2
1 2 1 2
1 0
0 0 0
0 1
0 0 T 0
T
(2, 2) T1(x)
x y
T2(T1(x))
=
=
1 0 2
2 0
0 ) 0
(
2 1 1
2T x T
(2, 2)
T2(x) x y
T1(T2(x))
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 2
b) T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada
bidang –xz
−
=
1 0
0
0 1
0
0 0
1 T1
=
1 0 0
0 0 0
0 0 1 T2
(2, 4, 3) x
x
y z
(2, 4,-3)
(2, 0,-3)
T2(T1(x))
−
=
−
=
1 0
0
0 0 0
0 0 1 1
0 0
0 1 0
0 0 1 1 0 0
0 0 0
0 0 1
1
2 T
T
−
=
−
=
3 0 2 3
4 2 1 0
0
0 0
0
0 0
1 ))
( ( 1
2 T x
T
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 2
(2, 4, 3) x
x
y z
(2, 0, 3) T2(x)
(2, 0,-3)
T1(T2(x))
b) T1 : refleksi pada bidang –xy, T2 : proyeksi ortogonal pada
bidang –xz
−
=
1 0
0
0 1
0
0 0
1 T1
=
1 0 0
0 0 0
0 0 1 T2
−
=
−
=
1 0
0
0 0 0
0 0 1 1
0 0
0 0 0
0 0 1 1 0
0
0 1 0
0 0 1
2
1 T
T
−
=
−
=
3 0 2 3
4 2 1 0
0
0 0
0
0 0
1 ))
( ( 2
1 T x
T
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 3
T: R3
→R
3adalah operator proyeksi ortogonal pada bidang –xy
Vektor x pada aksis- z dipetakan ke dalam 0 oleh T
vektor tak-nol pada aksis-z: vektor eigen yang berkaitan dengan eigenvalue λ=0
Buktikan bahwa:
Vektor pada bidang –xy dipetakan ke dalam dirinya oleh T
vektor tak-nol dalam bidang –xy : vektor eigen yang berkaitan dengan eigenvalue λ =1
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 3
Matriks standar untuk T
=
0 0
0
0 1
0
0 0
1 A
0 )
1 (
0 0
0 1 0
0 0
1 )
det( − = − 2 =
−
=
−
λ λ
λ λ
λ λ
I APersamaan karakteristik A
Eigenvalue: λ=0 dan λ=1
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 3
Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=0
=
−
−
0 0 0
0 0
0 1 0
0 0
1
3 2 1
x x x
λ
λ λ
=
−
−
0 0 0
0 0
0
0 1 0
0 0
1
3 2 1
x x x
=
=
t x
x x
0 0
3 2 1
x
Vektor x terletak pada aksis-z Solusi: x1=0; x2=0 ; x3=t
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Contoh 3
Eigenvektor matriks A berkaitan dengan eigenvalue λ=1
=
0 0 0
1 0 0
0 0 0
0 0
0
3 2 1
x x x
=
=
3 0
2 1
t s
x x x x
=
−
−
0 0 0
0 0
0 1 0
0 0
1
3 2 1
x x x
λ
λ λ
Solusi: x1=s; x2=t; x3=0
Vektor x terletak pada bidang-xy
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Operator Linear
1) Refleksi, proyeksi ortogonal, kontraksi dan dilasi, rotasi merupakan operator linear
3) Komposisi dari transformasi linear dari TA: Rn → Rk diikuti dengan TB: Rk → Rm dinotasikan TB ○TA
2) Bergantung pada operator yang digunakan, komposisi dapat bersifat komutatif atau tidak komutatif
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
Soal Latihan
, .
2) Buktikan bahwa
1) Dapatkan matriks standar pada R2 untuk komposisi:
rotasi sebesar 90° diikuti refleksi pada garis y=x
Objektif Teori Contoh Simpulan Latihan
