SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DARI SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN. LIA YULIAWATI. SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011.

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen adalah karya saya dengan arahan dari pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal dari atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.. Bogor, Mei 2011 Lia Yuliawati NIM G551090401.

ABSTRACT LIA YULIAWATI. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of an Intensity Function as a Product of a Periodic Function with a Linear Trend of a Non-Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI. In this thesis, estimation for periodic component of an intensity function as a product of a periodic function with a linear trend of a non-homogeneous Poisson process by using general kernel is discussed. It is considered the worst case, where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity in the form of a periodic function multiplied by a linear trend, observed in an interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. An estimator has been constructed for the periodic component of the intensity function as a product of a periodic function with a linear trend of a Poisson process. Statistical properties of this estimator are also formulated. Finally, asymptotic normality of the estimator is also given. Keywords: periodic Poisson process, linear trend, kernel function..

RINGKASAN LIA YULIAWATI. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI. Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan dapat dijelaskan dengan proses stokastik. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, salah satunya proses kedatangan pengguna (intensitas) line telepon pada suatu interval waktu tertentu. Jika laju dari intensitas penggunaan telepon pada suatu interval waktu meningkat berdasarkan suatu tren maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren. Pada tulisan ini dibahas suatu kasus khusus fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan suatu proses stokastik, fungsi intensitas dari proses umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dikaji perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh. Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval
0, ∞dengan fungsi intensitas  yang tidak diketahui. Fungsi intensitas  diasumsikan sebuah fungsi periodik dikalikan tren linear. Dengan kata lain, untuk sembarang titik  ∈
0, ∞, fungsi intensitas  dapat dituliskan sebagai   ∗

 , 1 Dimana ∗

 adalah fungsi periodik dengan periode  (diketahui) dan a adalah kemiringan dari tren linear. Dalam bahasan ini tidak diasumsikan suatu bentuk parametrik dari ∗

kecuali bahwa adalah fungsi periodik. Karena  bernilai taknegatif, proses Poisson yang dikaji bukan pada , melainkan pada interval
0, ∞. Dengan alasan yang sama pada pembahasan ini dibahas hanya untuk kasus a> 0. Karena ∗

 adalah fungsi periodik dengan periode  maka tanpa menghilangkan keumumannya, fungsi intensitas  dapat dituliskan sebagai berikut   

 , 2 ∗ dimana 

 

. Sehingga untuk setiap titik  ∈
0, ∞ dan semua  ∈  dengan  adalah himpunan bilangan bulat, diperoleh 

 

  , 3 Misalkan untuk suatu  ∈ Ω, hanya ada sebuah realisasi   dari proses Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω,F,P) dengan fungsi intensitas seperti pada (2) yang diamati pada interval terbatas
0,  ∈
0, ∞ ..

iii. Karena 

adalah fungsi periodik dengan periode , maka masalah menduga 

pada titik s dengan  ∈
0, ∞ dapat direduksi menjadi masalah menduga 

pada titik s dengan  ∈
0, . Penduga tipe kernel bagi 

pada titik  ∈
0,  adalah: ,  1 ' (    $ %& 

, ,!  " )  *'   #    + # -.+. dengan n adalah panjang interval pengamatan, K adalah suatu kernel, # adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu # ↓ 0 untuk  → ∞. Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dengan syarat fungsi intensitas  terintegralkan lokal, 

mempunyai turunan kedua 11

yang bernilai terhingga di s, K adalah suatu kernel, # ↓ 0, # 2 → ∞, # ln2 → ∞, untuk  → ∞, diperoleh 7/2 bahwa 

, ,!  menyebar normal asimtotik. Jika 2 # 5 ln67  → 0 maka 9. 2 # ln67 : ;

,. ,! . =. ( 

< → Normal 0, C 2 . 7. 7/2. untuk  → ∞, dengan C 2  2 

 D67 % 2 E*E. Jika 2 # 5 ln67  maka 9 = 2 # ln67 : 

, ,!  ( 

 → Normal F, C 2  untuk  → ∞, dengan F. GH " J 2. 7. 7. D67 E 2 % E*E dan C 2  2 

 D67 % 2 E*E.. Kata kunci: proses Poisson periodik, tren linear, fungsi kernel.. →1.

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh Karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin Institut Pertanian Bogor..

SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN LINEAR DARI SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN. LIA YULIAWATI. Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan. SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011.

Judul Tesis : Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen Nama : Lia Yuliawati NIM : G551090401. Disetujui Komisi Pembimbing. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M. Sc. Ketua. Drs. Siswandi, M.Si. Anggota. Diketahui. Ketua Program Studi Matematika Terapan. Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.. Tanggal Ujian :. Dekan Sekolah Pascasarjana IPB. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.. Tanggal Lulus :.

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr.Ir. Hadi Sumarno, M.S..

PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas segala rahmat dan inayah dari-Nya sehingga tesis yang berjudul Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Linear dari Suatu Proses Poisson Non-Homogen dapat diselesaikan untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam penyelesaian studi pada Program Pascasarjana Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Wayan Mangku dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku pembimbing, serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. yang telah banyak memberikan saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ibu, ayah, suami, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya tulis ini bermanfaat. Bogor, Mei 2011 Lia Yuliawati.

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sumedang pada tanggal 3 Juli 1987 dari ayah Wasmana Hendrayana,S.Pd.SD. dan ibu Wanah, S.Pd.SD. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2004 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Tanjungsari Sumedang dan pada tahun yang sama pendidikan sarjana ditempuh di Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB, lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2009, penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan pada Program Pascasarjana IPB dan menamatkannya pada tahun 2011. Penulis bekerja sebagai pengajar di Program Diploma IPB sejak tahun 2008. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Proses Stokastik pada tahun ajaran 2010/2011..

DAFTAR ISI Halaman 1. PENDAHULUAN ...................................................................................... 1 1.1 Latar belakang ...................................................................................... 1 1.2 Tujuan .................................................................................................. 2. 2. TINJAUAN PUSTAKA ............................................................................. 3 2.1 Proses Poisson Periodik ........................................................................ 3 2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ........................... 5. 3. 4. REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK ................................................................................................. 8 3.1 Perumusan Penduga .............................................................................. 8 3.2 Sifat-sifat Statistik KLM,N,O P ................................................................ 10. 5. KESIMPULAN ........................................................................................ 29. SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK ............ 15 4.1 Sebaran Asimtotik KLM,N,O P ................................................................ 15. DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 30 LAMPIRAN .................................................................................................... 32.

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat pelayanan (bank, kantor pos, supermarket, tempat rekreasi dan sebagainya). Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik, diantaranya dalam bidang komunikasi, meteorologi dan asuransi. Sebagai contoh dalam bidang komunikasi, untuk menentukan tarif maupun berbagai kebijakan pelayanan lainnya bagi suatu perusahaan komunikasi, dapat ditentukan dengan mengetahui banyaknya pengguna (intensitas) line telepon pada setiap waktu. Intensitas telepon yang digunakan oleh pelanggan pada suatu interval waktu tertentu dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik. Jika laju dari intensitas penggunaan telepon pada suatu interval waktu meningkat berdasarkan suatu tren maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu komponen tren. Pada tulisan ini dibahas suatu kasus khusus fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear. Pada umumnya, fungsi intensitas dari suatu fenomena yang dimodelkan dengan suatu proses stokastik adalah tidak diketahui, sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dikaji perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan komponen tren linear, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh..

2. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk: 1.. Mempelajari perumusan penduga komponen periodik fungsi intensitas proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren linear dengan menggunakan fungsi kernel umum.. 2.. Mengkaji pendekatan asimtotik dari bias penduga.. 3.. Mengkaji pendekatan asimtotik dari ragam penduga.. 4.. Menentukan sebaran asimtotik dari penduga..

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 (Proses stokastik) Proses stokastik Q RQ S, S ∈ TU adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang stateS.. (Ross 1996). Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks T , Q S adalah suatu peubah. acak. Setiap t pada himpunan indeks T juga sering diinterpretasikan sebagai waktu, dan Q S sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t.. Suatu proses stokastik Q disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika. himpunan indeks T adalah himpunan tercacah, sedangkan Q disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. Definisi 2.2 ( Inkremen bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu RQ S, S ∈ TU disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua S+ V S7 V S2 V ⋯ V S , peubah acak Q S7  ( Q S+ , Q S2  ( Q S7 , … , Q S  ( Q S. 67 . adalah bebas.. (Ross 1996). Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu Q disebut. memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.. Definisi 2.3 (Inkremen stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu RQ S, S ∈ TU disebut memiliki inkremen stasioner jika Q S   ( Q S memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t.. (Ross 1996) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu Q disebut. memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara.

4. sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut.. Definisi 2.4 (Proses pencacahan) Suatu proses stokastik R S, S Y 0U disebut proses pencacahan jika  S menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.. Suatu proses pencacahan  S harus memenuhi syarat-syarat berikut:. (i). (ii).  S Y 0untuk semua S ∈
0, ∞.. Nilai  S adalah integer.. (iii) Jika  V S maka   Z  S, , S ∈
0, ∞.. (iv) Untuk  V S maka  S (   , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang , S.. (Ross 1996). Definisi 2.5 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan R S, S Y 0U disebut proses Poisson dengan laju  ,.  [ 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i). (ii).  0 0.. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan S.. Jadi untuk semua , S [ 0,. \  S    (     . ] 6G^ S,  0, 1, 2, … !. (Ross 1996). Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Proses Poisson dengan laju  yang merupakan konstanta untuk semua. waktu t disebut proses Poisson homogen. Jika laju  bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu,  S, maka disebut proses Poisson tak homogen. Untuk kasus ini,  S disebut fungsi intensitas dari proses tersebut..

5. Definisi 2.6 (Fungsi periodik) Suatu fungsi  disebut periodik jika.      . untuk semua  ∈  dan  ∈ . Konstanta terkecil  yang memenuhi persamaan di. atas disebut periode dari fungsi  tersebut.. (Browder 1996). Definisi 2.7 (Proses Poisson periodik) Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001). 2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan # adalah barisan bilangan real positif. yang konvergen menuju nol, # ↓ 0,  → ∞ dan. 
0, S adalah banyaknya kejadian yang terjadi pada
0, S , maka fungsi intensitas lokal di titik s dapat didekati dengan. 7. 2`a. 
 ( # ,   # .. Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam selang
0,  . Secara metematis penduga bagi fungsi intensitas 7. global pada
0,  dapat dinyatakan dengan 
0, .. Pada proses Poisson periodik, ada beberapa metode nonparametric untuk. menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, diantaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor.

6. estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode  (diketahui) (Helmers dan Mangku 2000). Selain itu, pembuktian kekonsistenan penduga fungsi intensitas. lokal menggunakan metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain yaitu dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global b pada proses Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000).. Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan mengenai algoritma dalam menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999). Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers, et al. (2003) dan sifat-sifat statistiknya telah dikaji pada Helmers, et al. (2005). Adapun untuk periode yang diketahui telah dilakukan kajian tentang perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a) dan pembuktian asymptotic normality dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b). Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers, et al., 2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku (2005)..

7. Perumusan penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren linear beserta sifat-sifat statistiknya telah dikaji pada Mangku (2011)..

BAB 3 REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 3.1 Perumusan Penduga Misalkan N adalah proses Poisson non-homogen pada interval
0, ∞. dengan fungsi intensitas  yang tidak diketahui. Fungsi intensitas  diasumsikan. sebuah fungsi periodik dikalikan tren linear. Dengan kata lain, untuk sembarang titik  ∈
0, ∞, fungsi intensitas  dapat dituliskan sebagai.   ∗

 , 3.1. dimana ∗

 adalah fungsi periodik dengan periode  (diketahui) dan a adalah. kemiringan dari tren linear. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik. dari ∗

kecuali bahwa adalah fungsi periodik. Dalam pembahasan ini dikaji proses. Poisson pada interval
0, ∞, bukan pada , karena  bernilai taknegatif. Dengan. alasan yang sama pada pembahasan ini dibatasi untuk kasus a > 0.. Karena ∗

 adalah fungsi periodik dengan periode  maka tanpa. menghilangkan keumumannya, fungsi intensitas  dapat dituliskan sebagai berikut.   

 , 3.2. dimana 

 ∗

. Sehingga untuk setiap titik  ∈
0, ∞ dan semua  ∈ . dengan  adalah himpunan bilangan bulat, diperoleh. 

 

  , 3.3. Misalkan untuk suatu  ∈ Ω, hanya ada sebuah realisasi   dari proses. Poisson N yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω,F,P) dengan fungsi intensitas seperti pada (3.2) yang diamati pada interval terbatas
0,  ∈
0, ∞. Diasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari  yaitu. (lihat Definisi. 1 ` $ |   '  (  |*' 0, 3.4 `→+ 2# 6` lim. A.26 pada lampiran) dan s juga diasumsikan sebagai titik. Lebesgue dari 

.. Misalkan %:  →  adalah suatu fungsi bernilai real, disebut kernel, jika. memenuhi sifat-sifat berikut:.

9. (K.1) K merupakan fungsi kepekatan peluang. (K.2) K terbatas. (K.3) K memiliki daerah definisi pada
(1,1.. Misalkan pula # adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju. nol, yaitu. # ↓ 0 3.5. untuk  → ∞. Dengan notasi di atas, dapat didefinisikan penduga bagi 

pada titik  ∈
0,  sebagai berikut: 

,. ,.  1 ' (    $ %& " )  *' . 3.6 ,! .  #    + # -.+. Ide dibalik penyusunan penduga tipe kernel 

,. ,!  untuk 

. dapat. dijelaskan seperti berikut: Dari (3.2) masalah pendugaan  untuk sebuah titik.  ∈
0, ∞ dapat direduksi menjadi masalah pendugaan 

untuk titik  ∈
0, .. Karena hanya ada satu realisasi dari proses Poisson N, kita memiliki informasi mengenai nilai 

 (tidak diketahui) pada interval
0, . Untuk itu asumsi (3.3). memegang peranan sangat penting untuk proses penyusunan penduga. Misalkan   #R:    ∈
0, U j , 3.7  dimana # menyatakan banyaknya elemen. Oleh karena itu kita peroleh ,. 1 

 . " 

  ΙR   ∈
0, U  -.+ ,. 1    . " ΙR   ∈
0, U. 3.8     -.+. Karena diasumsikan # konvergen ke nol dan s merupakan titik Lebesgue dari . juga 

, maka ruas kanan persamaan di atas menjadi ,. Jn-on`a 1 1 1 $ j "  '  ΙR' ∈
0, U *'    2# Jn-o6`a  -.+ ,. 1 1. " p
   ( # ,     #  ∩
0,   2#    -.+ ,. 1 1 j " 
   ( # ,     #  ∩
0,   2#    -.+.

10. ,.  1 j " 
   ( # ,     #  ∩
0,  . 3.9  2#    -.+. dimana I menyatakan fungsi indikator. Oleh karena itu, dari (3.9) dapat ditulis 

,. ,.  1   " 
   ( # ,     #  ∩
0, , 3.10  2#    -.+. yang merupakan suatu penduga untuk 

 . Penduga 

,  dapat ditulis sebagai 

,. ,.  1 1   " $ Ι
67,7
   ( # ,     #  *'  .  #    + 2 -.+. Dengan mengganti fungsi. 7. Ι .  2
67,7. 3.11. pada (3.11) dengan fungsi kernel umum K,. maka diperoleh penduga pada (3.6). 3.2 Sifat-sifat Statistik KLM,N,O P. Teorema 3.1 (Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga) Misalkan fungsi intensitas  seperti (3.2), terintegralkan lokal dan 

mempunyai. turunan kedua 11

yang bernilai terhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan. memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan # memenuhi asumsi 3.5 dan # 2 → ∞, maka E

,. ,!  

 . untuk  → ∞.. 

"   2 7 2 # $ E % E*E  t # 2 , 3.12 2 67. Bukti:. Dari persamaan (3.6)diperoleh ,.  1 ' (    $ %& " ) u *' E

, ,!  . #    + # -.+. ,.  1 ' (    $ %&. " )  'I ' ∈
0,  *' .    w # # -.+. 3.13. Dengan penggantian peubah, misalkan: x ' (   , *x *'. Sehingga (3.13) dapat ditulis.

11. E

,. ,!  ,.  1 x $ % y z  x    I x     ∈
0, *x. 3.14. " #    # -.+. w. Karena fungsi intensitas  memenuhi (3.2), maka diperoleh. E

,. ,!  ,.  1 x $ % y z 

x     x    I x    . "    # # -.+. w. ∈
0, *x. ,. x      x $ % y z 

x    ". I x     ∈
0, *x . 3.15 # #    w. Dapat diperhatikan bahwa ,. ". -.+. -.+. x      I x     ∈
0,   { 1, 3.16    . untuk  → ∞, sehingga. E

,. ,!  . x   $ % y z 

x   &  { 1) *x #  # w. x 1 1 $ % y z 

x   *x  { y z, 3.17 # #  w. untuk  → ∞. Dengan penggantian peubah, misalkan: E. ruas kanan (3.17) menjadi. |. `a. , *E. }| `a. 1 1 1 $ % E

E#   *E#  { y z $ % E

E#   *E  { y z, #   w. w. untuk  → ∞.. Dengan menggunakan formula Young untuk deret Taylor diperoleh 

E#   

  

′ E#  

" . , maka. 3.18. E 2 # 2  t # 2  3.19 2!. untuk  → ∞. Dengan mensubstitusikan (3.19) pada suku pertama ruas kanan persamaan (3.18) diperoleh.

12. $ % E &

  

′ E#  

" . w. E 2 # 2  t # 2 ) *E 2!. $ % E

*E  $ % E

′ E# *E  $ % E

"  w. w. 7. w. 7. 7. E 2 # 2 *E  t # 2  2!. 

" # 2 $ E 2 % E*E  t # 2 ,. 

 $ % E*E  1

# $ E% E*E  2! 67. 67. 67. untuk  → ∞, karena asumsi (K.3).. 7. 3.20. Karena K adalah simetrik maka D67 E% E*E 0. Karena K memenuhi 7. (K.1) maka D67 % E*E 1. Akhirnya ruas kanan 3.20 dapat ditulis 7. 

" # 2 $ E 2 % E*E  t # 2 , 3.21 

   2! 67. untuk  → ∞. Dengan asumsi # 2 → ∞, suku kedua pada ruas kanan (3.18) adalah t # 2 . Sehingga persamaan di atas menjadi 7. 

" # 2 $ E 2 % E*E  t # 2 , 3.22 Ε

, ,!  

  2! 67. untuk  → ∞. Dengan demikian Teorema 3.1 terbukti.. Teorema 3.2 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga) Misalkan fungsi intensitas  seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K. memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), dan # memenuhi asumsi (3.5), maka 7.  2 

ln ln $ % 2 E*E  t y 2 z, 3.23 Var ;

, ,! <. 2  #  # 67. untuk  → ∞, asalkan s adalah titik Lebesgue dari 

. Bukti:. Ragam dari 

,. ,! . dapat diperoleh sebagai ,. 1 2 ' (    $ %& Var ;

, ,! < 2 2 Var " )  *' ‚.  #    + # -.+. 3.24.

13. Karena # ↓ 0, untuk nilai n yang besar dan  ƒ „ , interval
   ( # ,  .   #  dan
  „ ( # ,   „  #  tidak overlap sehingga untuk semua  ƒ „. Akibatnya peubah acak % ;. 6 Jn-o `a. <  *'  dan % ;. 6 Jn†o `a. bebas. Sehingga ruas kanan (3.24) dapat dihitung sebagai berikut. <  *' adalah. ,. 2 1 ' (    2 $ " % & ) Var  *'  2 # 2   2 + # -.+. ,. 2 1 ' (    2 $. 2 2 " % & ) E *'   #   2 + # -.+ ,. 2 1 ' (    $ %2 &. 2 2 " ) K ‡I ' ∈
0,  *' . 3.25 2  #    w # -.+. Dengan penggantian peubah, misalkan: x ' (   , *x *'. Sehingga (3.25) dapat ditulis ,. 1 x 2 $ % 2 y z  x    I x     ∈
0, *x " 2 2 2  #    w # -.+. ,. x     2 x. 2 2 $ % 2 y z 

x   " I x     ∈
0, *x.  # w #   2 -.+. Perhatikan bahwa ,. ". -.+. 3.26. x     I x     ∈
0,  ln  { 1, 3.27   2. untuk  → ∞. Karena K memenuhi (K.3) dan dengan mensubstitusikan (3.27) pada (3.26), maka diperoleh Var ;

,. ,! <. 7 2 x $ % 2 y z 

x   ln  { 1*x 2 2  # 67 #.  2 ln 7 2 x 1. 2 2 $ % y z 

x   *x  { y 2 z. 3.28  # 67 #  #. Karena s adalah titik Lebesgue 

dan dengan penggantian peubah, misalkan: E. |. `a. , *E. }| `a. , akhirnya diperoleh 7.  2 

ln ln 2  .  $ Var ;

, ,!  <. % E *E  t y z, 3.29 2 # 2 # 67.

14. untuk  → ∞. Dengan demikian Teorema 3.2 terbukti. Teorema 3.3 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga) Misalkan fungsi intensitas  adalah periodik, terintegralkan lokal, dan. mempunyai turunan kedua 11

yang terbatas di titik s. Jika kernel K adalah. simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), # memenuhi asumsi (3.5) dan # 2 → ∞, maka. MSE ;

,. 2. ,! <. 7. 7. 67. 67. 2.  

ln 1 ln $ % 2 E*E  Š

"  $ E 2 % E*E‹ # Œ  t y 2 z  t # Œ , 2 4  #  #. 3.30. untuk  → ∞. Bukti:. Perhatikan bahwa Žp ;

,. ,! <.  ;

,. ,! < . y‘’ ;

,. ,! <z. 2. (lihat Definisi A.22 pada lampiran). Dari Teorema 3.1 dan Teorema 3.2 maka diperoleh Žp ;

,. ,! <. 7. 2. ln  2 

ln 

"   2 7 2 2 $ % E*E  t y 2 z  . # $ E % E*E  t # 2 ‚ 2 #  # 2 67 67. 7. 2.  2 

ln 

"   2 7 2 ln 2  $ % E *E  & # $ E % E*E)  t y 2 z  t # Π. 2  # 2  # 67 67. 7. 2. 7  2 

ln 1 ln 2 $ % E*E  &

"  $ E 2 % E*E) # Œ  t y 2 z  t # Œ . 2  #  # 4 67 67. untuk  → ∞. Dengan demikian Teorema 3.3 terbukti..

BAB 4 SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK 4.1 Sebaran Asimtotik KLM,N,O P. Teorema 4.1 (Sebaran Normal Asimtotik 

,. ,! ). Misalkan fungsi intensitas  seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K. adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), # ↓ 0 , # 2 → ∞ , # ln2 → ∞ ,. terbatas di s. (i) Jika ;. :` • a. “”. 9. 7/2. <. 2 # : ) ;

, & ln. :`. “”. a. → ∞ untuk  → ∞ dan 

memiliki turunan kedua yang. → 0 maka. ,!  (. =. 

< → Normal 0, C 2 , 4.1 7. untuk  → ∞, dengan C 2  2 

 D67 % 2 E*E.. (ii) Jika ;. :` • a. “”. 7/2. 2 # & ) ln. 7/2. <. 

,. → 1 maka ,!  (. untuk  → ∞, dengan F. C2. Bukti:. =. 

 → Normal F, C 2 , 4.2. 7  2 

 D67 % 2 E*E.. GH " J 2. 7. D67 E 2 % E*E dan. Teorema 4.1 akan dibuktikan setelah bukti Lema 4.1 dan Lema 4.2.. Misalkan untuk sembarang bilangan bulat tak negatif k, Q-. 1 ' (     $ %& )  *' . 4.3    + #. Karena # ↓ 0 jika  → ∞, maka untuk nilai n yang cukup besar, peubah acak Q†. dan Q- , dengan  ƒ „ , adalah saling bebas. Sehingga 

,. ,!. pada (3.6) dapat. ditulis sebagai jumlah peubah acak bebas yang dikalikan suatu konstanta, yaitu.

16. 

,. ,.  " Q- . 4.4 ,! . # -.+. Lema 4.1 Misalkan Q- seperti (4.3). Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi. (K.1), (K.2), (K.3), # ↓ 0 untuk  → ∞ , maka untuk setiap k dengan    ∈.
0, ,. EQ- # 

  { #2 , 4.5. dan VarQ-. untuk  → ∞.. # 

  7 2 { # 2  $ % E I(E#     ∈
0, *E  , 4.6    67   . Bukti:. Dari persamaan (4.3), ' (    1 $ %& EQ- E  )  *' ‚    + #. 1 ' (     $ %& ) E *'     + #. 1 ' (     $ %& )  ' *'    + #. 1 ' (    $ %& )  'I(' ∈
0, *'. 4.7    w #. Dengan penggantian peubah, misalkan: ruas kanan 4.7 dapat ditulis. x ' (    , *x *'. Sehingga. x 1 $ % y z  x    I(x     ∈
0, *x. #    w. Karena fungsi intensitas  memenuhi (3.2), persamaan di atas menjadi 1 x $ % y z 

x   x     I(x     ∈
0, *x    w #. 1 x $ x % y z 

x  I(x     ∈
0, *x    w #.

17. .     x $ % y z 

x  I(x     ∈
0, *x    w #. 1 x x $ x % y z 

x  *I(x     ∈
0, x  $ % y z 

x      w # # w. I(x     ∈
0, *x. 4.8 |. Dengan penggantian peubah pada suku pertama 4.8, misal: E ` , *E. maka suku pertama ruas kanan 4.8 menjadi. a. }| `a. #2 $ E % E 

E#  I(E#     ∈
0, *E.    w. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, maka suku kedua ruas kanan 4.8 menjadi. #2 $ E % E 

  { # I(E#     ∈
0, *E    w. #2 

 { # –  $ E % E I(E#     ∈
0, *E  $ E % E    w    w I(E#     ∈
0, *E.. Karena K memenuhi (K.1) dan # ↓ 0 untuk  → ∞, persamaan di atas menjadi #2 

t 1 # – { 1       . t # 2 . , 4.9   . untuk  → ∞.. Dengan menggunakan deret Taylor dan penggantian peubah pada suku kedua 4.8, misal: E. |. `a. , *E. }| `a. maka persamaan di atas menjadi. # $ % E 

  { # I(E#     ∈
0, *E w. # 

  { #2  $ % EI(E#     ∈
0, *E w. Karena K memenuhi (K.1), persamaan di atas menjadi. # 

  { #2 , 4.10. untuk  → ∞. Dengan mensubstitusikan 4.9 dan 4.10 ke ruas kanan 4.8 diperoleh.

18. t # 2  EQ- .  # 

   { # 2    . # 

  { #2 , 4.11. untuk  → ∞.. Ragam peubah acak Q- dapat diperoleh sebagai berikut. ' (    1 $ %& VarQ- Var  )  *' ‚.    + #. 1 ' (    $ %2 & ) Var  *' . 4.12 2    + #. Karena N adalah peubah acak Poisson, maka Var  E  sehingga 4.12 menjadi. 1 ' (    2 $ ) E  *' % &   2 + #. 1 ' (    2 $ )  ' I(' ∈
0, *'. % &   2 w #. 1 x $ % 2 y z  x    I(x     ∈
0, *x. 2    w #. 1 x 2 $ % y z 

x   x    I(x     ∈
0, *x   2 w #. 1 ' (    $ %2 & )  '*' 2    + #. Dengan penggantian peubah, misal: x ' (   , *x *' diperoleh. Karena fungsi intensitas  memenuhi (3.2) maka. 1 x 2 $ x % y z 

x  I(x     ∈
0, *x   2 w # .    x 2 $ % y z 

x  I(x     ∈
0, *x   2 w #. . 1 x $ % 2 y z 

x  I(x     ∈
0, *x.    w #. 1 x 2 $ x % y z 

x  I(x     ∈
0, *x   2 w #. 4.13.

19. Dapat diperhatikan suku pertama ruas kanan persamaan 4.13 . Dengan penggantian peubah, misal:. dapat ditulis sebagai. |. `a. , *E. }| `a. , suku pertama pada ruas kanan 4.13. # 2 $ E % 2 E

E#  I(E#     ∈
0, *E .   2 w. Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor, maka persamaan di atas menjadi # 2 $ E % 2 E 

  { # I(E#     ∈
0, *E   2 w. 

# 2  { # –  $ E% 2 EI(E#     ∈
0, *E . 4.14   2 w. Selanjutnya. dapat. diperhatikan. suku. kedua. ruas. kanan. persamaan . 4.13 . Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor dan dengan penggantian |. peubah, misal: E ` , *E. ditulis sebagai. a. }| `a. , suku kedua ruas kanan persamaan 4.13 dapat. # $ % 2 E 

  { # I(E#     ∈
0, *E     w. # 

  { # 2  $ % 2 EI(E#     ∈
0, *E . 4.15.    w. Dengan. demikian. diperoleh. nilai. dari. ruas. kanan. 4.13 yang merupakan nilai dari VarQ- yaitu VarQ-. persamaan . # 2 

  { # –  $ E% 2 EI(E#     ∈
0, *E   2 w . # 

  { # 2  $ % 2 EI(E#     ∈
0, *E    w. # 

  { # 2  $ % 2 EI(E#     ∈
0, *E  .     w   . Karena K memenuhi (K.3) maka VarQ-. # 

 7 2 { # 2  $ % EI(E#     ∈
0, *E  , 4.16    67    . untuk  → ∞.Dengan demikian Lema 4.1 terbukti..

20. Lema 4.2 Misalkan fungsi intensitas  seperti (3.2) dan terintegralkan lokal. Jika kernel K. adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K.1), (K.2), (K.3), # ↓ 0, # ln2 → ∞, :`. “”. a. → ∞ untuk  → ∞ dan 

memiliki turunan kedua yang terbatas di s maka 9. 2 # : & ) ;

, ln. ,!  (. p

,. ,! < 7. =. → Normal 0, C 2  4.17. untuk  → ∞, dengan C 2  2 

 D67 % 2 E*E.. Bukti:. Dapat diperhatikan bahwa ruas kiri (4.17) dapat ditulis 9. 2 # : & ) —Var 

, ln. ™ ,!  ˜. 

,. ,! . ( E

,. —Var 

,. ,!  ›. ,! . Untuk membuktikan (4.17) cukup dibuktikan 

, dan 7/2. 2 # & ) ln. ,! . ( E

,. —Var

,. —Var

,. ,! . š. . 4.18. ,!  =. ,! . → Normal 0,1, 4.19. 7. → œ 2 

 $ % 2 E*E . 4.20 67. Untuk membuktikan 4.19 dapat diterapkan Teorema Limit Pusat (CLT) pada Lema A.12 (lihat lampiran). Misalkan Q- seperti (4.3) dan ‘ Karena 

,. ,!. Œ. 2. ∑, -.+ VarQ-  .. dapat dituliskan sebagai jumlah peubah acak bebas yang dikalikan. suatu konstanta (lihat (4.4)), maka berdasarkan Lema A.12, untuk membuktikan (4.19) cukup diperlihatkan bahwa untuk setiap bilangan. bulat tak negatif k,. E Q- { 1, Var Q- { 1 dan ,. " E Q- ( EQ- Œ t ‘ Œ . 4.21. -.+. Berdasarkan Lema 4.1 diperoleh bahwa untuk setiap bilangan bulat tak negatif k,. E Q- { 1 dan Var Q- { 1 untuk  → ∞. Sehingga tinggal membuktikan. 4.21. Untuk memverifikasi 4.21, pertama dihitung ‘ Œ sebagai berikut.

21. ‘. Œ. ,. 

# 7 2 { # 2  $ % EI(E#     ∈
0, *E . " & )‚     67     -.+. ,. 7.  

# $ % 2 E*E " 67. -.+. ,. 1 ‚  ž{ # 2  "    . 2. 1 I(E#     ∈
0, ž   . -.+. 7.  

# $ % 2 E*E ln  { 1  { # 2  ln  { 1‚ 67. 7.  

 # ln $ % 2 E*E  { # 2 ln‚ 67 7. 2. 2. 2. 2. & 

 # ln $ % E*E )  { # – ln2 . 2

 #2 ln 2. { #2 ln2 ,. 67. 7. 2. 2. &$ % E*E )  { # – ln2  67. 2. 4.22. untuk  → ∞.. Selanjutnya dengan pemisalan Q- seperti pada 4.3 diperoleh. ,. " E Q- ( EQ- Œ. -.+. ,. "E& -.+. 1 ' (    $ %& )  *' ž    + #. Œ. 1 ' (     $ %& ( žp  )  *' ‚‹    + # ,. 1 ' (    $ %&. "EŠ )  *'     + # -.+. Œ. 1 ' (    ( E $ % & )  *' ‚‹    # +.

22. ,. "EŸ -.+. 1 ' (    Š$ % & )  *'     + #. ( E $ % & +. ,. " -.+. ' (    )  *' ‚‹  #. Œ. 1 ' (    Š$ E % & )  *'    Œ # + Œ. ' (    ( E $ % & )  *' ‚‹ . # +. Karena D+ % ;. 6 Jn-o `a. 4.23. <  *'  adalah peubah acak Poisson dan berdasarkan Lema. A.6 (lihat lampiran), maka ruas kanan 4.23 menjadi ,. ". -.+. 2. 1 ' (    ' (    ŸE $ % & )  *' ‚  3 Šp $ % & )  *' ‚‹   Œ    # # + +. ,. ". -.+. 1 ' (     Š$ % & ) E  *'  Œ    + # 2. ' (      3 $ % & ) E  *' ‚ ‚ # + ,. ". -.+. 1 ' (    $ %& ) E  *'  Œ    + # ,. 1 ' (    $ % & 3" ) E  *' ‚ Œ    + # ,. ". -.+. -.+. 1 ' (    $ % & ) E  *'    Œ + # ,. 3". -.+. 1 ' (    2 $ %2 & ) E  *'  Œ    + #. 2.

23. ,. ". -.+. 1 ' (    $ % & )  'I(' ∈
0, *'   Œ w # ,. 3 " ,. ". -.+. -.+. 1 ' (    $ %2 & )  '  2 ' I(' ∈
0, *' Œ    w #. 1 ' (    $ % & )  'I(' ∈
0, *'   Œ w # ,. 3 ". -.+ ,. 1 ' (    $ %2 & )  'I(' ∈
0, *' Œ    w #. 3 " -.+. 1 ' (    2 2 $ % & )  ' I(' ∈
0, *'.   Πw #. Dengan penggantian peubah, misal: E. 6 Jn-o `a. , *E. } `a. 4.24. , dan dengan. menggunakan deret Taylor maka suku pertama ruas kanan persamaan 4.24 dapat ditulis sebagai ,. ". -.+. # $ % E 

E#     E#    I(E#     ∈
0, *E   Πw ,. # $ % E 

  { #  " w. -.+. E#     I(E#     ∈
0, *E   Œ. # 

  { #2  $ % E { 1*E w. { # 

  { #2  $ % E *E. w. Karena K memenuhi K.1 dan K.3, maka ruas kanan 4.25 menjadi { # 

  { #. 7 2  $. 67. 4.25. % E *E. { # 

  { #2 . 4.26. untuk  → ∞.. Dengan penggantian peubah, misal:. ruas kanan persamaan 4.24 diperoleh. 6 Jn-o `a. , *E. } `a. , pada suku kedua.

24. ,. ". -.+. 3# $ % 2 E   E#     I(E#     ∈
0, *E   Πw. ,. ". -.+. 3# $ % 2 E 

E#      E#     I(E#     ∈
0, *E    Πw. Dengan menggunakan deret Taylor maka 4.27 dapat ditulis sebagai ,. ". -.+. 4.27. 3# $ % 2 E  

  { #  E#     I(E#     ∈
0, *E   Πw ,. # $ % 2 E 

  { #  " w. -.+. 3 E#      I(E#     ∈
0, *E   Œ. # $ % 2 E 

  { # { 1*E w. { # 

  { #2  $ % 2 E *E w. { # 

 $ % 2 E *E  { #2  $ % 2 E *E. w. w. 4.28. Karena K memenuhi K.3, maka ruas kanan 4.28 menjadi 7. 7. { # 

 $ % 2 E *E  { #2  $ % 2 E *E, 4.29. untuk  → ∞.. 67. 67. Selanjutnya, dengan penggantian peubah, misal: E. 6 Jn-o `a. , *E. } `a. , dan. dengan menggunakan deret Taylor pada suku ketiga ruas kanan persamaan 4.24 diperoleh ,. 3". -.+ ,. # $ % 2 E 2 E#     I(E#     ∈
0, *E   Πw. ". -.+. 3# $ % 2 E 2

E#      E#     2 I(E#     ∈
0, *E    Πw. # $ % w. 2. E  2

. ,.  { #  ". -.+. 3 E#     2 I(E#     ∈
0, *E     Œ.

25. # $ % 2 E  2

  { #   w. ¡2  t 1‚ *E 6 2. ¡ 2 # 2

 $ % 2 E  *E  { #2  $ % 2 E  *E. 6 2 w w. 4.30. Karena K memenuhi K.3, maka ruas kanan 4.30 menjadi. 7 ¡ 2 # 2

 7 2 2. .  $ % E *E  { # $ % 2 E *E, 4.31 6 2 67 67. untuk  → ∞.. Dengan mensubstitusikan 4.26 dan 4.29 pada 4.31 maka diperoleh. ,. " E Q- ( EQ- Œ. -.+. 7. 7. { # 

  { #2   { # 

 $ % 2 E *E  { #2  $ % 2 E *E. . 67. 7 ¡ 2 # 2

  7 2 2 $. . $ % E *E  { # % 2 E *E 6 2 67 67. 67. ¡ 2 # 2

 7 2 $ % E *E  { # 

  { #2  6 2 67. { # . 4.32. untuk  → ∞.. Dengan membandingkan ruas kanan 4.22 dan ruas kanan 4.32, serta. menggunakan asumsi bahwa # ln2 → ∞ jika → ∞, maka diperoleh ,. " E Q- ( EQ- Œ t ‘ Œ ,. -.+. untuk  → ∞, sehingga 4.19 terbukti.. Selanjutnya dibuktikan 4.20. Dari persamaan 3.26 diperoleh 7/2. 2 # & ) ln. —Var

,. 7/2. 2 #. & ) ln. ,! . 7. ln  2  ln œ

2 $ % 2 E*E  t y 2 z  #  # 67.

26. 7. 2 #  2 

ln ln 2 E*E  t y $. ¢& % )Ÿ z  ln 2 # 2 # 67. 7. œ 2 

 $ % 2 E*E  t 1, 67. 7. untuk  → ∞ . Misalkan £  2 

 D67 % 2 E*E  t 1 dan ¤ £ √£ , dengan menggunakan deret Taylor diperoleh 7. ¤ £ ¤ Š 2 

 $ % 2 E*E‹ 67. 7. ¤′ Š 2 

 $ % 2 E*E‹ t 1 67. ¤". Š 2. 7. 

  $ % 2 E*E‹ t 1 7. 67. œ 2 

 $ % 2 E*E  67. (. 4— – . 2. t 1. 2. 1 ⋯ 2!. t 1 7. 2— 2 

 D67 % 2 E*E. – 7 – 2

 ;D67 % E *E <. ⋯. 7. œ 2 

 $ % 2 E*E  t 1, 67. untuk  → ∞. Sehingga diperoleh 7/2. 2 # & ) ln. —Var

,. ,! . 7. → œ 2 

 $ % 2 E*E , 4.33 67. untuk  → ∞. Maka (4.20) terbukti. Dengan demikian Lema 4.2 terbukti..

27. Bukti Teorema 4.1: Terlebih dahulu dapat ditulis ruas kiri (4.1) dan (4.2) sebagai berikut: 7/2. 2 # & ) ln. ;

,. 7/2. 2 #. & ) ln. ,! . ;

,. ( 

  <.  ,!  ( E

,. Dari Lema 4.2 diperoleh 7/2. 2 # & ) ln. ;

,. ,!  (. 7/2. 2 # ) ,! <  & ln. E

,. ;E

,. ,!  (. 

<.. = 2 ,! < → Normal 0, C  4.34 7. untuk  → ∞, dengan C 2  2 

 D67 % 2 E*E. Sehingga untuk membuktikan Teorema 4.1 cukup dibuktikan jika ;. :` • a. “”. 7/2. <. → 0 maka 7/2. 2 # & ) ln. untuk  → ∞, dan jika ;. :` • a. “”. 7/2. <. ;E

,. ,! . ( 

< → 0, 4.35. → 1 maka. 7/2. 2 # & ) ln. untuk  → ∞.. ;E

,. 

"  7 2 $ E % E*E . 4.36 ,!  ( 

< → 2 67. Untuk membuktikan 4.35 dan 4.36 dapat digunakan Teorema 3.2,. sehingga diperoleh 7/2. 2 # & ) ln. ;E

,. 7/2. 2 # ). & ln. 

"    # 2. 7/2. 2 #. & ) ln. 9. 5 :. ,!  (. #. 2. . 

  <. 2. 7. $ E 2 % E*E  t # 2 ‚ 67. 

"   7 2 $ E % E*E  t 1‚ 2 67.  # 

"   7 2 $ E % E*E  t 1‚ . 4.37. & )  ln 2 67 2.

28. Jika ;. :` • a. “”. 7/2. <. → 0 untuk  → ∞, ruas kanan persamaan 4.37 menjadi. 

"   7 2 $ E % E*E  t 1‚ t 1, t 1  2 67. untuk  → ∞ sehingga 4.1 terbukti. Jika ; kanan persamaan 4.37 menjadi. 1  t 1 . :` • a. “”. 7/2. <. → 1 untuk  → ∞ , ruas. 

"   7 2 $ E % E*E  t 1‚ 2 67. 

"   7 2 $ E % E*E  t 1 2 67. untuk  → ∞ sehingga 4.2 terbukti. Dengan demikian Teorema 4.1 terbukti..

BAB 5 KESIMPULAN Pada tulisan ini dikaji suatu metode untuk menduga komponen periodik 

. dari fungsi intensitas  yang berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren fungsi linear dari suatu proses Poisson non-homogen.. Berdasarkan penduga yang telah dipelajari, yaitu 

,. ,.  1 ' (    $ %& " )  *'  ,! .  #    + # -.+. dengan n adalah panjang interval pengamatan, K adalah suatu kernel, dan #. adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol, yaitu # ↓ 0. untuk  → ∞, dapat disimpulkan bahwa: (i). Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan 

, E

,. (ii). ,!  

 . untuk  → ∞.. untuk  → ∞.. adalah. 

"   2 7 2 # $ E % E*E  t # 2  2 67. Aproksimasi asimtotik bagi ragam 

, Var ;

,. ,! . ,! . adalah. 7.  2 

ln ln.  $ % 2 E*E  t y 2 z  <. ,! 2  #  # 67. 7/2. (iii) Jika 2 # 5 ln67 . → 0 maka 9. 2 # ln67 : ;

,. ,! . =. ( 

< → Normal 0, C 2  7. untuk  → ∞, dengan C 2  2 

 D67 % 2 E*E. 7/2. Jika 2 # 5 ln67  9. 2 # ln67 : 

,. ,!  (. untuk  → ∞, dengan. F. GH " J 2. 7. → 1maka. =. 

 → Normal F, C 2  7. D67 E 2 % E*E dan C 2  2 

 D67 % 2 E*E..

DAFTAR PUSTAKA Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. Springer, New York. Casella G, Breger RL. 1990. Statistical Inference. Ed. ke-1. Wadsworth & Brooks/Cole, Pasific Grove, California. Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability.. Wadsworth & Brooks.. California. Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. Prentice Hall. New York. Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. Ed. ke-2. Clarendon Press. Oxford. Helmers R. 1995. On Estimating the Intensity of Oil Polution in the North Sea. CWI Note BS-N9501. Helmers R, Zitikis R. 1999. On Estimation of Poisson Intensity Function. Ann. Inst. Stat. Math, 51(2) 265-280. Helmers R, Mangku IW. 2000. Statistical Estimation of Poisson Intensity Function. Proceedings of the SEAM-GMU Intenational Conference on Mathematics and Its Applications, Yogyakarta, July 26-29, 1999, p. 9-21. Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process in the Precense of Linear Trend. Ann. Inst. Stat. Math, 61 (3), 559628. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 84, 19-39. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2005. Statistical Properties of a Kernel-type Estimator of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. Journal of Multivariate Analysis, 92, 1-23. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2007. A Non-parametric Estimator for the Doubly Periodic Poisson Intensity Function. Statistical Methodology, 4, 481-492. Hogg RV, Craig AT, McKaen JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-5. Prentice Hall, Engelwood Cliffs. New Jersey..

31. Mangku IW. 1999. Nearest Neighbor Estimation of the Intensity Function of a Cyclic Poisson Process. CWI Report PNA-R9914. Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph.D.Thesis). University of Amsterdam, Amsterdam. Mangku IW. 2005. A Note on Estimation of the Global Intensity of a Cyclic Poisson Process in the Presence of Linear Trend. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 4, No: 2. Mangku IW. 2006a. Weak and Strong Convergence of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 5, No: 1. Mangku IW. 2006b. Asymptotic Normality of a Kernel-type Estimator for the Intensity of a Periodic Poisson Process. Journal of Mathematics and Its Applications, Vol. 5, No: 2. Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a non-homogenous Poisson process. Accepted by Far East Journal of Mathematical Sciences. Purcell EJ, Varberg D. 1998. Kalkulus dan Geometri Analisis. Jilid 2. Ed. ke-5. Penerbit Erlangga. Jakarta. Ross SM. 1996. Stochastic Processes. Ed. ke-2. John Wiley & Sons. New York. Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistic. John Wiley & Sons. New York. Stewart J. 1999. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Penerbit Erlangga. Jakarta. Wheeden RL, Zygmund A. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. Marcell Dekker. New York..

LAMPIRAN.

33. Lampiran A. Beberapa Definisi dan Lema Teknis. Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi A.1 (Ruang contoh dan kejadian) Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya tidak dapat diprediksi secara tepat tapi kita dapat mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin dari percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Ω . Suatu kejadian ¦ adalah himpunan bagian dari rung contoh.. (Ross 1996). Definisi A.2 (Medan -§) Suatu himpunan ¨ yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian dari Ω disebut dengan medan -C jika memenuhi syarat sebagai berikut: (i) (ii). ∅ ∈ ¨.. Jika ¦ ∈ ¨ maka ¦

∈ ¨.. (iii) Jika ¦7 , ¦2 , … ∈ ¨maka ⋃, «.7 ¦« ∈ ¨.. (Grimmet dan Stirzaker 1992). Medan-Cterkecil yang mengandung semua selang berbentuk ∞, ,  ∈ . disebut medan Borel, dinotasikan B(¨ dan anggota dari medan Borel disebut himpunan Borel.. Definisi A.3 (Ukuran peluang) Ukuran peluang P pada Ω, ¨ adalah fungsi P : ¨ →
0,1 yang memenuhi:. (i). (ii). P ∅ 0, P Ω 1.. Jika ¦7 , ¦2 , … adalah himpunan disjoin yang merupakan anggota dari ¨ ,. yaitu ¦« ∩ ¦† ∅ untuk setiap i, j dengan ’ ƒ „ maka P ⋃, «.7 ¦« . ∑, «.7 P ¦« .. Tripel (Ω, ¨, P) disebut sebagai ruang peluang.. (Grimmet and Stirzaker 1992).

34. Definisi A.4 (Kejadian saling bebas) Kejadian ¦ dan ‘ dikatakan saling bebas jika P ¦ ∩ ‘ P ¦ ∩ P ‘. Secara. umum, himpunan kejadian R¦« , ’ ∈ ­U dikatakan saling bebas jika P ⋂«∈¯ ¦« . ∏«∈¯ P ¦«  untuk setiap himpunan bagian ± dari ­.. (Grimmet and Stirzaker 1992). Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi A.5 (Peubah acak) Peubah acak Q adalah fungsi Q: Ω →  dengan R ∈ Ω; Q  Z 'U ∈ ¨ untuk. setiap ' ∈ .. (Grimmet and Stirzaker 1992). Definisi A.6 (Fungsi sebaran) Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X adalah ³´ :  →
0,1, yang didefinisikan oleh ³´ ' P Q Z ' .. (Grimmet and Stirzaker 1992). Definisi A.7 (Peubah acak diskret) Peubah acak Q dikatakan diskret jika semua himpunan nilai R'7 , '2 , … U merupakan himpunan tercacah.. (Grimmet and Stirzaker 1992) Untuk peubah acak diskret Q fungsi kepekatan peluang didefinisikan sebagai berikut:. Definisi A.8 (Fungsi kerapatan peluang) Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret Q adalah fungsi µ´ :  →
0,1 dengan µ´ '  P Q ' .. (Grimmet and Stirzaker 1992).

35. Definisi A.9 (Peubah acak Poisson) Suatu peubah acak Q disebut peubah acak Poisson dengan parameter ,  [ 0, jika fungsi kerapatan peluangnya diberikan oleh µ´  P Q  ] 6G. G¶ -!. , untuk  0,1,2, …. (Ghahramani 2005). Kekonvergenan Definisi A.10 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata) Barisan R U disebut mempunyai limit · dan dituliskan lim. →,.  · atau. sedemikian sehingga jika  [  maka | ( ·| V ¸. Jika lim. →,.  · ada,.  → · jika  → ∞ , apabila untuk setiap ¸ [ 0 terdapat sebuah bilangan . dikatakan barisan tersebut konvergen. Jika tidak, barisan tersebut dikatakan divergen.. (Stewart 1999). Lema A.1 (Deret-p) Deret ∑,.7. µ Z 1.. 7. ¹. (disebut juga deret-p) konvergen jika µ [ 1, dan divergen jika. Bukti: Lihat Stewart (1999).. Definisi A.11 ( Konvergen dalam peluang) Misalkan RQ7 , Q2 , … , QU adalah peubah acak dalam ruang peluang Ω, ¨, P. Barisan peubah acak Q konvergen dalam peluang ke Q, dinotasikan Q → Q, jika untuk setiap ¸ [ 0, P |Q ( Q| [ ¸ → 0 untuk  → ∞.. (Grimmet and Stirzaker 1992). Nilai Harapan, Ragam dan Momen Definisi A.12 (Nilai harapan) Misalkan Q adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang µ´ ' . P Q ' . Nilai harapan dari Q dinotasikan E Q, adalah.

36. E Q " ' P Q '  " ' µ´ ' , . . jika jumlah diatas konvergen mutlak.. (Hogg et al.2005) Lema A.2 Jika RQ7 , Q2 , … , Q U adalah peubah acak dan º7 , º2 , … , º adalah konstanta. sembarang, maka. E " º« Q« ‚ " º« E Q« . «.7. «.7. Bukti: Lihat Ghahramani (2005).. Definisi A.13 (Ragam) Misalkan Q adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang µ´ '  dan nilai harapan E Q, ragam dari Q dinotasikan dengan Var Q atau C´ 2 , adalah 2. 2. C´ 2 E Q ( E Q " Q ( E Q µ´ ' . . (Hogg et al.2005). Lema A.3 Jika Q adalah peubah acak maka untuk sembarang konstanta a dan b berlaku Var Q  » 2 Var Q.. Bukti: Dari definisi dapat dituliskan bahwa Var Q  ». 2. E ; Q  » ( E Q  » <. 2. E ; Q  » ( E Q  » < 2. E y; Q ( E Q< z 2. E ;2 Q ( E Q < 2. 2 E Q ( E Q. (Ghahramani 2005).

37. 2 Var Q.. Dengan demikian Lema A.3 terbukti.. Definisi A.14 (Covarian) Misalkan Q dan ¼ adalah peubah acak, covarian dari Q dan ¼ didefinisikan sebagai. Cov Q, ¼ E¿ Q ( E Q ¼ ( E ¼À.. (Ghahramani 2005). Lema A.4 Misalkan Q dan ¼ adalah peubah acak dan misalkan pula a dan b adalah konstanta sembarang, maka.  Q  » 2 Var Q  »2 Var ¼  2»Cov Q, ¼.. Jika Q dan ¼ adalah peubah acak yang saling bebas, maka.  Q  » 2 Var Q  »2 Var ¼.. (Ghahramani 2005). Bukti: Dari definisi dapat dituliskan bahwa  Q  »¼. 2. E ; Q  »¼ ( E Q  »¼ <. 2. E y; Q  »¼ ( E Q  »E ¼< z 2. E y; Q ( E Q  » ¼ ( E ¼< z 2. E y2 Q ( E Q  »2 ¼ ( E ¼  2» Q ( E Q ¼ ( E ¼z. 2 Var Q  »2 Var ¼  2»Cov Q, ¼. Dengan demikian Lema A.4 terbukti.. Definisi A.15 (Momen ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau Á- dari peubah acak Q adalahÁ- E Q - .. (Hogg et al.2005).

38. Definisi A.16 (Momen pusat ke-k) Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau C- dari peubah acak Q adalah C- E Q ( Á- - .. (Hogg et al.2005). Nilai harapan peubah acak Q merupakan momen pertama dari Q . Nilai. harapan dari kuadrat perbedaan jarak antara peubah acaka Q dengan nilai. harapannya disebut ragam dari Q . Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak Q.. Definisi A.17 (Fungsi pembangkit peluang) Fungsi pembangkit peluang dari suatu peubah acak X adalah ´  E  ´ . untuk suatu  ∈  sehingga nilai harapan di atas ada.. (Grimmet and Stirzaker 1992). Lema A.5 Jika Q memiliki fungsi pembangkit peluang ´ , maka (i)  1´ 1 E Q,. (ii) Secara umum dapat ditulis - E Q Q ( 1 Q ( 2 … . . Q (   1 ´ 1.. Bukti:Lihat Grimmet and Stirzaker (1992).. Lema A.6 Jika Q adalah peubah acak Poisson dengan parameter F, maka (i) E Q F, . A. 1. (ii) E Q 2  F  F2 ,. A. 2. (iv) E Q Œ  F  7F2  6F–  FŒ ,. A. 4. (iii)E Q –  F  3F2  F– , (v) E Q ( FŒ F  3F2 .. Bukti:. Dari Definisi A.17 diperoleh. A. 3 A. 5.

39. ,. ´  E  ´  "  -.+. F- 6Ä ] ] Ä J67 . A. 6 !. Berdasarkan Lema A.5 dan persamaan A. 6 diperoleh. E Q F, A. 7. Sehingga persamaan A. 1 terbukti. Dari persamaan A. 6 dan A. 7 diperoleh. E Q Q ( 1 F2 ⟺ E Q 2  E Q  F2 F  F2 , A. 8. sehingga persamaan A. 2 terbukti. Dari persamaan A. 6 , A. 7 , dan A. 8 diperoleh. E Q Q ( 1 Q ( 2 F– ⟺ E Q –  F–  3E Q 2  ( 2E Q ⟺ E Q –  F–  3 F  F2  ( 2F. ⟺ E Q –  F  3F2  F– , A. 9. sehingga persamaan A. 3 terbukti. Dengan menggunakan persamaan A. 6 ,. A. 7, A. 8, dan A. 9 diperoleh. E Q Q ( 1 Q ( 2 Q ( 3 FŒ. ⟺ E Q Œ  FŒ  6E Q –  ( 11E Q 2   6E Q. ⟺ E Q Œ  FŒ  6 F–  3F2  F ( 11 F  F2   6F. ⟺ E Q Œ  F  7F2  6F–  FŒ . A. 10. sehingga persamaan A. 4 terbukti. Dengan menggunakan persamaan A. 6 ,. A. 7, A. 8, A. 9 dan A. 10 diperoleh. E Q ( FŒ E Q Œ ( 4Q – F  6Q 2 F2 ( 4QF–  FŒ . ⟺ E Q ( FŒ E Q Œ  ( 4FE Q –   6F2 E Q 2  ( 4F– E Q  FŒ. ⟺ E Q ( FŒ F  7F2  6F–  FŒ  ( 4F F  3F2  F–   6F2 F  F2  (4F– F  FŒ. ⟺ E Q ( FŒ F  7F2  6F–  FŒ ( 4F2 ( 12F– ( 4FŒ  6F–  6FŒ (4FŒ  FŒ. ⟺ E Q ( FŒ F  3F2 .. sehingga persamaan A. 5 terbukti. Dengan demikian Lema A.6 terbukti..

40. Penduga Definisi A.18 (Statistik) Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al.2005) Definisi A.19 (Penduga) Misalkan. Q7 , Q2 , … , Q. adalah. contoh. acak.. Suatu. statistik. Æ Æ Q7 , Q2 , … , Q  Æ Q yang digunakan untuk menduga fungsi parameter. Ç b , dikatakan sebagai penduga bagi Ç b , dilambangkan oleh Ç bL . Nilai. amatan Æ Q7 , Q2 , … , Q  dari Æ dengan nilai amatan Q7 '7 , Q2 '2 , … , Q. ' , disebut sebagai dugaan bagi Ç b.. (Hogg et al.2005). Definisi A.20 (Penduga tak bias) Æ Q disebut penduga tak bias bagi Ç b, bila E¿Æ QÀ Ç b. Bila E¿Æ QÀ ( Ç b » b , maka » b disebut bias bagi penduga. Bila lim. →,. E¿Æ QÀ. Ç b, maka Æ Q disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi Ç b.. (Hogg et al.2005). Definisi A.21 (Penduga konsisten) Suatu statistik Æ Q7 , Q2 , … , Q  yang konvergen dalam peluang ke parameter Ç b, yaitu disebut penduga konsisten bagi Ç b.. (Hogg et al.2005). Definisi A.22 (Mean Square Error) Mean Square Error (MSE) dari penduga bL untuk parameter b adalah fungsi dari b yang didefinisikan oleh EÈ bL ( b2 . Dengan kata lain MSE adalah nilai. harapan dari kuadrat selisih antara penduga bL dan parameter b . Dari sini diperoleh. 2. 2. EÈ bL ( b2 Var bL   EÈ bL ( b Var bL  ;‘’ bL < .. (Cassela and Berger 1990).

41. Definisi A.23 (O(1) dan o(1)) (i). Suatu barisan bilangan nyata R U disebut terbatas dan ditulis  { 1. untuk → ∞, jika ada bilangan terhingga ¦ dan ‘ sehingga ¦ V  V ‘ untuk semua bilangan asli n.. (ii). Suatu barisan R» U yang konvergen ke nol untuk  → ∞ , dapat ditulis. » t 1 untuk  → ∞.. (Purcell and Varberg 1998). Definisi A.24 (Fungsi indikator) Fungsi indikator dari himpunan ¦ , sering ditulis IÉ ' , didefinisikan sebagai fungsi. 1, jika ' ∈ ¦ ž IÉ '  Ê 0, jika ' ∉ ¦.. (Cassela and Berger 1990). Lema A.7 (Ketaksamaan Markov) Jika Q adalah peubah acak, maka untuk suatu S [ 0, P |Q| Y S Z. Î |´| ^. .. (Ghahramani 2005). Bukti: Misalkan ¦ |Q| Y S, maka |Q| Y SIÉ , dengan IÉ adalah fungsi indikator dari. ¦. Jika ditentukan nilai harapannya, maka diperoleh. E |Q| Y E SIÉ . SE IÉ  SP |Q| Y S. E |Q| . S Dengan demikian Lema A.7 terbukti.. ⇔ P |Q| Y S Z. Lema A.8 (Ketaksamaan Chebyshev) Jika Q adalah peubah acak dengan nilai harapan F dan ragam C 2 , maka untuk setiap S [ 0, P |Q ( F| Y S Z. Ð: ^:. .. (Ghahramani 2005).

42. Bukti: Karena Q ( F2 Y S 2 , dengan ketaksamaan Markov diperoleh. E Q ( F2  C 2. 2. S2 S Oleh karena Q ( F2 Y S 2 adalah ekuivalen |Q ( F| Y S, dengan demikian Lema P Q ( F2 Y S 2  Z. A.8 terbukti.. Lema A.9 (Ketaksamaan Chaucy-Schwarz) Jika Q dan ¼ adalah peubah acak, maka berlaku E Q¼ Z ÑE Q 2 E ¼ 2 .. (Ghahramani 2005). Bukti: Untuk semua bilangan real , Q ( ¼2 Y 0.. Oleh karena untuk semua nilai dari , Q 2 ( 2Q¼  2 ¼ Y 0.. Karena peubah acak non-negatif mempunyai nilai harapan non-negatif, maka E Q 2 ( 2Q¼  2 ¼ Y 0.. Hal ini berimplikasi bahwa. E Q 2  ( 2E Q¼  2 E ¼ Y 0.. Jika ditulis dalam bentuk polinomial dalam  yang berderajat 2, maka didapatkan 2 E ¼ ( 2E Q¼  E Q 2  Y 0.. Jika suatu polinomial berderajat 2 adalah positif maka diskriminannya adalah negatif, sehingga persamaan di atas dapat ditulis 4
E Q¼2 ( 4E Q 2 E Q 2  Z 0.
E Q¼2 Z E Q 2 E Q 2 . E Q¼ Z ÑE Q 2 E ¼ 2 .. Dengan demikian Lema A.9 terbukti.. Lema A.10 (Formula Young dari Teorema Taylor) Misalkan g mempunyai nilai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik x, maka. Untuk x → '.. Ç x  Ç '   ". Bukti: Lihat Serfling (1980).. -.7. Ç - ' x ( ' -  t |x ( ' | . !.