OR7Model Sediaan Probabilistik

Model Sediaan

Probabilistik

Riset Operasi

Semester Genap 2011/2012

Model Sediaan Probabilistik Single Period

Newspaper Boy Problem

• _{Setiap hari koran dipesan dari agen di pagi hari dengan}

jumlah tertentu (q), per eksemplar seharga Rp. 2000, yang akan dijual dengan harga Rp. 2500/eks.

• _{Di dalam satu hari permintaan (D) dianggap sebagai}

peubah acak.

• _{Dua kasus:}

– _{D ≤q, sisa koran dijual siang hari atau dikembalikan ke}

agen dengan harga Rp. 1000/eks (Overstocked).

– _{D ≥q+1, ada beberapa pelanggan yang tidak terlayani}

(Understocked).

• _{Akan dicari berapa q yang meminimumkan biaya total yang}

Newspaper Boys Problem

•

Konstanta pada

q

:

– Pada (1) disebut sebagai biaya overstocked Co= 1000

– _{Pada (2) (abaikan tanda - )disebut sebagai biaya}

understocked Cu= 500

Kemungkina n jumlah demand

Biaya yang dikeluarkan

Uang yang masuk Biaya Total

D  q 2000q 2500D + 1000(q -

D) 1000q – 1500D (1)

D  q + 1 2000q 2500q -500q (2)

Analisis Marjinal

•

Untuk permintaan (

D

) yang bersifat peubah

acak dengan sebaran peluang tertentu

•

Biaya

c

(

q, d

) di mana

d

kemungkinan jumlah

permintaan:

•

biaya yang timbul akibat memesan

q

unit

pada jumlah permintaan

d

unit.

•

Kebijakan: memilih

q

yang meminimumkan

nilai harapan biaya:

)

(

)

(

D

d

p

d

P









p

d

c

q

d

q

Analisis Marjinal

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

•

Konsep analisis marjinal:

Newspaper Boy Problem

•

Overstocked

D

≤

q

: jika pemesanan

q

ditambah

satu unit menjadi

q

+1, akan menambah biaya

yang dikeluarkan sebesar

c

_o

,

– _{Kasus ini terjadi dengan peluang P(D ≤ q )}

•

Understocked

D

≥

q+

1 : jika pemesanan

q

ditambah satu unit menjadi

q

+1, akan

mengurangai biaya yang dikeluarkan sebesar

c

_u

,

• _{kasus ini terjadi dengan peluang P(D ≥q+1 ) =1 - P(D ≤q)}

•

Sesuai konsep marjinal analisis:

0 *)) (

1 ( *)

( *)

( ) 1 *

(q   Eq c PDq  c  PDq 

•

Jika demand menyebar dengan sebaran peluang

diskrit, hubungan tersebut menjadi:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

•

Jika demand menyebar dengan sebaran peluang

kontinyu maka dapat ditentukan

q

*

sedemikian

sehingga hubungan di atas menjadi persamaan:

atau 0 *)) ( 1 ( *) ( *) ( ) 1 *

(q   Eq c PDq  c  PDq 

E _{o u}





o u u

c

c

c

q

F

q

D

P

    * ( *)





o u u c c c q F q D P     * ( *)





o u o c c c q F q D P    

Contoh Newspaper boys problem

(lanjut)

•

Dari slide sebelumnya

C

o

=

1000,

C

u

=

500

 

Jumlah

demand atau koran terjual di pagi hari

Pelua ng

Peluang Kumulatif

100 0.3 0.3

150 0.2 0.5

200 0.3 0.8

250 0.15 0.95

300 0.05 1

•

Berdasarkan sebaran

peluang:

q

*=

150





0 33

1500 500

. *)

(

*    q Fq

Contoh Penjualan Tiket

Pesawat

•

Harga tiket pesawat New York – Indianapolis

adalah $200

•

Kapasitas setiap pesawat: 100 penumpang

•

Untuk proteksi terhadap ketidamunculan

penumpang, perusahaan airline menjual tiket

lebih dari 100 tiket

•

Peraturan: penumpang yang tidak jadi terbang,

tidak perlu membayar tiket dan mendapat

kompensasi $100

•

Jumlah penumpang dari data historis ~ N(20,

5

2

)

•

Didefinisikan:

– _{q: # tiket yang dijual perusahaan airline}

– _{d: # jumlah penumpang yang tidak muncul}

– _{(q – d): jumlah penumpang yang pasti berangkat}

•

Keputusan:

q

– 100

– _{Berapa harus menjual lebih dari kapasitas penerbangan}

•

Understocked:

(q – d)≤100 atau d ≥q – 100

•

Overstocked

•

Understocked:

(

q – d

)≤100 atau

d

≤

q –

100

•

Overstocked

(

q – d

)≥ 100 atau

d

≥

q –

100

Total Cost perusahaan = biaya kompensasi -

penerimaan

Keputusa n Keputusa n c_u c_o



q

d



Penerimaan

kompensasi





200

:

0

Total 200



q d





100



200



100



200

200   



d

q







100



200

:

100

100

Penerimaan

d

q

kompensasi







Total



100



q



d



100





20000



100



100

20000

100







•

Jika

q

– 100 adalah peubah keputusan

(q

*)

•

Harus ditentukan sedemikian sehingga:

C_u=200

C_o=100

Dari tabel Z

22.15 tiket adalah kelebihan jumlah tiket dari kapasitas penerbangan yang





o u u c c c q F q D P     * ( *)





3 2 100 200 200 *    q D P



_20,52



~N

D ₅20 *₅20_ ₃2         q D

P *₅20 ₃20.667 

 



_Zq 

P



Z0.43



0.667

P 0.43

5 20 *

 

q _0.43

5 20 100    q



0.43



122.15 5

20

100   

Model Probabilistik Multi Periods:

EOQ dengan Permintaan Probabilistik (

r, q

) model

•

Menentukan:

–

Kapan memesan: pada reorder point

r

–

Berapa banyak:

q

, yang meminimumkan

TC

(

r

,

q

)

•

Dengan asumsi:

–

Demand berupa peubah acak

–

Lead time

≠

0

–

Diberlakukan stockout dengan backorder

–

Besaran

K

,

h

,

q

, dan

L

mempunyai definisi yang

sama pada

EOQ

dasar.

–

c

_B

:

biaya setiap unit stockout per waktu

•

Dalam pembentukan model, diasumsikan

bahwa:

Posisi sediaan dalam waktu

Posisi sediaan, L=2, r = 100, OHI(t): jumlah persediaan on hand (nyata) pada

waktu t

Posisi sediaan dalam waktu

• Demand sebagai proses poisson

Posisi sediaan, L=2, r = 100, q* = 240

B(t): jumlah back order yang belum terlayani

Posisi sediaan dalam waktu

Posisi sediaan, L=2, r = 100, I(t)= OHI(t) – B(t) : jumlah persediaan netto pada

waktu t _{I(0)=200-0=200, I(3)=240-0=240,} I(6)=0-0=0,

Posisi sediaan dalam waktu

• Demand sebagai proses poisson

Posisi sediaan, L=2, r = 100, q* = 240

Nilai harapan jumlah siklus/frekuensi pemesanan per tahun:

 

EOQ dengan Permintaan

Probabilistik (

r, q

) model

•

Karena demand proses Poisson:

•

X

: peubah acak sbg jumlah permintaan

selama lead time, jika lead time selama

L

maka

–

X~

Poisson(

L

λ

)

–

Berlaku:





)

(

D

E

Var

(

D

)





)

(

)

(

X

L

L

E

D

E









)

(

)

(

X

L

L

Var

D

Var









Struktur biaya dalam nilai harapan:

1. Nilai harapan biaya pemesanan/tahun

2. Nilai harapan biaya penyimpanan /tahun

3. Nilai harapan biaya stockout dan

Backorders/tahun

Struktur biaya

•

Nilai harapan biaya pemesanan per tahun:

biaya pesan/pemesanan × nilai harapan frekuensi pesan/tahun (1)

•

Nilai harapan biaya penyimpanan per

tahun (

_{h × Nilai harapan # penyimpanan/tahun}

HC

):

Nilai harapan # penyimpanan/ta hun

 

q

D

E

K



 









 



awalsiklus



 



akhirsiklus



2 1

t I E t

I E t

I

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Akhir siklus: Awal siklus:

 



I t



r E

 

x E akhirsiklus 

 

Struktur biaya

•

Nilai harapan biaya penyimpanan per

tahun (

HC

) (2):

h × Nilai harapan # penyimpanan/tahun

 









 



awal

siklus



 



akhir

siklus



2

1

E

I

t

E

I

t

t

I

E





 



I t







r E

 

X q





r E

 

X





E     

2

1

 

2

q X E

r  

 

_

  



 _{ } 

2

Struktur Biaya

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

•

Nilai harapan biaya stockout per tahun (3)

•

Menggunakan definisi:

•

B

r

: peubah acak jumlah stockout selama satu

siklus pada reorder point

r

Nilai harapan biaya stockout per tahun, dengan biaya

c

_B

per unit stockout per waktu:

Nilai harapan biaya stockout/siklus × nilai harapan jumlah

siklus/tahun

c_B × Nilai harapan # stockout/siklus

 

_r

B E

c  B

 

q D E

 

 

q

D E E

•

Total biaya (1) + (2) + (3)

•

r

* dan

q

*

dipilih sedemikian yang

meminimumkan total cost

•

Dengan f.o.c

•

Pemilihan

r

* dapat dijelaskan dengan

pendekatan marjinal analisis (minggu

depan)





 

 

   

q D E E c q X E r h q D E K r q

TC _ B Br

      _{ }   2 ,









0 * *, * *,       r r q TC q r q

TC 2

 

12