SOAL LATIHAN. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan jelas!

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 1 dari 10

SOAL LATIHAN

Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan jelas !

1. Suatu perusahaan mempunyai tiga lokasi gudang yaitu F_a, F_b dan F_c yang akan didistribusikan ke 3 kota yaitu W1, W2 dan W3. Kapasitas gudang Fa, Fb

dan F_c masing-masing adalah 30, 45 dan 75 ton. Sedangkan keperluan kota W₁, W₂ dan W₃ masing-masing adalah 40, 35 dan 65 ton. Ongkos angkut per unit produk tersebut adalah Rp. 1.500,- per Kilo meter. Adapun tabel jarak antara lokasi gudang dengan kota tujuan adalah sebagai berikut:

Kota Tujuan Gudang

W₁ W₂ W₃

F_a 16 30 6

Fb 10 20 18

F_c 12 20 20

Tentukan :

a. Tabel Transportasinya !

b. Model Matematika dari persoalan transportasi tersebut ! c. Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel ! d. Jawab Optimalnya dengan Metode MODI !

2. Sebuah perusahaan mempunyai 6 unit mesin, yaitu M1, M2, M3, M4, M5 dan M6 yang dioperasikan oleh 5 operator, yaitu O1, O2, O3 , O4 dan O5 yang memiliki kemampuan berbeda. Tabel berikut memperlihatkan biaya produksi per hari yang diperlukan setiap mesin dengan masing-masing operator.

Tentukan penugasan masing-masing operator dan biaya produksi setiap harinya sehingga diperoleh hasil yang optimal.

M1 M2 M3 M4 M5 M6

O1 9 10 9 8 7 8

O2 8 10 11 12 10 12

O3 8 8 5 6 5 7

O4 10 6 7 8 11 9

O5 8 7 5 0 5 6

Tentukanlah :

a. Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas !

b. Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya ! Perhatian !

Hasil pengerjaan soal di atas akan dijadikan sebagai nilai Kuis dan juga akan dihitung sebagai 1 kali hadir !

Selamat Mencoba !

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 2 dari 10

JAWABAN SOAL LATIHAN

1. Suatu perusahaan mempunyai tiga lokasi gudang yaitu Fa, Fb dan Fc yang akan didistribusikan ke 3 kota yaitu W1, W2 dan W3. Kapasitas gudang Fa, Fb dan Fc

masing-masing adalah 30, 45 dan 75 ton. Sedangkan keperluan kota W1, W2 dan W3

masing-masing adalah 40, 35 dan 65 ton. Ongkos angkut per unit produk tersebut adalah Rp. 1.500,- per Kilo meter. Adapun tabel jarak antara lokasi gudang dengan kota tujuan adalah sebagai berikut:

Kota Tujuan Gudang

W1 W2 W3

Fa 16 30 6

Fb 10 20 18

Fc 12 20 20

Tentukan :

a. Tabel Transportasinya !

b. Model Matematika dari persoalan transportasi tersebut ! c. Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel !

d. Jawab Optimalnya dengan Metode MODI !

Jawab:

a). Tabel Transportasi:

Tujuan

Gudang W1 W2 W3 Dummy ai

16 30 6 0

Fa X11 X12 X13 X14 30

10 20 18 0

Fb X21 X22 X23 X24 45

12 20 20 0

Fc X31 X32 X33 X34 75

b_j 40 35 65 10 150

b). Model Matematika:

Meminimalkan :

Z = (16X11 + 30X12 + 6X13 + 0X14 + 10X21 + 20X22 + 18X23 + 0X24 + 12X31 + 20X32 + 20X33

+ 0X34 ) Rp. 1.500,- Fungsi Kendala:

1). Keterbatasan Kapasitas Gudang:

a. Gudang Fa : X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 30 b. Gudang Fb : X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 45 c. Gudang Fc : X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 75 2). Keterbatasan Kapasitas Kota Tujuan:

a. Kota Tujuan W1 : X11 + X21 + X31 ≥ 40 b. Kota Tujuan W1 : X12 + X22 + X32 ≥ 35 c. Kota Tujuan W1 : X13 + X23 + X33 ≥ 65 d. Kota Tujuan Dummy : X14 + X24 + X34 ≥ 10

3). Syarat non negative : Xij ≥ 0 untuk i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3, 4.

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 3 dari 10

c). Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel:

Alternatif I:

Tujuan

Gudang W1 W2 W3 Dummy ai Penalti Baris

16 30 6 0

Fa x x 30 x 30 6 x x x x

10 20 18 0

Fb 40 x 5 x 45 10 10 8 2 x

12 20 20 0

Fc x 35 30 10 75 12 12 8 0 0

b_j 40 35 65 10 150

2 10 12 0

2 0 2 0

2 0 2 x

x 0 2 x

Penalti Kolom

x 20 20 x

Z_awal = (C₁₃.X₁₃ + C₂₁.X₂₁ + C₂₃.X₂₃ + C₃₂.X₃₂ + C₃₃.X₃₃ + C₃₄.X₃₄ ) x Rp. 1.500,-

= (6.30 + 10.40 + 18.5 + 20.35 + 20.30 + 0.10) x Rp. 1.500,-

= (180 + 400 + 90 + 700 + 600 + 0) x Rp. 1.500,-

= 1970 x Rp. 1.500,-

= Rp. 2.955.000,-

Alternatif II:

Tujuan

Gudang W1 W2 W3 Dummy a_i Penalti Baris

16 30 6 0

Fa

x x 30 x 30 6 10 x x x

10 20 18 0

Fb x 10 35 x 45 10 8 8 2 2

12 20 20 0

Fc

40 25 x 10 75 12 8 8 0 0

bj 40 35 65 10 150

2 10 12 0

2 10 12 x

2 0 2 x

x 0 X x

Penalti Kolom

x 20 X x

Zawal = (C13.X13 + C22.X22 + C23.X23 + C31.X31 + C32.X32 + C34.X34 ) x Rp. 1.500,-

= (6.30 + 20.10 + 18.35 + 12.40 + 20.25 + 0.10) x Rp. 1.500,-

= (180 + 200 + 630 + 480 + 500 + 0) x Rp. 1.500,-

= 1990 x Rp. 1.500,-

= Rp. 2.985.000,-

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 4 dari 10 d). Jawab Optimalnya dengan Metode MODI (Alternatif I)

Tujuan

Gudang W1 W2 W3 Dummy ai ui

16 30 6 0

Fa x x 30 x 30 u1 = 0

10 20 18 0

Fb

40 x

5 x 45 u₂ = 12

12 20 20 0

Fc x 35 30 10 75 u₃ = 14

b_j 40 35 65 10 150

v_j v1 = −−−−2 v₂ = 6 v₃ = 6 v4 = −−−−14

1). Evaluasi Variabel Basis:

*) c₁₃ = u₁ + v₃, misalkan u₁ = 0, maka: 6 = 0 + v₃ → v₃ = 6

*) c₂₃ = u₂ + v₃ → 18 = u₂ + 6→ u₂ = 12

*) c21 = u2 + v1 → 10 = 12 + v1 → v1 = −−−−2

*) c33 = u3 + v3 → 20 = u3 + 6→ u3 = 14

*) c32 = u3 + v2 → 20 = 14 + v2 → v2 = 6

*) c₃₄ = u₃ + v₄ → 0 = 14 + v₄ → v₄ = −−−−14 2). Evaluasi Variabel Non Basis:

*) Z₁₁−−−−C₁₁= u₁ + v₁ −−−− c₁₁ = 0 −−−− 2 − 16 = −18

*) Z12−−−−C12= u1 + v2 −−−− c12 = 0 + 6 − 30 = −24

*) Z14−−−−C14= u1 + v4 −−−− c14 = 0 −−−− 14 − 0 = −14

*) Z22−−−−C22= u2 + v2 −−−− c22 = 12 + 6 − 20 = −2

*) Z24−−−−C24= u2 + v4 −−−− c24 = 12 −−−− 14 − 0 = −2

*) Z₃₁−−−−C₃₁= u₃ + v₁ −−−− c₃₁ = 14 −−−− 4 − 12 = −2

Karena semua nilai dari Zij−−−−Cij ≤ 0, maka tabel sudah optimal dengan Zopt. = Rp. 2.955.000,-

Jawab Optimalnya dengan Metode MODI (Alternatif II) Tujuan

Gudang W1 W2 W3 Dummy a_i u_i

16 30 6 0

Fa x x 30 x 30 u1 = 6

10 20 18 0

Fb x 10 35 x 45 u₂ = 18

12 20 20 0

Fc 40 25 x 10 75 u₃ = 18

bj 40 35 65 10 150

v_j v₁ = −−−−6 v₂ = 2 v₃ = 0 v₄ = −−−−18

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 5 dari 10

1). Evaluasi Variabel Basis:

*) c₁₃ = u₁ + v₃, misalkan v₃ = 0, maka: 6 = u₁ + 0→ u₁ = 6

*) c₂₃ = u₂ + v₃ → 18 = u₂ + 0→ u₂ = 18

*) c₂₂ = u₂ + v₂ → 20 = 18 + v₂ → v₂ = 2

*) c₃₂ = u₃ + v₂ → 20 = u₃ + 2→ u₃ = 18

*) c31 = u3 + v1 → 12 = 14 + v1 → v1 = −−−−6

*) c34 = u3 + v4 → 0 = 14 + v4 → v4 = −−−−18 2). Evaluasi Variabel Non Basis:

*) Z₁₁−−−−C₁₁= u₁ + v₁ −−−− c₁₁ = 6 −−−− 6 − 16 = −16

*) Z₁₂−−−−C₁₂= u₁ + v₂ −−−− c₁₂ = 6 + 2 − 30 = −22

*) Z₁₄−−−−C₁₄= u₁ + v₄ −−−− c₁₄ = 6 −−−− 18 − 0 = −12

*) Z₂₁−−−−C₂₁= u₂ + v₁ −−−− c₂₁ = 18 −−−− 6 − 10 = 2

*) Z24−−−−C24= u2 + v4 −−−− c24 = 18 −−−− 18 − 0 = 0

*) Z33−−−−C33= u3 + v3 −−−− c33 = 18 −−−− 0 − 20 = −2

Karena masih ada nilai dari Zij−−−−Cij ≥ 0, maka tabel belum optimal, maka dapat ditentukan Entering Variable dan Leaving Variable.

3). Menentukan Entering Variable dengan memilih Max { Z_ij−−−−C_ij} = 2 → yang merupakan nilai dari Z₂₁−−−−C₂₁, maka X₂₁ masuk menjadi basis.

4). Menentukan Leaving Variable dengan:

a). Loop yang melalui X₂₁ adalah X₂₂ − X₂₃ + X₃₁ − X₂₁

b). Yang keluar basis adalah Min { X₂₂ , X₃₁ } = Min {10, 40} = 10 → yang merupakan nilai X₂₂, maka X₂₂ keluar basis.

c). Penyesuaian nilai variabel dalam loop:

X₂₂ = Keluar Basis, X₃₂ = 25 + 10 = 35

X₃₁ = 40 − 10 = 30 X₂₁ = 10, sehingga tabelnya berubah menjadi:

Tujuan

Gudang W1 W2 W3 Dummy a_i u_i

16 30 6 0

Fa x x 30 x 30 u₁ = 6

10 20 18 0

Fb 10 x 35 x 45 u2 = 18

12 20 20 0

Fc 30 35 x 10 75 u₃ = 20

b_j 40 35 65 10 150

v_j v₁ = −−−−8 v₂ = 0 v₃ = 0 v₄ = −−−−20

6). Evaluasi Variabel Basis:

*) c₁₃ = u₁ + v₃, misalkan v₃ = 0, maka: 6 = u₁ + 0→ u₁ = 6

*) c₂₃ = u₂ + v₃ → 18 = u₂ + 0→ u₂ = 18

*) c₂₁ = u₂ + v₁ → 10 = 18 + v₁ → v₁ = −−−−8

*) c₃₁ = u₃ + v₁ → 12 = u₃ −−−− 8→ u₃ = 20

*) c₃₂ = u₃ + v₂ → 20 = 20 + v₂ → v₂ = 0

*) c₃₄ = u₃ + v₄ → 0 = 20 + v₄ → v₄ = −−−−20 7). Evaluasi Variabel Non Basis:

*) Z₁₁−−−−C₁₁= u₁ + v₁ −−−− c₁₁ = 6 −−−− 8 − 16 = −18

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 6 dari 10

*) Z12−−−−C12= u1 + v2 −−−− c12 = 6 + 0 − 30 = −24

*) Z14−−−−C14= u1 + v4 −−−− c14 = 6 −−−− 20 − 0 = −14

*) Z₂₂−−−−C₂₂= u₂ + v₂ −−−− c₂₂ = 18 + 0 − 20 = −2

*) Z24−−−−C24= u2 + v4 −−−− c24 = 18 −−−− 20 − 0 = −2

*) Z₃₃−−−−C₃₃= u₃ + v₃ −−−− c₃₃ = 20 + 0 − 20 = 0

Karena semua nilai dari Z_ij−−−−C_ij ≤ 0, maka tabel sudah optimal dengan Z_opt. = (Z_awal −−−− (2 x 10)) x Rp. 1.500,-

= (1990 – 20) x Rp. 1.500,-

= (1970) x Rp. 1.500,-

= Rp. 2.955.000,-

Solusi dengan LINDO:

MIN 16 X11 + 30 X12 + 6 X13 + 10 X21 + 20 X22 + 18 X23 + 12 X31 + 20 X32 + 20 X33

SUBJECT TO

2) X11 + X12 + X13 + X14 <= 30 3) X21 + X22 + X23 + X24 <= 45 4) X31 + X32 + X33 + X34 <= 75 5) X11 + X21 + X31 >= 40

6) X12 + X22 + X32 >= 35 7) X13 + X23 + X33 >= 65 8) X14 + X24 + X34 >= 10 END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 9

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 1970.000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 18.000000 X12 0.000000 24.000000 X13 30.000000 0.000000 X14 0.000000 14.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 2.000000 X23 35.000000 0.000000 X24 0.000000 2.000000 X31 30.000000 0.000000 X32 35.000000 0.000000 X33 0.000000 0.000000 X34 10.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 14.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 0.000000 0.000000

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 7 dari 10 5) 0.000000 -12.000000

6) 0.000000 -20.000000 7) 0.000000 -20.000000 8) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 9

2. Sebuah perusahaan mempunyai 6 unit mesin, yaitu M1, M2, M3, M4, M5 dan M6 yang dioperasikan oleh 5 operator, yaitu O1, O2, O3 , O4 dan O5 yang memiliki kemampuan berbeda. Tabel berikut memperlihatkan biaya produksi per hari yang diperlukan setiap mesin dengan masing-masing operator.

Tentukan penugasan masing-masing operator dan biaya produksi setiap harinya sehingga diperoleh hasil yang optimal.

M1 M2 M3 M4 M5 M6

O1 9 10 9 8 7 8

O2 8 10 11 12 10 12

O3 8 8 5 6 5 7

O4 10 6 7 8 11 9

O5 8 7 5 0 5 6

Tentukanlah :

a. Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas !

b. Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya !

Jawab:

a). Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas adalah:

*) Fungsi Tujuan :

Meminimumkan Z = 9X₁₁ + 10X₁₂ + 9X₁₃ + 8X₁₄ + 7X₁₅ + 8X₁₆ + 8X₂₁ + 10X₂₂ + 11X23 + 12X24 + 10X25 + 12X26 + 8X31 + 8X32 + 5X33 + 6X₃₄ + 5X₃₅ + 7X₃₆ + 10X₄₁ + 6X₄₂ + 7X₄₃ + 8X₄₄ + 11X₄₅ + 9X₄₆ + 8X₅₁ + 7X₅₂ + 5X₅₃ + 0X₅₄ + 5X₅₅ + 6X₅₆ + 0X₆₁ + 0X62 + 0X63 + 0X64 + 0X65 + 0X66

*) Fungsi Kendala:

Kapasitas Sumber (Operator)

1). Operator 1 : X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ + X₁₅ + X₁₆ = 1 2). Operator 2 : X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 = 1 3). Operator 3 : X₃₁ + X₃₂ + X₃₃ + X₃₄ + X₃₅ + X₃₆ = 1 4). Operator 4 : X₄₁ + X₄₂ + X₄₃ + X₄₄ + X₄₅ + X₄₆ = 1 5). Operator 5 : X51 + X52 + X53 + X54 + X55 + X56 = 1 6). Dummy : X₆₁ + X₆₂ + X₆₃ + X₆₄ + X₆₅ + X₆₆ = 1 Kapasitas Tujuan (Mesin)

1). Mesin 1 : X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ + X₅₁ + X₆₁ = 1 2). Mesin 2 : X₁₂ + X₂₂ + X₃₂ + X₄₂ + X₅₂ + X₆₂ = 1 3). Mesin 3 : X₁₃ + X₂₃ + X₃₃ + X₄₃ + X₅₃ + X₆₃ = 1

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 8 dari 10

4). Mesin 4 : X₁₄ + X₂₄ + X₃₄ + X₄₄ + X₅₄ + X₆₄ = 1 5). Mesin 5 : X₁₅ + X₂₅ + X₃₅ + X₄₅ + X₅₅ + X₆₅ = 1 6). Mesin 6 : X16 + X26 + X36 + X46 + X56 + X66 = 1

*) Syarat Non Negatif : X_ij = 0 atau 1 untuk i = 1, 2, …, 6, dan j = 1, 2, …, 6 b). Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya dapat

ditentukan dengan menggunakan Metode Hungarian:

Penugasannya adalah:

O1 ditugaskan kepada M5 , O2 ditugaskan kepada M1

O3 ditugaskan kepada M3 , O4 ditugaskan kepada M2

O5 ditugaskan kepada M4, D ditugaskan kepada M6

Dengan Ongkos minimal :

Z = C15 + C21 + C33 + C42 + C54 + C66 = 7 + 8 + 5 + 6 + 0 + 0 = 26 Satuan.

Pemecahan dengan LINDO:

MIN 9X11 + 10X12 + 9X13 + 8X14 + 7X15 + 8X16 + 8X21 + 10X22 + 11X23 + 12X24 + 10X25 + 12X26 + 8X31 + 8X32 + 5X33 + 6X34 +

Tabel 1

M1 M2 M3 M4 M5 M6

O1 9 10 9 8 7 8

O2 8 10 11 12 10 12

O3 8 8 5 6 5 7

O4 10 6 7 8 11 9

O5 8 7 5 0 5 6

D 0 0 0 0 0 0

Tabel 2

2 3 2 1 0 1 0 2 3 4 2 4 3 3 0 1 0 2 4 0 1 2 5 3 8 7 5 0 5 6 0 0 0 0 0 0

(Jumlah garis = 6) = (Jumlah baris = 6) Maka tabel sudah optimal.

Tabel Optimal

2 3 2 1 0 1

0 2 3 4 2 4

3 3 0 1 0 2 4 0 1 2 5 3 8 7 5 0 5 6 0 0 0 0 0 0

Tabel 1

M1 M2 M3 M4 M5 M6

O1 9 10 9 8 7 8

O2 8 10 11 12 10 12

O3 8 8 5 6 5 7

O4 10 6 7 8 11 9

O5 8 7 5 0 5 6

D 0 0 0 0 0 0

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 9 dari 10 5X35 + 7X36 + 10X41 + 6X42 + 7X43 + 8X44 + 11X45 + 9X46 + 8X51 + 7X52 + 5X53 + 5X55 + 6X56

SUBJECT TO

2) X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 = 1 3) X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 = 1 4) X31 + X32 + X33 + X34 + X35 + X36 = 1 5) X41 + X42 + X43 + X44 + X45 + X46 = 1 6) X51 + X52 + X53 + X54 + X55 + X56 = 1 7) X61 + X62 + X63 + X64 + X65 + X66 = 1 8) X11 + X21 + X31 + X41 + X51 + X61 = 1 9) X12 + X22 + X32 + X42 + X52 + X62 = 1 10) X13 + X23 + X33 + X43 + X53 + X63 = 1 11) X14 + X24 + X34 + X44 + X54 + X64 = 1 12) X15 + X25 + X35 + X45 + X55 + X65 = 1 13) X16 + X26 + X36 + X46 + X56 + X66 = 1 END

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 13 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 26.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 2.000000 X12 0.000000 4.000000 X13 0.000000 2.000000 X14 0.000000 6.000000 X15 1.000000 0.000000 X16 0.000000 1.000000 X21 1.000000 0.000000 X22 0.000000 3.000000 X23 0.000000 3.000000 X24 0.000000 9.000000 X25 0.000000 2.000000 X26 0.000000 4.000000 X31 0.000000 3.000000 X32 0.000000 4.000000 X33 1.000000 0.000000 X34 0.000000 6.000000 X35 0.000000 0.000000 X36 0.000000 2.000000 X41 0.000000 3.000000 X42 1.000000 0.000000 X43 0.000000 0.000000 X44 0.000000 6.000000 X45 0.000000 4.000000 X46 0.000000 2.000000 X51 0.000000 3.000000 X52 0.000000 3.000000 X53 0.000000 0.000000 X54 1.000000 0.000000 X55 0.000000 0.000000

G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 10 dari 10 X56 0.000000 1.000000

X61 0.000000 0.000000 X62 0.000000 1.000000 X63 0.000000 0.000000 X64 0.000000 5.000000 X65 0.000000 0.000000 X66 1.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 -1.000000 4) 0.000000 2.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 2.000000 7) 0.000000 7.000000 8) 0.000000 -7.000000 9) 0.000000 -6.000000 10) 0.000000 -7.000000 11) 0.000000 -2.000000 12) 0.000000 -7.000000 13) 0.000000 -7.000000

NO. ITERATIONS= 13