PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI PADA AIR
SKRIPSI
INDRI ZULMISEFNIDES 130803025
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2017
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI PADA AIR
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
INDRI ZULMISEFNIDES 130803025
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2017
PERSETUJUAN
Judu l : Pemodelan Proses Sedimentasi Pada Air
Kategori : Skripsi
Nama : Indri Zulmisefnides
Nomor Induk Mahasiswa : 130803025
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, 30 Mei 2017
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Dr. Sawaluddin, M.IT NIP. 19591231 199802 1 001
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901 198803 1 002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Dr. Suyanto, M.Kom
NIP. 19590813 198601 1 002
PERNYATAAN
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI PADA AIR
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, 30 Mei 2017
Indri Zulmisefnides 130803025
PENGHARGAAN
Puji Syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya serta memberikan banyak kemudahan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Pemodelan Proses Sedimentasi Pada Air. Shalawat dan salam penulis ucapkan kepada Rasulullah Shallallahu ‘Alaihi wa Sallam, keluarga, para sahabat, dan orang-orang yang mengikutinya.
Terima kasih penulis ucapkan kepada bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku pembimbing 1 yang banyak berjasa kepada penulis dimana beliau telah meluangkan waktu dan pikirannya, memberikan pengarahan, saran dan kritik terkait penulisan skripsi ini. Terima kasih kepada bapak Dr. Sawaluddin, M.IT selaku pembimbing 2 yang juga telah meluangkan waktu, pikiran dan saran untuk perbaikan skripsi ini.
Terima kasih sebesar-besarnya penulis sampaikan kepada kedua orang tua Zulmifriadi dan Desmiati atas do’a dan dukungannya kepada penulis baik secara moril ataupun materi. Terima kasih kepada teman-teman seperjuangan di Matematika yang sudah meluangkan waktu dan pikirannya untuk memberikan nasihat dan selalu memotivasi penulis, kepada teman-teman di UKMI AL- FALAK yang selalu memberikan motivasi dan mendo’akan penulis.
Terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku penguji 1 dan bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom selaku penguji 2 yang telah meluangkan waktu, pikiran dan memberikan kritik maupun saran untuk perbaikan skripsi ini dan sebagai pembelajaran bagi penulis.
Terima kasih penulis sampaikan kepada bapak Dr. Suyanto, M.Kom selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU, bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU, seluruh dosen Matematika USU yang telah membagikan ilmu kepada penulis selama masa perkuliahan, Dekan dan Wakil Dekan FMIPA USU, serta seluruh staf administrasi FMIPA USU.
Terima kasih juga penulis ucapkan kepada teman-teman yang telah memberikan do’a dan motivasi kepada penulis dalam mengerjakan skripsi.
Semoga Tuhan memberikan balasan kebaikan atas segala bantuan yang telah semua berikan kepada penulis.
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI PADA AIR
ABSTRAK
Proses sedimentasi terjadi pada wadah penampungan air. Pada proses sedimentasi tersebut akan diamati bagaimana aliran fluida terjadi dan bagaimana sedimentasi terjadi pada air. Adapun sedimentasi tersebut dipengaruhi oleh massa jenis air dan kecepatan air pada wadah penampungan air.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana memodelkan campuran partikel padat dan cair (suspensi) pada wadah penampungan air dengan cara memodelkannya ke dalam bentuk Matematika yakni dengan menggunakan persamaan diferensial.
Dalam hal ini, faktor-faktor yang mempengaruhi distribusi konsentrasi lumpur tersebut akan dijadikan acuan untuk memodelkan persamaan Matematika selanjutnya akan diselesaikan menggunakan persamaan diferensial.
Hasil dari penelitian ini akan memperlihatkan bahwa model persamaan campuran partikel padat dan cair (suspensi) yang selanjutnya persamaan tersebut disebut persamaan transportasi momentum.
Kata kunci: Suspensi, sedimentasi, model matematika, persamaan diferensial, persamaan transportasi momentum.
SEDIMENTATION PROCESS MODELLING ON WATER
ABSTRACT
Sedimentation process occurs in container of water reservoir. In the sedimentation process will be observed how the fluid flow occurs and how sedimentation occurs in water. The sedimentation is influenced by the density of the water type and the speed of water in the container of water reservoir.
This study aims to find out how to model the mixture of solid and liquid particles (suspension) on the container of water by way of modeling it into a Mathematical form that is by using differential equations.
In this case, the factors affecting the distribution of the sludge concentration will be used as a reference for modeling the mathematical equations will then be solved using differential equations.
The results of this study will show that the equation model of mixed solid and liquid particles (suspension), which then is called the momentum transport equation.
Keywords: Suspension, sediment, mathematical Modelling , persamaan differential equation, momentum transport equation.
DAFTAR ISI
Halaman
PERSETUJUAN i
PERNYATAAN ii
PENGHARGAAN iii
ABSTRAK iv
ABSTRACT v
DAFTAR ISI vi
DAFTARGAMBAR viii
DAFTAR ISTILAH ix
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang 1
1.2. Rumusan Masalah 2
1.3. Batasan Masalah 6
1.4. Tujuan Penelitian 6
1.5. Manfaat Penelitian 6
1.6. Metodologi Penelitian 6
1.7. Kerangka Penelitian 7
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Perusahaan Daerah Air Minum 8
2.2. Mekanika Fluida 9
2.3. Klasifikasi Aliran 10
2.3.1 Aliran-aliran Seragam, Satu, Dua dan Tiga Dimensi
10 2.3.2 Aliran-aliran Kental (Viscous) dan tak-kental
(Inviscid)
10 2.3.3 Aliran-aliran Laminar dan Turbulen 11 2.3.4 Aliran-aliran Inkompresibel dan Kompresibel 11
2.4. Sedimentasi 12
2.5. Faktor-faktor yang mempengaruhi sedimentasi 12
2.6. Model Matematika 15
2.6.1 Siklus Pemodelan 15
2.6.1 Metode-metode Kualitatif 15
2.7. Persamaan Diferensial 16
2.7.1 Persamaan Diferensial Biasa 17
2.7.2 Persamaan Diferensial Parsial 17
2.8. Pergerakan Fluida 17
2.8.1 Deskripsi Lagrangian dan Eulerian 17
2.8.2 Percepatan 18
BAB 3. METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Studi Pendahuluan 21
3.2. Tahap Analisis 21
3.2.1 Menentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam penelitian ini
21 3.2.2 Menetukan kondisi awal dan batas 22 3.2.3 Memodelkan persoalan tersebut ke dalam
bentuk Matematika
3.3. Membuat Kesimpulan dan Menyusun laporan penelitian
22
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1. Sedimentasi 23
4.2. Pemodelan Aliran Dua Fase dari Suspensi Padat 23
4.3. Persamaan Diferensial 23
4.4. Persamaan Kontinuitas Diferensial 24
4.5. Persamaan Momentum Diferensial 26
4.6. Persamaan Model Campuran 31
BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan 33
5.2. Saran 33
DAFTAR PUSTAKA 34
DAFTAR GAMBAR
Nomor Gambar
Judul Halaman
1.1 Proses Pengolahan Air Bersih 1
1.2 Proses Sedimentasi 2
1.3 Mekanisme pergerakan partikel dalam Fluida 5
4.1 Volume Kontrol Infinitesimal 24
4.2 Komponen-komponen tegangan yang saling tegak lurus
pada sebuah elemen cairan 26
DAFTAR ISTILAH
Compresssible fluid : fluida mampu-mampat
Deformasi : perubahan posisi fluida terhadap ruang dan waktu Fluida : suatu zat yang dapat mengalir
Fluida Newtonian : fluida yang menunjukkan hubungan linier antara tegangan geser dan gradien kecepatan. Contoh: air, udara, dan minyak.
Gaya kohesi : gaya tarik menarik antara partikel-partikel yang sejenis
Gaya : tarikan atau dorongan yang terjadi terhadap suatu benda
Incompressible fluid : fluida tak mampu-mampat Densitas : massa fluida per satuan volume
Steady flow : aliran tunak, kecepatannya pada suatu titik di dalam ruang tidak bervariasi menurut waktu
Unsteady flow : aliran tak-tunak, kecepatannya bervariasi menurut waktu
Viskositas : ketahanan internal suatu fluida untuk mengalir
Viskositas dinamik : sifat fluida yang menghubungkan tegangan geser dengan gerakan fluida
Viskositas kinematik : perbandingan antara viskositas dinamik dengan kerapatan fluida
Volume atur : sebuah volume di dalam ruang yang dapat dilalui oleh fluida
Infinitesimal : sangat kecil
Isotropik : suatu fluida isotropik memiliki properti-properti yang independen terhadap arah di suatu titik
Homogen : fluida homogen memiliki properti-properti yang independen terhadap posisi
PEMODELAN PROSES SEDIMENTASI PADA AIR
ABSTRAK
Proses sedimentasi terjadi pada wadah penampungan air. Pada proses sedimentasi tersebut akan diamati bagaimana aliran fluida terjadi dan bagaimana sedimentasi terjadi pada air. Adapun sedimentasi tersebut dipengaruhi oleh massa jenis air dan kecepatan air pada wadah penampungan air.
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana memodelkan campuran partikel padat dan cair (suspensi) pada wadah penampungan air dengan cara memodelkannya ke dalam bentuk Matematika yakni dengan menggunakan persamaan diferensial.
Dalam hal ini, faktor-faktor yang mempengaruhi distribusi konsentrasi lumpur tersebut akan dijadikan acuan untuk memodelkan persamaan Matematika selanjutnya akan diselesaikan menggunakan persamaan diferensial.
Hasil dari penelitian ini akan memperlihatkan bahwa model persamaan campuran partikel padat dan cair (suspensi) yang selanjutnya persamaan tersebut disebut persamaan transportasi momentum.
Kata kunci: Suspensi, sedimentasi, model matematika, persamaan diferensial, persamaan transportasi momentum.
SEDIMENTATION PROCESS MODELLING ON WATER
ABSTRACT
Sedimentation process occurs in container of water reservoir. In the sedimentation process will be observed how the fluid flow occurs and how sedimentation occurs in water. The sedimentation is influenced by the density of the water type and the speed of water in the container of water reservoir.
This study aims to find out how to model the mixture of solid and liquid particles (suspension) on the container of water by way of modeling it into a Mathematical form that is by using differential equations.
In this case, the factors affecting the distribution of the sludge concentration will be used as a reference for modeling the mathematical equations will then be solved using differential equations.
The results of this study will show that the equation model of mixed solid and liquid particles (suspension), which then is called the momentum transport equation.
Keywords: Suspension, sediment, mathematical Modelling , persamaan differential equation, momentum transport equation.
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Perusahaaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan perusahaan milik daerah yang bergerak di bidang pengolahan dan perindustrian air bersih bagi masyarakat umum. Beberapa fasilitas yang dimiliki dalam pemprosesan air bersih antara lain:
intake, menara air baku, clarifier, bangunan pengaduk cepat (Rapid Mixing), bangunan pengaduk lambat (Slow Mixing), bangunan filtrasi, dan reservoir.
Semua peralatan-peralatan tersebut dapat dioperasikan melalui sistem komputer yang ada. Selain berbagai macam peralatan, PDAM juga menggunakan bahan kimia seperti kaporit dan tawas dalam proses pengolahan air bersih. Terdapat beberapa tahapan proses pengolahan air bersih yaitu: penyaringan dan pengendapan, koagulasi, flokulasi, sedimentasi, filtrasi dan desinfeksi. Salah satu dari proses pengolahan air bersih tersebut adalah sedimentasi.
Gambar 1.1. Proses pengolahan Air bersih
Di dalam proses sedimentasi partikel-partikel atau flok-flok yang terbentuk dari flokulasi akan mengendap pada bak sedimentasi. Pada bak sedimentasi dilengkapi ‘tube settler’ yang bertujuan untuk mempercepat proses pengendapan.
Sedimentasi adalah peristiwa pengendapan material batuan yang telah diangkut oleh tenaga air atau angin. Pada saat pengikisan terjadi, air membawa batuan mengalir ke sungai, danau, dan akhirnya sampai di laut. Pada saat kekuatan pengangkutannya berkurang atau habis, batuan diendapkan di daerah aliran air.
Gambar 1.2. Proses Sedimentasi
Berdasarkan pada jenis partikel dan kemampuan partikel untuk berinteraksi, sedimentasi dapat diklasifikasikan ke dalam empat tipe, yaitu:
1. Sedimentasi tipe I/ Plain Settling/Discrete particle
Sedimentasi tipe I merupakan pengendapan partikel diskret, yaitu partikel yang dapat mengendap bebas secara individual tanpa membutuhkan adanya interaksi antar partikel. Sebagai contoh sedimentasi tipe I adalah pengendapan lumpur kasar pada bak prasedimentasi untuk pengolahan air permukaan dan pengendapan pasir pada grit chamber.
2. Sedimentasi tipe II (Flocculant Settling)
Sedimentasi tipe II adalah pengendapan partikel flokulen dalam suspensi, di mana selama pengendapan terjadi saling interaksi antar partikel. Selama operasi pengendapan, ukuran partikel flokulen bertambah besar, sehingga kecepatannya juga meningkat. Sebagai contoh sedimentasi tipe II adalah pengendapan partikel hasil proses koagulasi-flokulasi pada pengolahan air minum maupun air limbah.
3. Sedimentasi tipe III dan IV/Hindered Settling (Zone Settling)
Sedimentasi tipe III adalah pengendapan partikel dengan konsentrasi yang lebih pekat, di mana antar partikel secara bersama-sama saling menahan pengendapan partikel lain disekitarnya. Karena itu pengendapan terjadi secara bersama-sama sebagai sebuah zona dengan kecepatan yang konstan. Pada bagian atas zona terdapat interface yang memisahkan antara massa partikel yang mengendap dengan air jernih. Sedimentasi tipe IV merupakan kelanjutan dari sedimentasi tipe III, dimana terjadi pemampatan (kompresi) massa partikel hingga diperoleh konsentrasi lumpur yang tinggi. Sebagai contoh sedimentasi tipe III dan IV ini adalah pengendapan lumpur biomassa pada final clarifier setelah proses
lumpur aktif .Tujuan pemampatan pada final clarifier adalah untuk mendapatkan konsentrasi lumpur biomassa yang tinggi untuk keperluan resirkulasi lumpur ke dalam reactor lumpur aktif (Anonim, 2007).
Ada dua kelompok cara mengangkut sedimen dari batuan induknya ke tempat pengendapannya, yakni supensi (suspended load) dan bedload tranport.
1. Suspensi
Dalam teori segala ukuran butir sedimen dapat dibawa dalam suspensi, jika arus cukup kuat. Akan tetapi di alam, kenyataannya hanya material halus saja yang dapat diangkut suspensi. Sifat sedimen hasil pengendapan suspensi ini adalah mengandung prosentase masa dasar yang tinggi sehingga butiran tampak mengambang dalam masa dasar dan umumnya disertai memilahan butir yang buruk. Cirilain dari jenis ini adalah butir sedimen yang diangkut tidak pernah menyentuh dasar aliran.
2. Bedload Transport
Berdasarkan tipe gerakan media pembawanya, sedimen dapat dibagi menjadi:
a. Endapan arus traksi
Arus traksi adalah arus suatu media yang membawa sedimen didasarnya.
Pada umumnya gravitasi lebih berpengaruh dari pada yang lainya seperti angin atau pasang-surut air laut. Sedimen yang dihasilkan oleh arus traksi ini umumnya berupa pasir yang berstruktur silang siur, dengan sifat-sifat seperti pemilahan baik, tidak mengandung masa dasar dan ada perubahan besar butir mengecil ke atas (fining upward) atau ke bawah (coarsening upward) tetapi bukan perlapisan bersusun (graded bedding).
b. Endapan arus pekat (density current)
Sistem arus pekat dihasilkan dari kombinasi antara arus traksi dan suspensi. Sistem arus ini biasanya menghasilkan suatu endapan campuran antara pasir, lanau, dan lempung dengan jarang-jarang berstruktur silang- siur dan perlapisan bersusun. Arus pekat (density) disebabkan karena perbedaan kepekatan (density) media. Ini bisa disebabkan karena perlapisan panas, turbiditi dan perbedaan kadar garam. Karena gravitasi, media yang lebih pekat akan bergerak mengalir di bawah media yang lebih encer. Dalam geologi, aliran arus pekat di dalam cairan dikenal dengan
nama turbiditi. Sedangkan arus yang sama di dalam udara dikenal dengan nuees ardentes atau wedus gembel, suatu endapan gas yang keluar dari gunung api.
c. Endapan Suspensi
Endapan dari suspensi pada umumnya berbutir halus seperti lanau dan lempung yang dihembuskan angin atau endapan lempung pelagik pada laut dalam. Selley (1988) membuat hubungan antara proses sedimentasi dan jenis endapan yang dihasilkan.
Kenyataan di alam, transpor dan pengendapan sedimen tidak hanya dikuasai oleh mekanisme tertentu saja misalnya arus traksi saja atau arus pekat saja, tetapi lebih sering merupakan gabungan berbagai mekanisme. Bahkan dalam berbagai hal, merupakan gabungan antara mekanik dan kimiawi. Beberapa sistem seperti itu seperti sistem arus traksi dan suspensi, sistem arus turbit dan pekat dan sistem suspensi dan kimiawi.
Tranportasi pada sedimentasi adalah suatu proses pengangkutan material dari satu tempat ke tempat lain melalu aliran arus atau media yang kemudian material tersebut terhenti dan terendapkan.
Partikel dalam fluida dapat bergerak dengan tiga mekanisme sebagai berikut:
• Menggelinding atau disebut rolling bergerak di dasar aliran udara atau air yang bersentuhan langsung dengan permukaan dasar.
• Saltasi atau disebut saltation bergerak melompat dimana secara periode meninggalkan permukaan dasar dan terangkut dalam tubuh fluida kemudian kembali ke dasar lagi.
• Suspensi atau disebut dengan suspension bergerak di dalam fluida karena turbulensi di dalam aliran.
Gambar 1.3. Mekanisme pergerakan partikel dalam Fluida
Dari persoalan proses sedimentasi pada air, maka peneliti akan melakukan analisis proses sedimentasi pada air dengan cara memodelkan proses sedimentasi tersebut ke dalam bentuk Matematika.
Model memegang peranan penting di bidang ilmu pengetahuan. Biasanya dari segi ekonomi untuk menghemat waktu dan biaya ataupun komoditi berharga lainnya. Pemodelan bisa juga dilakukan untuk menghindari resiko kerusakan sistem nyata. Dengan demikian sebuah model diperlukan bilamana percobaan dengan sistem nyata menjadi terhalang karena mahal, berbahaya ataupun merupakan sesuatu yang tidak mungkin untuk dilakukan.
Model matematika adalah representasi ideal dari sistem nyata yang dijabarkan atau dinyatakan dalam bentuk simbol dan pernyataan matematik.
Dengan kata lain, model matematika merepresentasikan sebuah sistem dalam bentuk hubungan kuantitatif dan logika, berupa suatu persamaan matematika.
Pada model matematika replika atau tiruan dari feomena atau peristiwa alam dideskripsikan melalui satu set persamaan matematika. Kecocokan model terhadap fenomena alam yang dideskripsikan tergantung dari ketepatan formulasi persamaan matematika nya. Pada persoalan ini, pemodelan akan mengubah proses sedimentasi pada air ke dalam bentuk Matematika untuk memudahkan mencari solusi dari persoalan tersebut.
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka peneliti memilih judul penelitian ini dengan “Pemodelan Proses Sedimentasi pada Air.”
1.2 RUMUSAN MASALAH
Dari persoalan proses sedimentasi pada air maka rumusan masalah yang akan diteliti adalah bagaimana memodelkan proses sedimentasi pada air.
1.3 BATASAN MASALAH
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memodelkan persoalan sedimentasi pada air berdasarkan faktor-faktor yang mempengaruhi,
2. Sedimentasi di asumsikan sebagai lumpur, 3. Efek-efek viskos diabaikan,
4. Untuk sifat kohesi dan adhesi tidak diperhatikan,
5. Diasumsikan air mengalir dan tidak berputar, aliran tak mampu- mampat, dan aliran laminar.
1.4 TUJUAN PENELITIAN
Tujuan dari penelitian ini adalah membuat model proses sedimentasi pada air dalam bentuk persamaan Matematika sehingga dapat digunakan untuk menghitung distribusi konsentrasi partikel padat yang terdapat pada air.
1.5 MANFAAT PENELITIAN Manfaat dari penelitian ini adalah
1. Memberikan suatu gambaran proses sedimentasi pada air
2. Memperluas pengetahuan tentang memodelkan sesuatu ke dalam bentuk Matematika.
1.6 METODOLOGI PENELITIAN
Penelitian ini adalah penelitian literatur yang disusun dengan langkah- langkah sebagai berikut:
1. Studi pendahuluan, 2. Tahap analisis,
3. Membuat kesimpulan dan Menyusun laporan penelitian.
1.7 KERANGKA PENELITIAN
Berikut adalah kerangka penelitian yang akan dilakukan dari keterangan metodologi penelitian :
Daftar Pustaka
Menentukan faktor-faktor yang akan digunakan
Memberikan asumsi-asumsi untuk setiap faktor
Menentukan kondisi awal dan batas Sedimentasi
Menentukan faktor-faktor yang mempengaruhi Sedimentasi pada Air
Memodelkan ke dalam bentuk Matematika
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Perusahaan Daerah Air Minum
Perusahaaan Daerah Air Minum (PDAM) merupakan perusahaan milik daerah yang bergerak di bidang pengolahan dan perindustrian air bersih bagi masyarakat umum. Proses pengolahan air bersih terdapat beberapa tahapan yaitu:
1. Penyaringan dan Pengendapan
Penyaringan dan pengendapan bertujuan untuk memisahkan air baku dari zat-zat, seperti: sampah, daun, rumput, pasir dan lain-lain berdasarkan berat jenis zat.
2. Koagulasi
Koagulasi adalah proses pembubuhan bahan kimia Al2(SO4)3 (Tawas) kedalam air agar kotoran dalam air yang berupa padatan resuspensi misalnya zat warna organik, lumpur halus, bakteri dan lain-lain dapat menggumpal dan cepat mengendap.
3. Flokulasi
Flokulasi adalah proses pembentukan flok sebagai akibat gabungan dari koloid-koloid dalam air baku (air sungai) dengan koagulan. Pembentukan flok akan terjadi dengan baik jika di tambahkan koagulan kedalam air baku (air sungai) kemudian dilakukan pengadukan lambat.
4. Sedimentasi
Setelah proses koagulasi dan flokulasi, air tersebut di diamkan sampai gumpalan kotoran yang terjadi mengendap semua. Setelah kotoran mengendap air akan tampak lebih jernih.
5. Filtrasi
Pada proses pengendapan tidak semua gumpalan kotoran dapat diendapkan semua. Butiran gumpalan kotoran kotoran dengan ukuran yang besar dan berat akan mengendap, sedangkan yang berukuran kecil dan ringan masih melayang-layang dalam air. Untuk mendapatkan air yang betul-betul jernih harus dilakukan proses penyaringan. Penyaringan dilakukan dengan mengalirkan air yang telah diendapkan kotorannya ke bak penyaring yang terdiri dari saringan pasir silika.
6. Desinfeksi
Pemberian desinfektan (gas khlor) pada air hasil penyaringan bertujuan agar dapat mereduksi konsentrasi bakteri secara umum dan menghilangkan bakteri pathogen (bakteri penyebeb penyakit).
2.2 Mekanika Fluida
Mekanika Fluida adalah disiplin ilmu bagian dari bidang mekanika terapan yang mengkaji perilaku dari zat-zat cair dan gas dalam keadaan diam atau pun bergerak. Bidang mekanika ini jelas mencakup berbagai persoalan yang sangat bervariasi, mulai dari kajian mengenai aliran darah di saluran-saluran kapiler (yang hanya berdiameter beberapa mikron) sampai pada kajian aliran minyak mentah yang melewati Alaska melalui pipa berdiameter 4 ft sepanjang 800 mil.
Fluida didefinisikan sebagai zat yang berdeformasi (mengalir) terus-menerus selama dipengaruhi suatu tegangan geser. Sebuah tegangan (gaya per satuan luas) geser terbentuk apabila sebuah gaya tangensial bekerja pada sebuah permukaan. Apabila benda-benda padat biasa seperti baja atau logam-logam lainnya dikenai oleh suatu tegangan geser, mula-mula benda ini akan berdeformasi (biasanya sangat kecil), tetapi tidak akan terus-menerus berdeformasi (mengalir). Namun, cairan yang biasa seperti air, minyak, dan udara memenuhi definisi dari sebuah fluida – artinya, zat-zat tersebut akan mengalir apabila padanya bekerja sebuah tegangan geser. Beberapa bahan, seperti lumpur, aspal, dempul, odol dan lain sebagaiannya tidak mudah untuk
diklasifikasikan karena bahan-bahan tersebut akan berperilaku seperti benda padat jika tegangan geser yang bekerja kecil, tetapi jika tegangan tersebut melampaui suatu nilai kritis tertentu, zat-zat tersebut akan mengalir.
2.3 Klasifikasi Aliran
Mekanika fluida adalah subjek di mana banyak dijumpai fenomena yang kompleks, jadilah sangat penting untuk memahami deskripsi dan simplifikasi dari beberapa aliran fluida khusus. Berikut klasifikasi aliran-aliran fluida 2.3.1 Aliran-aliran Seragam, Satu, Dua dan Tiga Dimensi
Secara umum, dalam pembahasan mengenai fluida, suatu variabel dependen bergantung pada koordinat tiga ruang dan waktu, misalnya V(x,y,z,t). Aliran yang bergantung pada koordinat tiga ruang adalah aliran tiga dimensi; dapat berupa aliran tunak jika tidak bergantung pada waktu, seperti misalnya aliran di dekat sambungan antara sayap dan badan pesawat yang sedang terbang pada kecepatan konstan. Aliran di dalam sebuah mesin cuci akan berupa aliran tiga dimensional tak-tunak.
Aliran-aliran tertentu dapat diaproksimasikan sebagai aliran dua dimensi;
aliran yang melewati weir yang lebar, di mulut sebuah pipa dan di seputar sebuah bola adalah contoh-contoh yang khususnya ingin diketahui. Dalam aliran dua dimensi seperti itu variabel-variabel dependennya bergantung hanya pada variabel dua ruang, yang artinya p(r,θ)atau V(x,y,t). Jika koordinat ruangnya adalah x dan y, aliran tersebut disebut sebagai aliran datar.
Aliran satu dimensi adalah aliran di mana kecepatannya bergantung hanya pada variabel satu ruang. Aliran ini khususnya adalah aliran-aliran dalam pipa dan saluran. Untuk aliran di dalam sebuah pipa yang panjang, kecepatan bergantung pada radius rdan di dalam sebuah saluran yang lebar (papan paralel) hanya bergantung pada y.
2.3.2 Aliran-aliran Kental (Viscous) dan tak-Kental (Inviscid)
Efek viskositas (kekentalan) dapat diabaikan sepenuhnya di dalam aliran tak-kental tanpa banyak mengubah solusi dari soal yang melibatkan aliran tersebut. Semua fluida memiliki viskositas dan jika efek-efek
viskositasnya tidak dapat diabaikan aliran tersebut adalah aliran kental.
Sebaliknya pada aliran tak kental, viskositas dapat diabaikan di dalam aliran yang berada jauh dari permukaan di dalam banyak aliran akan diperoleh penyelesaian yang lebih sederhana.
2.3.3 Aliran-aliran Laminar dan Turbulen
Suatu aliran kental dapat berupa aliran laminar atau aliran turbulen. Di dalam aliran turbulen terjadi penyampuran partikel-partikel fluida sehingga pergerakan suatu partikel tertentu terjadi secara acak dan sangat tidak teratur; perata-rataan statistika dipakai untuk menetapkan kecepatan, tekanan dan kuantitas-kuantitas lainnya yang ingin diketahui. Di dalam aliran laminar tidak terjadi pencampuran partikel-partikel yang signifikan;
pergerakannya halus dan tenang, seperti aliran air yang mengalir pelan dari sebuah keran. Jika zat pewarna dimasukkan ke dalam aliran laminar, zat tersebut akan tetap terlihat jelas untuk jangka waktu yang lama. Ketika suatu aliran mulai bergerak, seperti misalnya di dalam sebuah pipa, awalnya aliran tersebut bersifat laminar, akan tetapi dengan meningkat kecepatan rata-ratanya, aliran laminar tersebut menjadi tidak stabil dan terjadilah aliran turbulen.
2.3.4 Aliran-aliran Inkompresibel dan Kompresibel
Aliran cairan diasumsikan bersifat inkompresibel dalam kebanyakan kasus. Di dalam aliran inkompresibel densitas partikel fluida yang bergerak diasumsikan konstan, artinya
=0 Dt Dρ
(2.1) Persamaan ini tidak mengharuskan bahwa semua partikel fluida memiliki densitas yang sama. Sebagai contoh, garam dapat ditambahkan ke aliran di suatu di dalam pipa sehingga di belakang lokasi tersebut densitas nya akan lebih besar dibandingkan dengan lokasi di depannya. Udara atmosfer pada kecepatan rendah bersifat inkompresibel akan tetapi densitasnya berkurang dengan bertambahnya ketinggian, artinya ρ = ρ(z) , di mana zadalah jarak vertikal. Biasanya fluida diasumsikan memiliki densitas konstan ketika menggunakan asumsi inkompresibelitas, yang berarti
=0
∂
∂ t
ρ =0
∂
∂ x
ρ =0
∂
∂ y
ρ =0
∂
∂ z
ρ (2.2)
2.4 Sedimentasi
Sedimentasi adalah pemisahan solid-liquid menggunakan pegendapan secara gravitasi untuk menyisihkan suspended-solid
Suspensi adalah suatu campuran fluida yang mengandung partikel padat.
Atau dengan kata lain campuran heterogen dari zat cair dan zat padat yang dilarutkan dalam zat cair tersebut. Partikel padat dalam sistem suspensi umumnya lebih besar dari 1 mikrometer sehingga cukup besar untuk memungkinkan terjadinya sedimentasi. Tidak seperti koloid, padatan pada suspensi akan mengalami pengendapan atau sedimentasi walaupun tidak terdapat gangguan. Singkatnya, suspensi merupakan campuran yang masih dapat dibedakan antara pelarut dan zat yang dilarutkan. Contoh suspensi adalah lumpur, tepung, kabut, cat dan lain-lain. Salah satu contoh dari suspensi tersebut adalah lumpur. Lumpur adalah campuran cair atau semicair antara air dan tanah. Lumpur terjadi saat tanah basah. Secara geologis, lumpur ialah campuran air dan partikel endapan lumpur dan tanah liat.
Endapan lumpur masa lalu mengeras selama beberapa lama menjadi batu endapan.
2.5 Faktor-faktor yang mempengaruhi Sedimentasi
Faktor-faktor yang mempengaruhi kecepatan pengendapan:
1. Konsentrasi
Dengan semakin besarnya konsentrasi, gaya gesek yang dialami partikel antara partikel lain semakin besar sehingga drag force atau gaya seret nya pun semakin besar. Hal ini disebabkan karena dengan semakin besarnya konsentrasi berarti semakin banyak jumlah partikel dalam suatu suspensi yang menyebabkan bertambahnya gaya gesek antara suatu partikel dengan partikel yang lain. Drag force atau gaya seret ini bekerja pada arah yang berlawanan dengan gerakan partikel dalam fluida. Dalam hal ini gaya drag ke arah atas dan gerakan partikel ke bawah. Gaya seret ini disebabkan oleh
adanya transfer momentum yang arahnya tegak lurus permukaan partikel dalam bentuk gesekan. Maka, dengan adanya drag force yang arahnya berlawanan dengan arah partikel ini akan menyebabkan gerakan partikel menjadi lambat karena semakin kecilnya gaya total ke bawah sehingga kecepatan pengendapan semakin turun.
2. Tekanan
Tekanan adalah hasil dari gaya-gaya komprehensif yang bekerja pada satuan luas. Tekanan didefinisikan oleh :
A P F
A ∆
= ∆
→
∆lim0 (2.3)
di mana P adalah Tekanan (Pa), F adalah Gaya (Newton) dan A adalah luas penampang (m2
3. Densitas (massa jenis) ).
Massa jenis dari suatu benda merupakan konsentrasi terukur dari massa benda tersebut. Massa jenis dapat ditentukan dengan mengambil perbandingan antara massa benda yang berada pada suatu tempat dibagi dengan volume ruangf yang ditempati oleh benda tersebut.
Massa jenis dapat didefinisikan sebagai:
V m
V ∆
= ∆
→
∆lim0
ρ (2.4)
di mana m∆ adalah massa (kg) dan ∆ adalah volume (mV 3
z y x, ,
). Jadi, dengan asumsi kontinum, kuantitas-kuantitas yang diinginkan diasumsikan terdefinisikan pada semua titik dari daerah yang dimaksud. Sebagai contoh, massa jenis merupakan fungsi kontinu dari dan t, artinya
) , , , (x y z t ρ
ρ = .
4. Tegangan Permukaan
Bintik air yang jatuh di udara atau gelembung udara yang ada dalam air akan selalu berbentuk bola, terbebas dari pengaruh gaya luar seperti gaya geser akibat viskositas. Bila air dituang ke dalam gelas bersih sampai penuh maka pada batas tertentu permukaan air pada gelas dapat lebih
tinggi dari permukaan dinding gelas. Bila tabung pipa kaca bersih dicelupkan tegak lurus permukaan air maka air pada tepi luar tabung akan naik, lebih tinggi sedikit dari permukaan air sekelilingnya. Contoh-contoh tersebut adalah efek dari adanya tegangan permukaan pada zat cair . properti ini dikenal dengan nama tegangan permukaan karna adanya tarik- menarik antara molekul-molekul dekat permukaan dengan molekul- molekul yang tidak dekat permukaan. Kerja molekul ini terjadi untuk membawa molekul ke permukaan. Pembentukan permukaan bebas membutuhkan energi dan energi persatuan luas permukaan dikenal dengan nama tegangan permukaan yang biasa diberi notasi σ . Tegangan permukaan σ berdimensi energi persatuan luas permukaan gaya persatuan panjang.
5. Viskositas
Fluida didefinisikan sebagai substansi yang terus-menerus berdeformasi bila ada tegangan geser yang bekerja pada fluida tersebut. Fluida tidak mampu menahan tegangan geser pada saat fluida dalam keadaan diam. Hal ini menyatakan secara tidak langsung bahwa tegangan geser akan timbul hanya apabila fluida dalam keadaan bergerak. Juga tegangan geser akan ada apabila fluida memiliki viskositas dan viskositas merupakan karakteristik yang dimiliki oleh semua fluida nyata. Oleh karna itu fluida ideal dapat didefinisikan sebagai fluida yang tidak memiliki viskositas dan tegangan geser tidak akan timbul pada fluida ideal apabila fluida ini dalam keadaan bergerak.
Viskositas (kekentalan) fluida besarnya dapat ditentukan melalui pengukuran terhadap tingkat hambatan yang ditimbulkan pada aliran fluida yang bersangkutan. Viskositas merupakan properti dari semua fluida nyata dan viskositas inilah yang membedakan fluida nyata dengan fluida ideal (fluida tak berviskositas). Hambatan geser terukur sebagai gaya geser total.
Satuan tegangan geser adalah gaya geser persatuan-satuan luas.
Dalam beberapa masalah mengenai gerak zat cair, kekentalan absolut dihubungkan dengan massa jenis dalam bentuk:
ρ
=µ
v (2.5)
di mana v adalah viskositas kinematik, µ viskositas dinamik dan ρ adalah massa jenis.
6. Kecepatan
Deskripsi aliran Eulerian merupakan deskripsi yang akan digunakan dalam pembahasan mengenai fluida. Jika meletakkan fokus pada suatu titik umum (x,y,z) didalam aliran yang mengalir melewati titik tersebut dengan kecepatan V(x,y,z). Laju perubahan kecepatan dari aliran ketika melewati titik tersebut adalah dV /dx, dV /dy,dV /dz dan dapat berubah terhadap waktu di titik tersebut: dV /dt. Di sini menggunakan derivatif parsial karna kecepatan merupakan fungsi dari keempat variabel.
2.6 Model Matematika
Model-model matematika dapat diartikan sebagai persamaan-persamaan, persamaan-persamaan yang memodelkan beberapa situasi nyata. Sebagai contoh, ketika membahas rangkaian elektronik arus langsung (DC) sederhana, persamaan V= RI memodelkan penurunan tegangan (yang diukur dalam volt) melewati sebuah tahanan (yang diukur dalam ohm), di mana I arus (yang diukur dalam ampere). Persamaan ini disebut Hukum Ohm. Setelah selesai dikonstruksi, beberapa model dapat digunakan untuk memprediksi berbagai situasi fisik. Sebagai contoh, prakiraan cuaca, pertumbuhan tumor atau hasil permainan roulette semua dapat dikaitkan melalui suatu bentuk pemodelan matematis.
2.6.1 Siklus Pemodelan
Misalkan ada suatu situasi nyata. Riset dapat membantu memodelkan situasi tersebut ke dalam bentuk suatu persamaan diferensial. Teknologi dapat digunakan untuk membantu memecahkan persamaan tersebut (program komputer memberi jawaban). Jawaban-jawban berbasis teknologi ini kemudian diartikan atau dikomunikasikan sesuai dengan situasi nyata.
2.6.2 Metode-metode Kualitatif
Membangun suatu model merupakan proses yang panjang dan rumit;
mungkin diperlukan riset selama bertahun-tahun. Setelah selesai dirumuskan, model yang dihasilkan mungkin tidak mungkin dipecahkan secara analitik. Para peneliti memiliki dua pilihan:
a. Menyederhanankan, atau ‘mengakali’, model tersebut sehingga dapat dipakai dengan lebih mudah. Ini merupakan pendekatan yang sah, asalkan penyederhanaanya tidak memberikan kompromi yang berlebihan terhadap situasi nyata yang dihadapi, sehingga kegunaannya tetap relevan.
b. Mempertahankan model tersebut apa adanya dan menggunakan teknik- teknik lain, seperti misalnya metode-mentode numerik atau grafis. Ini merupakan pendekatan kualitatif. Walaupun tidak diperoleh situasi analitik yang akurat, masih dapat diperoleh beberapa informasi yang dapat mengungkapkan kegunaan dari model tersebut. Alat-alat teknologi sangat bermanfaat didalam melakukan pendekatan ini.
2.7 Persamaan Differensial
Suatu persamaan differensial adalah persamaan yang didalamnya terdapat turunan-turunan. Sebagai contoh,
1. = x+5 dx
dy
2. 2 3 2 0
2 + + y=
dx dy dx
y d
3. dy
xdz dx z
dz = +
Tingkat (order) persamaan differensial adalah tingkat tertinggi turunan yang timbul. Derajat (degree) persamaan differensial yang dapat ditulis sebagai polinomial dalam turunan, adalah derajat turunan tingkat tertinggi yang terjadi.
Bentuk standar dari persamaan diferensial orde-pertama dalam fungsi y(x) yang dicari adalah
) , (x y f y′=
di mana turunan y′muncul hanya di sisi kiri. Banyak, walaupun tidak semua, persamaan diferensial orde pertama dapat dituliskan dalam bentuk standar melalui penyelesaian y′secara aljabar dan menetapkan f(x,y)sama dengan sisi kanan dari persamaan yang dihasilkan.
2.7.1 Persamaan Diferensial Biasa
Jika terdapat variabel bebas yang tunggal (single independent variable), turunan nya merupakan turunan biasa dan persamaan nya disebut persamaan differensial biasa (ordinary differential equation).
2.7.2 Persamaan Diferensial Parsial
Jika terdapat dua atau lebih variabel bebas, turunan nya adalah turunan parsial dan persamaan nya disebut persamaan differensial parsial (partial differential equation). Persamaan differensial parsial haruslah melibatkan paling sedikit dua variabel bebas. Tingkat persamaan diferensial parsial adalah tingkat turunan tertinggi pada persamaan itu.
2.8 Pergerakan Fluida
2.8.1 Deskripsi Lagrangian dan Eulerian
Ketika menyelesaikan suatu soal yang melibatkan suatu objek tunggal, fokusnya selalu pada objek yang dimaksud. Jika terdapat beberapa objek, akan ditentukan posisi r(xo, yo, zo, t), kecepatan V (xo, yo, zo, t) dan percepatan a (xo, yo, zo, t) dari objek yang menempati posisi (xo, yo, zo, t) di waktu awalnya. Posisi (xo, yo, zo
Deskripsi pergerakan fluida selanjutnya adalah jika diletakkan fokus pada suatu titik umum (x, y, z) di dalam aliran yang mengalir melewati titik tersebutdengan kecepatan V(x, y, z). Laju perubahan kecepatan dari aliran ketika melewati titik tersebut adalah
, t) adalah “nama” dari objek yang sedang diperhatikan. Ini adalah deskripsi pergerakan Lagrangian. Deskripsi ini sulit untuk digunakan di dalam aliran fluida di mana terdapat banyak partikel.
x V ∂
∂ / , ∂ /V ∂y, ∂ / dan dapat juga berubah terhadap waktu V ∂z di titik tersebut: ∂ /V ∂t . Disini digunakan derivatif parsial karna kecepatan merupakan fungsi dari keempat variabel. Ini adalah deskripsi aliran Eulerian,
yang merupakan deskripsi yang akan digunakan dalam pembahasan mengenai fluida. Daerah yang ingin dibahas disebut sebagai medan aliran dan kecepatan di dalam medan aliran disebut sebagai medan kecepatan.
Jika kuantitas-kuantitas yang diinginkan yang menggunakan deskripsi Eulerian tidak bergantung pada waktu t, dimiliki aliran tunak; variabel-variabel alirannya bergantung hanya pada koordinat-koordinat ruang. Untuk aliran yang demikian, diantaranya:
=0
∂
∂ t
V =0
∂
∂ t
p =0
∂
∂ t
ρ (2.6)
Dalam derivatif-derivatif parsial diatas, koordinat-koordinat ruangnya diasumsikan tetap; sedang diperhatikan aliran pada suatu titik tetap. Jika mengikuti suatu partikel tertentu, seperti dalam pendekatan Lagrangian, kecepatan dari partikel tersebut, secara umum, bervariasi terhadap waktu ketika bergerak melalui medan aliran. Dengan menggunakan deskripsi Eulerian, derivatif-derivatif parsial tersebut tidak akan muncul di dalam ekspresi-ekspresi kuantitas di dalam aliran tunak.
2.8.2 Percepatan
Untuk melakukan perhitungan-perhitungan untuk suatu aliran fluida, seperti misalnya tekanan dan gaya, perlu diberikan deskripsi mengenai pergerakan tersebut secara rinci; ekspresi untuk percepatan diperlukan dengan mengasumsikan bahwa kecepatannya konstan. Perhatikan suatu partikel fluida yang memiliki kecepatan V(t) dengan waktu t.
Percepatan dari partikel tersebut adalah
dt
a= dV (2.7)
Di mana dt
t dz V z dy V y dx V x dV V
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
Karna V =V(x,y,z,t). Ini memberikan percepatan
dt V dt dz z V dt dy y V dt dx x V dt
a dV ∂
∂ + +∂
∂ +∂
∂
= ∂
= (2.8)
Selanjutnya, karna V adalah kecepatan partikel di (x, y, z), dijadikan wk
vj ui V = + +
di mana (u, v, w) adalah komponen-komponen kecepatan dari partikel masing- masing ke arah x, y dan z dan i, j dan k adalah vektor-vektor unit. Untuk partikel di titik yang ingin diketahui, maka:
dt u
dx = v
dy =dt w
dz =dt (2.9)
Sehingga percepatan dapat diekspresikan sebagai
t V z w V y v V x u V
a ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ (2.10)
Derivatif waktu dari kecepatan merepresentasikan percepatan lokal dan ketiga suku lainnya merepresentasikan percepatan konvektif. Di dalam sebuah pipa, percepatan lokal terjadi jika kecepatan berubah terhadap waktu sementara percepatan konvektif terjadi jika kecepatan berubah terhadap posisi (seperti yang terjadi pada belokan).
Persamaan vektor dapat dituliskan sebagai tiga persamaan skalar
t u z w u y v u x u u ax
∂ +∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
t v z w v y v v x u v ay
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
t w z w w y v w x u w az
∂ +∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
Persamaan biasanya dituliskan sebagai
Dt
a= DV (2.11)
di mana D /Dtdisebut derivatif material atau derivatif substansial, karna diikuti suatu partikel material atau zat. Dalam koordinat-koordinat kartesian, derivatif material adalah
t w z
v y u x Dt
D
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ (2.12)
Derivatif ini dapat digunakan untuk kuantitas-kuantitas lainnya yang diinginkan, seperti misalnya tekanan : Dp /Dtmerepresentasikan laju perubahan tekanan partikel fluida pada suatu titik (x, y,z).
BAB 3
METODE PENELITIAN
3.1 Studi Pendahuluan
Langkah awal dalam penelitian ini adalah mencari dan mengumpulkan sumber- sumber seperti: buku, jurnal atau penelitian sebelumnya yang mendukung penelitian ini.
3.2 Tahapan Analisis
Pada tahap analisis ini dilihat bagaimana proses pengelolahan air bersih secara menyeluruh dan melihat bagaimana sedimentasi itu terjadi pada wadah sedimentasi kemudian dimodelkan pada suatu gambar untuik menurunkan persamaan nya.
3.2.1 Menentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam penelitian ini Pada tahap ini akan ditentukan faktor-faktor yang akan digunakan dalam
penelitian ini .
3.2.2 Menentukan kondisi awal dan batas
Untuk persoalan Sedimentasi dalam penelitian ini diasumsikan sebagai berikut:
1. Diasumsikan sedimentasi adalah lumpur,
2. Efek-efek viskos diabaikan (fluida inviscid/tanpa gesekan),
3. Diasumsikan air mengalir dan tidak berputar, aliran mampu-mampat, dan aliran laminar,
4. Untuk sifat kohesi dan adhesi tidak diperhatikan.
3.2.3 Memodelkan persoalan tersebut ke dalam bentuk model Matematika Persoalan sedimentasi tersebut akan dimodelkan dengan model Matematika khususnya dengan menggunakan Persamaan Diferensial.
3.3 Membuat Kesimpulan dan Menyusun Laporan Penelitian
Setelah persoalan tersebut dimodelkan ke dalam bentuk Matematika, maka didapatlah suatu persamaan yang menjelaskan model sedimentasi pada air.
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Sedimentasi
Sedimentasi adalah pemisahan solid-liquid menggunakan pegendapan secara gravitasi untuk menyisihkan suspended-solid. Banyak faktor-faktor yang mempengaruhi sedimentasi pada air yang nanti nya akan menjadi variabel- variabel yang akan membantu terbentuknya suatu model matematika dalam bentuk persamaan diferensial parsial.
Dinamika fluida (hidrodinamik) memberi gambaran tentang gerak fluida dalam bahas ruang tertentu. Untuk dapat menjelaskan tentang gerak fluida maka gerak ini lebih dahulu harus dapat ditampilkan dalam satu set persamaan diferensial yang dapat diselesaikan secara analitik maupun numerik.
4.2 Pemodelan Aliran Dua Fase dari Suspensi Padat
Suspensi atau campuran padat-cair penting di berbagai bidang industri, seperti penyempurnaan minyak dan gas, pembuatan kertas, pengolahan makanan, transportasi lumpur, dan pengolahan air limbah.
Suspensi adalah campuran partikel padat dan cairan. Dinamika suspensi dapat dimodelkan dengan persamaan transport momentum untuk campuran. Model campuran dengan aliran laminar secara otomatis mengatur persamaan yang akan didapatkan (persamaan 4.26).
4.3 Persamaan Diferensial
Untuk meyelesaikan suatu persamaan diferensial parsial untuk suatu variabel dependen, kondisi-kondisi tertentu diperlukan yang berarti variabel independennya harus ditentukan pada nilai-nilai tertentu dari independen- independen variabel. Jika variabel-variabel independennya berupa koordinat- koordinat ruang yakni kecepatan, kondisi-kondisinya disebut kondisi-kondisi batas. Jika variabel independennya adalah waktu, kondisi-kondisinya disebut kondisi-kondisi awal.
Kondisi batas nya adalah komponen kecepatan ke tegak lurus dalam aliran tak-kental. Dalam aliran tak-kental di mana viskositas diabaikan, vektor kecepatan memiliki arah tangensial terhadap perbatasan.
Persamaan-persamaan diferensial ini nanti nya akan diturunkan dengan menggunakan koordinat-koordinat kartesian.
4.4 Persamaan Kontinuitas Diferensial
Untuk menurunkan persamaan kontinuitas differensial digunakan elemen infinitesinal. Elemen ini adalah volume kontrol yang kecil di mana aliran fluida masuk dan keluar. Elemen ini ditunjukkan pada bidang xy dengan kedalaman dz . Diasumsikan bahwa alirannya hanya pada bidang xy sehingga tidak terjadi aliran fluida ke arah z . Karna massa dapat berubah di dalam elemen tersebut. Ini diekspresikan sebagai
) ) (
(
) (
dxdydz dxdz t
y dy v v
vdxdz dydz
x dx u u
udydz ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ
∂
= ∂
∂ +∂
−
+
∂ +∂
−
(4.1)
di mana ρ diijinkan untuk berubah di sepanjang elemen tersebut. Jika persamaan di atas disederhanakan , dengan menganggap bahwa volume kontrol elental tersebut tidak bergerak, diperoleh :
t y
v x
u
∂
−∂
∂ = +∂
∂
∂(ρ ) (ρ ) ρ (4.2)
Gambar 4.1 Volume Kontrol Infinitesimal
Diferensiasikan produk-produknya dan masukan variasi ke arah z . Maka persamaan kontinuitas diferensialnya dapat dituliskan dalam bentuk
=0
∂ +∂
∂ +∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
∂
z w y v x u w z
v y u x
t ρ ρ ρ ρ
ρ (4.3)
Keempat suku pertama membentuk derivatif material, yakni
t w z
v y u x Dt
D
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ (4.4)
Sehingga persamaan menjadi :
=0
∂ +∂
∂ +∂
∂ + ∂
z w y v x u Dt
Dρ ρ
(4.5)
yang merupakan bentuk paling umum dari persamaan kontinuitas diferensial dalam koordinat kartesian.
dy
dx
dz dx ρv dz
dy
ρu x x dydz
u ( u)
∂
∂ +∂ ρ ρ
dz dx y y v ( v)
∂
∂ +∂ ρ ρ
Persamaan kontinuitas diferensial ini seringkali dituliskan dengan menggunakan operator vektor
zk y j
xi ∂
+ ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
∇ (4.6)
Sehingga persamaan mengambil bentuk 0 .∇=
∇ +ρ ρ Dt
D (4.7)
Di mana vektor kecepatannya adalah V =ui+vj+wk Skalar disebut divergens dari vektor kecepatan.
Untuk aliran inkompresibel, densitas partikel fluida tetap konstan, artinya,
=0
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂
w z v y
u x t Dt
Dρ ρ ρ ρ ρ
(4.8)
Jadi densitas tidak harus konstan. Jika densitas nya memang konstan, maka setiap suku dalam persamaan bernilai 0. Untuk aliran inkompresibel mengharuskan
=0
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂
z w y v x
u atau ∇V. =0 (4.9)
4.5 Persamaan Momentum Diferensial
Persamaan diferensial yang diturunkan dari persamaan kontinuitas diferensial memiliki tiga komponen kecepatan sebagai variabel-variabel dependen untuk aliran inkompresibel. Jika ada aliran di mana medan kecepatan dan medan tekanannya tidak diketahui, persamaan momentum diferensial memberikan tiga persamaan tambahan karna merupakan persamaan kecepatan yang memiliki tiga komponen. Keempat variabel yang dicari adalah u , v , w dan p jika menggunakan sistem koordinat kartesian. Keempat persamaan akan memberikan persamaan-persamaan yang diperlukan dan selanjutnya kondisi-kondisi awal dan batas memungkinkan penyelesaian permasalahan.
Untuk mendapatkan suatu persamaan atau model baru dalam permasalahan ini, yang akan diperhatikan adalah :
Pertama-tama, tegangan eksis di permukaan-permukaan suatu elemen fluida infinitesimal berbentuk persegi seperti ditunjukkan pada gambar (4.2) untuk bidang xy. Komponen-komponen tegangan yang sama juga bekerja ke arah z.
Tegangan normal dilambangkan dengan σ dan tegangan geser dengan τ . Ada sembilan komponen tegangan: σxx, σ , yy σzz, τ , xy τ , yx τxz, τzx, τ dan yz τ . Jika zy diambil momen terhadap sumbu x , sumbu ydan sumbu z, masing-masing akan menunjukkan
xy
yx τ
τ = τzx =τxz τzy =τyz (4.10)
Jadi ada enam komponen tegangan yang harus dihubungkan dengan tekanan dan komponen-komponen kecepatan. Hubungan-hubungan tersebut disebut sebagai persamaan-persamaan konstitutif .
Selanjutnya, aplikasikan hukum kedua Newton pada elemen dalam Gambar 4.3, dengan mengasumsikan tidak ada tegangan geser yang bekerja ke arah zdan bahwa gravitasi bekerja hanya ke arah z:
Gambar 4.2 Komponen-komponen tegangan yang saling tegak lurus pada sebuah elemen cairan
σxx
dy
dx
σyy
τxy
τyx
y dy
yy
yy ∂
+∂σ σ
y dy
yx
yx ∂
+∂τ τ
x dx
xy
xy ∂
+∂τ τ
x dx
xx
xx ∂
+∂σ σ y
x
Dt dxdydzDu
dxdz dxdz
y dy dydz
dydz
x dx xy
xy xy
xx xx
xx
ρ
τ τ τ
σ σ
σ − =
∂ +∂ +
−
∂ +∂
(4.11)
Dt dxdydzDv
dydz dydz
x dx dxdz
dxdz
y dy xy
xy xy yy
yy yy
ρ
τ τ τ σ σ
σ − =
∂ +∂ +
−
∂ +∂
(4.12)
Disederhanakan menjadi :
Dt Du y
x
xx τxy ρ
σ =
∂ +∂
∂
∂
Dt Dv x
y
xy
yy τ ρ
σ =
∂ +∂
∂
∂ (4.13)
Jika komponen-komponen arah zdimasukkan, persamaan-persamaan diferensialnya menjadi
Dt Du z
y x
xy xz
xx τ τ ρ
σ =
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂
Dt Dv z
x y
xy xz
yy τ τ ρ
σ =
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂
Dt g Dw y
x z
xz yz
zz τ τ ρ ρ
σ − =
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂
(4.14)
Dengan mengasumsikan bahwa suku gravitasi ρgdxdydz bekerja ke arah negatif z.
Dalam banyak aliran, efek-efek kekentalan yang menimbulkan tegangan geser dapat diabaikan dengan tegangan normal merupakan negatif dari tekanan. Untuk aliran-aliran tak-kental semacam itu, persamaan (sebelumnya) mengambil bentuk
x p Dt
Du
∂
−∂
ρ = (4.15)
y p Dt
Dv
∂
−∂ ρ =
z g p Dt
Dw ρ
ρ −
∂
−∂
=
Dalam bentuk vektor, ini menjadi Persamaan : gk
Dt p
g Dv ρ
ρ =−∇ − (4.16)
Yang berlaku untuk aliran-aliran tak kental. Untuk aliran tunak dengan densitas konstan.
Persamaan-persamaan konstitutif menghubungkan tegangan dengan medan kecepatan dan tekanan; persamaan-persamaan tersebut tidak diturunkan akan tetapi dirumuskan melalui pengamatan-pengamatan di Laboratorium.
Untuk suatu fluida Newtonian isotropik, perumusannya adalah x V
p u
xx 2 + ∇.
∂ + ∂
−
= µ λ
σ
∂ +∂
∂
= ∂
x v y u
xy µ
τ (4.17)
y V p v
yy 2 + ∇.
∂ + ∂
−
= µ λ
σ
∂ +∂
∂
= ∂
x w z u
xz µ
τ (4.18)
x V p w
zz 2 + ∇.
∂ + ∂
−
= µ λ
σ
∂ +∂
∂
= ∂
y w z v
yz µ
τ (4.19)
Untuk kebanyakan gas, hipotesis Stokes dapat digunakan sehingga Jika tegangan-tegangan normal tersebut dijumlahkan
(
xx yy zz)
p=− σ +σ +σ 3
1 (4.20)
Yang menunjukkan bahwa tekanan merupakan rata-rata negatif dari ketiga tegangan normal dalam kebanyakan gas, termasuk udara, dan di semua cairan di mana ∇V. =0.
Jika persamaan (4.19) dimasukkan ke dalam Persamaan (4.16) dengan menggunakan
3 2µ
λ=− , diperoleh hasil
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ +∂
∂ +∂
∂ + ∂
∂
−∂
= z
w y v x u x z
u y
u x
u x
p Dt
Du
2 3
2 2 2 2
2 µ
µ ρ
∂ +∂
∂ + ∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ +∂
∂ +∂
∂ + ∂
∂
−∂
= z
w y v x u z y
v y
v x
v y
p Dt
Dv
2 3
2 2 2 2
2 µ
µ ρ
z g w y v x u z z
w y
w x
w z
p Dt
Dw µ µ ρ
ρ −
∂ +∂
∂ +∂
∂
∂
∂ + ∂
∂ +∂
∂ +∂
∂ + ∂
∂
−∂
= 2 3
2 2 2 2 2
(4.21)
di mana gravitasi bekerja ke arah negatif z dan fluida diasumsikan homogen, sebagai contoh =0
∂
∂ x µ .
Akhirnya , jika aliran diasumsikan inkompresibel sehingga ∇V. =0, diperoleh persamaan-persamaan Navier Stokes
∂ +∂
∂ +∂
∂ + ∂
∂
−∂
= 22 22 22
z u y
u x
u x
p Dt
Du µ
ρ
∂ +∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
−∂
= 22 22 22
z v y
v x
v x
p Dt
Dv µ
ρ
z g w y
w x
w x
p Dt
Dw µ ρ
ρ −
∂ +∂
∂ +∂
∂ + ∂
∂
−∂
= 22 22 22
(4.22)
Di mana arah zadalah vertikal.
Jika diperkenalkan operator skalar yang disebut Laplacian, yang didefinisikan
2 2 2 2 2 2 2
dz dy dx
+ ∂ + ∂
= ∂
∇ (4.23)
Dan mengulangi langkah-langkah yang menghasilkan Persamaan (4.19) sampai Persamaan (4.20), persamaan-persamaan Navier Stokes dapat dituliskan dalam bentuk vektor sebagai
g V Dt p
Dv µ ρ
ρ =−∇ + ∇2 + 4.24
Persamaan Navier-Stokes memodelkan bagaimana suatu fluida itu mengalir didalam suatu wadah.
4.6 Persamaan Model Campuran
Model campuran (atau model slip aljabar) adalah formulasi yang disederhanakan dari persamaan aliran multiphase (dua fase). Model campuran terdiri dari kontinuitas dan persamaan momentum untuk campuran dan persamaan kontinuitas untuk fase dispersi atau terpisah.
Jika didalam aliran fluida itu terdapat suatu partikel padat yakni yang diasumsikan adalah lumpur sehingga membentuk sedimentasi, maka ada suatu rangkaian persamaan baru yang terdapat pada persamaan Navier-Stokes. Persamaan baru tersebut yakni pengaruh sedimentasi pada aliran fluida yang mengalir pada suatu wadah.
Diasumsikan ada variabel baru yakni : 𝑚𝑚𝑝𝑝 = massa partikel (solid)
𝑚𝑚𝑎𝑎 = massa air (liquid)
𝑣𝑣𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝= Kecepatan relatif antara fase padat dan cair
Maka,
Dengan cara yang sama seperti menurunkan persamaan kontinuitas diferensial, didapatlah suatu persamaan yang menjelaskan terkait partikel padat yang terdapat dalam suatu aliran fluida, yakni:
( )( (
1) )
0. − =
∇ mpuslip mp uslip
ρ (4.25)
Persamaan (4.25) dimasukkan ke dalam persamaan (4.24) sehingga menjadi:
( )
(
m m V V)
V gDt p DV
slip slip p
p µ ρ
ρ
ρ =−∇ −∇ 1− + ∇2 + (4.26)
dimana:
V = kecepatan (m/s) p = tekanan (Pa) g = gravitasi (m/s2 m
)
p
V
= massa partikel tak berdimensi
slip
Persamaan disebut dengan persamaan transportasi momentum untuk aliran dua fase dari suspensi yang bisa menyelesaikan dan menghitung berapa banyak sedimentasi dalam suatu wadah penampungan air.
= kecepatan relatif antara fase padat dan cair (m/s)
