Bab ini membahas tentang beberapa aspek penting yang ada pada Geometri Datar khususnya Geometri Euclid. Setelah selesai mempelajari bab ini Anda diharapkan dapat memahami aspek-aspek yang terkait dengan geometri datar khususnya mencakup materi sistem aksiomatis, aksioma, definisi, teorema, sejarah perkembangan geometri Euclid, berbagai metode pembuktian serta mampu menggunakan aspek-aspek tersebut untuk memecahkan persoalan yang relevan.
Metode aksiomatis digunakan untuk membangun semua matematika modern. Metode aksiomatis adalah suatu prosedur dalam hal mana untuk menunjukkan atau membuktikan sesuatu (misalnya teorema dan yang lainnya) dilakukan melalui penelitian, pengamatan, trial-error atau penajaman intuisi yang dilakukan secara secara benar. Melalui metode aksiomatis terbentuklah suatu sistem aksiomatis. Geometri datar yang dibahas pada perkuliahan ini merupakan contoh dari sistem aksiomatis tersebut.
Suatu sistem aksiomatis disusun melalui urutan, pengertian, dan penjabaran yang jelas (logis). Di dalamnya tidak boleh ada definisi yang melingkar. Pengertian (konsep) harus jelas, didefinisikan melalui pengertian yang sebelumnya sudah dikenal. Dalam suatu sistem aksiomatis, bukti dari suatu hasil yang khusus merupakan rangkaian pernyataan sederhana yang masing-masing diturunkan dari pernyataan sebelumnya secara logis. Suatu teorema (dalil) harus dibuktikan dari teorema (dalil) sebelumnya. Lalu, bagaimana dengan teorema (dalil) yang pertama ? Untuk itu, harus ada suatu pengertian yang pertama kali ada yang disebut pengertian pangkal dan juga harus ada teorema (dalil) yang pertama kali ada yang disebut aksioma. Pengertian 1
Bab 1
pangkal tidak dapat didefinisikan dan diterima sebagai suatu kesepakatan. Aksioma tidak perlu dibuktikan dan disepakati harus diterima (diasumsikan) sebagai sesuatu yang benar. Dalam proses pembuktian, argumen atau alasan yang diajukan harus valid. Untuk itulah, metode-metode pembuktian harus digunakan secara cermat.
Ada tiga syarat yang harus dipenuhi dalam suatu sistem aksiomatis. Pertama, syarat konsistensi. Suatu kumpulan aksioma disebut konsisten jika tidak mungkin menyimpulkan suatu teorema dari aksioma-aksioma tersebut yang bertentangan dengan aksioma atau teorema yang sudah dibuktikan sebelumnya. Tanpa adanya syarat ini, suatu sistem aksiomatis tidak memiliki nilai matematis dan upaya mempelajari sifat-sifat sistem aksiomatis tersebut menjadi sia-sia. Kedua, syarat independen. Suatu sistem aksioma disebut independen jika secara logika salah satu aksioma tidak dapat disimpulkan dari aksioma yang lainnya. Walaupun suatu sistem aksiomatis tidak mutlak harus independen, hal ini akan menjadikan sistem yang terbentuk menjadi kurang efisien. Ketiga, syarat lengkap. Suatu sistem aksiomatis dikatakan lengkap jika tidak mungkin untuk menambahkan suatu aksioma yang konsisten dan independen tanpa harus menambahkan pengertian pangkal yang baru. Syarat lengkap akan menjamin aksioma yang ada dapat digunakan untuk membuktikan ataupun menyangkal suatu pernyataan yang muncul terkait dengan koleksi pengertian pangkal yang dimiliki.
Pada sistem aksiomatis, pengertian pangkal maupun aksiomanya bersifat abstrak sehingga agak sulit untuk dimaknai. Oleh karenanya, sangatlah dimungkinkan untuk membuat suatu interpretasi terhadap sistem tersebut. Jika interpretasi yang dibuat untuk sistem tersebut menyebabkan semua pernyataan dalam aksioma bernilai benar, interpretasi tersebut dinamakan model. Jadi, model adalah suatu interpretasi yang dibuat untuk memaknai suatu sistem aksiomatis dimana semua pernyataan dalam aksioma bernilai benar.
1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan aksioma dan teorema. 2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan konsep dan definisi
3. Jelaskan mengapa dalam sistem aksiomatis diperlukan adanya aksioma.
2
4. Berikan penjelasan perbedaan antara aksioma dengan pengertian pangkal. 5. Apa tujuan membuat model dalam sistem aksiomatis.
Euclid (325 - 265 SM), seorang matematikawan bangsa Yunani dapat dianggap sebagai pelopor pembentuk geometri aksiomatis. Euclid telah menulis 13 jilid buku. Jilid I yang berjudul “Elements” memuat 23 definisi, 5 aksioma dan 5
postulat. Euclid menggunakan istilah postulat yang merupakan aksioma yang khusus digunakan pada bidang geometri. Euclid sudah menggunakan sistem aksiomatis dalam penyusunan buku ini. Aksioma dan Postulat yang dinyatakan oleh Euclid dinyatakan seperti berikut.
Aksioma.
A1. Semua benda-benda yang sama dengan suatu benda satu sama lain adalah sama. A2. Jika kepada yang sama diberi tambahan yang sama maka hasilnya akan menjadi sama. A3. Jika dari yang sama dikurangi bagian yang sama maka sisanya menjadi sama.
A.4 Tiap-tiap benda yang berhimpit dengan suatu benda tentu satu sama lain sama. A.5 Keseluruhan itu lebih besar dari bagiannya.
Postulat
P1. Selalu dapat menarik suatu garis dari suatu titik ke suatu titik yang lain. P2. Selalu dapat membuat ruas garis tak terbatas banyaknya pada suatu garis.
P3. Selalu dapat melukis suatu lingkaran berpusat di suatu titik dengan jari-jari ruas garis yang ditentukan.
P4. Semua sudut siku-siku satu sama lain sama besar.
P5. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga sehingga jumlah sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu akan berpotongan pada pihak sudut yang jumlahnya kurang dari dua sudut siku-siku.
J. Sitorus (1990 : 59)
Dari lima postulat yang diajukan Euclid, karena begitu kompleksnya postulat ke-5, banyak matematikawan yang menganggap bahwa postulat itu merupakan akibat dari empat postulat sebelumnya. Dengan lain kata, postulat ke-5 Euclid 3 Gambar 1.1 Euclid. Sumber : htpp:// www-history. cs.st- andrews. ac.uk/ Mathematicians/ Euclid.html Gambar 1.2 Playfair. Sumber : http://www-history.mcs.st-andrews. ac.uk /history/ PictDisplay/Playfair.html
itu dependen. Mereka mencoba membuktikan kebenaran dugaan tersebut. Tetapi, semua usaha yang dilakukan gagal. Akhirnya, John Playfair (1748 – 1819) seorang matematikawan Skotlandia justru menemukan sifat yang ekuivalen dengan postulat tersebut. Postulat itu dikenal dengan nama postulat kesejajaran Playfair yang menyatakan, “ untuk setiap garis l dan setiap titik P yang tidak berada pada l ada
tepat satu garis m yang memuat P dan sejajar dengan l ”.
Upaya-upaya yang dilakukan oleh beberapa matematikawan dalam usaha menunjukkan dependennya postulat ke-5 Euclid ternyata melahirkan bidang-bidang baru dalam geometri, diantaranya Geometri Afin oleh Leonhard Euler (1707 – 1793), Geometri Absolut (Netral) oleh Euler (1707 – 1793), Poincare (1854 – 1912), George Cantor (1845 – 1918), Geometri Proyektif oleh Arthur Cayley (1821 – 1895), Poncelet (1788 – 1876), von Staudt (1798 – 1867), serta Geometri Transformasi oleh Felix Klein (1849 – 1925).
Menurut Wallace dan West (!992 : 34), ada tiga kelemahan utama yang ditemukan pada hasil karyanya Euclid, yakni :
1. Euclid gagal untuk mengenali istilah tertentu yang dibutuhkan yang harus tetap dibiarkan sebagai istilah yang tidak didefinisikan (pengertian pangkal). 2. Menggunakan sesuatu yang sulit dipahami dalam membuktikan suatu teorema
, tetapi postulat yang terkait belum ditetapkan sebelumnya,
3. percaya pada diagram atau gambar untuk mengarahkan logika dalam mengkonstruksi suatu bukti.
Oleh karenanya, beberapa ahli berusaha untuk menyempurnakan kelemahan-kelemahan di atas dengan harapan dapat dirumuskan suatu sistem geometri khususnya geometri bidang yang memenuhi standar sistem aksiomatis.
Seorang matematikawan bangsa Jerman, David Hilbert pada tahun 1899 menerbitkan buku “ Grundlagen der Geometrie “ yang dalam terjemahan bahasa Inggrisnya berjudul “ Foundations of Geometry ”. Dalam buku ini, Hilbert menawarkan suatu modernisasi Geometri Euclid dengan menggunakan “ titik, garis, bidang, pada (untuk menyatakan insidensi titik pada garis), diantara (untuk menyatakan relasi tiga titik berlainan) dan kekongruenan “ 4 Gambar 1.3 Hilbert http://www-history. mcs.st-andrews.ac.uk/ history/PictDisplay/Hilber t.html
sebagai pengertian pangkal dan menggunakan 5 aksioma (Aksioma Insidensi, Aksioma Urutan, Aksioma Kekongruenan, Aksioma Kesejajaran dan Aksioma Kekontinuan) untuk membangun sistem geometri bidang Euclid. Khusus untuk aksioma kesejajaran, Hilbert menggunakan aksioma kesejajaran Playfair. Sistem ini selanjutnya dikenal sebagai geometri bidang Euclid versi Hilbert. Versi Hilbert ini tetap konsisten mendukung hasil karyanya Euclid.
Pada tahun 1932, seorang matematikawan Amerika yakni G. D Birkhoff lewat tulisannya yang berjudul “ A Set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractor) “ yang diterbitkan dalam jurnal Annals of Mathematics, mengajukan versi lain dalam membangun geometri bidang Euclid. Birkhoff menggunakan “ titik, garis, jarak dan sudut “ sebagai pengertian pangkalnya dan menggunakan 4 buah postulat. Sistem ini selanjutnya dikenal sebagai geometri bidang Euclid versi Birkhoff dan seperti versi Hilbert, versi ini juga tetap konsisten mendukung hasil karyanya Euclid.
Pada awal tahun 1960, School Mathematics Study Group (SMSG) yang ada di Amerika menghasilkan versi lain geometri bidang Euclid dengan menyertakan 8 kelompok aksioma dan menggunakan “ titik, garis dan bidang “ sebagai pengertian pangkalnya. Sistem aksioma yang digunakan oleh kelompok ini sudah mempertimbangkan aspek-aspek pedagogik dengan mengkombinasikan hasil karya Hilbert dan Birkhoff .
Dari uraian di atas terkait dengan sejarah perkembangan geometri Euclid mulai dari sistem aksioma yang ditawarkan oleh Euclid sampai dengan sistem aksioma yang ditawarkan oleh SMSG dapat dirangkum bahwa :
1. Buku Elemen Euclid. Merupakan buku geometri pertama yang ditulis, tulisan ini mendefinisikan disiplin ilmu yang dikenal dengan nama geometri untuk lebih dari 2000 tahun.
2. Buku Grundlagen der Geometrie karya Hilbert (1899) merupakan modernisasi dari geometri Euclid yang mendukung hasil kerjanya Euclid dan menggunakan kumpulan aksioma yang bisa diterima menurut standard saat ini
5 Gambar 1.4 Birkhoff Sumber : http://www-history.mcs.st-andrews. ac.uk/Mathematicians/ Birkhoff.html
3. Karya Birkhoff yang berjudul “A set of Postulates for Plane Geometry (Based on Scale and Protractor)” merupakan hasil karya yang kedua untuk memodernisasi geometri Euclid yang berusaha menempatkan geometri Euclid pada suatu basis fundamental yang kokoh dengan menggunakan suatu pendekatan yang berbeda berdasarkan pengukuran.
4. Geometri versi SMSG merupakan hasil karya dimana postulatnya disusun dengan mempertimbangkan aspek pedagogik yang mengkombinasikan hal-hal penting dari hasil karyanya Hilbert dan Birkhoff dengan cara menyediakan pengembangan geometri Euclid secara efisien dan lebih mudah untuk dipahami.
Geometri Euclid yang berkembang saat ini sebenarnya menyangkut geometri datar dan geometri ruang. Materi Geometri Euclid khususnya pada bidang yang disajikan pada buku ini akan mengacu kepada sistem aksioma versi Hilbert dan versi SMSG karena masing-masing memiliki kelemahan dan keunggulannya tersendiri. Melalui penggunaan kombinasi sistem aksioma ini diharapkan materi yang tersaji dalam buku ini akan lebih mudah dipahami pembaca.
Geometri Euclid versi Hilbert tersusun atas 5 sistem aksioma dengan menggunakan titik dan garis sebagai pengertian pangkal. Aksioma-aksioma yang ada dapat dikelompokkan menjadi lima kelompok aksioma, yakni
1. Aksioma Insidensi 2. Aksioma Urutan
3. Aksioma Kekongruenan 4. Aksioma Kekontinuan 5. Aksioma Kesejajaran
Aksioma Insidensi versi Hilbert menyatakan :
(a) Melalui sembarang dua titik berlainan A, B, selalu ada garis m
(b) Melalui sembarang dua titik berlainan A, B tidak ada lebih dari satu garis m
(c) Pada setiap garis, sedikitnya ada dua titik berlainan. Sedikitnya ada tiga titik berlainan yang tidak berada pada satu garis.
(d) Melalui tiga titik sembarang yang tak segaris, hanya ada satu bidang
Sementara itu, geometri Euclid versi SMSG tersusun atas 22 postulat yang dapat dikelompokkan menjadi 8 sistem aksioma dengan menggunakan titik dan garis sebagai pengertian pangkal. Kelompok-kelompok aksioma tersebut, yakni
1. Aksioma insidensi (Postulat 1) 2. Aksioma jarak (Postulat 2 – 4 )
3. Aksioma hubungan ruang (Postulat 5 – 8) 4. Aksioma pemisahan (Postulat 9 – 10) 5. Aksioma ukuran angular (Postulat 11 – 14) 6. Aksioma kongruensi (Postulat 15)
7. Aksioma Kesejajaran (Postulat 16)
8. Aksioma tentang luas dan volume (Postulat 17 – 22).
Postulat yang digunakan pada buku ini adalah kombinasi dari beberapa postulat di atas dan dilengkapi dengan postulat yang digunakan oleh Hary Lewis. Adapun postulat yang dimaksud disajikan berikut ini.
P. 1 Jika diberikan a dan b, hanya satu diantara tiga pernyataan berikut yang benar yakni a < b, a = b, a > b.
P. 2 Diketahui a, b, c dengan a > b dan b > c maka a > c.
P. 3 Keseluruhan lebih besar dari bagiannya. Dengan demikian, jika a, b dan c bilangan positif dengan a = b + c maka a > c dan a > b.
P. 4 Jika dua bilangan sama, salah satu boleh diganti dengan yang lainnya. P. 5 Jika a = b dan c = d maka a + c = b + d
P. 6 Jika a = b dan c = d maka a – c = b – d P. 7 Jika a = b dan c = d maka a c = b d
P. 8 Jika a = b dan c = d (c ≠ 0 dan d ≠ 0) maka a / c = b / d P. 9 a = a (sifat refleksif)
P. 10 Jika a = b maka b = a (sifat simetris)
P. 11 Jika a = b dan b = c maka a = c (sifat transitif)
P. 12 P atau bukan P selalu berlaku dan tidak ada kemungkinan yang lain. P. 13 P dan bukan P tidak bisa berlaku pada saat yang bersamaan.
P. 14 Pada implikasi p ⇒ q, diberikan p maka q benar P. 15 Pernyataan p ⇒ q dan - q ⇒ p adalah ekuivalen.
P. 16 Suatu garis dapat diperpanjang ke kedua arah sejauh yang diinginkan P. 17 Ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik
P. 18 Untuk sembarang dua titik pada garis, ada titik ketiga pada garis yang berada diantara kedua titit tersebut.
P. 19 Ada korespondensi satu-satu antara titik pada garis dengan bilangan real P. 20 Setiap ruas garis memiliki titik tengah.
P. 21 Bagian terpendek antara dua titik adalah ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut.
P. 22 Bagian terpendek antara suatu titik dan suatu garis adalah ruas garis yang tegak lurus dari titik ke garis tersebut.
P. 23 Melalui suatu titik di luar garis yang diketahui, ada satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui.
P. 24 Melalui suatu titik pada garis yang diketahui ada suatu sudut yang titik sudutnya di titik tersebut.
P. 25 Pada satu titik yang berada pada lingkaran hanya ada satu garis tangen. P. 26 Setiap sudut memiliki garis bagi.
P. 27 Jika D suatu titik pada daerah interior ∠ BAC maka m ∠ BAC = m ∠
BAD + m ∠ DAC
P. 28 Suatu garis yang memotong satu sisi segitiga dan berada pada interior 7
segitiga memotong satu sisi lainnya (Aksioma Pasch)
P. 29 Diberikan korespondensi satu-satu antara dua segitiga (atau antara suatu segitiga dengan dirinya sendiri). Jika dua sisi dan sudut apit segitiga yang pertama kongruen dengan unsur-unsur bersesuaian pada segitiga yang kedua, maka kedua segitiga kongruen.
P. 30 Segitiga yang kongruen memiliki luas yang sama
P. 31 Luas persegi panjang adalah hasil kali alas dengan sisinya.
P. 32 Untuk sembarang poligon ada segi empat yang luasnya sama dengan poligon tersebut.
P. 33 Jika sisi poligon beraturan talibusur sangat banyak maka keliling lingkaran dapat digunakan untuk menggantikan keliling poligon tersebut.
P. 34 Jika sisi suatu poligon beraturan sangat banyak maka jari-jari lingkaran dapat digunakan untuk menggantikan apotema dari poligon tersebut.
P. 35 Misalkan daerah R adalah gabungan dari dua daerah R1 dan R2. Jika R1 dan
R2 berpotongan paling banyak pada sejumlah berhingga ruas garis dan titik
maka luas dari R merupakan jumlahan dari luas R1 dan R2.
1. Buatlah perbandingan lengkap tentang sistem aksioma yang digunakan oleh Euclid, Hilbert, Birkhoff dan SMSG.
2. Jelaskan bagaimana Postulat ke-4 versi SMSG dapat diturunkan dari postulat
SMSG yang lainnya.
3. Jelaskan sistem aksioma Birkhof yang mana berakibat munculnya postulat ke-15 versi SMSG.
4. Uraikan perbedaan antara postulat yang digunakan oleh Hary Lewis dengan postulat versi SMSG.
5. Geometri Datar haruslah taat kepada sistem aksiomatis yang ada. Terkait dengan hal ini, bagaimana sebaiknya materi geometri datar yang akan diajarkan di tingkat SD, SMP maupun SMA ?
Suatu teorema sebenarnya dapat dipilah menjadi dua bagian yakni bagian hipotesis dan bagian simpulan. Sebagai contoh, perhatikan teorema berikut.
“Dua garis tegak lurus membentuk sudut siku-siku”
8
Latihan 1.2
Teorema di atas dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi seperti berikut.
“Jika dua garis tegak lurus maka kedua garis membentuk sudut siku-siku” Pernyataan “dua garis tegak lurus” disebut dengan hipotesis dan pernyataan “membentuk sudut siku-siku” disebut dengan simpulan.
Dalam logika maupun dalam geometri datar sangatlah penting untuk mengidentifikasi kondisi-kondisi hipotesis yang ada pada suatu pernyataan agar dapat menjustifikasi simpulan yang akan dibuat. Kondisi-kondisi yang dimaksud adalah “syarat perlu” dan “syarat cukup”. Menurut Barnet Rich (1963), kedua syarat tersebut dapat diidentifikasi dengan melihat kebenaran dari suatu implikasi dan konversnya dengan menggunakan aturan seperti berikut.
Tabel 1. Peranan Hipotesis sebagai Syarat Perlu atau Syarat Cukup dalam Pernyataan yang Berbentuk Implikasi
Implikasi p
⇒ q
Konversnya q ⇒ p
Peranan Hipotesis (p)
Syarat Perlu (necessary) Syarat Cukup (sufficient)
Benar Benar Ya Ya
Benar Salah Bukan Ya
Salah Benar Ya Bukan
Salah Salah Bukan Bukan
Disesuaikan dari Barnet Rich (1963 : 178) Contoh 1.2
Implikasi “Jika suatu segitiga sama sisi maka segitiga itu sama kaki “ adalah benar, tetapi konversnya salah. Dengan demikian, sama sisi bukanlah syarat perlu untuk sama kaki. Sama sisi adalah syarat cukup untuk sama kaki.
Implikasi “Jika suatu segitiga sama kaki maka segitiga itu sama sisi “ adalah salah, tetapi konversnya benar. Dengan demikian, sama kaki adalah syarat perlu untuk sama sisi. Sama kaki bukanlah syarat cukup untuk sama sisi.
Ada beberapa aturan yang harus diperhatikan dalam membuktikan suatu teorema atau dalil agar argumen-argumen yang diberikan pada bukti tersebut dapat dikatakan valid.
Argumen 1
Menggunakan Modus Ponens
Strategi pembuktian ini dilakukan untuk membuktikan kebenaran implikasi p ⇒ q dimulai dari kondisi p yang benar dan akhirnya sampai pada kesimpulan q benar. Prosesnya dapat digambarkan seperti berikut.
Contoh 1.2
Misalnya akan dibuktikan teorema “ dalam suatu segitiga sama kaki, kedua sudut alasnya sama besar “. Teorema ini dapat dinyatakan dalam implikasi “ jika suatu segitiga sama kaki maka kedua sudut alasnya sama besar “
p ⇒ q Jika pada ∆ ABC berlaku AB = BC, maka m ∠ A = m
∠ C
(hal yang akan dibuktikan) P Melalui A buat garis bagi ∠ B sehingga memotong
sisi AC di D. Dengan demikian, ∆ ABD ≅ ∆ CBD menurut sisi-sudut-sisi.
(alasan yang diberikan)
∴ q m ∠ A = m ∠ C (kesimpulan)
Argumen 2
Menggunakan Modus Tollens
Untuk membuktikan kebenaran implikasi p ⇒ q dilakukan dengan menunjukkan kebenaran dari -q ⇒ -p. Prosesnya dapat digambarkan seperti berikut.
Contoh 1.3
Misalnya akan dibuktikan teorema “ jika dua sudut suatu segitiga berbeda ukurannya maka sisi-sisi dihadapan sudut-sudut tersebut juga berbeda ukurannya “.
10 p ⇒ q (Teorema atau dalil yang akan dibuktikan)
p (alasan-alasan yang digunakan)
∴ q (kesimpulan yang dihasilkan)
p ⇒ q (Teorema atau dalil yang akan dibuktikan) -q (alasan-alasan yang digunakan)
∴ - p (kesimpulan yang dihasilkan)
p ⇒ q Jika pada ∆ ABC berlaku m ∠ A ≠ m ∠ B maka BC
≠ AC
(hal yang akan dibuktikan) -q Jika BC = AC maka ∆ ABC sama kaki (alasan yang
diberikan)
∴ -p m ∠ A = m ∠ B (kesimpulan 1)
Karena -q ⇒ -p benar maka p ⇒ q juga benar (kesimpulan 2)
Argumen 3
Menggunakan silogisme hopotetis (silogisme transitif)
Argumen 4
Menggunakan silogisme disjungsi
Contoh 1.4
Jika diberikan sembarang dua garis yang tidak berhimpit maka kedua garis tersebut berpotongan atau sejajar.
Diketahui ternyata kedua garis tersebut tidak berpotongan. Berarti kedua garis tidak memiliki satupun titik potong. Menurut definisi, kedua garis tersebut sejajar.
Argumen 5
Menggunakan kombinasi Modus Ponens dan silogisme disjungsi
Bukti Tak Langsung
Bukti tak langsung didasarkan pada kondisi q atau -q pastilah berlaku dengan benar. Jika berlaku q maka -q tidak berlaku. Demikian juga sebaliknya. 11 p ⇒ q
q ⇒ r
∴ p ⇒ r (kesimpulan yang dihasilkan)
p ∨ q - p
∴ q (kesimpulan yang dihasilkan)
p ⇒ (q ∨ r) p ∧ - r
Pada bukti tak langsung, untuk menunjukkan kebenaran implikasi p ⇒ q dilakukan dengan cara mengecek kebenaran -q. Melalui kondisi berlakunya p secara benar, selanjutnya ditunjukkan bahwa - q tidak berlaku. Karena kondisinya dikotomis maka tentulah yang berlaku adalah q. Jadi, pada bukti tak langsung kebenaran berlakunya q tidak langsung diturunkan secara deduktif melalui kondisi p tetapi diturunkan secara deduktif dengan melihat kemungkinan berlakunya -q namun ternyata terjadi suatu hal yang mustahil atau kontradiktif dengan fakta yang sudah ada sebelumnya maupun fakta yang benar pada p.
Contoh 1.5
Misalnya akan dibuktikan
Jika suatu garis memotong dua sisi masing-masing atas bagian yang sama panjang, garis tersebut sejajar dengan sisi segitiga yang tak terpotong.
Diketahui, D titik tengah AC dan E titik tengah CB , m melalui D dan E. Akan dibuktikan m // AB . Ada dua kondisi yang pasti berlaku pada m dan AB , yakni m // AB atau m ∦ AB . Andaikan berlaku m ∦ AB . Menurut aksioma kesejajaran, melalui D hanya ada satu garis yang sejajar AB sebutlah m’. Dari yang diketahui, m’ haruslah memotong titik tengah CB , sebutlah F. Dengan demikian, CB memiliki dua titik tengah yakni E (diketahui) dan F. Hal ini tidaklah mungkin. Oleh karenanya, kondisi m ∦ AB tidak berlaku sehingga yang berlaku adalah m // AB .
12 Gambar 1.5
.
A B C D.
.
E.
m F.
.
m' x xLatihan 1.3
1. Dalam geometri Euclid berlaku “jumlah ketiga sudut suatu segitiga adalah
180o”. Asumsi apa yang tersembunyi pada teorema ini?
2. Buktikan bahwa “setiap ruas garis hanya memiliki satu titik tengah”. 3. Buktikan bahwa “setiap sudut hanya memiliki satu garis bagi sudut”
4. Buktikan eksistensi dan keunikan dari pernyataan “ melalui sutu titik B yang berada pada garis l yang diketahui hanya dapat dibuat satu garis yang tegak lurus terhadap l.
Latihan 1.1
1. Aksioma adalah suatu asumsi yang harus disepakati yang keberannya tidak perlu dibuktikan. Teorema adalah suatu pernyataan yang kebenarannya harus dibuktikan.
2. Definisi adalah suatu pernyataan yang digunakan untuk mengekpresikan atau menjelaskan sifat-sifat alamiah dari “sesuatu”.
Latihan 1.2
2. Misalkan ada dua titik P and Q pada suatu garis. Selanjutnya gunakan postulat penggaris dan pemasangan satu-satu.
3. Postulat IV untuk k = 1.
5. Harus ada penyederhanaan untuk memahami sistem aksiomanya.
Latihan 1.3
2. Setiap segitiga memiliki jumlah ukuran sudut yang sama. 4. Gunakan postulat SMSG nomor 12.
13
