EKSISTENSI EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR ZUMROTUS SYA DIYAH

EKSISTENSI EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR

ZUMROTUS SYA’DIYAH 1204 100 016

Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya

ABSTRAK

Misalkan A adalah matriks yang memiliki ukuran n xn. Bila xCn x

, 0 dan skalar C yang memenuhi Axx, maka x dikatakan suatu eigen-vector dari matriks A yang bersesuaian dengan eigen-value  [3]. Dalam Tugas Akhir ini akan ditunjukkan bahwa untuk setiap matriks bujur sangkar, setidaknya terdapat satu xCn x

, 0 dan suatu C yang memenuhi Axx. Dalam pembahasan tersebut, akan digunakan suatu pembuktian yang konstruktif [3]. Namun dalam hal ini diberikan suatu modifikasi untuk memudahkan pembahasan. Pembuktian tersebut merupakan prosedur yang akan memberikan suatu eigen-value dan eigen-vector melalui suatu vektor tak nol sebarang, dimana dalam prosesnya nanti akan digunakan beberapa sifat dari ruang vektor.

Kata kunci: Eigen-value dan eigen-vector, ruang vektor. Abstract

Suppose that A is a square matrix of size nxn. If  x



is a vector in

C

n, and



is a scalar in C such that Axx, then we say x is an eigen-vector of A with eigen-value



(Beezer, 2008). In this final project we will prove that for all square matrix, A, wich each elements of it are real number, the equation

x

Ax must be satisfied. In the other words, there is at least one

x



C

n

,

x





and a scalar C such that Axx. We use a kind of constructive proving in the explanation (Beezer, 2008). But, it will be modified in several cases. This proof contains a procedure that lead to an eigen-value and an eigen-vector which started with any non zero vector. The explanation will use several of vector space’s properties.

Keywords: Eigen-value, eigen-vector and vector space.

I. PENDAHULUAN

Eigen-value pertama kali muncul dengan kegunaannya dalam menyelesaikan persamaan differensial, yaitu dalam bidang geometri dan metode standar untuk menyelesaikan persamaan differensial orde ke-n dengan koefisien konstan yang diperkenalkan oleh Leonhard Euler [4]. Selain itu,

eigen-value juga muncul dalam problem nilai batas, seperti dalam penentuan daerah-daerah yang rawan gempa, dalam menentukan pusat energi dari sebuah atom, atau daerah kritis yang disebabkan oleh lendutan pada balok [5]. Sedangkan eigen-vector muncul secara alami dalam telaah getaran, sistem elektris, genetika, reaksi kimia, mekanika

kuantum, tekanan mekanis, ilmu ekonomi, dan geometri [2]. Berdasarkan uraian diatas, terlihat bahwa eigen-value dan eigen-vector sangat penting. Sehingga pembahasan tentang eksistensi eigen-value

dan eigen-vector sangat perlu untuk dikaji.

Tugas Akhir ini tidak membahas tentang bagaimana menyelesaikan persamaan Axx, tetapi menunjukkan bahwa untuk setiap matriks bujur sangkar, setidaknya terdapat satu

x



C

n

,

x



0 dan suatu C yang memenuhi persamaan Axx. Dalam pembahasannya nanti, akan digunakan suatu pembuktian yang konstruktif. Namun dalam hal ini diberikan suatu modifikasi untuk memudahkan pembahasan. Pembuktian tersebut merupakan prosedur yang akan memberikan suatu eigen-value

dan eigen-vector melalui suatu vektor tak nol yang telah ditentukan sebelumnya secara sebarang.

Dalam Tugas Akhir ini, akan diturunkan suatu teorema secara konstruktif tentang eksistensi eigen-value dan eigen-vector dari suatu matriks bujur sangkar. Agar pembahasan masalah tidak meluas, dalam Tugas Akhir ini hanya akan digunakan bilangan kompleks sebagai pokok pembahasan, yaitu dalam penentuan ruang vektor maupun lapangan atau field. Keduanya menggunakan bilangan kompleks sebagai semesta pembicaraan.

Tujuan dari Tugas Akhir ini adalah membuktikan bahwa setiap matriks khususnya matriks bujur sangkar selalu memiliki setidaknya satu eigen-value dan eigen-vector yang bersesuaian. Sedangkan manfaat dari Tugas Akhir ini adalah memperluas pemahaman dan pengetahuan tentang

eigen-value dan eigen-vector yang berkaitan dengan eksistensi eigen-value dan eigen-vector dari suatu matriks bujur sangkar. Hal ini dimaksudkan agar dalam aplikasinya nanti eksistensi eigen-value dan

eigen-vector dari suatu matriks bujur sangkar tidak lagi menjadi suatu persoalan dalam upaya penyelesaian suatu permasalahan.

II. RUANG VEKTOR

Sebelum definisi tentang suatu ruang vektor dipaparkan, perlu diketahui terlebih dahulu definisi dari field atau lapangan. Karena untuk memperoleh pemahaman tentang suatu ruang vektor, akan sangat dibutuhkan definisi dari field atau lapangan. Berikut adalah definisi umum mengenai field atau lapangan. Definisi 2.1 (Hal.G.Moore dan Adil Yaqub)

Suatu himpunan K 



bersama-sama dengan dua operasi tambah (+) dan kali (.) dikatakan suatu field atau lapangan jika untuk setiap a,b,cK memenuhi:

1).(ab)K (tertutup terhadap penjumlahan) 2).(ab)(ba) (komutatif terhadap penjumlahan)

3). (ab)ca(bc) (assosiatif terhadap penjumlahan)

4).



0K



a



0



0aa (eksistensi elemen netral terhadap penjumlahan) 5).(a)Ka(a)(a)a0 (eksis-tensi invers terhadap penjumlahan) 6). (a.b)K (tertutup terhadap perkalian) 7). a.bb.a (komutatif terhadap perkalian) 8).(a.b).ca.(b.c) (assosiatif terhadap perkalian)

9).



e



K



a

.

e



e

.

a



a

(eksistensi elemen netral terhadap perkalian) 10).



(

a

1

)



K



a

.(

a

1

)



(

a

1

).

a



e

,

untuka0 (eksistensi invers terhadap perkalian) (2.1)

11). (a.(bc))(a.b)(a.c) (sifat distributif) Setelah diperoleh definisi field atau lapangan

secara umum, maka berdasarkan pada definisi tersebut dapat diuraikan lagi definisi tentang suatu ruang vektor secara umum.

Definisi 2.2 (Hal.G.Moore dan Adil Yaqub) Suatu himpunan V dengan dua operasi tambah (+) dan kali (.) dikatakan suatu ruang vektor atas lapangan K bila untuk setiap u,v,wVdan

K b

a,  memenuhi:

1).

u



v



V

(tertutup terhadap penjumlahan) 2).

u



v



v



u

(komutatif terhadap penjumlahan)

3).

(

u



v

)



w



u



(

v



w

)

(assosiatif terhadap penjumlahan) (2.2) 4).



0Vv0



0vv (eksistensi elemen netral terhadap penjumlahan) 5).xVuxxu0 (eksistensi invers terhadap penjumlahan) (2.3) 6).

a

.

v



V

(tertutup terhadap perkalian skalar) 7).

(

a



b

).

v



a

.

v



b

.

v

(2.4) 8).a.(uv)a.ua.v

9).(a.b).va.(b.v) (2.5) 10).

1

.

v



v

.

1



v

(2.6) III. POLINOMIAL MATRIKS

Polinomial adalah kombinasi dari pangkat-pangkat suatu variabel, perkalian dengan koefisien skalar, dan penjumlahan (dengan pengurangan hanya merupakan invers dari penjumlahan)[3]. Akan muncul suatu permasalahan ketika yang menjadi variabel dari polinomial tersebut adalah matriks. Namun, tidak semua matriks dapat menjadi variabel dari suatu polinomial. Melainkan hanya matriks bujur sangkar saja yang dapat dijadikan variabel polinomial. Karena hanya pada matriks bujur sangkar saja semua operasi dalam polinomial dapat diberlakukan. Penghitungan dalam polinomial matriks tidak jauh berbeda dengan polinomial biasa. Hanya saja yang menjadi subjek penghitungan adalah matriks (matriks bujur sangkar) dan bukan bilangan real.

IV. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Kajian tentang sistem persamaan linear dan penyelesaiannya merupakan salah satu topik utama dalam aljabar linear[1]. Aplikasi dari sistem persamaan linear pun banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang teknologi maupun industri[3]. Penjelasan tentang sistem persamaan linear dijelaskan dalam definisi sebagai berikut.

Definisi 4.1 (Robert A.Beezer)

Sebuah sistem persamaan linear adalah sebuah himpunan dari m persamaan dalam beberapa variabel, misal x1,x2,x3,...,xn yang berbentuk:

1 1 3 13 2 12 1 11x a x a x ... a x b a     n n  2 2 3 23 2 22 1 21x a x a x ... a x b a     n n  3 3 3 33 2 32 1 31x a x a x ... a x b a     n n 



m n mn m m m x a x a x a x b a _{1 1}  _{2 2}  _{3 3}... 

dimana nilai dari a_ij,

b

_i dan x_j merupakan anggota dari bilangan kompleks C .

Persamaan-persamaan linear diatas dapat dinotasikan secara singkat dengan:

Axb dengan                  mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a A      3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11                  n x x x x x  3 2 1 , dan                  m b b b b b  3 2 1

Lebih lanjut, jika vektor b merupakan vektor 0, maka sistem persamaan linear tersebut dinamakan sistem persamaan linear homogen, atau dapat dinotasikan dengan: Ax0 dengan                  mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a A      3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11                  n x x x x x  3 2 1 , dan 0                  0 0 0 0 

V. BARIS ESELON TEREDUKSI

Baris eselon tereduksi sangat dibutuhkan dalam menghitung penyelesaian suatu sistem persamaan linear karena baris eselon tereduksi dapat mempermudah proses penghitungan tersebut. Oleh karena itu, baris eselon tereduksi sangat perlu untuk dijelaskan. Tapi, sebelumnya akan dijelaskan mengenai baris eselon terlebih dahulu.

Definisi 5.1 (Howard Anton, Jilid I)

Sebuah matriks dikatakan berbentuk baris eselon jika:

1).Elemen tidak nol pertama dari masing-masing barisnya adalah 1(disebut dengan utama 1).

2). Jika ada sebarang dua baris yang berurutan tidak seluruhnya terdiri dari nol, utama 1 pada baris yang lebih bawah terletak di sebelah kanan utama 1 pada baris yang lebih atas.

3). Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris ini dikelompokkan bersama di bagian bawah matriks.

Sedangkan untuk mengetahui definisi dari baris eselon tereduksi dapat dilihat dari definisi di bawah ini.

Definisi 5.2 (John.B. Fraleigh dan Raymond A. Beauregd)

Sebuah matriks dikatakan berbentuk baris eselon tereduksi jika matriks tersebut berbentuk baris eselon dan elemen tidak nol pertama dari masing-masing barisnya adalah elemen tidak nol satu-satunya dalam kolom dari elemen tidak nol tersebut.

VI. MATRIKS REPRESENTASI

Dari pengertian ruang vektor diatas, dapat dikemukakan tentang definisi dari pemetaan linear. Definisi 6.1 (Howard Anton, Jilid II)

Misalkan terdapat dua ruang vektor V dan W atas lapangan K yang direlasikan oleh sebuah fungsi

W V

T:  dibawah dua operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Fungsi T dikatakan transformasi linear jika dipenuhi:

1). T(v₁v₂)T(v₁)T(v₂)

2). T(rv1)rT(v1)

untuk setiap v1dan v2 dalam V dan r adalah skalar dalam K.

Selanjutnya, setelah transformasi linear didefinisikan, maka dapat dipaparkan definisi mengenai suatu matriks representasi sebagai berikut. Definisi 6.2 (John.B. Fraleigh dan Raymond A. Beauregd)

Misalkan T:VW adalah suatu transformasi linear dengan B adalah basis dari V dan B’ adalah basis dari W dimana V berdimensi n sedangkan W

berdimensi m. Maka suatu matriksATyang berukuran mxn dengan matriks kolom ke-j adalah suatu matriks koordinat dari T(bj) relatif terhadap basis B’ dikatakan suatu matriks representasi dari T

relatif terhadap basis-basis B dan B’.

Jadi, matriks representasi sangat bergantung pada basis yang telah ditentukan sebelumnya. Matriks representasi ini akan berbeda jika basis yang digunakan juga berbeda. Tapi, matriks representasi tersebut tetap merupakan suatu matriks representasi dari suatu transformasi linear yang sama [3].

VII. BERGANTUNG LINEAR DAN BEBAS LINEAR

Kebergantungan linear vektor-vektor sangat dipengaruhi oleh penyelesaian sistem linear homogen dari kombinasi linear vektor-vektor yang bersangkutan. Sehingga, sangat perlu untuk menunjukkan definisi dari kombinasi linear atas vektor-vektor secara umum, dalam hal ini bukan hanya vektor kolom atau vektor baris saja.

Definisi 7.1 (Steven. J.Leon)

Suatu vektor wdisebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor {v1,v2,v3,,vk} jika vektor w tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:

k kv k v k v k w 1 1  2 2 ... dengan k1,k2,...,kk adalah skalar.

Definisi 7.2 (John.B. Fraleigh dan Raymond A. Beauregd)

Misalkan suatu himpunan {v1,v2,v3,,vk} adalah vektor-vektor tak kosong dari ruang vektor

V, maka himpunan vektor-vektor

{v1,v2,v3,,vk} dikatakan bergantung linear jika dipenuhi:

r1v1r2v2rkvk 0 untuk beberapa rj 0.

Sedangkan untuk definisi tentang vektor-vektor yang bebas linear diberikan dalam definisi berikut.

Definisi 7.3 (John.B. Fraleigh dan Raymond A. Beauregd)

Himpunan vektor-vektor {v1,v2,v3,,vk} dikatakan bebas linear jika dipenuhi:

   r v rkvk v r1 1 2 2  0 untuk setiap r_j 0 , j=1,2,...k.

VIII. EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR Berikut adalah definisi dari eigen-value dan

eigen-vector.

Misalkan A adalah matriks yang memiliki ukuran

nxn. Bila xCn,x0 dan skalar C, dengan n

C menotasikan himpunan semua vektor-vektor kolom berukuran n dengan elemen-elemennya adalah anggota himpunan bilangan kompleks C, maka x dikatakan suatu eigen-vector dari matriks A yang bersesuaian dengan eigen-value  jika memenuhi

x Ax .

IX. EKSISTENSI EIGEN VALUE DAN EIGEN VECTOR

Dalam bab ini akan diberikan pembuktian beberapa teorema pendukung yang nantinya akan sangat dibutuhkan dalam penurunan teorema tentang eksistensi dari eigen value dan eigen vector pada matriks bujur sangkar. Setelah itu, akan diturunkan teorema utama secara konstruktif. Teorema utama disini adalah teorema yang merupakan suatu prosedur dalam mencari eigen value dan eigen vector.

9.1 Sistem Persamaan Linear Homogen, Penyelesaian, dan Kebergantungan Linear Vektor-vektornya

Sifat yang pertama dibuktikan adalah sifat tentang kekonsistenan dari suatu sistem persamaan linear homogen, yang diberikan dalam teorema berikut

Teorema 9.1

Setiap sistem persamaan linear homogen selalu konsisten (memiliki penyelesaian).

Bukti:

Dimisalkan suatu sistem persamaan linear homogen sebarang:             nm n n m m a a a a a a a a a       2 1 2 22 21 1 12 11             m x x x  2 1 =             0 0 0  (9.1) dengan a_ij R, i1,2,3,...,n dan m j1,2,3,..., .

Maka diperoleh persamaan-persamaan linear sebagai berikut: 0 1 2 12 1 11x a x  amxm  a  0 2 2 22 1 21x a x  a mxm  a 



(9.2) 0 2 2 1 1  n   nm m  n x a x a x a 

untuk

a

pq dengan p = 1,2,3,...,n dan q =

1,2,3,....,m dimana tidak semua dari

a

_pq= 0, maka persamaan-persamaan linear (9.2) paling tidak memiliki satu penyelesaian, yaitu:

x1x2 ...xm 0 (disebut dengan penyelesaian trivial).

Jadi, terbukti bahwa setiap sistem persamaan homogen (9.1) pasti konsisten (memiliki penyelesaian), paling tidak satu penyelesaian yaitu

0 ...

2

1x  xm 

x .

Lebih lanjut lagi, terdapat suatu kasus dimana suatu sistem persamaan linear homogen akan dijamin memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian, yaitu ketika sistem tersebut mempunyai banyak persamaan yang lebih sedikit daripada banyaknya peubah dalam seluruh persamaan. Untuk lebih jelasnya, hal ini dijelaskan dalam teorema berikut.

Teorema 9.2

Jika sistem persamaan linear homogen memiliki m

persamaan dalam n peubah dengan m<n maka sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian.

Bukti:

Dimisalkan suatu sistem persamaan linear homogen sebarang:             mn m m n n a a a a a a a a a       2 1 2 22 21 1 12 11             n x x x  2 1 =             0 0 0  (9.3) dimana a_ijRuntuk i1,2,3,,m dan

n j1,2,3,, .

Maka diperoleh matriks diperbesarnya adalah:

            0 0 0 2 1 2 22 21 1 12 11        mn m m n n a a a a a a a a a

Kemudian dilakukan operasi baris elementer hingga didapatkan suatu matriks diperbesar yang

berbentuk matriks baris eselon tereduksi. Misalkan terdapat r baris tak nol dalam matriks yang diperbesar, maka akan diperoleh bahwa r<n. Dari Teorema 9.1, maka sistem tersebut pasti memiliki penyelesaian. Sehingga dari matriks diperbesar yang berbentuk matriks baris eselon tereduksi tersebut akan didapatkan suatu sistem persamaan yang berpadanan sebagai berikut:

(9.4)

Dengan x_k1,x_k2,x_k3,...,x_kr adalah peubah-peubah utama dan



X menyatakan jumlah yang melibatkan n-r peubah bebas, mungkin semuanya berbeda antara yang satu dengan yang lainnya. Lalu, persamaan (9.4) diselesaikan secara matematis sehingga diperoleh:









        X x X x X x X x kr k k k  3 2 1

Jumlah peubah bebas yang berada di ruas kanan dapat ditetapkan secara sebarang. Sehingga akan diperoleh tak hingga banyaknya penyelesaian dari sistem tersebut.

Setelah diketahui sifat dari sistem persamaan linear homogen, yaitu sifat dimana jika sistem persamaan linear homogen memiliki m persamaan dalam n peubah dengan m<n maka sistem tersebut mempunyai tak hingga banyaknya penyelesaian, maka perlu dipaparkan pula sifat sistem persamaan homogen yang lainnya. Sifat tersebut adalah sifat mengenai keterkaitan antara solusi dari sistem persamaan homogen dengan kebergantungan linear dari vektor-vektornya, yang dijelaskan dalam teorema di bawah ini.

Teorema 9.3

Jika suatu sistem persamaan linear homogen

AX = 0 memiliki solusi nontrivial, maka vektor-vektor kolom dari matriks A saling bergantung linear (vektor kolom yang satu merupakan kombinasi linear dari vektor yang lainnya).

Bukti: Misalkan                  nm n n n m m m a a a a a a a a a a a a a a a a A         3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11

Maka untuk setiap j1,2,3,...m vektor

v

j

dapat ditulis dengan:

) ,... , , ( 1j 2j 3j nj j a a a a v 

dengan a_ij merupakan anggota dari bilangan real (R).

Sehingga diperoleh suatu persamaan:     x v x v x_mv_m v x_{1 1 2 2 3 3} ... 0 ,

x

_jC    ) ,..., , , ( ) ,..., , , ( 2 32 22 12 2 1 31 21 11 1 n n a a a a x a a a a x  ... ) ,...., , , ( _{13 23 33 3} 3 a a a an x  ) ,..., , , ( _{1m 2m 3m nm} m a a a a x 0



                nm n n n m m m a a a a a a a a a a a a a a a a         3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11                 m x x x x  3 2 1 =                 0 0 0 0  (9.5)

Jika sistem persamaan linear homogen (9.5) memiliki solusi nontrivial, maka hal ini berarti terdapat beberapa

x

_r



0

, r 2,...,n dengan

m

n yang memenuhi persamaan linear

homogen tersebut. Menurut Definisi 7.2 jelas bahwa setiap matriks kolom dari matriks A adalah saling bergantung linear.

Kemudian akan diuraikan sebuah teorema tentang konsep kebergantungan linear beberapa vektor dengan menggunakan Teorema 9.2 dan Teorema 9.3 sebagai acuan.

0 3 



X  xk  0 1 



X  x_k   0 2 



X  xk    0  



X x_kr     

Teorema 9.4

Misalkan n

j C

v  , j = 1,2,3,...,m. Bila m>n, maka vektor-vektor v_jCn saling bergantung linear. Bukti:

Vektor

v

j dapat ditulis dengan:

) ,... , , ( 1j 2j 3j nj j a a a a v 

dengan a_ij merupakan anggota dari bilangan real (R), i= 1,2,...n j= 1,2,...m.

Sehingga diperoleh suatu persamaan:     x v x v x_mv_m v x_{1 1 2 2 3 3} ... 0, x_jC







)

,...,

,

,

(

)

,...,

,

,

(

2 32 22 12 2 1 31 21 11 1 n n

a

a

a

a

x

a

a

a

a

x

 ... ) ,...., , , ( _{13 23 33 3} 3 a a a an x x_m(a_1m,a_2m,a_3m,...,a_nm) 0                  nm n n n m m m a a a a a a a a a a a a a a a a         3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11                 m x x x x  3 2 1 =                 0 0 0 0 

Terlihat bahwa sistem persamaan linear homogen tersebut terdiri dari n persamaan dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui adalah m. Karena n<m maka dari Teorema 9.2 dapat disimpulkan bahwa sistem persamaan linear homogen tersebut memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian. Atau dengan kata lain penyelesaiannya merupakan solusi nontrivial. Jadi, menurut Teorema 9.3 maka dapat disimpulkan bahwa setiap vektor-vektor

v

_j



C

n j = 1,2,3,...,m saling bergantung linear.

9.2 Sifat Ruang Vektor

Dalam penurunan teorema tentang eksistensi

eigen value dan eigen vector nanti juga akan sangat dibutuhkan satu sifat dari ruang vektor yang berkaitan dengan perkalian antara setiap anggota ruang vektor dengan skalar dari fieldnya. Dimana perkalian ini adalah perkalian skalar yang memiliki vektor nol (0) sebagai hasilnya. Sifat ini akan dijelaskan dalam teorema berikut

Teorema 9.5

Misalkan u adalah sebuah vektor dalam ruang vektor kompleks

C

ndan



C.

Jika



u 0 maka



0 atau

u



0. Bukti:

Untuk memudahkan pembuktian teorema ini, maka perlu adanya pembagian analisa terhadap teorema tersebut menjadi dua kasus. Yaitu untuk

0





dan untuk



0. Kasus I

Anggap



0, dalam kasus ini didapatkan kesimpulan yang benar. Misalkan dianggap bahwa



u

0, maka diperoleh:



u 0 u u u 





(sifat dari definisi ruang vektor 2.3)

u u(1(1))





(sifat dari definisi ruang vektor 2.4) u u0 



0  



(9.6)

Karena

u



0 maka dengan hukum kanselasi diperoleh



0.

Kasus II

Anggap



0, maka

u 1u (sifat dari definisi ruang vektor 2.6) u

u (1)

 

 (karena C adalah lapangan dan

0 



, dari sifat 2.1) ) ( 1 u u   

 (sifat dari definisi ruang vektor 2.5)  1  u 0 (diketahui di teorema)



1  u 0 + 0



1  u 0



1

(



0



1 (

 0)) (sifat dari definisi ruang vektor 2.3)  1 (  u 0  1  0)



1 (

 0) (sifat dari definisi ruang vektor 2.2)

 1  u (0 + 0)  1 (

 0

)

(sifat dari definisi ruang vektor 2.4)  1  u 0



1 (

 0) (sifat dari definisi ruang vektor 2.3)



u 0 (9.7)

Dari dua persamaan yaitu persamaan (9.6) dan persamaan (9.7) dapat disimpulkan bahwa jika



u



0 maka



0 atau

u



0.

9.3 Eksistensi Eigen Value dan Eigen Vector Dalam bahasan ini akan dibuktikan bahwa setiap matriks bujur sangkar memiliki paling sedikit satu

eigen value (dan sebuah eigen vector yang bersesuaian). Dalam pembuktian ini, digunakan suatu penurunan secara konstruktif. Dimana penurunan ini merupakan sebuah prosedur yang akan memberikan satu eigen value dan sebuah eigen vector yang bersesuaian dari suatu matriks bujur sangkar.

Teorema 9.6

Misalkan A adalah suatu matriks bujur sangkar berukuran n x n. Maka A memiliki paling sedikit satu

eigen value. Bukti:

Misalkan A adalah matriks representasi dari pemetaan linear



:Cn Cn terhadap suatu basis tertentu. Dan dimisalkan pula A adalah yang berukuran nxn. Pilih sebarang vektor tak nol

n C

x sehingga diperoleh himpunan n1 vektor-vektor dalamCn sebagai berikut:

}

,

,

,

,

,

{

x

Ax

A

2

x

A

3

x

A

x

S





n

dimana akan terdapat tiga kasus, yaitu: Kasus I

JikaAx0, sehingga dapat ditulis: Ax0x (karena x adalah vektor tak nol) maka didapatkan 0 sebagai eigen value dari matriks

A (



0) dengan eigen vector yang bersesuaian adalah x.

Kasus II

Jika Aix0 tetapi Ai1x 0, dan dimisalkan x

A z i1

sehingga dapat ditulis:

)

(

A

1

x

A

Az



i 0     x A x A A i ) i ( 1 0Az0z

maka didapatkan 0 sebagai eigen value dari matriks A (



0) dengan eigen vector yang bersesuaian adalah Ai1x.

Kasus III

Jika semua vektor dalam S bukan vektor nol, atau dengan kata lain Aix0, untuk

n i1,2,3,,

 . Maka S adalah himpunan

(n+1) vektor-vektor yang dibangkitkan dari vektor tak nol xCn. setiap vektor dalam himpunan S

juga berada dalamCn. Dari Teorema 4.4 diperoleh bahwa S adalah himpunan dari vektor-vektor yang bergantungan linear. Sehingga

C a a a a a _n

 ₀, ₁, ₂, ₃, yang tidak semuanya nol, sedemikian hingga terpenuhi:













a

Ax

a

A

x

a

A

x

a

A

x

x

a

_{0 1 2} 2 ₃ 3



₄ n 0 Misalkan

a

₀



0

dana₁a₂ a₃ a_n 0. Maka diperoleh:



x

a

₀ 0

0

0





a

atau

x



0 (dari Teorema 4.5) (9.8) Dapat dilihat dari persamaan (9.8) bahwa didapatkan dua penyelesaian yaitu

a

₀



0

atau



x

0, dimana kedua penyelesaian tersebut sama-sama merupakan kontradiksi dengan asumsi di awal proses mengenai

a

₀



0

dan vektor x yang merupakan vektor tak nol dalam Cn. Sehingga didapat: 0  i a untuk beberapa i1 (9.9)

Misal m adalah bilangan bulat terbesar sedemikian hingga a_m 0. Maka dari (9.9) diperoleh bahwa m1.

Selanjutnya didefinisikan suatu polinomial m my a y a y a a y p    2  2 1 0 ) ( dimana

p(y) adalah suatu polinomial berderajat m1. Kemudian polinomial p(y) dapat difaktorkan ke dalam bentuk (ybi) , biC. Maka terdapat skalar-skalar b1,b2,b3,,bmC sehingga diperoleh polinomial dalam bentuk:

) ( ) ( ) ( ) ( ) (y y b y b 1 y b2 y b1 p   m  m    Sehingga diperoleh:

0a xa Axa A xanAnx 2 2 1 0



0 a x a Ax a A x a Anx n      2  2 1 0 , a_i 0,im



0(a₀Ia₁Aa₂A2a_mAm)x



0p(A)x



0(Ab_mI_n)(Ab_m1I_n)(Ab₂I_n)(Ab₁I_n)x (9.10) Misalkan k adalah bilangan bulat terkecil sedemikian hingga berlaku persamaan:

    b I A b_I A b I A bI x A _{k n})( _{k n}) ( _n)( _n) ( ₁  _{2 1} 0

sehingga k m. Dan dapat didefinisikan vektor z

sebagai berikut: x I b A I b A I b A I b A z(  _{k1 n})(  _{k2 n})(  _{2 n})(  _{1 n}) (9.11)

Karena k adalah bilangan bulat terkecil, maka vektor

z pasti merupakan suatu vektor tak nol. Sehingga dengan menggunakan persamaan (9.10) dan persamaan (9.11), maka diperoleh persamaan:

 b I z A k n) (     bI A b_I A bI A bI x A _{k n})( _{k n}) ( _n)( _n) ( ₁  _{2 1} 0

Dari persamaan diatas dapat ditulis persamaan berikut:   A z A ( O) z z I b I b A ( _{k n k n})) (    z I b I b A ( _{k n k n})) (     z I b I b A _{k n}) _{k n}) ((    z I b z I b A _{k n}  _{k n} ( ) = 0(b_kI_n z) z b_k 

Karena

z



0, persamaan ini menunjukkan bahwa z

adalah suatu eigen vector dari matriks A untuk suatu

eigen value



b_kC.

Jadi, terbukti bahwa setiap matriks bujur sangkar memiliki paling sedikit satu eigen value (dan sebuah

eigen vector yang bersesuaian).

X. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan tentang eksistensi

eigen value dan eigen vector, maka dapat disimpulkan bahwa untuk setiap matriks bujur

sangkar A akan terdapat setidaknya satu vektor



x

0 sedemikian hingga berlaku persamaan x

Ax , untuk suatu nilai C yang bersesuaian.

5.2 Saran

Saran yang diberikan untuk penelitian selanjutnya adalah mencari eksistensi eigen value

dan eigen vector dari suatu matriks bujur sangkar dengan elemen-elemennya merupakan anggota ring komutatif.

XI. DAFTAR PUSTAKA

[1]. Anton, Howard.2000.Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid I. Interaksara. Batam.

[2]. Anton, Howard.2000. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid II. Interaksara. Batam.

[3]. Beezer, Robert.A. 2 Februari 2008. A First Course of Linear Algebra. University of Puget Sound, Washington<http://buzzard.ups.edu>. [4]. Fraleigh, John.B and Raymond A. Beauregd.1987.Linear Algebra. Addison- Wesley Publishing Company. Inc, Rhode Island. [5]. Leon, Steven.J. 2006. Linear Algebra With Applications. Pearson Education .Inc, New Jersey.

[6]. Moore, Hal.G and Adil Yaqub.1998. A First Course in Linear Algebra With Applications. Academic Press, United States of America.