transformasi bilinenar

(1)

TRANSFORMASI BILINEAR

Di susun untuk memenuhi tugas matakuliah Fungsi Kompleks

yang dibimbing oleh Ibu Indriati Nurul H.

KELOMPOK 7

Anggota: Maharani Kusuma Arumsari (409312413115)

Andrie Kurniawan (409312417687)

Herlin Dwi Kartikasari (409312419799)

Erlina Tri Susianti (409312419801)

MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MALANG

(2)

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Kelompok lain yang penting dari pemetaan elementer dipelajari oleh Ferdinand Bilinear Agustus (1790-1868). Pemetaan ini dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua ekspresi linear dan biasanya dikenal sebagai transformasi bilinear atau pecahan linier. Mereka muncul secara alami dalam masalah pemetaan yang melibatkan fungsi arctan (z).

Transformasi Bilinear didefinisikan pada bidang kompleks perluasan (yaitu bidang kompleks ditambah dengan titik di tak terhingga) yaitu ̂ . Bidang perluasan komplek ini dapat dianggap sebagai suatu bidang. Transformasi tersebut adalah bentuk paling umum dari pemetaan konformal dari domain. Sebuah transformasi bilinear dapat dinyatakan sebagai transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier dan invers. Beberapa sifat-sifat pada transformasi bilinear analog pada transformasi kebalikan. Kemudian transformasi bilinear dapat ditentukan bahwa transformasi tersebut memiliki dua titik tetap.

Dalam makalah ini akan dijelakan bagaimana bidang perluasan dapat terbentuk pada transformasi bilinear. Serta akan ditunjukkan bahwa transformasi bilinear dapat dinyatakan dalam transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier dan inversnya yang juga merupakan transformasi bilinear. Dan akan ditentukan bahwa transformasi bilinear memiliki sifat-sifat yang salah satunya akan analog dengan transformasi kebalikan. Pada transformasi bilinear akan ditentukan bagaimana mencari titik tetapnya.

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud transformasi bilinear?

2. Bagaimana contoh dan non contoh dari transformasi bilinear? 3. Bagaimana sifat-sifat dan bukti dari transformasi bilinear?

4. Bagaimana teorema, bukti teorema, dan contoh penggunaan dalam soal dari transformasi bilinear?

(3)

C. Tujuan

1. Mengetahui definisi transformasi bilinear pada bidang kompleks. 2. Dapat membedakan contoh dan noncontoh dari trasnformasi bilinear. 3. Mengetahui sifat-sifat transformasi bilinear beserta buktinya.

4. Mengetahui teorema dan buktinya dari transformasi bilinear serta penggunaannya dalam soal.

(4)

BAB II

PEMBAHASAN

A. Definisi Transformasi bilinier

Pemetaanw az b cz d  

 , dengan dinamakan transformasi

bilinear.

Keterangan:

1. Dalam hal , maka transformasi bilinier akan menjadi transformasi (fungsi) konstan.

2. Untuk selanjutnya, diasumsikan bahwa untuk menghindari transformasi bilinier berubah menjadi transformasi linier.

Syarat agar tidak menjadi linear karena jika maka

3. Persamaan bilinier ini memetakan bidang-z diperluas dalam bentuk satu-satu ke bidang w diperluas; titik ‘perkecualian ’ pada pemetaan ini adalah yang dipetakan ke dan yang dipetakan ke

(5)

Oleh karena itu, agar pada analitik dank arena maka untuk

kita petakan ke ( ) ( ) az b w cz d w cz d az b wcz wd az b wcz az b wd z cw a dw b dw b z cw a                    

Maka untuk nilai invers transformasinya diberikan

Kita dapat memperluas ke pemetaan dalam bidang kompleks diperluas. Nilai dapat ditentukan dari nilai limit untuk . Oleh karena itu,

dan inversnya adalah ₍ _{) . Dengan cara yang sama, nilai} _diperoleh dengan

(6)

dan inversnya adalah ( ) . Dengan perluasan kita simpulkan bahwa

transformasi adalah pemetaan satu-satu dari bidang komplek diperluas ke bidang komplek diperluas.

B. Contoh Transformasi Bilinear

1 z w z   Alasan: 1, 0, 1, 1 1 0, 1 0 1 0 a b c d c ad bc           

C. Bukan Contoh Transformasi Bilinear

1

w z Alasan :

1, 0, 0, 1

0 menjadikan persamaan linear 0 menjadikan fungsi konstan

a b c d c ad bc         

D. Sifat-Sifat dan Teorema pada Transformasi Bilinear

1. Pemetaan bilinier merupakan gabungan dari fungsi-fungsi berikut

Dengan demikian, transformasi bilinier merupakan gabungan dari transformasi linier diikuti dengan transformasi kebalikan dan dilanjutkan dengan transformasi linier sekali lagi.

(7)

Bukti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b a z az b _a w f z d cz d _{c z} c d d b d b a z a a c c a c a d c d c z c z c c d d b d b a z a a c c a c a d c d c z c z c c ad b a _c a bc ad c c cz d c c cz d       _                      _       Diperoleh komposisi

2. Analog dengan transformasi kebalikan, maka transformasi bilinier juga memetakan garis dan lingkaran menjadi suatu garis atau lingkaran.

Bukti:

Bukti didasarkan pada dua kenyataan sebagai berikut:

(a). Pemetaan bilinear merupakan gabungan dari tiga fungsi berikut, dalam urutan yang diberikan

Jadi pemetaan bilinear merupakan gabungan dari pemetaan linear diikuti dengan pemetaan kebalikan, kemudian sekali lagi dengan pemetaan linear.

(b). Pemetaan linear merupakan transformasi sama dan transformasi kebalikan memetakan garis-garis dan lingkaran ke garis-garis atau lingkaran-lingkaran.

Kenyataan-kenyataan diatas dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa suatu garis atau lingkaran, katakanlah pada bidang z oleh fungsi pertama dalam (a) akan diputar, diperbesar, dan digeser menjadi garis atau lingkaran , selanjutnya oleh fungsi yang kedua hasilnya akan dibalikkan menjadi garis atau lingkaran dan akhirnya oleh fungsi yang ketiga akan diputar, diperbesar, dan digeser menjadi garis atau lingkaran.

(8)

3. Pemetaan bilinier (dengan asumsi ) mempunyai paling banyak dua titik tetap,

yang merupakan akar-akar persamaan . Bukti: 2 2 2 2 1,2 misalkan , sehingga ( ) 0 ( ) 0

dari persamaan kuadrat di atas, diperoleh akar-akarnya

( ) ( ) 4 2 w z az b z cz d z cz d az b cz dz az b cz dz az b cz d a z b a d a d bc z c                       

4. Invers dari transformasi bilinier w az b cz d    adalah dw b z cw a   

 yang juga merupakan transformasi bilinier. Bukti: ( ) ( ) az b w cz d w cz d az b wcz wd az b wcz az b wd z cw a dw b dw b z cw a                     5. Teorema

Jika z1 ≠ z2 ≠ z3 sebarang titik pada bidang-Z dan w1 ≠ w2 ≠ w3 sebarang titik pada

bidang-W, maka terdapat fungsi transformasi bilinear yang memetakan zi ke wi

dengan i=1,2,3 adalah

Bukti: 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) w w w w z z z z w w w w z z z z         

(9)

Misal: dengan Maka,

(10)

Bentuk pecahan di atas dikenal sebagai pecahan silang dari titik-titik dan . Bila dikalikan silang, maka persamaan di atas menjadi

Dengan melakukan penyederhanaan, persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk

Bukti :



1



2 3



3



 





1 2 3 1 2 3 3 2 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 1 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) w w w w z z w w w w z z z z w w w w z z z z w w w w z z z z z z       _            1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 3 3 2 3 2 1 2 2 1 3 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 3 1 3 1 1 3 2 1 2 3 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 2 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) 0 zw z w z w z w z w z w z w w z z w z z w z z w z z w z z w z z w z z w w z w w z w w z w w z w w z w w z z w w z z w w z z w w z z w w z z w w z z w w                        

(11)

1 1 2 2 2 3 3 1 3 1 1 3 2 1 2 3 2 3 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 2 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 1 2 1 1 3 3 2 3 2 1 2 2 1 3 1 2 3 3 misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) maka dipe : r z w w z w w z w w z w w z w w z w w b z z w w z z w w z z w w z z w w z z w w z z w w c z w z w z w z w z w z w d z z w z z w z z w z z w z z w z z a w                         oleh 0 0 ( ) zwc wd za b cwz dw az b cwz dw az b w cz d az b az b w cz d                  Contoh 1:

Di bawah pemetaan bilinier setengah bidang dipetakan ke dalam lingkaran satuan | | .

Penyelesaian :

Pemetaan ⁄ dapat dinyatakan sebagai gabungan fungsi-fungsi

→ → → Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut

1. Diputar sebesar , didilatasi | | , dan ditranslasi sejauh .

2.

(12)

( )

Daerah dalam lingkaran dengan pusat dan jari-jari

3. Diputar sebesar , di dilatasi | | , dan ditranslasi sejauh 1. Perhatikan Gambar 1 -1 -1 0 ⁄ 1 1 -1 -1 0 0 0

(13)

Contoh 2 ( Penggunaan Teorema )

Tentukan suatu transformasi bilinier yang memetakan titik-titik berturu-turut ke titik-titik .

Penyelesaian :

Dengan memasukan nilai-nilai dan , pada persamaan (*), diperoleh

Yang menghasilkan transformasi bilinier

E. Soal-Soal dari Buku Paliouras

14.1) Carilah bayangan setiap titik z0, 1, -1, ,i idi bawah pemetaan w iz 2 z i     Jawab untuk 0, (0) 2 0 2 2 2 1 z i w i i i i i i            untuk z = 1, (1) 2 1 2 1 1 1 1 3 ( ) 2 i w i i i i i i              

(14)

untuk z = , ( ) 2 1 2 2 3 2 3 2 i i i w i i i i i i i           untuk z =- , ( )( ) 2 1 2 0 1

tidak terdefinisi, oleh karena itu dipetakan ke 0 i i i w i i z i w                

(15)

14.2) Carilah titik-titik tetap pada transformasi a. w iz i z i     misalkan w z iz i z z i      2 2 ( ) 0 z z i iz i z zi iz i z i           2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 4 2 2 2 2 ( )( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) 0 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ( ))( ( )) 0 2 2 2 2 2 i i z i i z i i i i z z z i i z z i z                          b. 2 1 z w z    misalkan 2 1 w z z z z     2 2 ( 1) 2 2 2 2 0 z z z z z z z z          ( (1 ))( (1 )) 0 (1 ) z i z i z i       

14.3) Carilah transformasi bilinear yang memetakan berturut-turut 0, 1, dan i, ke -1, 0, dan i. 1 1 2 2 3 3 misalkan z 0 1 1 0 w z w z i w i       

(16)

1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 1)( ) (1 ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 ( 1) 1 1 1 w w w w z z z z w w w w z z z z w i z i w i z i z zi w i z i wi i zw z w zw w z w z z z w z   _         _                      

14.4) Carilah bayangan garis

1 ( ) 2 I z  di bawah pemetaan 4 2 z w iz i   Penyelesaian:

Misalkan , , dan . Diperoleh pengaitannya adalah

Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut

1. Dibawah pemetaan , merotasikan z sebesar , diperbesar dengan faktor | | | | , dan digeser dengan vektor .

2. Dibawah pemetaan , garis dipetakan kebagian dalam lingkaran

(17)

( ) ( )

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat ( ) dan jari-jari

3. Dibawah pemetaan , merotasikan t sebesar , diperbesar dengan faktor | | | | , dan digeser dengan vektor .

Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah sebagai berikut

0 0 0 1 2 _-1 0 )

(18)

14.5 Berikan suatu contoh pemetaan bilinear yang mempunyai tepat satu titik tetap Penyelesaian : 2 1 z w z   misalkan 2 1 w z z z z    2 2 2 (2 1) 2 2 0 0 0 z z z z z z z z z        Jadi 2 1 z w z 

 memiliki satu titik tetap yaitu z0

14.6 Berikan suatu contoh pemetaan bilinear yang tidak mempunyai titik tetap Penyelesaian :

1 untuk mencari titik tetap , misal 1

jadi 1 tidak punya titik tetap. 3 untuk mencari titik tetap, misal w z w z z z w z w z w z             3

jadi 3 tidak punya titik tetap.

z z

w z

    Tidak mempunyai titik tetap

14.7 Buktikan bahwa jika ad bc 0, maka (1) berubah menjadi pemetaan konstan jika ad bc 0 ad bc bc a d     2 maka ( ) bernilai konstan bc z b az b _d cz d cz d bcz bd dcz d b cz d d cz d b d   _          

(19)

14.8 Buktikan bahwa pemetaan bilinear kontinu pada semua z d c   Jikaz d c  

Maka pemetaanya adalah

( ) ( ) TD 0 az b w cz d d a b c d c d c ad b c d d ad b c                  sehingga z d c

  mengakibatkan bukan pemetaan bilinear kontinu

14.9 Carilah bayangan setengah bidang dibawah pemetaan

Penyelesaian:

Pemetaan dikerjakan dalam tiga tahap, sebagai berikut

4. Dibawah pemetaan , setiap titik pada setengah bidang yang diberikan diputar dengan sudut sebesar arg(1)= 0 (tidak berubah), diperbesar dengan faktor

(20)

| | | | (tidak berubah) , dan digeser dengan vektor (-1) sehingga menghasilkan setengah bidang

5. Dibawah pemetaan setengah bidang dipetakan kebagian dalam lingkaran ( ) ( )

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat ( ) dan jari-jari

6. Dibawah pemetaan , bagian dalam lingkaran yang di dapat di tahap dua akan diputar dengan sudut sebesar arg(1)=0, diperbesar dengan faktor | | | | , dan digeser dengan vektor 1.

Gambar peta hasil masing-masing transformasi komposisinya adalah

0 0 -i 0 1 0

(21)

14.10 Carilah bayangan setengah bidang dibawah pemetaan Penyelesaian:

Pemetaaan ini dilaksanakan dalam tiga tahap, sebagai berikut

1. Dibawah pemetaan , setiap titik pada setengan bidang yang diberikan diputar dengan sudut sebesar arg(1)= 0 (tidak berubah), diperbesar dengan faktor | | | | (tidak berubah) , dan digeser dengan vektor sehinggan menghasilkan setengah bidang

2. Dibawah pemetaan setengah bidang dipetakan kebagian dalam lingkaran ( ) ( )

(22)

3. Dibawah pemetaan bagian dalam lingkaran yang di dapat di tahap dua akan diputar dengan sudut sebesar , diperbesar dengan faktor | | , dan di geser dengan vektor 1.

(23)

0 0 -1 1 0 0 i

(24)

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan Pemetaanw az b cz d  

 , dengan dinamakan transformasi bilinear. Sifat-sifat pada transformasi bilinear antara lain

1. Analog dengan transformasi kebalikan (memetakan garis dan lingkaran menjadi suatu garis atau lingkaran).

2. Pemetaan bilinier merupakan gabungan (komposisi) dari beberapa fungsi.

3. Pemetaan bilinier (dengan asumsi ) mempunyai paling banyak dua titik tetap. 4. Invers dari transformasi bilinier juga merupakan transformasi bilinier.

(25)

DAFTAR PUSTAKA

Paliouras, John D. 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Terjemahan Wibisono Gunawan. Jakarta : Erlangga.

Dedy, E., Encum Sumiaty. 2001. Fungsi Variabel kompleks. Bandung : JICA

Wikipedia, 2011. Möbius transformation [online]

http://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation. Diakses tanggal 29 Oktober 2011