TRANSFORMASI MOBIUS
1Sangadji
*ABSTRAK
TRANSFORMASI MOBIUS.
2Transformasi Mobius atau bilinear, sudah lama dikenal. Topik ini muncul pada beberapa bidang, misalnya pada fungsi peubah kompleks dan geometri. Nama Mobius berasal dari August Ferdinand Mobius (1790-1868), seorang ahli matematika Jerman yang juga seorang ahli astronomi. Makalah ini membahas transformasi Mobius beserta sifat-sifat fundamentalnya, yang dinyatakan dengan beberapa teorema.
Kata-kata kunci: transformasi, transformasi bilinear, transformasi Mobius.
ABSTRACT
MOBIUS TRANSFORMATION. Mobius or bilinear transformation has been known for a long time. The topic appears in many fields such as complex variable function or geometry. The name Mobius comes from August Ferdinand Mobius (1790-1868), a famous Jerman mathematician and astronomer.
The paper discusses Mobius transformation as well as its fundamental properties stated in several theorems.
Keywords: transformation, bilinear transformation, Mobius transformation.
PENDAHULUAN
Definisi 1
Transformasi Mobius adalah suatu fungsi pada bidang kompleks yang diperluas, yang didefinisikan dengan
d cz
b z az
f +
= + )
( , di mana a , b , c , d ∈ C , ad − bc ≠ 0 . (1)
Himpunan dari semua transformasi Mobius membentuk suatu grup yang disebut grup Mobius. Setiap transformasi Mobius terdiri dari transformasi-transformasi yang lebih sederhana.
* Pusat Pengembangan Informatika Nuklir (PPIN) – BATAN, e-mail: [email protected]
Teorema 1
Misalkan T adalah transformasi Mobius. Maka T adalah susunan dari transformasi- transformasi translasi, dilatasi, dan inversi 1 .
)
(
=
z z
g
Bukti
Bila c = 0 , maka ( ) , d z b d z a
f = + yang merupakan komposisi dari translasi dan dilatasi.
Bila c ≠ 0 , maka
.
Jadi, f merupakan komposisi dari translasi dengan ,
c
d inversi, dan dilatasi dengan
2c
bc ad −
− , dan
translasi dengan . c
a Perlu dicatat bahwa grup Mobius terdiri dari grup gerak rigid Euklid ( a = 1 , c = 0 , d = 1 ) , dan grup similaritas ( a ≠ 0 , c = 0 , d = 1 ) , sebagai subgrup-subgrup. Juga perlu dicatat bahwa kita dapat mendefinisikan transformasi Mobius dalam bentuk seperti pada persamaan (1) dengan ad − bc = 1 , dengan membagi pembilang dengan faktor λ = ad − bc ≠ 0 .
TITIK-TITIK TETAP DAN HASIL BAGI SILANG
Misalkan z adalah titik tetap dari transformasi Mobius ( 1 ) di atas. Ini berarti ,
)
( z z
f = sehingga .
d cz
b z az
+
= + Dari persamaan terakhir ini dapat diperoleh
. 0 )
2
+ ( d − a z − b = cz
Persamaan ini punya paling banyak dua akar. Jadi dapat disimpulkan lemma berikut
ini.
Teorema 2
Diberikan tiga bilangan kompleks sembarang yang berlainan z
1, z
2, z
3. Terdapatlah dengan tunggal transformasi Mobius f yang membawa tiga bilangan kompleks tersebut berturut-turut ke tiga bilangan kompleks sembarang yang berlainan
. ,
,
2 31
w w
w
Bukti
Ambil ( ) .
2 1
3 1 3 2
1
z z
z z z z
z z z
g −
⋅ −
−
= − Maka g
1adalah transformasi Mobius, yang
membawa z
1ke 1, z
2ke 0, dan z
3ke titik di tak berhingga. Sekarang ambil .
) (
2 1
3 1 3 2
2
w w
w w w w
w w w
g −
⋅ −
−
= − Jelas bahwa g
2adalah transformasi Mobius, yang
membawa w
1ke 1, w
2ke 0, dan w
3ke ∞ . Bentuk fungsi komposisi f = g
2−1g
1. Maka f akan membawa z
1ke w
1, z
2ke w
2, dan z
3ke w
3. Akan diperlihatkan bahwa f adalah tunggal. Misalkan f
'juga membawa z
1ke w
1, z
2ke w
2, dan z
3ke
3
.
w Maka f
−1f
'punya tiga titik tetap yang berlainan z
1, z
2, z
3. Sehingga didapat
'
,
1
f id
f
−= dan f
'= f . Akibat
Bila dua transformasi Mobius f dan g bernilai sama untuk tiga titik yang berlainan, maka f = g .
Bukti
Misalkan kedua fungsi tersebut berturut-turut membawa tiga titik yang berlainan
3 2 1
, z , z
z ke w
1, w
2, w
3. Bentuk fungsi komposisi F = f
−1g . Tidaklah sulit untuk
mengecek bahwa F punya tiga titik tetap yang berlainan z
1, z
2, z
3. Jadi menurut
Lemma 2, F = id , dan f = g .
Definisi 2
Hasil bagi silang dari empat bilangan kompleks z
0, z
1, z
2, z
3yang ditulis dengan ( z
0, z
1, z
2, z
3) adalah nilai dari .
) /(
) (
) /(
) (
2 1
3 1 3 0
2 0 3 1 3 0
2 1 2 0
z z
z z z z
z z z z z z
z z z z
−
⋅ −
−
= −
−
−
−
−
Hasil bagi silang adalah invarian yang penting dari grup Mobius.
Teorema 3
Bila z
1, z
2, dan z
3adalah bilangan-bilangan kompleks yang berlainan dan f adalah transformasi Mobius, maka ( z , z
1, z
2, z
3) = ( f ( z ), f ( z
1), f ( z
2), f ( z
3)) untuk bilangan kompleks z sembarang.
Bukti
Ambil g ( z ) = ( z , z
1, z
2, z
3). Maka g f
−1akan membawa f ( z
1) ke 1, f ( z
2) ke 0, dan f ( z
3) ke ∞ . Tetapi, h ( z ) = ( z , f ( z
1), f ( z
2), f ( z
3)) juga membawa f ( z
1) ke 1, f ( z
2) ke 0, dan f ( z
3) ke ∞ . Karena g f
−1dan h keduanya transformasi Mobius dan keduanya bernilai sama pada tiga bilangan kompleks yang berlainan, maka menurut akibat di atas g f
−1= h .
Kemudian, karena g f
−1( f ( z )) = g ( z ) = ( z , z
1, z
2, z
3) dan juga )),
( ), ( ), ( ), ( ( ) (
( f z f z f z
1f z
2f z
3h =
akan diperoleh hasil ( z , z
1, z
2, z
3) = ( f ( z ), f ( z
1), f ( z
2), f ( z
3)) dan teorema terbukti.
SIFAT-SIFAT GEOMETRI DARI TRANSFORMASI MOBIUS
Definisi3
Himpunan bagian dari bidang datar disebut cline, bila himpunan bagian tersebut merupakan lingkaran atau garis lurus. Hasil bagi silang dapat digunakan untuk mengidentifikasi cline.
Teorema 4
Bukti
Misalkan f ( z ) = ( z , z
1, z
2, z
3). Maka f adalah transformasi Mobius, dan dapat ditulis .
)
( cz d
b z az
f +
= + Mengingat bilangan kompleks z real bila dan hanya bila z = z , maka
) (z
f real bila dan hanya bila
d cz
b az d cz
b az
+
= + +
+
atau
. 0 ) (
) (
) (
|
| )
( a c − c a z
2+ a d − c b z − d a − b c z + b d − d b = (2)
Bila ( a c − c a ) = 0 , misalkan α = ( a d − c b ) dan β = b d . Persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi Im( α z + β ) = 0 , yang merupakan persamaan suatu garis lurus. Bila ( a c − c a ) ≠ 0 , maka persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi
. 0
|
|
2=
− + −
−
− −
− + −
a c c a
b d d z b a c c a
c b a z d a c c a
b c d z a
Misalkan
a c c a
b c d a
−
= −
γ dan .
a c c a
b d d b
−
= −
δ Karena a c − c a adalah imajiner murni, kita peroleh
, )
( c a a c
c b a d a c c a
c b a d
−
= −
−
− − γ = dan persamaan (2) menjadi
, 0
|
| z
2+ γ z + γ z + δ = atau
,
|
|
22
δ γ
γ = − + +
z yang setelah disederhanakan menjadi
.
|
|
2 2
a c c a
bc z ad
−
= − + γ
Karena ad − bc ≠ 0 , persamaan ini menjadi persamaan suatu lingkaran dengan pusat γ .
−
CONTOH APLIKASI
Akan dicari transformasi Mobius yang membawa titik-titik z
1= 2 , z
2= i , z
3= − 2 pada bidang z, berturut-turut ke titik-titik w
1= 1 , w
2= i , w
3= − 1 pada bidang w.
Andaikan transformasi Mobius yang dimaksud adalah . d cz
b w az
+
= +
Dari ketentuan tersebut diperoleh tiga persamaan, yaitu 2 .
1 2 , 2 ,
1 2
d c
b a d
ic b i ia
d c
b a
+
− +
= − + −
= + +
= + Dari ketiga persamaan ini, nilai-nilai b,
c, dan d dapat dinyatakan dengan a. Kemudian dengan membagi pembilang dan penyebut dengan a yang bukan 0, diperoleh transformasi Mobius yang dicari, yaitu
6 . 2 3
+
= + iz
i
w z
KESIMPULAN
Sifat-sifat fundamental yang penting dari transformasi Mobius adalah :
1. Bila transformasi Mobius f punya tiga atau lebih titik-titik tetap, maka f merupakan transformasi Mobius identitas, ditulis f = id .
2. Diberikan tiga bilangan kompleks sembarang yang berlainan .
,
,
2 31
