Pengertian limit secara intuisi

(1)

(2)

1 1 ) ( 2 − − = x x x f

Pengertian limit secara intuisi

Perhatikan fungsi

Fungsi diatas tidak terdefinisi di x=1, karena di titik tersebut f(x) berbentuk 0/0. Tapi masih bisa ditanyakan berapa nilai f(x) jika x mendekati 1

Dengan bantuan kalkulator dapat diperoleh nilai f(x) bila x mendekati 1, seperti pada tabel berikut

(3)

º 2

f(x) f(x)

Dari tabel dan grafik disamping terlihat bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1

Secara matematis dapat dituliskan Sebagai berikut

2

1 lim

2

=

−

x

1 x x

₁

2

1 lim

1

−

=

−

→

_x

x

Dibaca “ limit dari untuk x mendekati 1 adalah 2 1 1 2 − − x x

Definisi(limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa

f

x

L

c

x→

(

)

=

(4)

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit.

1. lim

x→c A = , A A c, ∈R 2. xlim→c x = c

Jika lim ( )

x→c f x dan lim ( )x→c g x keduanya ada dan k ∈R maka berlaku

pernyataan-pernyataan berikut: pernyataan-pernyataan berikut:

1 lim

{

( ) ( )

}

lim ( ) lim ( )

x→c f x ± g x = x→c f x ± x→c g x

2 lim ( ) lim ( )

x→c kf x = k x→c f x

3 lim ( ) ( ) lim ( ). lim ( )

(5)

Untuk menyelesaikan soal limit dapat dilakukan dengan beberapa

cara.

1. Substitusi langsung

2. Dengan menyederhanakan (Pemfaktoran, Perasionalan akar)

3. Dengan prinsip limit sepihak (kiri dan kanan)

Contoh

Hitunglah nilai limit berikut ini!(Subtitusi Langsung)

a.

2

lim (3

5)

x→

x

−

b.

2 2

lim (2

7 6)

x→

x

−

x

+

c.

1

lim 7

2

1

x→

x

−

d.

1

2

3 lim

5

2

x

→−

+

(6)

Jawab

a.

2

lim (3

5)

3(2) 5

6 5 1

x→

x

−

=

− = − =

b.

2 2 2

lim (2

7 6)

2(2)

7(2) 6

8 14

6

0

x→2

x

−

x

+

=

−

+ = −

+ =

x →

c.

1

lim 7

2 1 7(1) 2(1) 1

7 1

7

x→

x

− =

=

d.

1

2

3 2( 1) 3

2

3

1 lim

5

2 5( 1) 2

5 2

3

x

→−

+

− +

=

= −

+

− +

(7)

Contoh

Hitunglah nilai limit berikut ini!(Pemfaktoran) a. 2 2 4 lim 2 x x x → − − b. 2 2 2 3 2 lim 4 x x x x → − + − Jawab Jawab a. 2 2 2 4 2 4 4 4 0

lim (tidak terdefinisi)

2 2 2 2 2 0 x x x → − − − = = = − − − . Untuk

menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

2 2 2 ( 2) 4 lim lim 2 x x x x x → → − − = − ( 2) 2 x x + − = xlim (→2 x + 2) = + = 2 2 4

(8)

b.

2 2

2

3 2 2 3(2) 2 4 6 2 0

4 4 0 4 2 4 x x x x → − + − + − + = = = − − − . Untuk

menyelesaikannya maka digunakan cara pemfaktoran sebagai berikut.

→ → − − + = − 2 2 2 2 ( 2) 3 2 lim lim 4 x x x x x x − − ( 1) ( 2) x x (x + 2) →2 − 4 →2 x x x (x − 2) → + − = + − = = + 2 ( 2) 1 lim 2 2 1 1 2 2 4 x x x x

(9)

Hitunglah nilai limit berikut ini!(Perasionalan

Akar

a.

b.

2 2 2 lim 2 x x x → + − − 2 2 1 2 3 lim 1 x x x →− − + −

Solusi:

a.

2 2 x→ x − x→−1 1− x 2 2 2 2 2 2 4 2 0

2 2 2 2 2 0 x x x → + − + − − = = = − − −

(10)

2 2

2

2 lim

lim

2

x x

x

→ →

+ −

+ +

=

⋅

−

+ +

(

)

(

)

(

)

2 ₂ 2 2 2 lim 2 2 2 x x x x → + − = − + + 2

(

)

(

)

(

2) 4

lim

2

x

→

+

−

=

−

+ +

(

)

(

)

2 ₂ ₂ ₂ x _x − _x + +

(

x

−

2 )

(

x

+ +

2

2 )

2 2 lim x x → − =

(

x − 2

)

(

x + 2 + 2

)

₂

1 lim

2

x→

x

=

+ +

1

1 =

=

(11)

b.

2₂ 2₂ 1 2 ( 1) 3 2 3 2 4 0 lim 1 1 0 1 1 ( 1) x x x →− − − + − + − = = = − − − − 2 2 2 2 2 ₂ 1 1

2

3

2 3 2

3 lim

lim

1

1 ₂

₃

x x

x

_x

→− →−

−

+

−

+

=

⋅

−

₊

(

)

2

(

)

2

(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

→− →− →−

−

+

₋

₊

=

−

+

−

+

−

=

2 2 2 ₂ 2 2 2 2 1 1 2 1

2

3 ₄

₃

lim

1

2

3

1

2

3

1 lim

x x x

x

_x

x

(

−

2

)

1 x

(

)

→−

=

+

2

+

1 2

1 lim

2

3

2 x

3

x

(12)

c x

)

(

lim

f

x

c x→ −

Jika x menuju c dari arah kiri

(dari arahbilangan yang lebih kecil dari c)

limit disebut limit kiri,

Jika x menuju c dari arah kanan

c x

)

(

lim

f

x

c x→ +

L

x

f

L

x

f

L

x

f

c x c x c

x→

(

)

=

⇔

lim

→ −

(

)

=

dan

lim

→ +

(

)

=

lim

Jika x menuju c dari arah kanan

(dari arah bilangan yang lebih besar dari c)

limit disebut limit kanan,

(13)

Diketahui fungsi berikut: 2 2 ; 1 ( ) ; 1 2 3 ; 2 x x f x x x x x + ≤ −   = _ − < < − + − ≥  . Tentukanlah: a. 1 lim ( ) x→− f x b. xlim ( )→2f x Jawab

a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan a. Perhatikan untuk x menuju -1 dari kiri aturan fungsi yang digunakan adalah x + sedangkan untuk x menuju -1 dari kanan aturan fungsi 2 yang digunakan adalah x . Oleh karena itu, untuk mencari 2

1

lim ( )

x→− f x

digunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan)

1 1

lim ( ) lim ( 2) 1 2 1

x→− − f x = x→− − x + = − + =

2 2

(14)

b. Perhatikan untuk x menuju 2 dari kiri aturan fungsi yang

digunakan adalah

x

2

sedangkan untuk x menuju 2 dari kanan

aturan fungsi yang digunakan adalah

− + . Oleh karena itu,

x

3 untuk mencari lim ( )

f x

→

digunakan limit sepihak

untuk mencari

2

lim ( )

x→

f x

digunakan limit sepihak

(limit kiri dan limit kanan)

2 2 2 2

lim

( )

lim

2

4

x→− −

f x

=

x→ −

x

=

2 2

lim ( )

lim (

3)

2 3 1

x→ +

f x

=

x→ +

− +

x

= − + =

2 2 ; 1 ( ) ; 1 2 3 ; 2 x x f x x x x x + ≤ −   = _ − < < − + − ≥ 

(15)

)

(

lim

1

f

x

x→      ≥ + < < ≤ = 1 , 2 1 0 , 0 , ) ( 2 2 x x x x x x x f

)

(

lim

0

f

x

x→ a. Hitung

b. Hitung) Jika ada Diketahui: 1 x→

)

(

lim

2

f

x

x→ c. Hitung

0 )

(

lim

f

x

=

2 0 0

lim ( )

lim

0

x x

f x

x

− − →

=

→

=

Jawab

a. Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x=1

(16)

b

.

Karena aturan fungsi berubah di x=1, maka perlu dicari limit

kiri dan limit kanan di x=1

1 1

lim ( )

lim

1

x x

f x

x

− − →

=

→

=

2

lim ( )

f x

=

lim 2

+

x

=

3

+ − _→ →1

≠

1

lim

)

(

lim

x x

x

f

)

(

lim

f

x

Karena maka Tidak ada 2

lim ( ) lim2

f x

x

6

→

=

→

+

=

2 1 1

lim ( )

lim 2

3

x x

f x

x

+ +

→

=

→

+

=

lim

x→1

f

(

x

)

Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x=2, maka

(17)

a.

b.

c.

f.

g.

→

−

2 5

lim (

20)

x

→−

+

2 2

lim (

3 1)

x

→

+

−

0

2 lim

3

x

→−

−

2 2 2

2

8 lim

4

x

→

−

1

1 lim

1

x

+ +

2

3

2 x

d.

e.

h.

i.

→0

−

3

x

→

−

+

−

2 2

5

6 lim

2

x

→−

−

+

2 4

7

12 lim

2

8

x

→

+ +

−

2 2 1

3

2 lim

1

x

→

−

+

2 2 2

4 lim

3

5

x

(18)

1. Diketahui:

2

;

1 ( )

1

1 x

x

f x

x



≤

= 

>



, tentukan apakah

lim ( )

x→1

f x

(jika ada)!

2. Diketahui:

2

;

0 ( )

0

1 x

x

f x

x



≤



=

_

< ≤



2

, tentukan apakah

1 x

x

1 

 +

>



0

lim ( )

x

f x

→

dan

lim ( )

x 1

f x

→

(jika ada)!

3. Diketahui:

2

2;

1 ( )

;

1

1 x

x

f x

x

− −

< −





=

_

−

− ≤ <

, tentukan apakah

(19)

4. Diketahui:

2

3 2 ,

1 ( )

5, 1

3

3 1,

3 x

x

f x

x

 +

≤



=

_

< ≤



₋

_>



, tentukan apakah

1

lim ( )

x→

f x

dan

3

lim ( )

x→

f x

(jika ada)!

+

≤

5. Diketahui:

2

3 2 ,

1 ( )

5 ,1

3 1,

3 x

x

f x

x

+

≤





=

_

< ≤



₋

_>



, tentukan apakah

1

lim ( )

x→

f x

dan

3

lim ( )

x

f x

→

(jika ada)!

(20)

Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Limit - 1 1. Nilai dari 2 1 2 1 lim 1 → − + + x x x x = …. a. -1 b. 0 c. 1 d. 2 e. 3 2. Nilai dari 2 4 5 lim x + x− = …. 2. Nilai dari 1 lim 1 → − x _x = …. a. -1 b. 0 c. 1 d. 2 e. 6 3. Nilai dari 2 2 2 3 4 lim 2 → − + − x x x x = …. a. -1 b. 0

(21)

4. Nilai dari 2 2 1 3 4 lim 1 →− − − − x x x x = …. a. 1 2 b. 5 2 c. 1 2 − d. 5 2 − e. 0 5. Nilai dari ₂ 2 3 7 lim 6 → − + + − x x x x = …. 1 1 a. 1 30 b. 1 11 c. 1 11 − d. 1 30 − e. 1 20 6. Nilai dari 2 4 9 lim .... → + = x x x

(22)

7. Nilai 2 2 2 4 lim .... 3 5 x x x → − = − + a. 1 b. 4 c. 6 d. 8 e. 9 2

2 −

x

+

3

8. Nilai dari 2 2 1

2

3 lim

....

2

→

−

+

=

−

x

a. 1 4 − b. 1 6 − d. 1 6 − e. 0

(23)

9. Nilai lim ( ) 1 x f x→ + dari fungsi , 1 1 ( ) ,-1 1 1 , 1 x x x f x x x x x  _{≤ −}  +  =_ < ≤  − >   adalah .... a. 1 b. 0 c. -1 d. 2 e. Tidak ada , 1 x x  _{≤ −} 10. Nilai lim ( ) 1 x f x→ − dari fungsi , 1 1 ( ) ,-1 1 1 , 1 x x x f x x x x x  _{≤ −}  +  =_ < ≤  − >   adalah.... a. 1 b. 0