Nama Idil Johari NIM E1R 012 017 Prodi P

Nama : Idil Johari NIM : E1R 012 017

Prodi : Pendidikan Matematika

TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI

1. T = Refleksi dari _R2 _ke R2

V = _R2 _{dan T didefinisikan sebagai berikut,} T : V → V

Tunjukkan bahwa T merupakan transformasi! Jawab:

Bukti:

T : V → V

a. Definisi di atas menjelaskan bahwa T adalah fungsi dari V ke V (bidang Euclid). Dari definisi tersebut jelas bahwa domain dari T adalah V. Daerah hasil dari T juga ada pada V, sebab jika diambil sebarang X∈V , X∈T atau X∉T , maka untuk

X∈T ,T(x)=X∈V . Sedangkan untuk X∉T ,T(x)=y dimana T sumbu dari xy´ , artinya xy´ ⊂V , sehingga y∈V yang artinya adalah bidang V juga. Jadi, T suatu fungsi fungsi dari V ke V.

b. T bijektif

a) Akan dibuktikan bahwa T surjektif

Ambil y∈V , artinya y∈T atau y∉T . Untuk y∈T , prapeta

x=y sehingga T(x)=y . Untuk y∉T , ada x∈V sehingga T merupakan sumbu dari xy .´ hal ini berarti bahwa T(x)=y . Artinya y mempunyai prapeta yaitu x. Karena setiap y∈V selalu mempunyai prapeta anggota V , maka T adalah fungsi surjektif.

b) Akan dibuktikan bahwa T injektif

Ambil dua titik sebarang A , B∈V sehingga T(A)=T(B) . Misalkan

C=T(A)=T(B) , artinya C∈T atau C∉T .

Untuk C∈T , maka A , B∈T . Akibatnya T(A)=A ,T(B)=B , jadi

A=B .

Untuk C∈T , T adalah sumbu dari AC dan BC . Akibatnya A=B . Karena untuk setiap pasangan A , B∈V sehingga T(A)=T(B) yang mengakibatkan A=B , maka T adalah suatu fungsi injektif.

Berdasarkan a) dan b), T adalah bijektif. Jadi, T yang merupakan pencerminan dari _R2 _ke R2 adalah transformasi. ∎

2. T = Translasi dari R2 ke R2

T

(

a b

)

:V → V _{, a dan b adalah sebarang bilangan.}

Tunjukkan bahwa T merupakan transformasi! Bukti :

a) Akan ditunjukkan bahwa T

₍

a

b

)

fungsi dari V ke V

Berdasarkan definisi diatas, jelas bahwa domain dari T adalah V. Daerah hasil

dari T juga pada V, sebab jika diambil sebarang titik P∈_AK´ _{∈V , P=(x , y),}

ii. Akan ditunjukkan bahwa T

₍

a

b

)

injektif

Ini berlawanan dengan pernyataan bahwa T

₍

a

b

)

b

)

adalah injektif.

Berdasarkan i dan ii, T

₍

a

Jadi, T

₍

a

b

)

merupakan transformasi yang disebut translasi.

Untuk memperkuat pernyataan bahwa translasi merupakan suatu transformasi, maka akan dibuktikan juga teorema sebagai berikut :

Teorema 10.1

Andaikan g dan h adalah dua garis yang sejajar, apabila ada dua titik A dan B maka

´

AA} = acute {BB dengan AA ' '= MhMg(A) dan BB''=MhMg(A) .

Bukti :

Kita pilih system koordinat dengan misalnya g sebagai sumbu-y dan sebuah garis

yang tegak lurus pada g sebagai sumbu-x.andaikan A=

(

a₁, a₂

)

dan B=

(

b₁, b₂

)

.

Jika N adalah titik tengah ruas garis _{A ' ' B}´ _{maka harus dibuktikan SN}(A)=B' ' .

Kita misalkan persamaan garis h adalah x = k dengan k ≠ 0, apabila P'

=Mh(P)

Dengan demikian terbuktilah _{AA} = acute {BB} ´

Jadi setiap ruas garis berarah dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya

oleh M_hM_g adalah ekivalen dengan setiap ruas garis berarah seperti di atas. Jadi

hasil transformasi M_hM_g seakan-akan kita menggeser setiap titik sejauh jarak

Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Jika ada _AB´ _{suatu garis}

berarah dengan lambang G_AB maka yang kita maksud adalah geseran yang sesuai

dengan _AB´ _.

Sebelum kita buktikan translasi adalah suatu transformasi, terlebih dahulu kita akan membahas teorema pendukung berikut ini:

Apabila _AB´ _{= CD}´ _maka G_AB=G_CD

Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan _CD´ _{sebuah garis berarah tegak lurus}

pada g dengan C∈g dan D∈h . Apabila _AB´ _{= 2 CD}´ _maka G_AB=M_hM_g

Bukti :

Andaikan P sebuah titik sembarang. Jika

P'=GAB(P)dan P= {M} rsub {h} {M} rsub {g} ( P ), maka harus dibuktikan

Oleh karena P adalah sembarang, maka terbukti G_AB=M_hM_g

Kesimpulan :

1) Dari teorema di atas dapat kita simpulkan bahwa setiap geseran G_AB dapat

ditulis sebagai hasil kali dua refleksi pada dua garis yang tegak lurus pada

´

AB dan berjarak ½ AB

2) Jika _AB´ _{adalah sebuah garis dan M adalah titik tengah AB}´ _sedangkan

g,h dan n tiga garis masing-masing tegak lurus di A, di M dan di B pada AB

maka G_AB=M_hM_g=M_nM_h

3) Oleh karena setiap geseran dapat dituliskan sebagai hasil kali dua refleksi, sedangkan kita tahu bersama bahwa refleksi adalah suatu transformasi sehingga dapat kita simpulkan bahwa geseran (translasi) adalah suatu transformasi.

4)

3. T=¿ Rotasi dari R2_{ke R}2 _{dengan A adalah sebuah titik dan φ sebuah}

bilangan yang memenuhi −180<φ<180

T didefinisikan sebagai berikut,

T_Aφ:V → V

a) Akan ditunjukkan bahwa TA ,φ(P) fungsi dari V ke V

Ambil sebarang P∈V , jika P=A , maka T_{A ,φ}(P)=A . Jadi, P

mempunyai peta tunggal yaitu A∈V . Untuk P ≠ A ,T_{A , φ}(P)=P ' . Jadi,

P mempunyai peta tunggal, yaitu P'∈V .

Jadi, TA ,φ(P) fungsi fungsi dari V ke V.

b) Akan ditunjukkan bahwa T_{A ,φ} bijektif

i. Akan dibuktikan T_{A ,φ} surjektif

Ambil sebarang Q∈V ,Q=A atauQ ≠ A , maka ada A∈V ,

sehingga T_{A ,φ}(A)=Q=A . Bila Q≠ A , maka ada sinar ⃗_AQ

Berdasarkan postulat konstruksi sudut sinar ⃗_{AR , sehingga}

∠QAR=−φ .

m¿ Berdasarkan postulat penggaris ada P∈⃗AR

sehingga AP=AQ . Dari uraian ini dapat disimpulkan bahwa

T_{A ,φ}(P)=Q . Jadi, ada P∈V sehingga T_{A ,φ}(P)=Q untuk

sembambarang Q≠ A , artinya T_{A ,φ} surjektif.

ii. Akan ditunjukkan T_{A ,φ} injektif

Ambil sebarang titik P ,Q∈V dengan TA ,φ(P)=TA ,φ(Q)=P',

maka m

(

∠PA P'

)

=m

(

∠QA P'

)

=φ dan A P'=AP=AQ .

Akibatnya, jelas bahwa P=Q . Jadi, T_{A ,φ} injektif.

Berdasarkan i dan ii, TA ,φ bijektif.

Jadi, TA ,φ merupakan transformasi yang disebut sebagai rotasi.

4. A adalah sebuah titik dan r sebarang bilangan. T didefinisikan sebagai berikut :

T_{A ,r}:V →V

Tunjukkan bahwa T merupakan transformasi! Bukti :

a) Akan ditunjukkan bahwa T_{A ,r} fungsi dari V ke V

Berdasarkan definisi diatas, jelas bahwa domain dari T adalah V. Daerah hasil

dari T juga pada V, sebab untuk A , P∈V , P=A , maka T_{A ,r}(P)=A∈V

dan untuk P≠ A , P'=TA ,r(P) adalah titik pada sinar AP sehingga

A P'

=r(AP) .

Karena A , P '∈V , maka AP '∈V , sehingga T_{A ,r} merupakan fungsi

dari V ke V

b) Akan ditunjukkan T_{A ,r} bijektif.

Andaikan Y sembarang titik dan serta terdapat X sebuah titik pada

sinar AY sehingga AX=r(AY) . Jadi

T_{A ,r}(X)=Y sebab AY=r(AX). Jadi setiap titik Y memiliki

prapeta.Jadi dengan demikian T_{A ,r} surjektif.

ii. Akan ditunjukkan T_{A ,r} injektif.

Jika P, Q adalah dua titik pada bidang yang berbeda, maka

P'_Q'

=r(PQ) . Dengan P'=TA ,r(P)dan Q'=TA ,r(Y)

Andaikan ada dua titik X dan Y dengan

X'=TA , r(X)dan Y'=TA ,r(Y) , dan andaikan X'=Y' jadi X'Y'=0 .

Oleh karena X'Y'=r(XY)dan r>0 maka XY=0. Ini berarti

X=Y jadi T_{A ,r} injektif.

Berdasarkan i dan ii, T adalah bijektif.

Jadi, T_{A ,r} merupakan transformasi yang disebut dilatasi. Dilatasi dengan pusat