Masalah Nilai Atas dan Syarat Batas Transformasi Laplace

(1)

MASALAH NILAI ATAS DAN SYARAT BATAS TRANSFORMASI LAPLACE

DOSEN PENGAMPU:

Yelli Ramalisa, S.Pd., M.Sc.

DISUSUN OLEH : KELOMPOK 4

R-003

Monica Angelina Naibaho (A1C221014)

Irani Saputri (A1C221020)

Chaterina Osela Br. Purba (A1C221082)

Indah Sari (A1C221095)

Sakiya (A1C221096)

Rts Ocha Putri Kunanti (A1C221101)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI

2024

(2)

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun sampai dengan selesai. Selanjutnya penulis ucapkan terimakasih kepada Ibu karena atas bimbingan beliau makalah penulis yang berjudul “Transformasi Laplace” dapat selesai dengan baik.

Penulis sangat berharap semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi pembaca. Bahkan kami berharap lebih jauh lagi agar makalah ini bisa pembaca praktekkan dalam kehidupan mengajar nantinya. Bagi penulis sebagai penyusun merasa bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan makalah ini karena keterbatasan pengetahuan dan pengalaman Kami. Untuk itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Jambi, 12 April 2024

Penulis

(3)

iii DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... ii

DAFTAR ISI... iii

BAB I : PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 1

C. Tujuan ... 2

BAB II : PEMBAHASAN ... 3

A. Memahami Fungsi Gamma ... 3

B. Pemetaan dan Linearitas Pemetaan Laplace ... 5

C. Invers Pemetaan Laplace ... 8

D. Kewujudan Pemetaan Laplace & Dalil-dalilnya ... 12

E. Pemetaan Laplace Fungsi Turunan ... 17

F. Pemetaan Laplace Fungsi Integral ... 19

BAB III : PENUTUP ... 23

A. Kesimpulan ... 23

B. Saran ... 23

DAFTAR PUSTAKA ... 24

(4)

1 BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang

Transpormasi Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatusistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain. Sedangkan transformasi adalah suatu proses perubahan dari bentuk satu ke bentuk lainnya, seperti contoh: kipas angin, listrik tenaga air, megickom, setrika, dll. Dalam matematika jenis trasformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis system invariant– waktu linier, seperti: rangkaian elektonik, osilator harmonic, devaisoptik, sistem-sistem mekanik.

Dengan mengetahui deskripsi matematika atau fungsional sederhana darimasukan atau keluaran atau sistem, transformasi laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadsng dapat menyederhanakan proses analisis kelakuaandari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulanspesipikasi. Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasidalam bidang fisika, optic, rekayasa listrik, rekayasa kendali, pemrosesan sinyal danteori kemungkinan. Nama teori ini diberikan untuk menghormati seorang ahlimatematika dan astronomi, Pierre Simon Laplace, yang menggunakan teknik trasformasi ini pada hasil karyanya dalam teori kemungkinan.

Sebenarnya teknik iniditemukan sebelumnya oleh Leonhard Euler, seorang ahli matematika prolific Swissabad kedelapanbelas

Pada bab ini akan diperlihatkan bagaimana menggunakan transformasiLaplace (Laplace transform) untuk menyelesaikan Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas. Terdapat beberapa jenis transformasi yang ada di dunia. Transformasi Laplace danTransformasi Fourier kemungkinan merupakan dua jenis transformasi yang digunakanuntuk menyelsaikan Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas. Seperti yang dilihat pada pasal berikutnya, trasformasiLaplace dapat digunakan untuk mereduksi persamaan diferensial ke suatu masalahaljabar. Aljabar tersebut dapat menjadi rumit pada suatu kejadian, tetapi sebenarnyadalam beberapa kasus ini akan lebih sederhana dari pada menyelsaikan persamaandiferensial secara langsung

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan Transformasi Laplace ?

2. Apa saja yang menjadi komponen dari Transformasi Laplace ?

(5)

2

3. Bagaimana bentuk penerapan contoh soal pada Transformasi Laplace ? C. Tujuan Penulisan

1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Transformasi Laplace 2. Untuk memahami komponen dari Transformasi Laplace

3. Untuk dapat menyelesaikan penerapan contoh soal dari Transformasi Laplace

(6)

3 BAB II PEMBAHASAN A. Memahami Fungsi Gamma

Fungsi gamma dinyatakan oleh Г(n) dan U = f(x) maka definisi fungsi gamma adalah : Г(n) = ∫ 𝑼_𝟎^∞ ^𝒏−𝟏 𝒆^−𝒖 𝒅𝒖 , u ≥ 𝟎

Sifat sifat fungsi gamma D. 𝜞(𝒏 + 𝟏) = 𝒏𝜞(𝒏) = 𝒏!

𝛤(𝑛 + 1) = ∫ 𝑈^𝑛. 𝑒^−𝑢𝑑𝑢

∞

0

= lim

𝑀→∞∫ 𝑈^𝑛. 𝑒^−𝑢𝑑𝑢

𝑀

0

= lim

𝑀→∞[𝑈^𝑛. 𝑒^−𝑢− 𝑛 ∫ 𝑈^𝑛−1. 𝑒^−𝑢𝑑𝑢

𝑀

0

]

= lim

𝑀→∞[0 + 𝑛 ∫ 𝑈^𝑛−1. 𝑒^−𝑢𝑑𝑢

𝑀

0

]

= 𝑛𝛤(𝑛) Jadi 𝛤(𝑛 + 1) = 𝑛𝛤(𝑛) = 𝑛!

Rumus rekursif fungsi gamma adalah :

Г(n+1) = n Г(n) . . . (1) = n (n-1) Г(n-1)

= n (n-1) (n-2) Г(n-2) . . . Г(n+1) = n ! n = 1, 2, 3, . . . . . . (2) Hubungan rumus rekursif (1) maka:

Г(n) = ^Г(n+1)

n = ^{n !}

n = ^{n (n−1)!}

n = (n – 1) ! E. Г(n) = (n – 1) ! n = 1, 2, 3, . . . Contoh 1: (a) Г(6) = 5! = 120 (b) ^Г(5)

Г(3) = ^4!

2! = 12

Hubungan rumus rekursif (1) dinyatakan dalam bentuk Г(n) = ^{Г(𝐧+𝟏)}

𝐧 berlaku untuk semua nilai n

Bentuk khusus untuk 𝛤 (¹

2) = √𝜋 (Lihat pembuktian). Bentuk1 𝛤(𝑛) di atas, berlaku untuk n

(7)

4

> 0. Bila n < 0, bentuk diatas dapat ditulis:

𝛤(𝑛) =𝛤(𝑛 + 1) 𝑛 Pembuktian 𝛤 (¹

2) = √𝜋 Γ (¹

2) = √𝜋

misal 𝑡 = 𝑥² dan 𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑥 Γ_(𝑛) = ∫ 𝑡₀^∞ ^𝑛−1𝑒^𝑥𝑑𝑡

Γ₍¹

2) = ∫ 𝑡⁻

1

∞ 2

0 𝑒^−𝑡𝑑𝑡 Γ₍¹

2) = ∫ (𝑥₀^∞ ²)⁻¹²𝑒^−𝑥²2𝑥 𝑑𝑥 Γ₍¹

2) = 2 ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑥²2𝑥 𝑑𝑥 Γ₍¹

2) = 2 ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑥² 𝑑𝑥 (Γ₍¹

2))² = 2²∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑥² 𝑑𝑥∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑦²𝑑𝑦 (Γ₍¹

2))² = 4 ∫ ∫ 𝑒₀^∞ ₀^∞ ^−(𝑥²^+𝑦²⁾𝑑𝑥 𝑑𝑦 Ubah ke koordinat polar

𝑥 == 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 Misal

−𝑟² = 𝑢

−2𝑟 𝑑𝑟 = 𝑑𝑢 (Γ(1

2))² = 4 ∫ ∫ 𝑒^−𝑟²𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑦

∞ 0 𝜋 2 0

∫ 𝑒^−𝑟²𝑟 𝑑𝑟 = ∫ 𝑒^𝑢(𝑑𝑢

−2)

∞

0

= − 1

2∫ 𝑒^𝑢𝑑𝑢

= −1

2 𝑒^−𝑟² + 𝑐

∫ 𝑒^−𝑟²

∞

0

𝑟 𝑑𝑟 = [0 + 𝑐 − (1 2+ 𝑐)

= 1 2 (Γ(1

2))² = 2 ∫ 𝑑𝜃 = 2 (𝜋 2− 𝑂)

𝜋 2 0

= 𝜋 𝐽𝑎𝑑𝑖, Γ

(1

2) = √𝜋

(8)

5 Contoh 2

𝛤 (−1

2) =𝛤 (−1 2 + 1)

−1 2

=𝛤 (1 2)

−1 2

= −2√𝜋

𝛤 (−3

2) =𝛤 (−3 2 + 1)

−3 2

=𝛤 (−1 2)

−3 2

=𝛤 (−1 2 + 1)

−3 2 . −

1 2

= 𝛤 (1 2) 3 4

= 4 3√𝜋

(c) Bila n = - ⁵

2 maka Г(−⁵

2 ) = ^Г(−

𝟑 𝟐 ) − ⁵

2

= - ⁸

15 √𝜋 Contoh 3:

(a) ^Г(6)

2 Г(3) = ^5!

2. 2! = 5. 4. 3. 2. 1

2. 2.1 = 30 (b) Г(3) Г(2,5)

Г(5,5) = 2! (1,5) (0,5) Г(0,5))

(4,5)(3,5)(2,5)(1,5)(0,5) Г(0,5) = ²

39,375 ≈ 0,05 Contoh 4:

(a) ∫ 𝑥₀^∞ ⁴ 𝑒^−𝑥 dx = ∫ 𝑥₀^∞ ⁵⁻¹ 𝑒^−𝑥 dx = Г(5) = 4! = 24 (b) ∫ 𝑥₀^∞ ⁶ 𝑒^−2𝑥 𝑑𝑥 = . . . Misalkan u = 2x  x = ¹

2 u  dx = ¹

2 du = ∫ (¹

2 u)⁶

∞

0 𝑒^−𝑢 (¹

2du) = (¹

2)⁷ ∫ u₀^∞ ⁶ 𝑒^−𝑢 du = (¹

2)⁷ ∫ u₀^∞ ⁷⁻¹ 𝑒^−𝑢 du = (¹

2)⁷ Г(7) = ^6!

2⁷ = ⁴⁵

8

B. Pemetaan dan Linearitas Pemetaan Laplace

Pemetaan (transformasi) Laplace merupakan salah satu metoda menyelesaikan masalah nilai awal dan masalah terdefinisi nilai batas. Metoda pemetaan laplace ini memetakan masalah nilai awal ke suatu persamaan aljabar. Cara kerja metoda ini mencakup tiga langkah, yaitu:

1. Memetakan masalah nilai awal ke persamaan aljabar menggunakan pemetaan laplace 2. Menyelesaikan persamaan aljabar ini, yaitu mencari pemetaan dari peubah tak bebas 3. Mencari balikan pemetaan laplace dari peubah tak bebas, berarti mencari selesaian

masalah yang diketahui.

Pemetaan Laplace

Pemetaan laplace merupakan suatu fungsi berbentuk integral tak wajar yang konvergen.

Pemetaan laplace suatu fungsi f(t) yang pada t ≥ 0 adalah suatu fungsi F(s) untuk semua s, maka definisi pemetaan laplace adalah:

(9)

6

F(s) = £{f(t)} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡f(t) dt

Berdasarkan definisi pemetaan laplace tersebut, maka F(s) merupakan peta dari f(t) Contoh 1: Jika f(t) = 1 dan t ≥ 0 maka :

F(s) = £{f(t)} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 f(t) dt

= £{1} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 1 dt = ∫ (𝑠𝑡)¹⁻¹ 𝑒^−𝑠𝑡 𝑑(^𝑠𝑡

𝑠)

∞

0

= ¹

𝑠 ∫ (𝑠𝑡)₀^∞ ¹⁻¹ 𝑒^−𝑠𝑡 𝑑(𝑠𝑡)

= ¹

𝑠 Г(1) = ¹

𝑠 untuk s >

Contoh 2: Jika f(t) = t dan t ≥ 0 maka : F(s) = £{f(t)} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 f(t) dt

= £{t} = ∫ 𝑡 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 dt misalkan u = st  t = ^𝑢_𝑠 ^ dt = ¹_𝑠 du

= ¹

𝑠²∫ 𝑢 𝑒₀^∞ ^−𝑢 du = ¹

𝑠² ∫ 𝑢₀^∞ ²⁻¹ 𝑒^−𝑢 du

= ¹

𝑠² Г(2) = ¹

𝑠² untuk s > 0 Contoh 3: Jika f(t) = 𝑒^𝑎𝑡 dan t ≥ 0 maka:

F(s) = £{f(t)} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 f(t) dt

= £{𝑒^𝑎𝑡} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 𝑒^𝑎𝑡 dt = ∫ 𝑒₀^∞ ^{−(𝑠−𝑎)𝑡} 𝑑𝑡 Misalkan u = (s – a) t  t = _𝑠−𝑎^𝑢  dt = _𝑠−𝑎¹ du

= _𝑠−𝑎¹ ∫ 𝑢₀^∞ ¹⁻¹ 𝑒^−𝑢 𝑑𝑢 = ¹

𝑠−𝑎 Г(1) = ¹

𝑠−𝑎 untuk s > 𝑎

Contoh 4: Jika f(t) = 𝑡^𝑎 , t ≥ 0 , a > −1, dan a ∈ bilangan real, maka : F(s) = £{f(t)} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 f(t) dt

= £{𝑡^𝑎} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 𝑡^𝑎 dt, misalkan u = st  t = ^𝑢_𝑠 ^ dt =

1 𝑠 du

= ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑢 (^𝑢

𝑠)^𝑎 ¹_𝑠 du = ¹

𝑠^𝑎+1 ∫ 𝑢₀^~ ^𝑎 𝑒^−𝑢 𝑑𝑢

= ¹

𝑠^𝑎+1 ∫ 𝑢₀^~ ^(𝑎+1)−1 𝑒^−𝑢 𝑑𝑢 = ^Г(𝑎+1)

𝑠^𝑎+1 untuk s > 0

(10)

7 2. Linearitas Pemetaan Laplace

Jika a dan b konstanta, £{(f(t)} dan £{g(t)} ada, maka sifat linearitas pemetaan laplace adalah :

£{a f(t) ± b g(t)} = a £{f(t)} ± b £{g(t)}

Bukti : Berdasarkan definisi : F(s) = £{f(t)} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡f(t) dt, maka : F(s) = £{a f(t) ± b g(t)} = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡{a f(t) ± b g(t)} dt

= a ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 f(t) dt ± b ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 g(t) dt = a £{f(t)} ± b £{g(t)}

Berdasarkan sifat linearitas pemetaan laplace dan sifat identitas Euler (lihat halaman 33) maka peta dari fungsi-fungsi :

cos 𝜔t , sin 𝜔t , cosh 𝜔t , sinh 𝜔t , dan yang lainnya untuk t ≥ 0 dapat ditentukan.

Contoh 1: Carilah peta dari f(t) = cos 𝜔𝑡 , untuk t ≥ 0 Jawab : f(t) = cos 𝜔𝑡 = ¹

2 (𝑒^𝑖𝜔𝑡+ 𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}) F(s) = £{f(t)} = ∫ 𝑒₀^~ ^−𝑠𝑡f(t) dt

= £{ ¹

2 (𝑒^𝑖𝜔𝑡+ 𝑒^{−𝑖𝜔𝑡})} = ¹

2∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡(𝑒^𝑖𝜔𝑡+ 𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}) 𝑑𝑡

= ¹

2 ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 𝑒^𝑖𝜔𝑡 𝑑𝑡 + ¹

2 ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 𝑒^{−𝑖𝜔𝑡}) 𝑑𝑡

= ¹

2 ∫ 𝑒₀^∞ ^{−(𝑠 − 𝑖𝜔)𝑡}𝑑𝑡 + ¹

2 ∫ 𝑒₀^∞ ^{−(𝑠 + 𝑖𝜔)𝑡} 𝑑𝑡 u = (s - i𝜔) t u = (s + i𝜔) t dt = ^𝑑𝑢

𝑠 − 𝑖𝜔 dt = ^𝑑𝑢

𝑠 + 𝑖𝜔

= ¹

2(𝑠 − 𝑖𝜔) ∫ 𝑢₀^∞ ¹⁻¹ 𝑒^−𝑢𝑑𝑢 + ¹

2(𝑠 + 𝑖𝜔) ∫ 𝑢₀^∞ ¹⁻¹ 𝑒^−𝑢𝑑𝑢

= ^Г(1)

2(𝑠 − 𝑖𝜔) + ^Г(1)

2(𝑠+ 𝑖𝜔) = ^𝑠

𝑠²+ 𝜔²

Contoh 2: Carilah peta dari f(t) = cosh 𝜔𝑡 , untuk t ≥ 0 Jawab : f(t) = cosh 𝜔𝑡 = ¹

2 (𝑒^𝜔𝑡+ 𝑒^−𝜔𝑡) F(s) = £{f(t)} = ∫ 𝑒₀^~ ^−𝑠𝑡f(t) dt

= £{ ¹

2 (𝑒^𝜔𝑡+ 𝑒^−𝜔𝑡)} = ¹

2∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡(𝑒^𝜔𝑡+ 𝑒^−𝜔𝑡) 𝑑𝑡

(11)

8

= ¹

2 ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 𝑒^𝜔𝑡 𝑑𝑡 + ¹

2 ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡 𝑒^−𝜔𝑡) 𝑑𝑡

= ¹

2 ∫ 𝑒₀^∞ ^{−(𝑠 − 𝜔)𝑡}𝑑𝑡 + ¹

2 ∫ 𝑒₀^∞ ^{−(𝑠 + 𝜔)𝑡} 𝑑𝑡 u = (s - 𝜔) t u = (s + 𝜔) t dt = ^𝑑𝑢

𝑠 − 𝜔 dt = ^𝑑𝑢

𝑠 + 𝜔

= ¹

2(𝑠 − 𝜔) ∫ 𝑢₀^∞ ¹⁻¹ 𝑒^−𝑢𝑑𝑢 + ¹

2(𝑠 + 𝜔) ∫ 𝑢₀^∞ ¹⁻¹ 𝑒^−𝑢𝑑𝑢

= ^Г(1)

2(𝑠 − 𝜔) + ^Г(1)

2(𝑠+ 𝜔) = ^𝑠

𝑠² − 𝜔²

Berikut ini tabel pemetaan laplace dari fungsi f(t) yang diperoleh melalui definisi dan sifat- sifat kelinearan, sebagai berikut:

TABEL PEMETAAN LAPLACE

No. f(t) , t ≥ 0 F(s) = £{(f(t)}

1 1 ¹_s , s > 0

2 T ¹

s² , s > 0

3 t² _s^2!₃ , s > 0

4 tⁿ , (n=1, 2, 3, . . .) n!

sⁿ⁺¹

5 t^a , a > 0 ^Г(a+1)

s^a+1 , s > 0

6 e^at _{s − a}¹ , s > a

7 Cos 𝜔𝑡 _s2 + ω^s ² , s > 0

8 Sin 𝜔𝑡 _s₂_{+ ω}^ω ₂ , s > 0

9 Cosh 𝜔𝑡 _s₂_{− ω}^s ₂ , s > |𝜔|

10 Sinh 𝜔𝑡 _s2 − ω^ω ² , s > |𝜔|

C. Invers Pemetaan Laplace

Teorema. Diketahui fungsi 𝐹 dan 𝐺 kontinu pada (0, ∞), jika 𝐹 = 𝐺, maka 𝑓(𝑡) = 𝑔(𝑡) untuk setiap 𝑡 ≥ 0

Definisi. Jika Transformasi Laplace suatu fungsi 𝐹(𝑡) adalah 𝑓(𝑠), yaitu ℒ{𝐹(𝑡)} = 𝑓(𝑠), maka 𝐹(𝑡) disebut kebalikan transformasi Laplace (Invers transformasi Laplace) dari 𝑓(𝑠) dan dituliskan dengan

(12)

9

𝐹(𝑡) = ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)}

Contoh:

Karena ℒ(𝑒^2𝑡) = ¹

𝑠−2, maka ℒ⁻¹{ ¹

𝑠−2} = 𝑒^2𝑡 Tabel invers transformasi Laplace

No 𝑓(𝑠) ℒ⁻¹{∫ (𝑠)} = 𝐹(𝑡)

1. 1

𝑠

1

2. 1

𝑠²

𝑡

3. 1

𝑠^𝑛+1, 𝑛 = 0,1,2, … 𝑡^𝑛

𝑛!

4. 1

𝑠 − 𝑎

𝑒^𝑎𝑡

5. 1

𝑠²+ 𝑎²

sin 𝑎𝑡 𝑎

6. 𝑠

𝑠²+ 𝑎²

cos 𝑎𝑡

7. 1

𝑠²− 𝑎²

sinh 𝑎𝑡 𝑎

8. 𝑠

𝑠²− 𝑎²

cosh 𝑎𝑡

Sifat-sifat invers tranformasi Laplace F. Sifat linear

Jika 𝑐₁ dan 𝑐₂ konstanta, 𝑓₁(𝑠) dan 𝑓₂(𝑠) berturut-turut merupakan transformasi Laplace dari 𝐹₁(𝑡) dan 𝐹₂(𝑡), maka:

ℒ⁻¹{𝑐₁ 𝑓₁(𝑠) + 𝑐₂ 𝑓₂(𝑠)} = 𝑐₁ℒ⁻¹{ 𝑓₁₁(𝑠)} + 𝑐₂ℒ⁻¹{ 𝑓₂(𝑠)}

= 𝑐₁𝐹₁(𝑡) + 𝑐₂𝐹₂(𝑡) G. a. Sifat transisi (pergeseran) pertama

Jika ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡), maka ℒ⁻¹{𝑓(𝑠 − 𝑎)} = 𝑒^𝑎𝑡𝐹(𝑡) Contoh : karena

(13)

10 ℒ⁻¹{ 1

𝑠²+ 4} = ℒ⁻¹{ 1 2 2

𝑠²+ 4} =1

2ℒ⁻¹{ 2

𝑠²+ 4} =1

2sin 2𝑡 Maka,

ℒ⁻¹{ 1

𝑠²− 2𝑠 + 5} = ℒ⁻¹{ 1

(𝑠 − 1)²+ 4} = 1

2𝑒^𝑡sin 2𝑡

b. Sifat translasi kedua Jika ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡), maka,

ℒ⁻¹{𝑒^−𝑎𝑠𝑓(𝑠)} = {𝐹(𝑡 − 𝑎) , 𝑡 > 𝑎 0 , 𝑡 < 𝑎

H. Sifat pengubah skala

Jika ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡), maka, ℒ⁻¹{𝑓(𝑘𝑠)} = ¹

𝑘𝐹 (^𝑡

𝑘), Contoh: karena

ℒ⁻¹{ 𝑠

𝑠²+ 16} = cos 4𝑡, Maka,

ℒ⁻¹{ 2𝑠

(2𝑠²) + 16} = 1

2 cos 4𝑡 2 =1

2cos 2𝑡

I. Invers transformasi Laplace dari turunan (derivatif) Jika ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡), maka

Jika ℒ⁻¹{𝑓^(𝑛)(𝑠)} = ℒ⁻¹{𝑑^𝑛

𝑑𝑠^𝑛𝑓(𝑠)} = (−1)^𝑛𝑡^𝑛𝐹(𝑡) Contoh: karena

ℒ⁻¹{ 1

𝑠²+ 1} = sin 𝑡, 𝑑 𝑑𝑠( 1

𝑠²+ 1) = −2 (𝑠²+ 1)²

ℒ⁻¹{ −2

(𝑠²+ 1)²} = (−1)¹𝑡¹sin 𝑡 = −𝑡 sin 𝑡 Dengan demikian,

ℒ⁻¹{ −2

(𝑠²+ 1)²} = ℒ⁻¹{(−1

2)(−2𝑠)

(𝑠²+ 1)² } (−1)¹𝑡¹sin 𝑡 = −1

2(−𝑡 sin 𝑡) = −1

2 𝑡 sin 𝑡

(14)

11 J. Invers transformasi Laplace dari integral Jika ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡), maka

ℒ⁻¹{∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑥

0

} =𝐹(𝑡) 𝑡 Contoh: karena

ℒ⁻¹{ 1

𝑠(𝑠 + 1)} = ℒ⁻¹{1 𝑠− 1

𝑠 + 1} = 1 − 𝑒^−𝑡

Maka,

ℒ⁻¹{∫ (1 𝑢− 1

𝑢 + 1) 𝑑𝑢

𝑥 0

} = ℒ⁻¹{𝑙𝑛 (1 +1 𝑠)}

K. Perkalian dengan 𝒔^𝒏

Jika ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡) dan 𝐹(0) = 0, maka

ℒ⁻¹{𝑠𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡) Jika 𝐹(0) ≠ 0, maka

ℒ⁻¹{𝑠𝑓(𝑠) − 𝐹(0)} = 𝐹(𝑡) Atau

ℒ⁻¹{𝑠𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡) + 𝐹(0)𝛿(𝑡)

Dengan 𝛿(𝑡) adalah fungsi Dirac delta atau fungsi implus yang didefinisikan 𝛿(𝑡) = {

1

𝑡 ,0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎 0 , 𝑡 > 𝑎

Contoh: karena

ℒ⁻¹{ 1

𝑠² + 1} = sin 𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑛 0 = 0 Maka,

ℒ⁻¹{ 𝑠

𝑠²+ 1} = 𝑑

𝑑𝑡sin 𝑡 = cos 𝑡 L. Pembagian dengan s

Jika ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡), maka

ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)

𝑠 } = ∫ 𝐹(𝑢)𝑑𝑢

𝑡

0

(15)

12 Contoh: karena

ℒ⁻¹{ 1

𝑠²+ 4} =1

2sin 2𝑡 Maka,

ℒ⁻¹{ 1

𝑠(𝑠²+ 4)} = ∫ 1

2sin 2𝑢 =1

4(1 − cos 2𝑡)

𝑡

0

M. Sifat konvolusi

Jika ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)} = 𝐹(𝑡) dan ℒ⁻¹{𝑔(𝑠)} = 𝐺(𝑡), maka

ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)𝑔(𝑠)} = ∫ 𝐹(𝑢)𝐺(𝑡 = 𝑢)𝑑𝑢 = 𝐹 ⋆ 𝐺

𝑡

0

Lambang 𝐹 ⋆ 𝐺 untuk menyatakan konvolusi ata faltung dari 𝐹 dan 𝐺. Selanjutnya, 𝐹 ⋆ 𝐺 = 𝐺 ⋆ 𝑓

Contoh: karena ℒ⁻¹{ ¹

𝑠−1} = 𝑒^𝑡 dan ℒ⁻¹{ ¹

𝑠−2} = 𝑒^2𝑡 Maka,

ℒ⁻¹{ 𝑠

(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)} = ∫ 𝑒^𝑢𝑒^{2(𝑡−𝑢)}𝑑𝑢 = 𝑒^2𝑡 − 𝑒^𝑡

𝑡 0

N. Invers transformasi Laplace ddan fungsi pecah rasional Jika 𝑓(𝑠) =^𝐴(𝑠)

𝐵(𝑠) dengan 𝐴(𝑠) dan 𝐵(𝑠) suku banyak (polinomial) dengan derajat 𝐴(𝑠) lebih kecil derajat 𝐵(𝑠) 𝑑𝑒𝑟(𝐴(𝑠)) I 𝑑𝑒𝑟 (𝐵(𝑠))

a) Jika 𝑩(𝒔) = 𝟎 mempunyai akar-akar real dan berlainan. Katakan 𝒎_𝟏, 𝒎_𝟐, … , 𝒎_𝒏 berarti

𝑩(𝒔) = (𝒔 − 𝒎_𝟏)(𝒔 − 𝒎_𝟐)(𝒔 − 𝒎_𝟑) … (𝒔 − 𝒎_𝒏) Maka,

𝐴(𝑠)

𝐵(𝑠)= 𝑎₁

𝑠 − 𝑚₁ + 𝑎₂

𝑠 − 𝑚₂+ ⋯ + 𝑎_𝑛 𝑠 − 𝑚_𝑛

Dengan 𝑎_𝑖(𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛) dapat dicari dengan kesamaan dua polynomial. Akibatnya, ℒ⁻¹ =𝐴(𝑠)

𝐵(𝑠)= ℒ⁻¹{∑ 𝑎_𝑖 𝑠 − 𝑚_𝑖

𝑛

𝑖=1

}

(16)

13

b) Jika 𝑩(𝒔) = 𝟎 mempunyai akar-akar real dan ada yang sama, katakana 𝒎_𝟐 kembar sebanyak 𝒑 kali dan 𝒎_𝟑 kembar sebanyak 𝒒 kali. Berarti

𝐵(𝑠) = (𝑠 − 𝑚₁)(𝑠 − 𝑚₂)^𝑝(𝑠 − 𝑚₃)^𝑞 Maka,

𝐴(𝑠)

𝐵(𝑠)= 𝑎₁

𝑠 − 𝑚₁+ 𝑏₁

𝑠 − 𝑚₂+ 𝑏₂

(𝑠 − 𝑚₂)² + ⋯ + 𝑎₂

𝑠 − 𝑚₂+ ⋯ + 𝑏_𝑝

(𝑠 − 𝑚₂)²+ 𝑐₁ 𝑠 − 𝑚₃ + 𝑐₂

(𝑠 − 𝑚₂)²+ ⋯ + 𝑐_𝑞 (𝑠 − 𝑚₃)^𝑞

Dengan 𝑎_𝑖, 𝑏_𝑖, 𝑐_𝑖(𝑖 = 1,2,3, … , 𝑝, 𝑗 = 1,2, … , 𝑞) dapat dicari dengan kesamaan dua polynomial. Akibatnya,

ℒ⁻¹ = 𝐴(𝑠)

𝐵(𝑠)= ℒ⁻¹{ 𝑎₁

𝑠 − 𝑚₁+ ℒ⁻¹∑ 𝑏_𝑖 (𝑠 − 𝑚_𝑖)^𝑖

𝑝

𝑖=1

+ ℒ⁻¹∑ 𝑐_𝑖 (𝑠 − 𝑚_𝑗)^𝑗

𝑞

𝑗=1

}

c) Jika 𝑩(𝒔) = 𝟎 memuat faktor-faktor kuadratis yang berlainan, katakan 𝒔^𝟐+ 𝑪_𝒔 + 𝑫 dapat didiskriminan negative

𝐵(𝑠) = (𝑠 − 𝑚₁)(𝑠 − 𝑚₂)^𝑝(𝑠²+ 𝐶_𝑠+ 𝐷) Maka,

𝐴(𝑠)

𝐵(𝑠) = 𝑎₁

𝑠 − 𝑚₁+ 𝑏₁

𝑠 − 𝑚₂+ 𝑏₂

(𝑠 − 𝑚₂)²+ ⋯ + 𝑏₂

(𝑠 − 𝑚₂)²+ ⋯ + 𝑐₁𝑠 + 𝑐₂ 𝑠²+ 𝐶_𝑠+ 𝐷

D. Kewujudan Pemetaan Laplace & Dalil-dalilnya

Suatu fungsi yang terdefinisi untuk t>0 mungkin memiliki transformasi Laplace, tetapi mungkin juga tidak memiliki (nilai integral dalam definisi 1 tidak ada).

Keujudan transformasi Laplace dijamin oleh:

Teorema 2:

Misal f(t) fungsi yang kontinu perbagian (piecewise continuous) pada setiap interval dalam range t ≥0 dan memenuhi |f(t)| ≤ Meγt, untuk setiap t≥0,

Dengan γ dan M konstan. Maka transformasi Laplace dari f(t) ada untuk semua s>γ.

Contoh 3: karena cosh t < et dan tn ≤ n!et (n=0,1,2,…) untuk setiap t≥0, maka transformasi Laplace dari cosh t dan tn ada.

(17)

14

Gambar grafik fungsi cosht dan e^t, terlihat bahwa untuk setiap t > 0 berlaku cosht≤ e^t. Perhatian:

1. Teorema di atas merupakan syarat cukup dari eksistensi Transformasi Laplace, bukan syarat perlu. Sebagai contoh f(t)= ¹

√𝑡 tidak memenuhi syarat dalam teorema (karena f(0)= ∞), tetapi L(¹

√𝑡 ) ada, yaitu L(¹

√𝑡 ) = ∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑠𝑡𝑡⁻¹²𝑑𝑡 = ¹

√𝑡 )∫ 𝑒₀^∞ ^−𝑥𝑥⁻¹²𝑑𝑥 =

1

√𝑠Γ ¹

√2= √^𝜋_𝑠

2. Jika Transformasi Laplace dari suatu fungsi ada maka transformasi itu tunggal.

3. Jika dua buah fungsi mempunyai Transformasi Laplace yang sama maka dua fungsi itu hanya berbeda pada titik-titik terisolasinya saja. Jadi dapat dikatakan bahwa invers dari suatu Transformasi Laplace secara essensial adalah sama.

Dalam hal fungsi kontinu, maka keduanya benar-benar sama.

6.1. Tansformasi Laplace Turunan

Jika transformasi Laplace dari f diketahui dan turunan dari f ada, kita dapat mempertanyakan apakah transformasi Laplace dari f’ juga ada atau apakah ada syarat lain yang dapat menjamin keujudan dari transformasi Laplace f’. Lebih lanjut, jika transformasi Laplace dari f’ ada, apakah ada hubungan di antara ke duanya. Hal ini diberikan oleh teorema berikut.

(18)

15 Teorema 3:

Misal f(t) kontinu untuk t≥0 dan memenuhi syarat teorema 2 dan mempunyai turunan f’(t) yang kontinu perbagian pada setiap interval hingga dalam range t≥0. Maka TL dari f’(t) ada untuk s>γ dan diberikan oleh

L(f’) =sL(f) – f(0), (s<γ).

Catatan:

Teorema di atas dapat diperluas untuk mendapatkan:

L(f’’) =s² L(f) – sf(0) – f’(0),

L(f’’’) =s³ L(f) – s² f(0) – sf’(0) – f’’(0), dst.

Yang dengan induksi diperoleh:

Teorema 4:

Misal f(t), f’(t), f’’(t),…,f^(n-1)(t) fungsi-fungsi kontinu untuk t≥0, dan memenuhi syarat dalam teoema 2 untuk suatu γ dan M dan misal f⁽ⁿ⁾(t) kontinu perbagian pada setiap interval dalam range t≥0. Maka TL f⁽ⁿ⁾ ada jika s>γ dan diberikan oleh:

E. Pemetaan laplace Fungsi Turunan Teorema 1.4 [Turunan 𝐟(𝐭)]

Misalkan f(t) kontinu untuk setiap t ≥ 0 dan memenuhi untuk suatu konstanta γ dan M.

misalkan pulaf^′(t) kontinu bagian demi bagian pada selang [0, a], ∀a > 0. Maka transformasi laplace dari f^′(t) ada untuk s > γ dan berlaku

∟ {f^′(t)} = s∟{f(t)} − f(0) (2)

Bukti : kita meninjau kasus f^′(t) kontinu untuk t ≥ 0. Dari definisi transformasi Laplace dan pengintegralan parsial, didapat.

(19)

16

∟ {f^′(t)} = ∫ e^−st

∞ 0

f^′(t)dt = lim

b→∞∫ e^−stf^′(t) dt

b

0

= lim

b→∞[e^−st f(t)|₀^b+ s ∫ e₀^b ^−stf(t)dt] = lim

b→∞[e^−btf(b) − f(0)] + lim

b→∞s ∫ e₀^b ^−stf(t)dt

= −f(0) + s ∫ e^−stf(t)dt = s∟{f|(t)} − f(0)untuk s > γ

∞ 0

Untuk kasus f^′(t) kontinu bagian demi bagian, pembuktian seperti diatas, hanya pengintegralan dipecah atas selang-selang dimana f^′(t) diskontinu.

Perhatikan bahwa Teorema 1.4 dapat digunakan untuk f′′(t)dan diperoleh; ∟{f′′(t)} = s∟ {f′(t)} − f′(0)

= s{s∟{f(t)} − f(0)} − f′(0) (3) = s²∟{f(t)} − sf(0) − f^′(0)

Dengan cara yang sama didapat’

L{f^′′′(t)} = s∟{f^′′(t)} − f^′′(0)

= s{s²∟{f(t)} − sf(0) − f^′(0)} − f^′′(0) (4) = s³∟{f(t)} − s²f(0) − f^′(0) − f^′′(0)

Asalkan f^′′(t), f^′′′(t) memenuhi persyaratan seperti di teorema 1.4

Teorema 1.5 [Turunan ke-𝐧]

Misalkan f (t) dan turun-turunannya f^′(t), f^′′(t), L, f⁽ⁿ⁻¹⁾(t) kontinu untuk t ≥ 0 untuk suatu konstanta γ dan M. Misalkan pula turunan f^(′′)(t) kontinu bagian demi bagian pada selang [0, a], ∀a > 0, maka transformasi Laplace

dari f^(′′)(t) ada untuk s > γ berlaku Contoh 1:

Tentukan ∟{t²} Penyelesaian :

Ambil f(t) = t² dengan menggunakan rumus (3). Jelas bahwa f(0) = 0, f^′(0) = 0, f^′′(t) = 2 dan ∟{2} = 2∟{1} =²

s. Jadi dari rumus (3) didapat ∟{f^′′(t)} = ∟{2} =²

s= s²∟{t²}.

∟{f⁽ⁿ⁾(t)} = s^′′∟{f(t)} − sⁿ⁻¹f^′(0) − L

− f⁽ⁿ⁻¹⁾

(20)

17 F. Pemetaan Laplace Fungsi Integral Teorema 1.6 [Pengintegralan 𝒇(𝒕)]

Misalkan f (t) suatu fungsi kontinu bagian demi bagian yang memenuhi Ketidaksamaan, untuk semua𝛾 𝑑𝑎𝑛 𝑀, 𝑚𝑎𝑘𝑎

∟ {∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢₀^𝑡 } =¹

𝑠∟{𝑓(𝑡)} =¹

𝑠 𝐹(𝑠), 𝑠 > 0, 𝑠 > 𝛾 (6) Atau

∟⁻¹{^𝐹(𝑠)

𝑠 } = ∫ 𝑓(𝑢)₀^𝑡 (7) Bukti :

Sebut 𝑔{𝑡} = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢, 𝑡 ≥ 0₀^𝑡

Karena f(t) kontinu bagian demi bagian untuk 𝑡 > 0, maka 𝑔(𝑡) kontinu untuk 𝑡 ≥ 0 selanjutnya 𝑔^′(𝑡) = 𝑓(𝑡), kecuali dititik-titik diskontinuitas dari 𝑓(𝑡) yang banyaknya berhingga. Jadi 𝑔^′(𝑡)kontinu bagian demi bagian untuk selang [0, 𝑎], ∀𝑎 > 0.

Karena |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒^𝑛, 𝑡 ≥ 0, untuk suatu 𝛾 dan 𝑀, maka untuk 𝛾 yang diambil positif berlaku

|𝑔(𝑡)| ≤ ∫ |𝑓(𝑢)|𝑑𝑢 ≤ 𝑀 ∫ 𝑒^𝛾𝑢

𝑡 0 𝑡

0

𝑑𝑢 = 𝑀

𝛾 (𝑒^𝛾𝑡 − 1) ≤2𝑀 𝛾 𝑒^𝛾𝑡

Jadi fungsi g(t) memenuhi semua persyaratan di Teorema 1.1 dan berdasarkan Teorema 1.1 tersebut, L {g(t)} ada dan berlaku

∟{𝑔^′(𝑡)} = 𝑠∟{𝑔(𝑡)} − 𝑔(0)

∟{𝑓(𝑡)} = 𝑠∟ {∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 ₀^𝑡 } − 0 Atau

∟ {∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

𝑡 0

} = 1

𝑠∟{𝑓(𝑡)}

Contoh 2 :

Tentukan ∟ {∫ sin 2𝑢 𝑑𝑢 ₀^𝑡 } penyelesaian

Ambil 𝑓(𝑡) = sin 2𝑡, maka

∟{𝑓(𝑡)} = ∟{sin 2𝑡} = ²

𝑠²+4 Dario teorema 1.3 diperoleh

∟ {∫ sin 2𝑢 𝑑𝑢 ₀^𝑡 } = ¹

𝑠∟{sin 2𝑡} = ²

𝑠(𝑠²+4)

(21)

18 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan

1. Transpormasi Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatusistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

2. Fungsi gamma didefinisikan dalam bentuk: Γ(𝑛) = ∫ 𝑥₀^∞ ^𝑛−1. 𝑒^−𝑥𝑑𝑥 yang konvergen untuk n > 0.

3. Andaikan fungsi g terdefinisi untuk 0 ≤ 𝑡 < ∞, terbatas dan terintegralkan di dalam setiap selang terhingga 0 ≤ 𝑡 < 𝑏 , maka menurut definisi ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = lim

𝑏→∞∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 ₀^𝑏

∞ 0

Kita katakan bahwa integral takwajar di ruas kiri konvergen atau divergen sesuai dengan ada atau tidak adanya limit di ruas kanan.

4. Jika Transformasi Laplace suatu fungsi 𝐹(𝑡) adalah 𝑓(𝑠), yaitu ℒ{𝐹(𝑡)} = 𝑓(𝑠), maka 𝐹(𝑡) disebut kebalikan transformasi Laplace (Invers transformasi Laplace) dari 𝑓(𝑠) dan dituliskan dengan

𝐹(𝑡) = ℒ⁻¹{𝑓(𝑠)}

5. Misalkan f(t) kontinu untuk setiap t ≥ 0 dan memenuhi untuk suatu konstanta γ dan M.

misalkan pulaf^′(t) kontinu bagian demi bagian pada selang [0, a], ∀a > 0. Maka transformasi laplace dari f^′(t) ada untuk s > γ dan berlaku ∟ {f^′(t)} = s∟{f(t)} − f(0)

(22)

19 B. Saran

Setelah kami menulis makalah yang singkat ini. Makalah yang kami susun semoga bisa membantu kita untuk menambah pengetahuan. Mohon permakluman dari semuanya jika dalam makalah kami ini masih terdapat banyak kekeliruan baik bahasa maupun pemahaman. Karena tiadalah sesuatu yang sempurna yang bisa manusia ciptakan. Pembaca dapat Memberi saran dan kontruksi guna memberikan bekal bagi kami dalam penulisan-penulisan berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Kemmerly, Jack E Jr, William Hayt. 2005. Rangkaian Listrik. Jakarta : Erlangga. Guntoro Nanang Arif. 2013. Fisika Terapan. Jakarta : Rosda

(n.d.). Retrieved from https://www.academian.edu/20007743/TRANSFORMASI_LAPLACE