bab 6 transformasi laplace

BAB VI

TRANSFORMASI LAPLACE

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara menentukan transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers suatu fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat tinggi.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode langsung (integral tak wajar)

2. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode deret.

3. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan metode pecahan parsial.

4. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside.

5. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.

Bab III dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum persamaan diferensial linear, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear yang meliputi: cara faktor integral, metode Lagrange, mengubah persamaan diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bernoulli.

6.1 Transformasi Laplace Definisi

Misalkan F(t) _{suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t)}





 _



`

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

Karena L{F(t)}adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga (



) maka





 _



`

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

_

   

p st

pLim e F t dt

0

) (

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0t N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > 

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.

No. F(t) L{F(t)}

1. 1 1_{, 0}

 s s

2. t 1 _{, 0}

2 s

s

3. t2

0 , 2

3 s

s

4. tn

n = 0,1,2,3,….

0 , !

1   s

s n

n

5.

at

6. sinat

0 ,

2

2 

a s s

a

7. cosat _{, 0}

2

2 

a s s

s

8. sinhat

a s a s

a

  2, 2

9. coshat

a s a s

s

  2, 2

10. tcosat

2 2 2

2

)

(s a

a s

 

11.

a at t

2 sin

2 2

2 ₎

(s a

s 

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.

Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1. F(t)1

_



 _



`

0

) ( 1 )}

(

{F t e f s

L st

_

   

p st p

dt e Lim

0

p st

p se

0 1

lim 

  

  

 

 



  

 

 

 _



 0

1 1 lim

se se

p

s

1 0 

s

1



f(s)

2. F(t)t





 

`

0

)} (

{F t e t dt

L st

Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0tNdan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .

Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:

a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.

Metode ini berkaitan langsung dengan definisi



 



0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

_

   

p st

pLim e F t dt

0

) (

Contoh



 



0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

_

   

p st

p e tdt

0

lim

lim . 1 ( )

0

st p

p t sd e

 





 

te e dt

s

p st st

p



 



 

 

0

lim 1

p st st

p te se

s ₀

1 lim

1

   



 _



  

 

_     

  

s s

1 0 1

2

1 s



f(s)

b. Metode Deret

Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh

... )

( 3

3 2 2 1

0   

a at a t a t t

n n

nt

a









0

Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:

... } { } { } { } { )} (

{ 3

3 2

2 1

0    

L a L at L a t L a t t

F L

2!₃2 ...

2

1 _{ }

 

s a s

a s a_o





 



0 1

!

n n

n

s a n

, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > 

c. Metode Persamaan differensial

Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.

d. Menurunkan terhadap parameter

e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada.

f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan.

6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:

a) Sifat linear

Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan F2(t)

adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing f1(s) dan f2(s), maka:

) ( )

( )}

( )

(

{c₁F₁ t c₂F₂ t c₁f₁ s c₂f s

L   

Bukti:





 _

 

0

2 2 1

1 2

2

1 ( ) ( )} { ( ) ( )}

{c F t c F t e c F t c F t dt

_

_

  

 _



0

2 1 0

1

1F (t)dt e c F (t)dt

c

e st st

_

_





 _



0

2 0

2 1

1 e F(t)dt c e F (t)dt

c st

p st

c₁f₁(s)c₂f₂(s)

1. L{5t 3}L{5t 3a}L{5t} L{3}

5L{t} 3L{1}

s s

1 3 1

5 ₂ 



s s

3 5

2  

2. L{6sin2t 5cos2t}L{6sin2t} L{5cos2t}

6L{sin2t} 5L{cos2t}

4 5 4 2

6 _{2 2}

   

s s s

4 5 12

2   

s s

3. {( 2 1)2} { 4 2 2 1}

  

 Lt t

t L

_L{_t4} _L{2_t2} _L{1}  



_L{_t4} 2_L{_t2} _L{1}  



s s

s

1 ! 2 2 ! 4

1 2 1

4 

     

 _{ }

s s s

1 4 24

3 5   

4. _L{4_e5t _6_t2 _ 3sin4_t2cos2_t}

_L{4_e5t}_L{6_t2}_{ L}{3sin4_t}_L{2cos2_t}

4 2 4 4 3 2 6 5 1

4 _{3 2 2}

      

s s s

s

s

4 2 16 12 12 5 4

2 2

3  _  _ 

 

s s s

s

s

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.

1. t

e t t

F 

 2 2 )

( t

2. F(t) 6sin2t cos2t 3. _{F(t)(sint cost)}2

4. F t t sinht

2 1 3 cosh )

(  

5. F(t)2t2 3

6. _{F(t) (sint 3)}2

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika _L{_F(_t)} _f(_s)_makaL{_e2t_F(_t)} _f(_{s a})   

Bukti

Karena

_



 _



`

0

) ( )

( )}

(

{F t e F t dt f s

L st

, maka





 

`

0

) ( )}

(

{e F t e e F t dt

L at st at

_

  



0

)

( _F(t)dt

e s a t

f(s a)

Contoh:

1. Tentukan _L{_e3t_F(_t)} _{jika L}{_F(_t)}_f(_s)

Menurut sifat 2 di atas, L{eatF(t)} f(s a)  

Maka _L{_e3t_F(_t)}_f



_s (_3)



f(s3)

2. Tentukan 

     

a s f t F L jika t

F e

Menurut sifat 2 di atas, L{eatF(t)} f(s a)  

Karena 

       

     

a s f t F e L maka a

s f t F

L_{{ ( )} , {} 2t _{( )}} 2

   

 

 

a a s

f 2

3. Tentukan

4 }

2 {cos )}

(

{ ₂

  

s s t

L jika t

F e

L t

Karena

4 }

2

{cos ₂

 

s s t

L _{maka menurut sifat translasi pertama}

) 1 ( )} (

{_e _{F t} _{f s} L t

4 ) 1 (

1 )}

(

{ ₂

 

  

s s t

F e L t

5 2

1

2  

 

s s

s

4. Tentukan_L{_e2t(3cos6_t 5sin6_t)}

Me6nurut sifat linear,

)} 6 sin 5 ( { )} 6 cos 3 ( { )} 6 sin 5 6 cos 3 (

{_e 2 _{t t L e} 2 _{t L e} 2 _t

L  t  t  t

 



3_L{2tcos6_t} 5_L{_e2t sin6_t} 

 }

Karena

36 6 } 6 {sin 36

} 6

{cos _{2 2}

  



s t L dan s

s t

L

maka menurut sifat translasi

) 2 ( 3 } 6 cos {

3 2

 



s f t L t

3_{( }(₂₎22_)₃₆

 

s s

, dan

2 (

6 5 } 6 sin {

5 2

 



s t

L t

L{e { (3cos6 5sin6)} 3₍ (₂₎22)₃₆ 5_{( 2}6₎2 ₃₆ 2

    

 

 

s s

s t

t e

L t

40 4

24 3

2  

 

s s

s

Soal

Tentukan transformasi Laplace fungsi 1) F₍t₎ et_sin2t



2) _{F(t) (1 te}t₎3

 

3) F(t) t (3sinh2t 5cosh2t) 



4) t

e t

t

F 2

) 2 ( )

(  

5) F₍t_)e2t



_sinh2t_cosh3t



6) F(t)_e t(1_2t)

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika L{F(t)}f(s) _dan















a

t

untuk

a

t

untuk

a

tF

tG

,0

),

(

)(

maka

) ( )}

(

{G t e f s

L as

 Bukti

dt t G e t

G

L st



 



0

) ( )}

( {(

_

_

 

 _



a

a st

st_{G t dt e G t dt}

e 0

) ( )

(

_

_

 

 _{ }



a

a st

st _{dt e F t a dt}

e 0

) ( )

0 (

_



 _



a

st_{F t a dt}

e ( )

_

_

   

 _{ }

0

)

( _{( )}

)

(t a dt e F u du

F

e su a

a st

_

  



0

) (u du F e e as su

easf (s)



Contoh

Carilah L{F(t)}_jika





















3

2

,0

3

2

),

3

2

cos(

)(







t

t

t

t

F

Menurut definisi transformasi Laplace



 



0

) ( )}

(

{F t e F t dt

L st

e st₍₀₎dt e st _cos(t _{2 /3)}dt 3

/ 2 3

/ 2

0

 



 



_

_

  

_

  



0

) 3 / 2

( _cosudu

e su 

e s e su_cosudu

0 3 / 2



  

 

1

2 3 / 2

 



s se s

d. Sifat pengubahan skala

Jika L{F(t)}f(s) _maka       

a s f a at F

L{ ( )} 1

Bukti Karena

dt t F e t

F

L st



 



0

) ( )}

maka

dt at F e at

F

L st



 



0

) ( )}

( {

Misal

a du dt sehingga adt

du maka at

u   

Menurut definisi



 



0

)

(

)

(

{

F

at

e

F

at

dt

L

st

_

 _

      

0

) (

a du u F

e a

s u

_

     

 e F u du

a

u a s

) ( 1

      

a s f a

1

Contoh:

1. Jika ( )

) 2 (

6 )}

(

{ ₃ f s

s t F

L 

 

maka )

3 ( 3 1 )} 3 (

{F t f s

L 

₂ 3

3 3

6

     

 

s

_{( 6)}3

9 . 6

 

s

Soal:

1. Hitunglah L{F(t)} jika

















1

0,0

1

,)

1

(

)(

2

t

t

t

tF

2. Jika

) 1 ( ) 1 2 (

1 )}

(

{ ₂

2

 

  

s s

s s t

F

3. Jika { ( )} ,

/ 1

s e t F L

s



 carilah L{etF(3t)}

Jawab

Karena { ( )} 1/ f(s),

s e t F

L  s 



maka menurut sifat 4 diperoleh



     

3 3 1 )} 3 (

{F t f s

L

Sehingga

3 3 1 )} 3 ( {

3

s e t

F

L s

 

_e s

s

3

1 



f(s)

Berdasarkan sifat Jika L{F(t)}f(s)

maka L{eatF(t)} f(s a) 

 (sifat 2)

Maka {  (3 )} ( 1)

s f t F e L t

( 1) 3

) 1 (

1  



 e S

s

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F(t)}f(s)_maka L{F'(t)}sf(s) F(0)

Karena Karena { ( )} ( ) ( )

0

s f dt t F e t

F

L _ st _



 

, maka

dt t F e t

F

L st



 



0

) ( ' )}

( ' {

_

 



0

) (t dF e st

p st st

e d t F t

F e

0 0

) ( ) ( )

( _

  

  





_



 

_

 

 



0

) ( )

0

( s e F t dt

F st

Jika L{F'(t)}sf(s) F(0)_maka { ''( )} 2 ( ) (0) '( )

s F sF

s f s t F

L   

Bukti



 



0

)

("

)}

('

'

{

F

t

e

F

t

dt

L

st

_

 



0

)) ( ' (F t d e st

_

  

  





_



 

0

) ( ) ( ' ) (

' st

st_{F t F t d e}

e

_

  

  





_



 

0

) ( ' )

(

' t s F t e dt

F

e st st



e stF'(t) s(sf(s) F(0))



 

 

_s2_f(_s) _sF(0) _F'(0)

 



Dengan cara yang sama diperoleh

dt t F e t

F

L_{{ '''( )}} st _{'''( )} 0



 



_

 



0

)) ( ' ' (F t d e st

_

  

  





_



 

0

) ( ) ( ' ' ) ( '

' st

st_{F t F t d e}

e

_

  

  





_

  

0

) ( ' ' )

( '

' t s e F t dt

F

e st st

_

  

  

 



_



 



0

) ( ) ( ' ) ( ' )

( '

' st st

st_{F t s e F t F t d e}

e

3 ( ) 2 (0) '(0) ''(0)

F sF

F s s f

s   



Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika

) ( )} (

{F t f s

L 

) 0 ( )

0 ( ...

) 0 ( ' )

0 ( )

( )} (

{_F(n) _{t sf s  s}n1_{F  s}n2_{F   sF}(n2) _{ F}(n1) L

Contoh soal

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa

) ( }

{sin _{2 2} f s

a s

a at

L 

 

Misal F(t)sinat_diperoleh F'(t) acosat,F ''(t) a2sinat

  

sehingga

{sin

}

1

'{

)('

2

L

F

t

a

at

L



Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh



sf s sF F



f a

at

L{sin } 1₂  ( ) (0) '(0)

      



  



 _{ }

 

 s a

a s

a s

a (0)

1

2 2 2 2

_

  

 

  

 a

a s

as

a 2 2

2

2

1

_

  

 

   

 _{2 2}

3 2 2

2

1

a s

a as as a

_s2 _a2

a

 

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

Jika L{F(t)}f(s) _maka

s s f du u F L

t

) ( )

(

0

   

  



Bukti:

Misal 

_

t

du u F t

G 0

) ( )

( _maka G'(t)F(t) danG(0) 0

)} ( { )} ( '

{G t L F t

L 

) ( } 0 { )} (

{G t G f s

sL  



) ( )} (

{G t f s

sL 



s s f t G

L{ ( )} ( ) 

Jadi diperoleh

s s f du u F L

t

) ( )

(

0

   

  



Contoh 1. Carilah

  

  



t

du u

u L

0

sin

Misal

t t t

F( ) sin

Maka

s t

F

L{ ( )}arctan1

Sehingga menurut sifat transformasi di atas

s s

s s f du u

u L

t

1 arctan 1 ) ( sin

0

 

  

  



2. Buktikan

s s

du u

u L

t

1 arctan 1 sin

0

   

  



Bukti:

Misal ( ) sin (0) 0

0

 

_

du makaF

u u t

F

t

t t t

F'( )sin _dan tF'(t)sint

Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian

1 1 } {sin )}

( '

{ ₂

  

s t L t tF L

1 1 )

( ₂

   

s s sf ds

d

ds s s

sf

_

   

1 1 )

 sf(s)arctansC

Menurut teorema harga awal, Lim_ssf(s)lim_t0F(t)F(0)0 Sehingga diperoleh

2 

 c _.

Jadi

s s

s

sf( )1arctan1

3. Buktikan





s s du

u u L

t 2

1 ln

cos 2 _

    

 





Bukti:

Misal du

u u t

F

t





 cos

)

( _maka

t t t

F'( ) cos _atau t{F'(t)} cost

} cos { )} ( '

{tF t L t

L  

 





1 )

( 1

) 0 ( ) (

1 _{2 2}

  

     

  



s s s sf ds

d atau s

s F

s sf ds

d



_

 ds

s s s

sf

1 )

( ₂

 ln



s 1



c

2

1 2

Menurut teorema harga akhir, lims0sf(s)limt0F(t)0, sehingga c = 0.

Jadi ln



1



0

2 1 )

(_{s  s}2 _{ }

sf atau

s s s

f

2 ) 1 ln( ) (

2 _



g. Perkalian dengan tn

Jika L{F(t)}f(s) _maka

{

)(

(

)1

f

s

)(

(

)1

f

(

)

s

)(

ds

d

t

F

t

L

n

n

n

n

n









Karena f s e stF t dt



 



0

) ( )

( _{maka menurut aturan Leibnitz untuk}

menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:

_

  

   



_

  0

) ( )

(

' e F t dt

ds d s f ds

df st

e F t dt s

st _{( )}

0

 



_ 

_

 

 

0

) (t dt F te st

_

 

 

0

)} ( {tF t dt e st

 L{tF(t)}

Jadi { ( )} f'(s)

ds df t

tF

L  

Contoh

1. Tentukan L{tsinat}

Jawab

2 2

} {sin

a s

a at

L



 , maka menurut sifat perkalian dari pangkat tn

diperoleh

 

n n _n

ds s f d t

tF

L{ ( )} 1 ( ), sehingga

   

 

 

( 1) _{2 2} }

sin {

a s

a ds

d at

t L

₍ 2 2₎2

2

a s

as  

2. Tentukan _L{_t2cos_at}

Menurut sifat di atas, 

  

 

 

 _{2 2 2}

2 2 2_{cos } ( 1)}

{

a s

s ds

d at

t L

_

  

 

 

 _{2 2 2}

2 2

)

(s a

s a ds

2 2 3 2 3

) (

6 2

a s

s a s

  

h. Sifat pembagian oleh t

Jika L{F(t)}f(s) _maka

_

       

0

) ( )

(

du u f t

t F L

Bukti: Misal

t t F t

G( ) ( ) maka F(t)tG(t)

Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk { ( )} { ( )} ( ) L{G(t)}

ds d s

f atau t

tG L t F

L   _atau

ds dg s

f( )

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh









ds dg s

f( ) _.

_



 

s

du u f s

g( ) ( )

_





s

du u f( )

Jadi

_

       

0

) ( )

(

du u f t

t F L

Soal-soal

1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan a. F(t)tcos2t

b. F(t) tsin3t

c. F(t)t(3sin2t 2cos5t)

d. F(t) t2sint



e. F(t)_(t2 _ 3t_2)sin3t f. F(t) t3cost

g. F t t 2t

sin )

( 

2) Jika















1

,0

1

0,

)(

2

t

t

t

tF

Carilah L{F ''(t)}

3) Diketahui

  

   

1 ,

1 0 , 2 ) (

t t

t t t F

a. carilah L{F(t)}

b. carilah L{F'(t)}

c. apakah L{F'(t)}sf(s) F(0) _{berlaku untuk kasus ini}

4) Tunjukkan bahwa

_



 _

0 3

50 3 sintdt te t

5) Tunjukkan bahwa

( ) 1 { 2 }

0

2 t

t

u _{L t t e}

s du e u u

L  

  

    

  

  

_

6) Perlihatkan bahwa

a. L e _t e _ss _ab

bt at

      



   

ln

b. 2 2

2 2 ln 2 1 cos

cos

a s

b s t

bt at

L

  

   



 



7) Tunjukkan bahwa: a.

s s

du u

u L

u

1 1 ln 1 1

1

0

 

    

   _ 

_



b. Jika L{F(t)}f(s) _{maka 2}

0 0

1

) ( )

(

1

s s f du u F dt L

t t

    

   

 

Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika L{F(t)}f(s)

maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis _F(_t) _L1{_f(_s)}

 . _L1 _{disebut operator transformasi Laplace invers.}

Contoh.

1. Karena _e t

s

L 2

2 1

      

 maka

 

2

1

2 1

  

s e

L t

2. Karena t e

s s

L cos 3

3

2 

   

 

 maka



cos 3



2 3

1

  

s s t

L

3. Karena

a at a

s

L ₂ 1 ₂ sinh

   

 

 maka 2 2

1 sinh 1

a s a

at L

     

  

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers

Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.

Contoh

t

e t

F 3

1( )   dan













_

1

1

0

)(

₃

2

t

untuk

e

t

untuk

t

F

_t

Mengakibatkan

3 1 )} ( { )} (

{ 1 ₂

1 1

   



s t F L t F L

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema Lerch

adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas.

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini.

Nomor f(s) 1{ ( )} ( )

t F x f

L 

1.

s

1 1

2.

2

1 s

t 3. 1 _{, 0,1,2,3,...}

1 

 n

sn _n!

tn

4.

a s

1 _eat

5.

2 2

1 a

s 

a at

sin

6.

2 2 _a

s s



at

cos

7.

2 2

1 a

s  a

at

sinh

8.

2 2 _a

s s



at cosh

9.

2 2 2

2 2

)

(s a

a s



 tcosat

6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers

Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah: 1) Sifat Linear

Misal c1dan c2adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan f1(s) dan

) (

2 s

f berturut-turut adalah transformasi Laplace dari F1(t)dan F2(t),

maka:

)} ( { )} ( { )}

( )

(

{ 2 2

1 1

1 1 2

2 1

1

1 _{c F t c F t L c F t L c F t}

L  

 



{ ( )} { 2 2( )}

1 1

1 1

t F c L t F c

L 

{ ( )} { 2( )}

Contoh



2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)

3) Sifat translasi atau pergeseran kedua Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)

Contoh



4) Sifat pengubahan skala Jika _L1{_f(_s)}_F(_t)

5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan Jika _L1{_f(_s)} _F(_t)

maka diperoleh

t

diperoleh 1 ` 3

1 )

1 ( 3

1 3

1

0 1

   

        

  

 

 



du _te

u u L

t 

7) Sifat perkalian dengan _sn

Jika _L1{_f(_s)}_F(_t) _{maka L}1_{{sf(s)}F'(t)}

Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika f(t) 0, sehingga

) ( ' )} 0 ( ) ( {

1 _{sf s F F t}

L  

) ( ) 0 ( ) ( ' )} ( {

1

t F t F s sf

L   

 

dengan (t) _{adalah fungsi delta Dirac}

atau fungsi impuls satuan. Contoh

arena t

s

L sin5

25 5

2 1

    

 

 

dan sin5t 0 maka

t t

dt d s

s

L (sin5) 5cos5

25 5

2 1

 

   

 

 

8) Sifat pembagian dengan s

Jika maka 

_

      

t

du u F s

s f L

0

1 ( ) _{( )}

Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t. Contoh

Karena t

s

L sin2

4 2

2 1

    

 

 

maka diperoleh



cos2 1



2 1 2

cos 2 1 2

sin )

4 (

2

0 0

2

1 _{ }

   

   

   

 





 _{udu u t}

s s L

t t

9) Sifat konvolusi

Jika _L1{_f(_s)} _F(_t) 



dan _L 1{_g(_s)} _G(_t) 



G F du u t G u F s

g s f L

t

* )

( ) ( )} ( ) ( {

0

1 _{  }





F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.

Contoh

Karena _e t

s

L1 4

4

1 

 _

     

 dan

t

e s

L1 2

2 1

      

 

maka diperoleh t u t t

t

u_{e du e e}

e s

s

L 2( ) 2 4

0 4 1

) 2 )( 4 (

1   

 _{  }

   

 







6.6 Metode Transformasi Laplace Invers

Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain:

1) Metode pecahan parsial

Setiap fungsi rasional _QP₍(s_s)₎ , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak

(polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya _QP(₍s_s)) dapat ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai bentuk

,.... 3 , 2 , 1 , )

( )

( 2 _{ } 



 as bs c danseterusnya r B

As atau

b as

A

r r

Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka

dapat ditentukan

   

  

) (

) (

1 s Q

s P L

Contoh 1. Tentukan



atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat A = -2 dan B = 5

2. Tentukan



Akhirnya diperoleh



2) Metode Deret

Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh

Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi suku untuk memperoleh

...

Contoh Tentukan

Sehingga

3) Metode persamaan diferensial 4) Turunan terhadap statu parameter

5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema 6) Penggunaan tabel

7) Rumus inversi kompleks

8) Rumus Penguraian Heaviside

Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda yaitu k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka

Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:

Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda 1,2,3, ... ,n

maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh

n

dengan menggunakan aturan L’Hospital diperoleh

( ) _'1_{( )}

s Q P k

 _...

Sehingga (1) dapat ditulis sebagai

n

dengan demikian



9) Fungsi Beta

Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai

B(m,n) =

_

 _ 

a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:

1. ( , ) (₍ ) ( ₎) 1. Tentukan,

b.

2. Buktikan bahwa:

c. 2 23

3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa a.

6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial

a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan.

Misal ditentukan persamaan diferensial

)

Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar



Y(x)



y(s)

L  .

Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut. 1) Y ''Y x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2 Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial diperoleh

L

{

Y

"



Y

}



L

   

Y

"



L

Y



L

{

x

}

Menurut sifat (5) transformasi Laplace



_F

(n)

(

_t

)



_

_s

n

_L

{

_F

(

_t

)}

_

_s

n1

_F

(

0

)

_

_s

n 2

_F

"

(

0

)

_

....

_

_sF

n2

(

0

)

_

_F

n1

(

0

)

L

, sehingga

) ( } { )} 0 ( ' ) 0 ( } {

{_s2_{L Y sY Y L Y L x}

 

 



2

2 ₂₎ 1

(

s y s

y

s    



) 2 ( 1 ) 1

( 2 ₂

   

 s

s y s

1 2 )

1 (

1

2 2

2 _

   



s s s

s y

=

1 2 1 1

1 1

2 2

2 2

     

s s

s s

s

=

1 3 1 1

2 2

2 _{s }  _{s }

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

   

 

     

1 3 1 1

2 2

2 1

s s

s s L

Y

     

 

     

 

     

   

1 3 1

1

2 1 2

1 2 1

s L s

s L s L

xcosx 3sinx

Untuk pemeriksaan jawab di atas x

x Y 1cos  3sin

x x

Y' sin  3cos

x x

Y '' cos 3sin



x x

 

x x x



x Y

Y ''  cos 3sin  cos  3sin  dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2

2) _{Y ''3Y'2Y 4e}2x _{dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5}

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh



Y

"

3

Y

'

2

Y



L

{

4

e

2

x

}

L







Menurut sifat (5) transformasi Laplace



_F

(n)

(

_t

)



_

_s

n

_f

(

_s

)

_

_s

n1

_F

(

0

)

_

_s

n2

_F

"

(

0

)

_

....

_

_sF

n 2

(

0

)

_

_F

n1

(

0

)

L

, sehingga



Y

"

3

Y

'

2

Y



L

{

4

e

2

x

}

L









{ } (0)



2 { } (4 )

3 )} 0 ( ' ) 0 ( } {

{_s2_{L Y  sY  Y  sL Y  Y  L Y L e}2x



2 4 2

} 3 { 3 } 5 3 { 2

    

  

s y sy

s y s

14 3 2 4 )

2 3

( 2 _{ }

   

 s

s y s s

2 3

14 3 ) 2 )( 2 3 (

4

2

2 _{ }

      

s s

s s

2 2

) 2 )( 1 (

24 20 3

 

   

s s

s s

_{( 2)}2

4 2

4 1 7

      

s s

s

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

   

 

       

2 1

) 2 (

4 2

4 1 7

s s

s L

Y

   

 

 

     

 

     

 

   

2 1

1 1

) 2 (

4 2

4 1

7

s L s

L s

L

_7ex _4e2x _4xe2x

b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbentuk_xn_Y(n)(_x) _{sehingga transformasi Laplace diperoleh}









   

 



 ( 1) ( )

)

( ( )

)

( _{LY x}

ds d x

Y x

L n

m m m n

m

Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace

Jika L{F(t)}f(s) _maka { ( )}

 

1 _f(_s)

 

1 _f( )(_s) ds

d t

F t

L n

n n n

n _{  }

Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut Tentukan selesaian persamaan diferensial

1) xY ''2Y'xY 0 dengan Y(0) = 1 dan Y(



)= 0 Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:



xY

"

2

Y

'

xY



L

 

0

L









"







2

'











0



(0) '(0)



2( (0)) ( 1) ( ) 0 )

1

(_ 1 2 _{     } 1 _

 y

ds d Y

sy Y

sY y s ds

d



1



2( 1) ( 1) ( ) 0

1 2 _{     } 1 _



 y

ds d sy

s y s ds

d

0 ) 1 ( ) 1 ( 2 0 1

2 2 _{    }

   

 

  

 

ds dy sy

ds dy s sy

0 ' 2 2 1 '

2 _ 2 _{    }



 sy s y sy y

1 ' ) 1 ( 2

  

 s y

) 1 (

1

' ₂

   

s y

Diperoleh ds s C

s

y  

 



_

arctan

) 1 (

1

2

Karena y 0 _bila

s





_{kita dapatkan} 2 



c _{, sehingga}

s s

y arctan arctan1

2  



Akhirnya didapat

t t s

L

Y arctan1 sin

   

 

 _{, hal ini memenuhi Y(})₌₀

2) Y '' xY'Y 1, dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2 Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:



Y

"

xY

'

Y



L

 

1

L









Y

"



L



xY

'



L

 

Y

L

 

1

L













s y Y

sy ds

d Y

sY y

s2 _ (0)_ '(0) _ (_1)1 { _ (0)}_{ }1





2 _ .1_ 2



_ ( _ 1)_{ }0

 sy y

ds d s

y s





s y sy y s

y

s2 2 ( )' ' 1

s s

y s

sy'_( 2 _1) _{ }2_1



Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi:

2

1 2 1 1 '

s s y s s

y    

     _  

Faktor integral persamaan di atas adal 2 2

2 1 2 ln 2 2 1 1

s s

s ds s

e s e

e    

   



Maka 2 2

2 2

1 2

2 2 _{2 1}

1

s s

e s s s y

e s ds

d

   

  _{ } 

    

  

Sehingga _{s e ds}

s s e

s y

s y

s



 

 2 2

2

2

) 1 2 1 ( 1

2 2 2

2

2

1 s

e s

c s

s 



Akhirnya diperoleh y 12t

Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut: 1) Y'xY'Y 0dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 1

2) xY''(1 2x)Y'2Y 0 _{dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2}

3) xY''(x 1)Y'Y 0 _{dengan Y(0) = 5 dan Y(}



_{) = 0}

4) Y ''Y'4xY 0dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 0 5) Y ''4Y 0dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7

6) _{Y ''3Y 2Y 4x12e}x _{dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1}

6.8 Persamaan Diferensial Simultan