Transformasi Laplace

(1)

BAB VII

TRANSFORMASI LAPLACE 1. Transformasi Laplace

Definisi

Misalkan F(t) suatu fungsi dari t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} dan didefinisikan oleh:

L {F(t)} =



  ` 0 ) ( dtt F e st = f(s)

Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingg (



) maka L{F(t)} =



  ` 0 ) ( dtt F e st = __



 p st p e F t dt Lim 0 ) (

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada.

Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya F(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangktan sehingga L{F(t)} = f(s), L{G(t)} = g(s), L{Y(t)} = y(s) dan seterusya.

Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0t

N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > 

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.

(2)

Nomor F(t) L{F(t)} = f(s) 1. 1 1_, s s > 0 2. t 1 _, 2 s s > 0 3. t2 3 2 s , s > 0 4. tn n = 0,1,2,3,…. 1 !  n s n , s > 0 5. eat , 1 a s s > 0 6. sin at , 2 2 _a s a  s > 0 7. cos at _, 2 2 _a s s  s > 0 8. sinh at _, 2 2 _a s a  s > a 9. cosh at _, 2 2 _a s s  s > a Contoh

Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi berikut: 1. F(t) = 1 L {F(t)} = L{1} =



  0 ) 1 ( dt e st = __



 p st p e dt Lim 0 = p st p _se 0 1 lim         = ___  __  0_ 1 1 lim se se p

(3)

= s 1 2. F(t) = t L{F(t)} =



  0 st e _{t dt} = __



 p st p e tdt 0 lim = lim . 1 ( ) 0 st p p t sd e   



 = te e dt s p st st p



      0 lim 1 = p st st p te se s ₀ 1 lim 1     _      =  _  _ s s 1 0 1 o = 2 1 s 3. F(t) = eat L{F(t)} = e steatdt



  0 = Lim e dt p t a s p



    0 ) ( =



s at



p p e a s 0 ) ( lim 1      = _      _   __ ₍ _ ₎ (  )0 1 1 lim ) ( 1 a s a s p _e e a s = a s 1

(4)

4. F(t) = sin at L{F(t)} = e st dt



  0 at sin = __



  p st p e ad at Lim 0 ) (cos 1 = p st st p _a ate _a atd e Lim 0 0 ) ( cos 1 . cos 1       

_

    = p p st st p _a ate dt s e at a Lim 0 . cos . cos 1            

_

    = p st st p _a e _ad at s e at a Lim 0 0 ) (sin 1 . . cos 1       

_

    = p p st st st p a e at atd e s e at a Lim 0 0 2( sin sin . ( ) . cos 1             

_

   = p p st st st p a e at at se s e at a Lim 0 0 2( sin sin . ) . cos 1              

_

   = p p st st st p a at se s at e a s e at a Lim 0 0 2 2 2 sin sin . ) . cos 1              

_

   = p st st p a ate s e at a s a a Lim 0 2 2 2 2 . sin . cos 1       _ _      = _a2 _s2 a  5. F(t) = cos at L{F(t)} = e st dt



  0 at cos = __



 p st p e ad at Lim 0 ) (sin 1

(5)

= p st st p a ate a atd e Lim 0 0 ) ( cos 1 . cos 1     

_

     = p p st st p a ate dt s e at a Lim 0 . cos . cos 1         

_

     = p st st p _a e _ad at s e at a Lim 0 0 ) (sin 1 . . cos 1     

_

     = p p st st st p a e at atd e s e at a Lim 0 0 2( sin sin . ( ) . cos 1           



    = p p st st st p a e at at se s e at a Lim 0 0 2( sin sin . ) . cos 1              

_

   = p p st st st p a at se s at e a s e at a Lim 0 0 2 2 2 sin sin . ) . cos 1            

_

    = p st st p a ate s e at a s a a Lim 0 2 2 2 2 . sin . cos 1       _      = ₂ ₂ s a a 

2. Syarat cukup Transformasi Laplace ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0 N

t

 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace-ny f(s) ada untuk semua s >  .

Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

(6)

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, diantaranya adalah 1) Sifat linear

Jika c1 dan c2adalah sebarang konstanta, sedangkan F1(t) dan F2(t) adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace-nya masing-masing f1(s)

dan f₂(s), maka: L{c₁F₁(t)+cF₂(t)} = c₁ f₁(s) + c₂ f (s) Bukti: L{c1F1(t)+cF2(t)} =



  _ 0 2 2 1 1 ( ) ( )} {c F t c F t dt e st =



    _ 0 2 1 0 1 1F(t)dt e c F (t)dt c e st st =



   _ 0 2 0 2 1 1 e F(t)dt c e F (t)dt c st p st = c₁f₁(s)c₂f₂(s) Contoh 1. L{5t-3} = L{5t} – L{3} = 5 L{t} – 3 L{1} = 5 s s 1 3 1 2  = s s 3 5 2 

2. L{6 sin 2t – 5 cos 2t} = L{6 sin 2t} – L{5 cos 2t} = 6 L{sin 2t} – 5 L{cos 2t} = 6 4 2 5 4 2 2 2_  _s _ s

(7)

= 4 10 4 12 2 2_ _s _ s

Dengan menggunakan sifat linear di atas tentukan Transformasi dari fungís-fungsi berikut ini. a. F(t) = 2t2 e-t b. F(t) = 6 sin 2t – cos 2t c. F(t) = (sin t – cos t)2 d. F(t) = cosh 3t – ½ sinh t e. F(t) = (2t + 2)3 f. F(t) = (sin t – 3)2

2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika L{F(t)} = f(s) maka L{eat

F

(t

)}

= f(s-a) Bukti Karena L{F(t)} = e stF t dt



  0 ) ( _{= f(s), maka} L{eat

F

(t

)}

=



  0 ) ( dtt F e e st at =



  p t a s _F _t _dt e 0 ) ( ₍ ₎ = f(s-a) Contoh:

1. Tentukan L{F(t)} = e-3tF(t) jika L{F(t)} = f(s) 2. Tentukan L {F(t)} = e2tF(t) jika L{F(t)} = f(s/a) 3. Sifat translasi atau pergeseran kedua

(8)

Jika L{F(t)} = f(s) dan G(t) =













a

t

a

t

a

t

F

,0

),

(

maka L{G(t)} = eas f(s) Bukti L{G(t)} = e stG t dt



  0 ) ( =



   _ a a st st_G _t _dt _e _G _t _dt e 0 ) ( ) ( =



   _ _ a a st st _dt _e _F _t _a _dt e 0 ) ( ) 0 ( =



  _ a st_F _t _a _dt e ( )

Misal u = t-a mak t = u+a dan du = dt, sehingga



  _ a st_F _t _a _dt e ( ) ₌



   0 ) ( _F₍_u₎_du e s u a = e



   0 ) (u du F e su as = eas f(s) 4. Sifat pengubahan skala

Jika L{F(t)} = f(s), maka L{F(at)} = 

     a s f a 1 Karena L{F(t)} = e stF t dt



  0 ) ( _maka L{F(at)} =



  0 ) (at dt F e st

Misal u = at, du = a dt atau dt = a du

(9)

Sehinga L{F(at)} =



  0 ) (at dt F e st =



 _       0 ) ( a du u F e a s u =



      du u F e a a s u ) ( 1 =       a s f a 1

5. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F(t)} = f(s) maka L{F’(t)} = sf(s) – F(0) Karena Karena L{F(t)} = e stF t dt



  0 ) ( _{= f(s), maka} L{F’(t)} = e stF t dt



  0 ) ( ' =



  0 ) (t dF e st = p st st e d t F t F e 0 0 ) ( ) ( ) (     

_

   = -F(0) + s



  0 st e _F(t)dt = sf(s) – F(0) Jika L{F’(t)} = sf(s) – F(0) maka L{F’’(t)} = s2 _f(_s)__sF(0)__F'(_s) Bukti

(10)

L{F”(t)} =



  0

)

(

"

t

dt

F

e

st =



  0 )) ( ' (F t d e st = _  

_

  _ 0 ) ( ) ( ' ) ( ' st st_F _t _F _t _d _e e _e = _  

_

  _ 0 ) ( ' ) ( ' t s F t e dt F e st st =



estF'(t)_s[sf (s)_F(0)]



= s2 _f(_s)__sF(0)__F'(0)

Dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{F(t)} = f(s) maka

L{F(n)

(

t

)}

= sn _f(_s)__sn1_F(0)__sn2_F'(0)_...__sF(n2)(0)__F(n1)(0)

6. Tansformasi Laplace dari Integral-integral Jika L{F(t)} = f(s) maka L s s f du u F( ) ( ) 1 0       



7. Perkalian dengan tn Jika L{F(t)} = f(s) maka L{tn

F

(t

)}

= (-1) f(s) ds d n n n _{= (-1)f}(n)₍_s₎ Bukti. Karena f(s) = e stF t dt



  0 )

( _{maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan}

(11)

ds df = f’(s) = ds d dt t F e st



  0 ) ( = e F t dt s st ₍ ₎ 0  



_ =



   0 ) ( dtt F te st = -



  0 )} ( {tF t dt e st = -L{tF(t)} Jadi L{tF(t)} = - f' s( ) ds df  

8. Sifat pembagian oleh t

Jika L{F(t)} = f(s) maka L



        0 ) ( ) ( du u f t t F Bukti: Misal G(t) = t t F )( maka F(t) = t G(t).

Dengan menggunakan definis transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka

diperoleh bentuk L{F(t)} = L{t G(t)} atau f(s) = - L{G(t)}

ds d atau f(s) = -ds dg . Selanjutnya dengan mengintegralkan diperleh



f(s) =



-ds dg . g(s) = -



 s du u f( ) =



 s du u f( )

(12)

Jadi L        t t F )(



 s du u f( )

9. Transformasi fungsi periodic 10. Sifat f(s) bila s





11. Teorema harga awal 12. Teorema harga akhir

13. Perluasan dari teorema harga awal 14. Perluasan dari teorema harga akhir

3. Transformasi Laplace Invers 3.1 Definisi

3.2 Ketunggalan Transformasi Laplace Invers 3.3 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers 4. Penggunaan Transformasi Laplace

4.1 Persamaan Differensial (PD)

4.2 PD Biasa dengan Koefisien Konstan 4.3 PD Biasa dengan Koefisien Variabel 4.4 PD Simultan