SISTEM KENDALI OTOMATIS Transformasi Laplace

SISTEM KENDALI OTOMATIS

Transformasi Laplace

Open

Loop/Closed

Loop

Systems

Control signal Actuating signal Input/ Desired output Plant output Error

signal Control _signal Input/

Desired output

+

Actuating

signal Plant_output

-Sensor Plant Actuator Controller Plant Actuator Controller

Istilah-istilah dalam SKO

• Plant : Suatu peralatan atau objek fisik

yang diatur/dikendalikan

• Proses : Operasi yang dikendalikan

• Sistem : Gabungan komponen yang

bekerjasama untuk mencapai satu tujuan

• Gangguan : Suatu sinyal

(internal/eksternal) yang mempunyai

pengaruh merugikan output sistem

Istilah-istilah dalam SKO

• Input (Desired Output) : Output yang

diinginkan

• Error : Selisih antara input dan output

yang terjadi pada saat itu

Model Matematika

• Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem.

Mengapa harus dengan model matematika ?

• Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.

Misalnya:

• Bagaimana hubungan antara input dan output.

• Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut.

Transformasi Laplace

• Mengubah fungsi dari sistem fisis (domain waktu) ke fungsi variabel kompleks (domain s)

• Menyederhanakan persamaan matematis yang mengandung

operasi turunan/differensial atau integral menjadi persamaan yang berisi perkalian atau pembagian biasa

• Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks

• Metode ini memungkinkan untuk meramal kinerja sistem

menggunakan grafis tanpa harus menyelesaikan persamaan differensial

Penyelesaian Menggunakan

Transformasi Laplace

Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi Laplace adalah:

• Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan ke kawasan variabel kompleks(s) dengan transformasi Laplace.

• Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabel transformasi laplace.

• Persamaan yang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah

persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace. • Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke

dalam kawasan waktu.

• Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan waktu.

Time Domain Circuit Time Domain Circuit s-Domain Circuit L 1

L



x(t)

y(t)

X(s)

Y(s)

s j Complex Frequency 2 Types of s-Domain Circuits

With and Without Initial Conditions

     Laplace Transform Inverse Laplace Transform

Definisi Transformasi Laplace

dengan:

f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0

s = variabel kompleks



 





0

)

(

)

(

)]

(

[

f

t

F

s

f

t

e

dt

L

st

Latihan

• Hitung Transformasi Laplace Unit Step

u(t)

t 1

• Hitung Transformasi Laplace Unit Ramp

0 untuk ) (t  At t  f f(t) t

• Hitung Transformasi Laplace dari

• Hitung Transformasi Laplace dari fungsi

sinus

f(t) F(s)=L[f(t)] n t at e ) t (  ₁ ) t ( u t ) at sin( ) at cos( ) at ( sh ) at ( ch ) 1 n ( s / ! n  2 s / 1 ) a s /( 1  ) a s /( a 2  2 ) a s /( s 2  2 ) a s /( a 2  2 ) a s /( s 2  2 s / 1 ) at sin( ebt a /[(s  b)2  a2] ) b s )( a s /( 1   ] a ) b s /[( ) b s (   2  2 ) at cos( ebt b a  ) a b /( ) e e ( bt  at  b a  ) b s )( a s /( s   ) a b /( ) ae be ( bt  at 

SIFAT LINIERITAS

)] t ( f [ L ) s ( F₁  ₁ )] t ( f [ L ) s ( F₂  ₂ ts tan Cons c , c_{1 2} 

)

s

(

F

.

c

)

s

(

F

.

c

)]

t

(

f

[

L

.

c

)]

t

(

f

[

L

.

c

)]

t

(

f

.

c

)

t

(

f

.

c

[

L

2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1











SIFAT TRANSLASI

)

a

s

(

F

)]

t

(

f

e

[

L

at





a) Jika F(s)=L[f(t)] ) a s ( F dt e ) t ( f dt e ] ) t ( f e [ )] t ( f e [ L (s a)t 0 st 0 at at         





Contoh 4 s s )] t 2 ( Cos [ L ₂   5 s 2 s 1 s 4 ) 1 s ( 1 s )] t 2 ( Cos e [ L t _{2 2}         

21

• Translasi [time]

b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a = 0 for t<a

)

s

(

F

e

)]

t

(

g

[

L



as du e ) u ( f e du e ) u ( f dt e ] ) a t ( f )] t ( g [ L su 0 as ) a u ( s 0 st 0        







    a t f(t) _g(t) Contoh 3 _{4 4} s 6 s ! 3 ] t [ L   2 t , 0 ) t ( g 2 t , ) 2 t ( ) t ( g 3      4 s 2 s e 6 )] t ( g [ L  

22

•Perubahan skala waktu

₎

a

s

(

F

a

1

)]

t

.

a

(

f

[

L



) a s ( F a 1 a du e ) u ( f dt e ] ) t . a ( f )] t . a ( f [ L a su 0 st 0       





Contoh

1

s

1

)]

t

(

Sin

[

L

₂





9

s

3

1

3

s

1

3

1

)]

t

3

(

Sin

[

L

2 2

















TEOREMA DIFERENSIASI

Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai



 















0

)

(

)

(

dt

e

dt

t

df

dt

t

df

_st

L

Integrasi bagian demi bagian memberikan



_



_

_

 _

















0 0

(

)

)

(

)

(

dt

e

t

f

s

e

t

f

dt

t

df

_{st st}

L

 

f(t) s ) 0 ( f dt ) t ( df L L         

Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah

24

Turunan Pertama [Derivative first order]

)

0

(

f

)

s

(

F

.

s

)]

t

(

f

[

L

]

dt

df

[

L

)]

t

(

'

f

[

L

 













_



     _ 

_

_

_



0 0 0

dt

)

t

(

f

se

)

t

(

f

e

dt

)

t

(

f

e

)]

t

(

'

f

[

L

st st st

)

0

(

f

)

s

(

F

.

s

)]

t

(

'

f

[

L





 t ) 0 ( f  f(t)

)

(

f

)

s

(

sF







0

25

Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order)

)

0

(

f

)

s

(

F

.

s

)]

t

(

f

[

L

]

dt

df

[

L

)]

t

(

'

f

[

L

 









) 0 ( ' f ) 0 ( f . s ) s ( F . s ] ) t ( f [ L )] t ( " f [ L   2       ) 1 n ( ) 1 ( 2 n 1 n n ) n ( ) 0 ( f ... ) 0 ( f s ) 0 ( f s ) s ( F s )] t ( f [ L    _{ }   ) 1 i ( n 1 i i n n ) n ( ) 0 ( f . s ) s ( F s ] ) t ( f [ L   



 

•Jika discontinuity pada a

)]

a

(

f

)

a

(

f

[

e

)

0

(

f

)

s

(

F

.

s

)]

t

(

'

f

[

L







as 





)

a

(

f

)

a

(

f







26

Contoh Turunan

2 2

s

)]

t

(

Sin

[

L











2 2

s

s

)]

t

(

Cos

[

L









dt

)]

t

(

Sin

[

d

1

)

t

(

Cos





 

2 2 2 2

s

s

)

s

(

s

)

0

(

Sin

)]

t

(

Sin

[

L

s

)]

t

(

Cos

[

L































)

t

(

Cos

dt

)]

t

[sin(

d







_

)

t

(

Sin

dt

)]

t

(

Cos

[

d







_

_

dt

)]

t

(

Cos

[

d

1

)

t

(

Sin











)

s

(

)

0

(

Cos

)]

t

(

Cos

[

L

s

)]

t

(

Sin

[

L

_{2 2}

























INTEGRASI





t 0

s

)

s

(

F

]

du

)

u

(

f

[

L

) s ( F ) 0 ( g )] t ( g [ sL )] t ( g [ L      ) t ( f ) t ( g  



 t 0 ] du ) u ( f ) t ( g F(s)  L[f(t)]

Perkalian dengan faktor t

dt ) t ( f e [ ds d ) s ( F ds ) s ( dF 0 st '



    _{Leibnitz’s rule} )] t ( tf [ L dt ] ) t ( tf [ e ] dt ) t ( f e [ s ds ) s ( dF 0 st st 0       





    ) s ( F )] t ( tf [ L   ' Rumus umum n n n n ds ) s ( F d ) 1 ( )] t ( f t [ L  

Pembagian dengan faktor t

t ) t ( f ) t ( g  f(t)  tg(t) ) s ( F ds ) s ( dG ds )] t ( g [ dL )] t ( f [ L     





     s s du ) u ( F du ) u ( F ) s ( G



  s du ) u ( F ] t ) t ( f [ L    s 0 ) s ( LimG

FUNGSI PERIODIK

) t ( f ) kT t ( f    t, k sT T 0 st e 1 dt e ) t ( f ) s ( F )] t ( f [ L _    



... dt ) t ( f e dt ) t ( f e dt ) t ( f e ) s ( F )] t ( f [ L T 3 T 2 st T 2 T st T 0 st







 _  _    ... du ) T 2 u ( f e du ) T u ( f e dt ) t ( f e ) s ( F )] t ( f [ L T 0 ) T 2 u ( s T 0 ) T u ( s T 0 st







           ... du ) u ( f e e du ) u ( f e e dt ) t ( f e ) s ( F )] t ( f [ L T 0 su sT 2 T 0 su sT T 0 st







 _   _     ] dt ) t ( f e [ e ) s ( F )] t ( f [ L T 0 st 0 n nsT





      sT 0 n nsT e 1 1 e _     



Fungsi periodik Sinus & Cosinus

)

t

(

jSin

)

t

(

Cos

e

jt









dt

e

dt

e

e

)]

t

(

Sin

[

jL

)]

t

(

Cos

[

L

]

e

[

L

0 t ) s j ( 0 st t j t j





     

_

_

_

_

_

_

sT T 0 t ) s j ( t j

e

1

dt

e

]

e

[

L

_   











[

e

1

]

s

j

1

]

1

e

e

[

s

j

1

e

s

j

1

dt

e

(j s)t T₀ j T sT sT T 0 t ) s j (























     



2 2 t j

s

j

s

)

j

s

)(

j

s

(

j

s

j

s

1

]

e

[

L

































Diketahui: F(s)=L[f(t)]  Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?

)]

s

(

F

[

L

)

t

(

f



1 a) Metoda Tabel

f

(

t

)

e

at

a

s

1

)

s

(

F











           n i t p i n n a e i p s a ... p s a p s a ) s ( A ) s ( B ) s ( F 1 2 2 1 1



     _{  }  n i t p i t p n t p t p _{a e ...a e n a e i} e a ) t ( f 1 2 1 1 2

b) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda

Harga a_k (residu pada pole s=-p_k) dapat diperoleh dengan:

k k s p k n n k k k k p s k k B_A(₍s_s)₎ (s p ) _s a _p (s p ) ... _s a _p (s p ) ... _s a _p (s p ) a                             1 1

Semua suku uraian menjadi nol, kecuali a_k. Jadi residu ak diperoleh:

k p s k k B_A(₍s_s)₎ (s p ) a          

Contoh Soal

Carilah transformasi Laplace balik dari

) s )( s ( s ) s ( F 2 1 3     Jawab:

Transformasi Laplace balik dari:

pt -e a p s a L _        1 ) s ( a ) s ( a ) s )( s ( s ) s ( F 2 1 2 1 3 _{1 2}         2 1 2 1 3 1 1               s ) s ( ) s )( s ( s a 1 2 2 1 3 2 2                s ) s ( ) s )( s ( s a

 

_                   ) s ( L ) s ( L ) s ( F L 2 1 1 2 ₁ 1 1

 

F(s) e e untuk t 0 L1  t  2t  2

Contoh Soal

)

3

s

)(

2

s

)(

1

s

(

4

s

2

)

s

(

F

2











)

3

s

(

2

7

)

2

s

(

4

3

)

1

s

(

6

1

)

s

(

F

















2

7

4

3

6

3 2t t t

_e

_e

e

)

t

(

f











1. Definisi input dari sistem kendali otomatis

yang paling tepat adalah

a.

Masukan dari sistem yang mempengaruhi

proses

b.

Output yang diinginkan

c.

Perangkat yang digunakan untuk

memasukkan data kedalam sistem

1. Definisi input dari sistem kendali otomatis

yang paling tepat adalah

a.

Masukan dari sistem yang mempengaruhi

proses

b.

Output yang diinginkan

c.

Perangkat yang digunakan untuk

memasukkan data kedalam sistem

B C

A D

2. Dari gambar diatas, sinyal kontrol ditunjukkan oleh bagian: a. A

b. B c. C d. D

B C

A D

2. Dari gambar diatas, sinyal kontrol ditunjukkan oleh bagian: a. A

b. B

c. C

3. Manakah berikut ini yang merupakan kegunaan dari transformasi laplace (pilih lebih dari satu):

a. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke

variabel kompleks (S)

b. Menyederhanakan persamaan matematis yang

berisi turunan/diferensial menjadi persamaan yang berisi perkalian dan pembagian biasa

c. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke

domain frekuensi

d. Mengubah fungsi umum (sinusoida, eksponensial,

3. Manakah berikut ini yang merupakan kegunaan dari transformasi laplace (pilih lebih dari satu):

a. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke variabel kompleks (S)

b. Menyederhanakan persamaan matematis yang berisi turunan/diferensial menjadi persamaan yang berisi perkalian dan pembagian biasa

c. Mengubah persamaan dalam domain waktu ke

domain frekuensi

d. Mengubah fungsi umum (sinusoida,

4. Fungsi yang mempunyai keanggotaan

dengan nilai 0 untuk t<0 dan nilai 1 untuk

t≥1, adalah

a.

Unit step

b.

Unit ramp

c.

Eksponensial

4. Fungsi yang mempunyai keanggotaan

dengan nilai 0 untuk t<0 dan nilai 1 untuk

t≥1, adalah

a.

Unit step

b.

Unit ramp

c.

Eksponensial

5. Transformasi laplace dari unit step

adalah

a.

S

b.

S

2

c.

1/s

d.

1/s

2

5. Transformasi laplace dari unit step

adalah

a.

S

b.

S

2

c.

1/s

d.

1/s

2

Tugas

1. Tentukan transformasi laplace dari

a.

𝑓 𝑡 = 𝑡 − 3𝑒−2𝑡

b.

𝑓 𝑡 = 2𝑡2

c.

𝑓 𝑡 = 𝑒−2𝑡 sin(3𝑡)

d.

𝑓 𝑡 = 2𝑒−2𝑡

2. Tentukan invers transformasi laplace dari

a. 𝐺 𝑠 = 𝑠3_{(𝑠+1)(𝑠+2)}+5𝑠2+9𝑠+7

b. 𝐹 𝑠 = _𝑠(𝑠2𝑠+1_+𝑠+1)

c. 𝐹 𝑠 = 𝑠2+2𝑠+3