PERTEMUAN-4 dan 5
PD. yang dapat dibuat Eksak
[PD. Menggunakan faktor Integrasi]
0
dy
)
,
(
N
dx
)
,
(
x
y
+
x
y
=
M
(1) Jika:x
y
x
N
y
y
x
M
∂
∂
≠
∂
∂
(
,
)
(
,
)
→ Tidak Eksakc
y
x
F
(
,
)
=
0
y
F
dx
x
F
0
)
,
(
⋅
=
∂
∂
+
∂
∂
→
=
dy
y
x
dF
(2)Persamaan (1) tidak eksak dan persamaan (2) adalah eksak, dan keduanya adalah identik yang mempunyai solusi yang sama. Hal ini berarti koefisien dari dx dan dy dengan mempunyai perbandingan yang sama.
Integrasi
Faktor
)
,
(
)
,
(
)
,
(
=
→
∂
∂
=
∂
∂
y
x
y
x
N
y
F
y
x
M
x
F
μ
)
,
(
)
,
(
y
F
)
,
(
)
,
(
x
y
M
x
y
x
y
N
x
y
x
F
⋅
=
∂
∂
⋅
=
∂
∂
μ
μ
Jadi PD. Yang tak eksak, kalau dikalikan dengan faktor integrasinya
(
μ
(
x
,
y
))
menjadi eksak. Yang menjadi masalah: menentukanμ
(
x
,
y
)
tidak mudah, jika tidak diketahui fungsi dari .μContoh Soal dengan fungsi dari μ diketahui:
1. (x+y)dx +dy=0
Diketahui: faktor integrasi fungsi dari x
Jawab: Faktor integrasi =
μ
(x
)
0
)
,
(
1
)
,
(
1
=
∂
∂
=
∂
∂
⎭
⎬
⎫
=
+
=
x
y
x
N
y
y
x
M
N
y
x
M
Cara I:eksask
PD.
0
)
)(
(
dx
)
)(
(
0
)
,
(
)
(
)
,
(
)
(
0
)
,
(
)
,
(
→
=
+
+
=
+
=
+
dy
x
y
x
x
dy
y
x
N
x
dx
y
x
M
x
dy
y
x
N
dx
y
x
M
μ
μ
μ
μ
Menentukanμ
(x
)
:Misal:
P
(
x
,
y
)
=
μ
(
x
)(
x
+
y
)
)
(
)
,
(
x
y
x
Q
=
μ
Karena PD. Eksak maka:
x
y
x
Q
y
y
x
P
∂
∂
=
∂
∂
(
,
)
(
,
)
(
)
x ) ( e ) ( ) ( ln ) ( )) ( ( 0 ) ( ) ( dx ) ( ) ( dipisahkan dapat iabel dengan var PD 0 ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( c c e x c x x x x dx x x x x x x x x x y y x x x x = = → + = ∂ = = ∂ − ⇔ = ∂ ∂ = → = ∂ ∂ = ∂ = ∂ + ⋅ ∂∫
∫
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
di sini c adalah sembarang konstanta, kita ambil c = 1
→ x
e
x
)
=
(
μ
Kembali ke persamaan: 0 dy e dx ) y x ( ex⋅ + + x =Diperiksa apakah benar-benar eksak:
(terbukti)
,
)
,
(
)
(
)
,
(
x
N
y
M
maka
e
x
N
e
y
M
e
y
x
N
y
x
e
y
x
M
x x x x∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
+
=
)
(
)
(
y)
F(x,
)
(
)
,
(
y)
F(x,
x
c
y
e
x
c
dy
e
x
c
dy
y
x
N
x x+
=
+
=
+
=
∫
∫
=
∂
∂
x
y
x
F
(
,
)
) , ( ) , (x y M x y c y ex + ′ =y
e
x
e
y
x
e
x
c
y
e
x+
'(
)
=
x(
+
)
=
x+
xx
e
x
c
'(
)
=
x∫
=
∫
=
c
x
dx
e
x
dx
x
c
(
)
'(
)
x)
(
)
(
x
x
e
xdx
x
d
e
xc
=
∫
=
∫
D
e
xe
x
d
e
xe
x
c
(
)
=
x−
∫
x(
)
=
x−
x+
PD]
Umum
[Solusi
0
e
0
)
(
0
)
,
(
x−
+
=
→
+
=
+
=
D
e
x
y
e
x
c
y
e
y
x
F
x x xCara II: [mencari langsung rumus]
0 dy dx ) y x ( + + =
)
(
x
fungsi
μ
μ
x
μ
→
=
0
;
=
∂
∂
=
∂
∂
y
dx
d
x
μ
μ
μ
sama
tidak
0
1
1
)
,
(
)
,
(
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
=
∂
∂
=
∂
∂
→
→
=
+
=
x
N
y
M
y
x
N
y
x
y
x
M
eksak 0 dy N dx M +μ = → μ Berlaku: y M x N x N y M y M x N x N y M x N x N y M y M ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
x N) ( y M) ( mencariμ
(x
)
(
)
I)
cara
seperti
(lanjutkan
ln
ln
ln
ln
0
1
0
1
K
K
x xe
e
x
x
d
dx
dx
d
y
u
M
dx
d
N
=
=
=
=
=
−
⋅
=
∂
∂
−
=
−
∫
∫
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
2. (x y2+y)dx −x dy=0Faktor integrasi fungsi dari y
Jawab: 1 x N x N 1 xy 2 y M y xy M 2 − = ∂ ∂ → − = + = ∂ ∂ → + =
eksak
PD.
0
dy
N
dx
M
+
⋅
=
→
⋅
μ
μ
Misal:x
Q
N
Q
M
P
∂
∂
=
∂
∂
⋅
=
⋅
=
y
P
μ
μ
x N x N y M y M x N y M ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ⋅ ∂ = ∂ ⋅ ∂μ
μ
μ
μ
μ
μ
) ( ) ((
)
y
)
(xy
1
1
2xy
y
M
2d
d
y
dy
d
M
x
N
μ
μ
μ
μ
+
−
=
+
+
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
0 1) (xy y dy 1) (xy 2 0 ) ( dy ) 2 2 ( 2 = + + + = + + +μ
μ
μ
μ
d d y xy xydy 2 0 dy 2 y d d y − = = +
μ
μ
μ
μ
y
-2ln
ln
2
=
−
=
∫
∫
μ
μ
μ
y
dy
d
2 2 --21
y
y
ln
ln
y
=
=
=
μ
μ
Persamaannya menjadi: eksak PD. 0 dy y x dx y 1 x ⎟⎟ − 2 = → ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + Bukti:x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
2 2 y 1 y 1 =− − Sehingga:∫
+
=
(
,
)
(
)
)
,
(
x
y
P
x
y
dx
c
y
F
c(y)
2
1
c(y)
dx
1
)
,
(
2+
+
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
∫
y
x
x
y
x
y
x
F
)
,
(
)
(
)
1
(
0
x
y
2c
'y
Q
x
y
y
F
=
+
−
+
=
∂
∂
−0
)
(
)
(
' 2 ' 2=
−
=
+
−
y
c
y
x
y
c
y
x
D
dy
dy
y
c
y
c
(
)
=
∫
'(
)
=
∫
0
=
0
)
.
(
x
y
=
F
c(y)
2
1
)
.
(
=
2+
+
y
x
x
y
x
F
PD]
Umum
[Solusi
0
2
1
2+
+
=
→
D
y
x
x
3. y(xy+1)dx +x (xy−1)dy=0Tentukan solusi umum PD jika faktor integrasi fungsi dari x.y!
Jawab: 1 xy 2 x N ) 1 xy ( x N 1 xy 2 y M ) 1 xy ( y M − = ∂ ∂ → − = + = ∂ ∂ → + =
2
1
2
1
2
)
1
2
(
)
1
2
(
+
−
−
=
+
−
+
=
=
∂
∂
−
∂
∂
xy
xy
xy
xy
x
N
y
M
Misalkan :z
xy
y
=
x
∂
∂
=
∂
∂
→
=
y
z
dan
x
z
z
u
z
u
y
z
z
u
y
u
z
u
z
u
x
z
z
u
x
u
∂
∂
=
⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
x
x
y
y
(
)
(
)
x N y M ∂ ⋅ ∂ = ∂ ⋅ ∂ = +μ
μ
μ
μ
Mdx Ndy 0 y M N x N y M N x N y M y M ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
x xz
u
)
1
(
z
u
)
1
(
)
2
(
x
∂
∂
⋅
+
−
∂
∂
⋅
−
=
⋅
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
x
xy
y
y
xy
x
y
M
N
x
N
y
M
μ
μ
μ
μ
z
2
2
z
)
(
2
2 2 2 2∂
∂
−
=
∂
∂
−
−
−
=
μ
μ
μ
μ
xy
xy
y
x
xy
y
x
z
z
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
μ
μ
μ
μ
z
xy
z z z z ∂ − = ∂ ∂ − = ∂μ
μ
μ
μ
z
ln
ln
z
z
−
=
∂
−
=
∂
∫
∫
μ
μ
μ
xy z z z 1 1 ln ln 1 1 = = = = − −μ
μ
Persamaan Eksak menjadi:
0
dy
y
1
x
dx
x
1
y
0
dy
)
1
(
xy
1
dx
1)
(xy
1
0
)
1
(
)
1
(
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
−
⋅
+
+
⋅
=
−
⋅
+
+
⋅
xy
x
y
xy
dy
xy
x
dx
xy
y
μ
μ
Bukti Eksak: 1 , 1 ) , ( 1 , 1 ) , ( = ∂ ∂ + = = ∂ ∂ + = x Q y x y x Q y P x y y x Px
Q
y
P
maka
∂
∂
=
∂
∂
PD Eksak
∫
∫
+
+
=
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
+
=
)
(
ln
c(y)
dx
1
)
(
)
,
(
)
,
(
y
c
x
yx
x
y
y
c
dx
y
x
P
y
x
F
1 ) ( ) , ( ) ( y x y c x y x Q y c x y F − = ′ + = ′ + = ∂ ∂
∫
− =− + = → − = ′ D y ln 1 c(y) 1 ) ( dy y y y c PD] Umum [Solusi 0 y x ln xy 0 ln ln ) , ( → = + + = + − + = D D y x yx y x FPada contoh-contoh di atas masalah μ [Faktor Integrasi] tidak menjadi masalah, sebab fungsi μ diketahui. Tetapi bagaimana jika fungsi μ tidak diketahui?
Beberapa macam fungsi dari faktor integrasi:
1.
μ
(x
)
3.μ
(xy
)
5.μ
(
x
−
y
)
7. dan lain-lain 2.μ
( y
)
4.μ
(
x
+
y
)
6.μ
(x2 +y2)Cara mencari fungsi dari faktor integrasi:
1. Jika menghasilkan fungsi x sajamaka ( )
N x x N y M
μ
μ
= → ∂ ∂ − ∂ ∂2. Jika fungsiy sajamaka ( )
M y x N y M
μ
μ
= → − ∂ ∂ − ∂ ∂3. Jika
fungsi
xy,
maka
(
)
xM
yN
xy
x
N
y
M
μ
μ
=
→
−
∂
∂
−
∂
∂
4. jika fungsi(x y)samaka ( ) M -N x y x N y M + = + → ∂ ∂ − ∂ ∂
μ
μ
5. Jika fungsi(x-y)sajamaka ( ) M N x y x N y M − = → + ∂ ∂ − ∂ ∂
μ
μ
6. Jika
fungsi
(
y
)
maka
(x
)
2yM
-2xN
2 2 2 2y
saja
x
x
N
y
M
+
=
+
→
∂
∂
−
∂
∂
μ
μ
1.
0
y
;
dx
du
x
)
(
=
∂
∂
=
∂
∂
→
=
μ
μ
μ
μ
x
[
]
[
]
x
N
y
M
M
dy
y
x
N
dx
y
x
M
∂
⋅
∂
=
∂
⋅
∂
→
=
⋅
+
⋅
=
+
μ
μ
μ
μ
dx
N
dy
0
PD.
eksak
0
)
,
(
)
,
(
saja x fungsi Terbukti dx 0 x y x x ↑ → ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⋅ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ N x N y M d M d d N x N y M M N x N y M x N N y M y Mμ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
μ
y
M
x
N
x
N
∂
∂
−
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
μ
μ
μ
y
M
dy
d
M
N
x
N
μ
μ
⎟⎟
=
⋅
−
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
0
y
M
μ
μ
d
dy
M
x
N
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
y
M
dy
M
x
N
d
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
y
M
μ
μ
↑ fungsi y sajaMetode lain untuk mencari faktor Integrasi:
a. Jika f(x) N x N y M = ∂ ∂ − ∂ ∂ ; fungsi x saja Maka: μ= ∫f(x)dx e
b. Jika
y
(
)
M
y
g
M
x
N
=
−
∂
∂
−
∂
∂
; fungsi y saja maka : μ= ∫g(y)dy e Contoh Soal: 1.(
x
3+
xy
4)
dx
+
2y
3dy
=
0
Tentukan solusi umum PD !Jawab: 4 3
)
,
(
x
y
x
xy
M
=
+
→ 4y x y M = 3⋅ ∂ ∂ 32
)
,
(
x
y
y
N
=
→ 0 x N = ∂ ∂ x 2 y 2 0 x y 4 N x N y M 3 3 = − ⋅ = ∂ ∂ − ∂ ∂ (fungsi x saja) 2 x dx x 2 e e = = μ ∫ 0 2 e dx ) ( 3 4 x2 3 2 = + +xy y dy x ex Bukti PD Eksak : 4 3 4 3 2 2 2 ) ( ) , (x y e x xy e x e xy P = x + = x + x 2 34
y
xe
xy
P =
∂
∂
3 x 2 e ) , (x y 2 y Q = 2 2 3 3 x4
2
e
2
dx
Q
xxe
y
y
x
⋅
=
=
∂
Eksak
PD
sehingga
,
dx
Q
=
∂
∂
∂
y
P
maka
)
(
2
)
(
2
)
(
)
,
(
)
,
(
4 3 2 2x
c
y
e
x
c
dy
y
e
x
c
dy
y
x
N
y
x
F
x x+
=
+
⋅
=
+
=
∫
∫
) ( ) ( ) , ( ) ( 2 e 2 4 3 4 4 2 2 2 xy x e x c y e x y x M x c y x x F x x x + = ′ + ⋅ ⋅ = ′ + ⋅ = ∂ ∂[
x e dx] [
]
D de x de x x x c dx x e x c x e x c x x x x x x x x + − ⋅ = − ⋅ = = ⋅ = ⋅ = → ⋅ = ′∫
∫
∫
∫
2 2 2 2 2 2 2 2 e e x 2 1 e 2 1 2 1 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 3 3 30
2
1
2
1
2
)
,
(
)
(
2
)
,
(
2 2 2 2 2 4 4=
+
⋅
−
⋅
+
=
+
=
D
e
e
x
y
e
y
x
F
x
c
y
e
y
x
F
x x x x PD] Umum [Solusi 1 2 2 4 x e D x y + − = ⋅ − 2.(
y
3−
2
x
2y
)
dx
+
(2
xy
2−
x
3)
dy
=
0
Tentukan Solusi umum PD !Jawab:
y
x
y
y
x
M
(
,
)
=
3−
2
2 →3
y
22
x
2y
M
−
=
∂
∂
3 22
)
,
(
x
y
xy
x
N
=
−
→2
y
23
x
2dx
N
=
−
∂
2 2 2 2 2 2 x y ) x 3 y 2 ( x 2 y 3 x N y M + = − − − = ∂ ∂ − ∂ ∂Dibagi ‘apa’ supaya menjadi fungsi yang mandiri
y x 2 xy yx xy 2 x y ) y x 2 (y x ) x (2xy y x y xM N y x y 3 3 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 + − − + = − − − + = − ⋅ +
)
(
jadi
,
f(xy)
1
)
(
2
2
2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2xy
xy
x
y
xy
x
y
y
x
xy
x
y
y
x
yx
xy
xy
x
y
μ
μ
=
→
=
+
+
=
+
+
=
+
−
−
+
=
xy z Misalkan ; = ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ z xM yN x N y M u
μ
∫
∫
∂ = ∂ ∂ = ∂ = ∂ z z u z z z uμ
μ
xy 1xy
z
z
=
=
=
μ
μ
ln
ln
Persamaan menjadi: 0 dy ) x xy 2 ( xy dx ) y x 2 y ( xy 3− 2 + 2− 3 = Bukti PD eksak:sama
4
4
2
)
,
(
4
4
2
)
,
(
3 3 4 3 2 3 3 2 3 4⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
−
=
∂
∂
−
=
−
=
∂
∂
−
=
y
x
xy
x
Q
y
x
y
x
y
x
Q
y
x
xy
y
P
y
x
xy
y
x
P
∫
+
=
(
,
)
(
)
)
,
(
x
y
P
x
y
dx
c
y
F
) ( 2 1 2 1 ) ( dx ) 2 ( ) , ( 2 4 4 2 2 3 4 y c y x y x y c y x xy y x F + − = + − =∫
∫
= = = + − − = ′ = ′ + − = ∂ ∂ D dy 0 0 2 2 2 ) ( 4 3 2 4 3 2 ) ( ) , ( ) ( 4 3 2 y y y x y c y x y x y x y x c Q c y x y x y F Umum] [Solusi D y x y x 0 D y x 2 1 y x 2 1 F 2 4 4 2 2 4 4 2 ) y , x ( = − = = + − = 3. (x + y) dx + dy = 0[Bandingkan dengan soal 1 dari faktor Integrasi diket.]
Cari Solusi umum PD!
M(x,y) = x + y → 1 y M = ∂ ∂ N(x,y) = 1 → 0 x N = ∂ ∂
f(x) 1 N x N y M → = ∂ ∂ − ∂ ∂ x dx dx ) x ( f e e e = = = μ
