PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN GRAF WHEEL NURUL NUR INDAH SARI

(1)

1

PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN

GRAF WHEEL

NURUL NUR INDAH SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

▸ Baca selengkapnya: gambar pt. kosmetikatama super indah

(2)

2

ABSTRAK

NURUL NUR INDAH SARI. Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel.

Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS’OED dan FARIDA HANUM.

Karya ilmiah ini membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge

magic. Pelabelan super edge magic pada suatu graf adalah pelabelan yang memiliki pelabelan edge magic dan himpunan simpulnya dipetakan ke {1, 2, … , 𝑝} serta himpunan sisinya dipetakan ke {𝑝 + 1, 𝑝 + 2, … , 𝑝 + 𝑞}, dengan 𝑝 adalah banyaknya simpul dan 𝑞 adalah banyaknya sisi pada suatu graf. Terdapat satu lema dan dua teorema yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Lema ini digunakan untuk membuktikan kedua teorema. Teorema pertama membuktikan bahwa graf cycle 𝐶𝑛 adalah super edge magic jika dan hanya jika 𝑛 ganjil. Teorema kedua membuktikan bahwa graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 bukan graf super edge magic, bahkan 𝑊𝑛 dengan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic.

(3)

3

ABSTRACT

NURUL NUR INDAH SARI. Super Edge Magic Labeling on Cycle Graph and Wheel Graph.

Supervised by TEDUH WULANDARI MAS’OED and FARIDA HANUM.

This manuscript proves that cycle graph and wheel graph have a super edge magic labeling. Super edge magic labeling on a graph is labeling that has an edge magic labeling with a set of vertices were mapped in to {1, 2, … , 𝑝} and a set of edges were mapped in to {𝑝 + 1, 𝑝 + 2, … , 𝑝 + 𝑞}, in which 𝑝 is order and 𝑞 is size on the graph. There are one lemma and two theorems to be discussed.The lemma is used to prove the two theorems. The first theorem proves that cycle graph 𝐶𝑛 is super edge magic if and only if 𝑛 is odd. The second theorem proves that wheel graph 𝑊𝑛 of order 𝑛 is not super edge magic. Moreover 𝑊𝑛 is not edge magic if 𝑛 ≡ 0 mod 4.

(4)

4

PELABELAN SUPER EDGE MAGIC PADA GRAF CYCLE DAN

GRAF WHEEL

NURUL NUR INDAH SARI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2012

(5)

5

Judul Skripsi : Pelabelan Super Edge Magic pada Graf Cycle dan Graf Wheel

Nama

: Nurul Nur Indah Sari

NIM

: G54070039

Menyetujui,

Pembimbing I,

Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.

NIP. 19740915 199903 2 001

Pembimbing II,

Dra. Farida Hanum, M.Si.

NIP. 19651019 199103 2 002

Mengetahui:

Ketua Departemen Matematika,

Dr. Berlian Setiawaty, M.S.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

6

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. keluarga tercinta: Ibu dan Bapak (terima kasih atas doa, dukungan secara moril maupun materiil, motivasi, dan kasih sayangnya), adik-adikku (terima kasih atas doa dan dukungannya), serta keluarga besar dari Ibu dan Bapak (terima kasih atas doanya),

2. Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, motivasi, kesabaran, dukungan, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini),

3. Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya),

4. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya), 5. segenap dosen Departemen Matematika terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 6. staf Departemen Matematika terima kasih atas bantuannya,

7. teman-teman Matematika angkatan 44: Selvie, Resha, Fany, Anis, Sari, Ipul, Dora, Tanty, Yuyun, Titi, Wewe, Deva, Ndep, Ima, Lingga, Ruhyat, Ayung, Melon, Rachma, Sri, Denda, Fajar, Rofi, Dian, Tyas, Della, Pandi, Lili, Ririh, Yuli, Nunuy, Iam, Lilis, Ayum, Wahyu, Fikri, Atik, Cita, Arina, Masay, Diana, Yogie, Aswin, Imam, Lugina, Yanti, Pepi, Aqil, Eka, Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Na’im, Dhika, Nurus, Phunny, Ab, Siska, Indin, Olih, Tita, Lina, Lukman, Endro, Tendy, Ikhsan, Puying, Zae, dan Copa (terima kasih atas doa, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya),

8. kakak-kakak Matematika angkatan 42 dan 43 (terima kasih atas semua ilmu dan bantuannya), 9. adik-adik Matematika angkatan 45 ( terima kasih atas bantuan dan dukungannya),

10. teman-teman B26 ( terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya),

11. sahabat-sahabat terdekat: Fina, Nia, Echa, Tika, Lujeng, Rinal, Ayu, Lely, Anis, Agus, dan lainnya ( terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya),

12. teman- teman FOSMA IPB, FOSMA Bogor, SHOT Bogor, GEMA Bogor, dan FKA Bogor (terima kasih atas doa, dukungan, dan kebersamaannya),

13. teman-teman Pondok Malea Atas (terima kasih atas dukungan dan kebersamaannya), 14. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya dalam bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Februari 2012

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Minahasa pada tanggal 8 Juli 1989 dari pasangan bapak Oyo Suhyono dan ibu Teti Rosmiati. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.

Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Pangandaran dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan, yaitu sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) periode 2009, Organisasi Mahasiswa Daerah Ciamis (OMDA PMGC) dan FOSMA IPB. Selain itu, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan, di antaranya panitia Masa Perkenalan Departemen, try out Pengantar Matematika, dan training ESQ mahasiswa baru.

(8)

vii

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR GAMBAR ... viii

I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 II LANDASAN TEORI ... 1 2.1 Teori Graf ... 1 2.2 Pelabelan Graf ... 3 III PEMBAHASAN ... 5

IV SIMPULAN DAN SARAN ... 14

4.1 Simpulan ... 14

4.2 Saran ... 15

DAFTAR PUSTAKA ... 15

(9)

viii

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) ... 1 2 Cycle ... 2 3 Graf 𝐺 nontrivial ... 2

4 Graf cycle ber-order 5 ... 2

5 Graf lengkap ber-order 5 ... 3

6 Union dari 2 graf ... 3

7 Join dari 2 graf ... 3

8 Graf wheel ber-order 7 ... 3

10 Pelabelan edge magic pada graf 𝐶3 ... 4

11 Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶3 ... 4

24 Pelabelan edge magic pada graf 𝑊5 ... 10

33 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 8 . 17

36 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 7, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 8 ... 18

40 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 5, 𝑓 𝑏𝑐 = 8, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 6 ... 19

41 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 1, 𝑓 𝑏 = 2, 𝑓(𝑐) = 3, 𝑓 𝑑 = 4, 𝑓 𝑎𝑏 = 8, dan 𝑓 𝑏𝑐 = 6 ... 19

(10)

ix

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Masalah jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali diselesaikan menggunakan graf. Masalah ini pertama kali dipecahkan pada tahun 1736 oleh Leonhard Euler seorang ahli matematika asal Swiss yang menemukan salah satu cabang dari matematika yang saat ini dikenal sebagai “Teori Graf”.

Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini, di antaranya dalam model jaringan transportasi, teknik elektro, kimia, sistem komunikasi, administrasi bisnis, sosiologi, marketing, desain arsitektur, dan masih banyak lagi terapan yang lainnya. Banyak permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf. Sebagai contoh, permasalahan untuk merencanakan tempat pembuangan sampah pada suatu perumahan penduduk, diagnosa dalam jaringan komputer, dan masih banyak lagi permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan graf.

Pelabelan graf merupakan salah satu topik dalam graf. Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan bijektif dari himpunan simpul dan himpunan sisi ke himpunan bilangan asli. Terdapat beberapa jenis pelabelan pada graf,

antara lain pelabelan graceful, pelabelan ajaib (magic), pelabelan anti ajaib, dan pelabelan yang lainnya. Dalam pengembangan pelabelan ajaib (magic), dikenal pula pelabelan vertex

magic, pelabelan super vertex magic,

pelabelan edge magic, dan pelabelan super

edge magic.

Pelabelan super edge magic pada suatu graf 𝐺 yang memiliki 𝑝 simpul dan 𝑞 sisi adalah jika 𝐺 memiliki pelabelan edge magic dan memenuhi syarat-syarat lain. Karya ilmiah ini akan membuktikan bahwa graf

cycle dan graf wheel merupakan graf yang

memiliki pelabelan graf yang super edge

magic. Ada satu lema dan dua teorema yang

digunakan untuk membuktikan bahwa graf

cycle dan graf wheel merupakan pelabelan

graf yang super edge magic. Sumber utama karya ilmiah ini adalah artikel yang ditulis Enomoto et al. pada tahun 1998.

1.2 Tujuan

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang

super edge magic.

II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan beberapa

definisi dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini.

2.1 Teori Graf Definisi 1 (Graf)

Suatu graf 𝐺 adalah pasangan terurut (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 adalah himpunan takkosong dan berhingga dan 𝐸 adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan elemen-elemen 𝑉. Graf 𝐺 dinotasikan 𝐺 = (𝑉, 𝐸). Elemen 𝑉 disebut simpul (vertex) sedangkan elemen 𝐸 disebut sisi (edge). Himpunan dari simpul-simpul pada graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝑉(𝐺), sedangkan himpunan dari sisi-sisi pada graf 𝐺 dinotasikan dengan 𝐸(𝐺).

(Foulds 1992) Graf yang dimaksud pada definisi tersebut adalah graf tak berarah artinya graf yang

sisinya tidak mempunyai arah. Contoh graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1. 𝐺:

a

b c

d e

Gambar 1 Graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸).

Himpunan simpul dan himpunan sisi graf pada Gambar 1 adalah

𝑉(𝐺) = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}

(11)

2

Definisi 2 (Order dan Size)

Misalkan diberikan graf 𝐺. Banyaknya simpul pada graf 𝐺 disebut order dan banyaknya sisi pada graf 𝐺 disebut size. Order dari graf 𝐺 dinotasikan dengan |𝑉 𝐺 | dan

size dari graf 𝐺 dinotasikan dengan |𝐸 𝐺 |. (Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, nilai dari 𝑉 𝐺 = 5 dan 𝐸 𝐺 = 5.

Definisi 3 (Incident dan Adjacent)

Misalkan diberikan graf 𝐺. Jika 𝑒 = {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸(𝐺) dengan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) maka 𝑢 dan 𝑣 dikatakan adjacent di 𝐺 dan 𝑒 dikatakan

incident dengan 𝑢 dan 𝑣.

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, misalkan 𝑒 = {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸(𝐺) maka 𝑎 dan 𝑏 dikatakan adjacent di 𝐺 dan 𝑒 dikatakan incident dengan 𝑎 dan 𝑏.

Definisi 4 (Degree)

Derajat (degree) dari suatu simpul 𝑣 pada graf 𝐺 adalah banyaknya sisi yang incident dengan 𝑣 dan dinotasikan dengan deg 𝑣.

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, derajat setiap simpulnya ialah deg 𝑎 = 2, deg 𝑏 = 3, deg 𝑐 = 3, deg 𝑑 = 1, dan deg 𝑒 = 1.

Definisi 5 (Walk)

Suatu walk pada graf 𝐺 adalah suatu barisan simpul dan sisi dari graf 𝐺 dengan bentuk

{𝑣1, 𝑣1, 𝑣2 , 𝑣2, 𝑣2, 𝑣3 , 𝑣3, … , 𝑣𝑛 −1, 𝑣𝑛 , 𝑣𝑛} dan dapat dituliskan sebagai {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛} atau 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛. Suatu walk yang menghubungkan 𝑣1 dengan 𝑣𝑛 dikatakan tertutup jika 𝑣1= 𝑣𝑛. Jika 𝑣1≠ 𝑣𝑛 maka walk tersebut dikatakan terbuka.

(Foulds 1992) Pada Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu

walk {𝑎, 𝑎, 𝑏 , 𝑏, {𝑏, 𝑐}, 𝑐, {𝑐, 𝑒}, 𝑒}.

Definisi 6 (Cycle)

Cycle pada suatu graf 𝐺 adalah walk tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda.

(Foulds 1992) Pada Gambar 1 terdapat cycle pada graf 𝐺 yang terdiri atas tiga simpul, yaitu

a

c b

Gambar 2 Cycle.

Definisi 7 (Graf Nontrivial)

Suatu graf 𝐺 disebut graf nontrivial jika suatu graf 𝐺 memiliki order paling sedikit dua.

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf nontrivial ber-order 3.

𝐺:

Gambar 3 Graf 𝐺 nontrivial.

Definisi 8 (Graf Cycle)

Suatu graf ber-order 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3 yang membentuk sebuah cycle disebut graf cycle dan dinotasikan dengan 𝐶𝑛.

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut ini diberikan contoh graf cycle

ber-order 5. 𝐶5: a e d c b

Gambar 4 Graf cycle ber-order 5.

Definisi 9 (Graf Lengkap)

Graf ber-order 𝑝 yang setiap dua simpulnya adjacent disebut graf lengkap (complete graph) dan dinotasikan dengan 𝐾𝑝.

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh graf lengkap

(12)

3

𝐾5:

Gambar 5 Graf lengkap ber-order 5.

Definisi 10 (Union dari 2 Graf)

Misalkan 𝐺1 dan 𝐺2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union dari 𝐺1 dan 𝐺2, dituliskan 𝐺1∪ 𝐺2, adalah graf yang memiliki 𝑉 𝐺1∪ 𝐺2 = 𝑉(𝐺1) ∪ 𝑉(𝐺2) dan 𝐸 𝐺1∪ 𝐺2 = 𝐸(𝐺1) ∪ 𝐸(𝐺2).

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh union dari 2 graf. 𝐾3∪ 3𝐾1:

Gambar 6 Union dari 2 graf.

Definisi 11 (Join dari 2 Graf)

Misalkan 𝐺1 dan 𝐺2 adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka join dari 𝐺1 dan 𝐺2, dituliskan 𝐺1+𝐺2, adalah graf 𝐺1∪ 𝐺2 dimana setiap simpul di 𝐺1 adjacent dengan setiap simpul di 𝐺2 ditambah semua sisi bertipe 𝑣1𝑣2 dengan 𝑣1∈ 𝑉(𝐺1) dan 𝑣2∈ 𝑉(𝐺2).

(Chartrand & Oellermann 1993) Berikut diberikan contoh join dari 2 graf. 𝐶4:

𝐾1:

𝐶4+ 𝐾1:

Gambar 7 Join dari 2 graf.

Definisi 12 (Graf Wheel)

Untuk 𝑛 ≥ 4, graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 adalah join dari graf cycle 𝐶𝑛−1 ber-order 𝑛 − 1 dan graf lengkap (complete graph) 𝐾1 ber-order 1.

(Fukuchi 2001) Berikut diberikan contoh graf wheel ber-order 7. 𝑊7: v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6

Gambar 8 Graf wheel ber-order 7.

2.2 Pelabelan Graf

Karya ilmiah ini membahas pelabelan

super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Berikut dijelaskan beberapa definisi

tentang pelabelan graf.

Definisi 13 (Pelabelan Edge Magic)

Misalkan 𝐺 graf dengan 𝑝 simpul dan 𝑞 sisi. Suatu pemetaan bijektif 𝑓 dari himpunan simpul gabung himpunan sisi ke himpunan {1, 2, … , 𝑝 + 𝑞) disebut sebagai pelabelan

edge magic pada 𝐺 jika ada konstanta 𝑠 ∈ ℕ (disebut magic number 𝑓) sehingga 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) = 𝑠 untuk setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺).

(Enomoto et al. 1998) Berikut ini diberikan contoh pelabelan edge

magic. Misalkan diberikan graf seperti pada

Gambar 9. Banyaknya simpul ialah 3 dan banyaknya sisi juga 3, maka masing-masing berlabel 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

(13)

4

𝐶3:

a

c b

Gambar 9 Graf cycle ber-order 3. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑎 = 4 𝑓 𝑏 = 6 𝑓 𝑐 = 2

Dipilih 𝑠 = 11, maka diperoleh label sisi, sehingga

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 4 + 6 + 1 = 11 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑎𝑐 = 4 + 2 + 5 = 11 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 6 + 2 + 3 = 11 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (a). Sedangkan untuk 𝑠 = 12 dan misalkan simpul-simpulnya dipadankan dengan suatu nilai 𝑓 𝑎 = 6 𝑓 𝑏 = 5 𝑓 𝑐 = 4 sehingga diperoleh 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 6 + 5 + 1 = 12 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑎𝑐 = 6 + 4 + 2 = 12 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 5 + 4 + 3 = 12 dan dapat digambarkan seperti Gambar 10 (b). (a) 4 5 2 3 6 1

(b)

6 2 4 3 5 1

Gambar 10 Pelabelan edge magic pada graf 𝐶3.

Dari dua pelabelan tersebut, dapat dilihat bahwa pelabelan edge magic tidak tunggal. Nilai 𝑠 dapat berubah-ubah dengan memperhatikan label simpulnya. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf cycle diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada.

Definisi 14 (Pelabelan Super Edge Magic) Misalkan 𝐺 graf dengan 𝑝 simpul dan 𝑞 sisi, dan 𝐺 memiliki pelabelan edge magic 𝑓. Jika 𝑓: 𝑉 𝐺 → {1, 2, … , 𝑝} dan 𝑓: 𝐸 𝐺 → {𝑝 + 1, 𝑝 + 2, … , 𝑝 + 𝑞} maka 𝑓 disebut pelabelan super edge magic.

(Enomoto et al. 1998) Berikut ini diberikan contoh pelabelan super

edge magic. Diberikan graf seperti pada

Gambar 9. Berdasarkan definisi pelabelan

super edge magic, maka 𝑓: 𝑉 𝐶3 → {1, 2, 3} dan 𝑓: 𝐸 𝐶3 → {4, 5, 6}. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶3 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑎 = 1 𝑓 𝑏 = 3 𝑓 𝑐 = 2

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 1 + 3 + 5 = 9 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑎𝑐 = 1 + 2 + 6 = 9 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 3 + 2 + 4 = 9 dan dapat digambarkan sebagai berikut

1 6 2 4 3 5

Gambar 11 Pelabelan super edge magic pada graf 𝐶3.

Definisi 15 (Graf Super Edge Magic)

Suatu graf 𝐺 disebut super edge magic jika terdapat sebuah pelabelan super edge magic dari 𝐺.

(Enomoto et al. 1998) Gambar 11 merupakan contoh graf super edge

magic karena memiliki pelabelan super edge magic.

(14)

5

III PEMBAHASAN

Karya ilmiah ini membahas lema dan

teorema-teorema yang membuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan

super edge magic.

Misalkan diberikan graf seperti pada Gambar 9. Banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Graf tersebut dilabeli dengan 𝑓: 𝑉 𝐶3 → {1, 2, 3} dan 𝑓: 𝐸 𝐶3 → {4, 5, 6}, sehingga diperoleh graf seperti pada Gambar 11.

Berikut ini diberikan lema yang akan digunakan untuk membuktikan teorema selanjutnya.

Lema 3.1

Jika 𝐺 graf nontrivial yang super edge magic, maka |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3.

(Enomoto et al. 1998)

Bukti :

Misalkan 𝐺 graf nontrivial yang super

edge magic. Akan dibuktikan bahwa |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3.

Misalkan 𝐺 memiliki 𝑝 simpul dan 𝑞 sisi. Karena 𝐺 graf yang super edge magic artinya ada konstanta 𝑠 sehingga 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) = 𝑠 dan 𝑓: 𝑉(𝐺) → {1, 2, … , 𝑝}, 𝑓: 𝐸(𝐺) → {𝑝 + 1, 𝑝 + 2, … , 𝑝 + 𝑞}. Maka akan dilihat nilai 𝑠 yang maksimum dan minimum, karena untuk melabeli suatu graf harus dilihat kemungkinan 𝑠 yang maksimum dan minimumnya.

(i) Akan dilihat nilai 𝑠 yang maksimum. Pilih 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) maka magic number yang maksimum yaitu 𝑓 𝑢 = 𝑝, karena

magic number yang maksimum 𝑝 maka kemungkinan yang maksimum untuk 𝑓(𝑣) ialah 𝑝 − 1, sehingga diperoleh 𝑓 𝑢 + 𝑓 𝑣 = 𝑝 + 𝑝 − 1

= 𝑉 𝐺 + (|𝑉 𝐺 | − 1) Karena simpul yang maksimumnya 𝑝 maka 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑝 + 1 = |𝑉 𝐺 | + 1 Ini berarti 𝑠 = 𝑓 𝑢 + 𝑓 𝑣 + 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑉 𝐺 + 𝑉 𝐺 − 1 +(|𝑉 𝐺 | + 1)

(ii) Akan dilihat nilai 𝑠 yang minimum. Untuk melakukan pelabelan, pilih magic

number yang minimum yaitu 𝑓 𝑢 = 1 dan untuk 𝑓 𝑢𝑣 pilih magic number yang maksimum yaitu 𝑓 𝑢𝑣 = 𝑝 + 𝑞. Karena 𝑓 𝑢 = 1 maka paling tidak sisi yang minimumnya yaitu 𝑓 𝑣 = 1 + 1 = 2, sehingga diperoleh

𝑠 = 𝑓 𝑢 + 𝑓 𝑣 + 𝑓 𝑢𝑣 = 1 + 2 + (𝑝 + 𝑞)

= 1 + 2 + ( 𝑉 𝐺 + 𝐸 𝐺 ) Dari (i) dan (ii) dapat diperoleh 1 + 2 + 𝑉 𝐺 + 𝐸 𝐺 ≤ 𝑠 ≤ 𝑉 𝐺 + 𝑉 𝐺 − 1 + (|𝑉 𝐺 | + 1) 3 + |𝑉 𝐺 | + |𝐸 𝐺 | ≤ 3|𝑉 𝐺 | |𝐸 𝐺 | ≤ 3|𝑉 𝐺 | − 3 − |𝑉 𝐺 | 𝐸 𝐺 | ≤ 2 𝑉 𝐺 | − 3 ∎ Berikut ini diberikan ilustrasi Lema 3.1. Ilustrasi pertama, akan ditunjukkan graf yang

super edge magic dan memenuhi |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3. Misalkan diberikan graf 𝐶3 seperti pada Gambar 9, banyaknya simpul dan sisi ialah 3. Jadi 𝐸 𝐺 | = 𝑉 𝐺 | = 3 dan 𝐸 𝐺 | = 3 ≤ 2 𝑉 𝐺 | − 3

= 2 3 − 3 = 3.

Graf 𝐶3 merupakan graf super edge magic dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi. Ilustrasi kedua, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan memenuhi |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3. Misalkan diberikan graf 𝐶4 seperti pada Gambar 14, banyaknya simpul dan sisi pada graf 𝐶4 adalah 4. Jadi 𝐸 𝐺 | = 𝑉 𝐺 | = 4 dan

𝐸 𝐺 | = 4 ≤ 2 𝑉 𝐺 | − 3 = 2 4 − 3 = 5

Graf 𝐶4 bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran) dan pertaksamaan pada Lema 3.1 dipenuhi.

Ilustrasi ketiga, akan ditunjukkan graf yang bukan super edge magic dan tidak memenuhi |𝐸 𝐺 | ≤ 2|𝑉 𝐺 | − 3. Misalkan diberikan graf 𝑊5 seperti pada Gambar 23, banyaknya simpul adalah 5 dan banyaknya sisi adalah 8. Jadi |𝐸 𝐺 | = 8, |𝑉 𝐺 | = 5, dan

𝐸 𝐺 | = 8 ≤ 2 𝑉 𝐺 | − 3 = 2 5 − 3 = 7

Graf 𝑊5 bukan graf super edge magic karena pertaksamaan pada Lema 3.1 tidak dipenuhi sehingga Lema 3.1 tidak dipenuhi.

Lema 3.1 akan digunakan untuk menunjukkan graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan super edge magic.

Sebelum membuktikan Teorema 3.2 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan super

edge magic pada suatu graf cycle.

Misalkan diberikan graf cycle ber-order 9 dengan bentuk seperti pada Gambar 12.

(15)

6

𝐶9: a i h g f e d c b

Gambar 12 Graf cycle ber-order 9. Graf 𝐶9 tersebut akan dilabeli dengan 𝑓: 𝑉 𝐶9 → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan 𝑓: 𝐸 𝐶9 → {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} sehingga menjadi graf super edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑎 = 1 𝑓 𝑓 = 8 𝑓 𝑏 = 6 𝑓 𝑔 = 4 𝑓 𝑐 = 2 𝑓 𝑕 = 9 𝑓 𝑑 = 7 𝑓 𝑖 = 5 𝑓 𝑒 = 3

Dipilih 𝑠 = 24, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 1 + 6 + 17 = 24 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 6 + 2 + 16 = 24 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 2 + 7 + 15 = 24 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 7 + 3 + 14 = 24 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑒𝑓 = 3 + 8 + 13 = 24 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑓𝑔 = 8 + 4 + 12 = 24 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑕 + 𝑓 𝑔𝑕 = 4 + 9 + 11 = 24 𝑓 𝑕 + 𝑓 𝑖 + 𝑓 𝑕𝑖 = 9 + 5 + 10 = 24 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑖 + 𝑓 𝑎𝑖 = 1 + 5 + 18 = 24 dan dapat digambarkan sebagai berikut

1 18 5 10 9 11 4 12 8 13 3 14 7 15 2 16 6 17

Cara pelabelan tersebut merupakan salah satu contoh cara pelabelan super edge magic pada suatu graf cycle. Cara ini juga digunakan untuk membuktikan Teorema 3.2.

Berikut akan dibuktikan Teorema 3.2 yang menyatakan bahwa graf 𝐶𝑛 memiliki pelabelan super edge magic.

Teorema 3.2

Cycle 𝐶𝑛 adalah super edge magic jika dan hanya jika 𝑛 ganjil.

(Enomoto et al. 1998)

Bukti :

(⟹) Misalkan cycle 𝐶𝑛 adalah graf super edge magic. Akan dibuktikan 𝑛 bilangan ganjil.

Bukti :

Misalkan 𝐶𝑛 adalah graf super edge magic artinya ada pelabelan super edge magic 𝑓 dengan 𝑠 sebagai magic

number. Artinya ada konstanta 𝑠 sehingga 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) = 𝑠 dan 𝑓 𝑉 𝐶𝑛 → {1, 2, … , 𝑛}, 𝑓 𝐸 𝐶𝑛 → {𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … , 𝑛 + 𝑛}. Karena setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐶𝑛) berlaku 𝑠 = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) akibatnya 𝑠𝑛 = 𝑓 𝑢 + 𝑓 𝑣 + 𝑓 𝑢𝑣 𝑢𝑣 ∈𝐸 𝐶𝑛 = 2 𝑓(𝑣) 𝑣∈𝑉(𝐶𝑛) + 𝑓(𝑢𝑣) 𝑢𝑣 ∈𝐸(𝐶𝑛) = 2 1 + 2 + ⋯ + 𝑛 + ( 𝑛 + 1 +(𝑛 + 2) + ⋯ + (𝑛 + 𝑛)) = 2 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝑖 2𝑛 𝑖=𝑛+1 = 2 𝑖 𝑛 𝑖=1 + 𝑖 2𝑛 𝑖=1 − 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 2 𝑛 𝑛 + 1 2 + 2𝑛(2𝑛 + 1) 2 − 𝑛(𝑛 + 1) 2 = 2 𝑛 𝑛 + 1 2 + 4𝑛 2_{+ 2𝑛 − 𝑛}2_{− 𝑛} 2 = 2 𝑛(𝑛 + 1) 2 + 3𝑛2_{+ 𝑛} 2 = 𝑛(𝑛 + 1) + 𝑛(3𝑛 + 1) 2 Ini berarti 𝑛(𝑛 + 1) = 𝑠𝑛 − 𝑛(3𝑛 + 1) 2 𝑛(𝑛 + 1) = 𝑛 𝑠 −3𝑛 + 1 2 𝑛 + 1 = 𝑠 −3𝑛 + 1 2 3𝑛 + 1 2 = 𝑠 − 𝑛 − 1

Karena 𝑠 dan 𝑛 adalah bilangan bulat maka 3𝑛+1

(16)

7

3𝑛 + 1 haruslah genap. Akibatnya 3𝑛 ganjil, maka 𝑛 bilangan ganjil.

∎ (⟸) Misalkan 𝑛 adalah bilangan ganjil. Akan dibuktikan cycle 𝐶𝑛 adalah graf super edge magic.

Bukti :

Misalkan 𝑛 = 2𝑚 + 1 adalah bilangan ganjil dan diberikan graf cycle 𝐶𝑛. Dimisalkan juga 𝑉 𝐶𝑛 = {𝑣0, 𝑣1, … , 𝑣𝑛 −1} 𝐸 𝐶𝑛 = {𝑣0𝑣1, 𝑣1𝑣2, … , 𝑣𝑛 −2𝑣𝑛 −1, 𝑣𝑛 −1𝑣0}. Didefinisikan 𝑓(𝑣𝑖) = 𝑖 + 2 2 ; 𝑖 genap 𝑚 +𝑖 + 3 2 ; 𝑖 ganjil 𝑓(𝑣𝑛−1𝑣0) = 2𝑛 𝑓(𝑣𝑖𝑣𝑖+1) = 2𝑛 − 1 − 𝑖 dengan 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2.

Ambil sembarang 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 dengan 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2 dan 𝑖 ganjil maka 𝑠 = 𝑓 𝑣𝑖 + 𝑓 𝑣𝑖+1 + 𝑓 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 = 𝑚 +𝑖 + 3 2 + (𝑖 + 1) + 2 2 +(2𝑛 − 1 − 𝑖) = 𝑚 +𝑖 + 3 2 + 𝑖 + 3 2 + 2𝑛 − 1 − 𝑖 = 𝑚 + 𝑖 + 3 + 2𝑛 − 1 − 𝑖 = 𝑚 + 2𝑛 + 2 =𝑛 − 1 2 + 2𝑛 + 2 =𝑛 − 1 + 4𝑛 + 4 2 =5𝑛 + 3 2 dan untuk 𝑣𝑛 −1𝑣0 𝑠 = 𝑓(𝑣𝑛−1) + 𝑓(𝑣0) + 𝑓(𝑣𝑛−1𝑣0) = (𝑛 − 1) + 2 2 + 0 + 2 2 + 2𝑛 =𝑛 + 3 2 + 2𝑛 =𝑛 + 3 + 4𝑛 2 =5𝑛 + 3 2

Karena 𝑛 ganjil maka 5𝑛 ganjil, sehingga 5𝑛 + 3 haruslah genap. Akibatnya 5𝑛 +3

2 bilangan bulat, maka 𝑠 bilangan bulat. Jadi, 𝑓 adalah pelabelan

super edge magic dengan magic number 𝑠 =5𝑛+3

2 .

∎

Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.2. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic dan pelabelan

super edge magic pada graf cycle diperoleh

dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada.

Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf 𝐶4 dengan banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14. 𝐶4: a d c b

Gambar 14 Graf cycle ber-order 4. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑎 = 6 𝑓 𝑐 = 3 𝑓 𝑏 = 7 𝑓 𝑑 = 8

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 6 + 7 + 2 = 15 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 7 + 3 + 5 = 15 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 3 + 8 + 4 = 15 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 6 + 8 + 1 = 15 dan dapat digambarkan sebagai berikut

6 1 8 4 3 5 7 2

Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf 𝐶5 dengan banyaknya simpul 5 dan banyaknya sisi 5, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 4. Untuk memperoleh pelabelan graf

edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

(17)

8

𝑓 𝑎 = 10 𝑓 𝑑 = 8 𝑓 𝑏 = 6 𝑓 𝑒 = 4 𝑓 𝑐 = 2

Dipilih 𝑠 = 17, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 10 + 6 + 1 = 17 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 6 + 2 + 9 = 17 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 2 + 8 + 7 = 17 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 8 + 4 + 5 = 17 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑎𝑒 = 10 + 4 + 3 = 17 dan dapat digambarkan sebagai berikut

10 3 4 5 8 7 2 9 6 1

Sedangkan untuk memperoleh pelabelan

super edge magic maka dilabeli dengan

𝑓: 𝑉 𝐶5 → {1, 2, 3, 4, 5} dan 𝑓: 𝐸 𝐶5 → {6, 7, 8, 9, 10}. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑎 = 1 𝑓 𝑑 = 2

𝑓 𝑏 = 3 𝑓 𝑒 = 4 𝑓 𝑐 = 5

Karena graf 𝐶5 ber-order 5 dan 5 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf 𝐶5 super edge magic maka berlaku 𝑠 =5𝑛+3

2 = 14 dan diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 1 + 3 + 10 = 14 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 3 + 5 + 6 = 14 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 5 + 2 + 7 = 14 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 2 + 4 + 8 = 14 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑎𝑒 = 1 + 4 + 9 = 14 dan dapat digambarkan sebagai berikut

1 9 4 8 2 7 5 6 3 10

Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf 𝐶6 dengan banyaknya simpul 6 dan banyaknya sisi 6, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 18. 𝐶6: a b c d e f

Gambar 18 Graf cycle ber-order 6. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶6 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑎 = 7 𝑓 𝑑 = 6 𝑓 𝑏 = 2 𝑓 𝑒 = 5 𝑓 𝑐 = 10 𝑓 𝑓 = 12

Dipilih 𝑠 = 20, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 7 + 2 + 11 = 20 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 2 + 10 + 8 = 20 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 10 + 6 + 4 = 20 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 6 + 5 + 9 = 20 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑒𝑓 = 5 + 12 + 3 = 20 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑎𝑓 = 7 + 12 + 1 = 20 dan dapat digambarkan sebagai berikut

7 2 10 6 5 12 1 11 3 9 8 4

Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf 𝐶7 dengan banyaknya simpul 7 dan banyaknya sisi 7, dengan bentuk graf sebagai berikut 𝐶7: a g f e d c b

(18)

9

Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑎 = 14 𝑓 𝑒 = 10 𝑓 𝑏 = 6 𝑓 𝑓 = 3 𝑓 𝑐 = 5 𝑓 𝑔 = 7 𝑓 𝑑 = 4

Dipilih 𝑠 = 22, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 14 + 6 + 2 = 22 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 6 + 5 + 11 = 22 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 5 + 4 + 13 = 22 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 4 + 10 + 8 = 22 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑒𝑓 = 10 + 3 + 9 = 22 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑓𝑔 = 3 + 7 + 12 = 22 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑎𝑔 = 14 + 7 + 1 = 22 dan dapat digambarkan sebagai berikut

14 1 7 12 3 9 10 8 4 13 5 11 6 2

Sedangkan untuk memperoleh pelabelan

super edge magic maka graf 𝐶7 dilabeli dengan 𝑓: 𝑉 𝐶7 → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan 𝑓: 𝐸 𝐶7 → {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.

Misalkan simpul-simpul pada graf 𝐶7 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑎 = 1 𝑓 𝑒 = 3 𝑓 𝑏 = 5 𝑓 𝑓 = 7 𝑓 𝑐 = 2 𝑓 𝑔 = 4 𝑓 𝑑 = 6

Karena graf 𝐶7 dengan order 7 dan 7 merupakan bilangan ganjil maka berdasarkan Teorema 3.2 diperoleh graf 𝐶7 super edge magic maka berlaku 𝑠 =5𝑛+3

2 = 19 dan diperoleh label sisi, sehingga

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑎𝑏 = 1 + 5 + 13 = 19 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 5 + 2 + 12 = 19 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 2 + 6 + 11 = 19 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑑𝑒 = 6 + 3 + 10 = 19 𝑓 𝑒 + 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑒𝑓 = 3 + 7 + 9 = 19 𝑓 𝑓 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑓𝑔 = 7 + 4 + 8 = 19 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑔 + 𝑓 𝑎𝑔 = 1 + 4 + 14 = 19 dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 22. 1 14 4 8 7 9 3 10 6 11 2 12 5 13

Dari keempat ilustrasi dapat dilihat bahwa 𝐶𝑛 dengan order 𝑛 genap yaitu 𝐶4 dan 𝐶6 merupakan graf edge magic, dan 𝐶4 bukan graf super edge magic (bukti dapat dilihat dilampiran). Sedangkan 𝐶𝑛 dengan order 𝑛 ganjil yaitu 𝐶5 dan 𝐶7 merupakan graf edge magic dan graf super edge magic.

Pada teorema selanjutnya, yaitu Teorema 3.3, akan ditunjukkan bahwa graf wheel bukan graf super edge magic. Sebelum membuktikan Teorema 3.3 akan diperlihatkan contoh cara pelabelan edge magic pada suatu graf wheel.

Misalkan diberikan graf wheel ber-order 5 dengan bentuk seperti pada Gambar 23. 𝑊5: v3 v4 v0 v1 v2

Gambar 23 Graf wheel ber-order 5. Untuk memperoleh pelabelan edge magic maka simpul dan sisi berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝑊5 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑣0 = 7 𝑓 𝑣3 = 1 𝑓 𝑣1 = 4 𝑓 𝑣4 = 12 𝑓 𝑣2 = 11

Dipilih 𝑠 = 21, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1𝑣2 = 4 + 11 + 6 = 21 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2𝑣3 = 11 + 1 + 9 = 21 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3𝑣4 = 1 + 12 + 8 = 21

(19)

10

𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣4𝑣1 = 12 + 4 + 5 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 = 7 + 4 + 10 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣2 = 7 + 11 + 3 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣3 = 7 + 1 + 13 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0𝑣4 = 7 + 12 + 2 = 21

dan dapat digambarkan seperti berikut 4 6 11 9 1 8 12 5 ₁₀ 3 13 2 7

Gambar 24 Pelabelan edge magic pada graf 𝑊5.

Berikut diberikan beberapa contoh cara untuk memperoleh nilai 𝑠.

Untuk 𝑊6 seperti pada Gambar 26, karena 𝑊6 memiliki 10 sisi maka

10𝑠 = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓(𝑣1𝑣2) +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣2𝑣3) +𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓(𝑣3𝑣4) +𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓(𝑣4𝑣5) +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓(𝑣5𝑣1) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓(𝑣0𝑣1) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓(𝑣0𝑣2) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣0𝑣3) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓(𝑣0𝑣4) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓(𝑣0𝑣5) = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣3 +𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣4) + 𝑓(𝑣4) + 𝑓(𝑣4) +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣1𝑣2 + 𝑓 𝑣2𝑣3 + 𝑓 𝑣3𝑣4 +𝑓 𝑣4𝑣5 + 𝑓 𝑣5𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 +𝑓 𝑣0𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣4 +𝑓(𝑣0𝑣5) = 2𝑓 𝑣1 + 2𝑓 𝑣2 + 2𝑓 𝑣3 + 2𝑓(𝑣4) +2𝑓 𝑣5 + 4𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣4) + 𝑓 𝑣5 +𝑓 𝑣1𝑣2 + 𝑓 𝑣2𝑣3 + 𝑓 𝑣3𝑣4 +𝑓 𝑣4𝑣5 + 𝑓 𝑣5𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 +𝑓 𝑣0𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣4 +𝑓(𝑣0𝑣5) = 2 𝑓 𝑣𝑗 5 𝑗 =1 + 4𝑓(𝑣0) + 𝑖 16 𝑖=1

Untuk 𝑊7 seperti pada Gambar 8, karena 𝑊7 memiliki 12 sisi maka

12𝑠 = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓(𝑣1𝑣2) +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣2𝑣3) +𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓(𝑣3𝑣4) +𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓(𝑣4𝑣5) +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓(𝑣5𝑣6) +𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓(𝑣6𝑣1) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓(𝑣0𝑣1) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓(𝑣0𝑣2) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣0𝑣3) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓(𝑣0𝑣4) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓(𝑣0𝑣5) +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓(𝑣0𝑣6) = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣3 +𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣4) + 𝑓(𝑣4) + 𝑓(𝑣4) +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 +𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣1𝑣2 + 𝑓 𝑣2𝑣3 + 𝑓 𝑣3𝑣4 +𝑓 𝑣4𝑣5 + 𝑓 𝑣5𝑣6 + 𝑓(𝑣6𝑣1) +𝑓 𝑣0𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣3 +𝑓 𝑣0𝑣4 + 𝑓(𝑣0𝑣5) + 𝑓(𝑣0𝑣6) = 2𝑓 𝑣1 + 2𝑓 𝑣2 + 2𝑓 𝑣3 + 2𝑓(𝑣4) +2𝑓 𝑣5 + 2𝑓 𝑣6 + 5𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 +𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣1𝑣2 + 𝑓 𝑣2𝑣3 +𝑓 𝑣3𝑣4 + 𝑓 𝑣4𝑣5 + 𝑓 𝑣5𝑣6 +𝑓(𝑣6𝑣1) + 𝑓 𝑣0𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣2 +𝑓 𝑣0𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣4 + 𝑓(𝑣0𝑣5) +𝑓(𝑣0𝑣6) = 2 𝑓 𝑣𝑗 6 𝑗 =1 + 5𝑓(𝑣0) + 𝑖 19 𝑖=1

Dilihat dari beberapa contoh di atas maka bentuk umum untuk setiap graf 𝑊𝑛 adalah sebagai berikut 2(𝑛 − 1)𝑠 = 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1𝑣2 +𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓(𝑣2𝑣3) ⋮ +𝑓 𝑣𝑛−2 + 𝑓 𝑣𝑛 −1 + 𝑓 𝑣𝑛 −2𝑣𝑛 −1 +𝑓 𝑣𝑛−1 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣𝑛−1𝑣1 +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣2 ⋮ +𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣𝑛 −1 + 𝑓 𝑣0𝑣𝑛−1 2 𝑛 − 1 𝑠 = 2𝑓 𝑣1 + 2𝑓 𝑣2 + ⋯ +2𝑓 𝑣𝑛−1 + 𝑛 − 2 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣0 +𝑓 𝑣1 + ⋯ + 𝑓(𝑣𝑛 −1) + 𝑓 𝑣1𝑣2 +𝑓 𝑣2𝑣3 + ⋯ + 𝑓 𝑣𝑛−2𝑣𝑛−1 +𝑓 𝑣𝑛−1𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣2 + ⋯ + 𝑓 𝑣0𝑣𝑛 −1 2 𝑛 − 1 𝑠 = 2 𝑓 𝑣𝑗 𝑛−1 𝑗 =1 + 𝑖 3𝑛−2 𝑖=1 + 𝑛 − 2 𝑓(𝑣0) (1)

(20)

11

Cara tersebut akan digunakan untuk mempermudah pembuktian Teorema 3.3. Berikut akan dibuktikan Teorema 3.3.

Teorema 3.3

Graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 bukan graf super edge magic. Bahkan 𝑊𝑛 dengan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic.

(Enomoto et al. 1998) Akan dibuktikan:

(i) Graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 bukan graf super edge magic.

(ii) Graf wheel 𝑊𝑛 dengan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic.

Bukti :

(i) Misalkan diberikan graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛. Dengan Lema 3.1 akan dibuktikan 𝑊𝑛 bukan graf super edge magic.

Bukti :

Misalkan 𝑊𝑛 memiliki 𝑛 simpul dan 𝑚 sisi, maka 𝑓 𝑉 𝑊𝑛 → {1, 2, … , 𝑛} dan 𝑓 𝐸 𝑊𝑛 → {𝑛 + 1, 𝑛 + 2, … , 𝑛 + 𝑚}. Andaikan 𝑊𝑛 merupakan graf super edge magic. Berdasarkan Lema 3.1 diperoleh

𝐸 𝑊𝑛 | ≤ 2 𝑉 𝑊𝑛 | − 3

Sedangkan diketahui bahwa 𝑉 𝑊𝑛 = 𝑛 dan 𝐸 𝑊𝑛 = 2𝑛 − 2, akibatnya |𝐸 𝑊𝑛 | ≤ 2|𝑉 𝑊𝑛 | − 3

2𝑛 − 2 ≤ 2𝑛 − 3 −2 ≤ −3

terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka 𝑊𝑛 bukan graf super edge magic.

(ii) Misalkan diberikan graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 dan 𝑛 ≡ 0 mod 4. Akan dibuktikan 𝑊𝑛 bukan graf edge magic. Bukti :

Andaikan 𝑊𝑛 adalah graf edge magic artinya ada pelabelan edge magic 𝑓 dengan 𝑠 sebagai magic number, sehingga 𝑠 = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣). Misalkan 𝑉 𝑊𝑛 = {𝑣0, 𝑣1, … , 𝑣𝑛−1} dan 𝐸 𝑊𝑛 = 𝑣𝑖𝑣𝑖+1 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2 ∪ 𝑣𝑛−1𝑣1 ∪ {𝑣0𝑣𝑖|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} dengan deg 𝑣0 = 𝑛 − 1.

Karena untuk setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝑊𝑛) berlaku 𝑠 = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑣) + 𝑓(𝑢𝑣) dan untuk setiap 𝑊𝑛 berlaku 2 𝑛 − 1 𝑠 = 2 𝑓 𝑣𝑗 𝑛−1 𝑗 =1 + 𝑖 3𝑛−2 𝑖=1 + 𝑛 − 2 𝑓(𝑣0)

Dari persamaan tersebut diperoleh 𝑖 3𝑛−2 𝑖=1 = 2 𝑛 − 1 𝑠 − 2 𝑓 𝑣𝑗 𝑛−1 𝑗 =1 − 𝑛 − 2 𝑓(𝑣0)

Misalkan 𝑛 ≡ 0 mod 4 maka 𝑛 dapat ditulis 𝑛 = 4𝑙 dengan 𝑙 ∈ ℤ sehingga

𝑖 3𝑛−2 𝑖=1 = 𝑖 3 4𝑙 −2 𝑖=1 𝑖 3𝑛−2 𝑖=1 = 𝑖 12𝑙−2 𝑖=1 =1 2 12𝑙 − 2 (12𝑙 − 1) =1 2 2 6𝑙 − 1 12𝑙 − 1 = 6𝑙 − 1 (12𝑙 − 1) = 72𝑙2_{− 18𝑙 + 1} = 2 36𝑙2_{− 9𝑙 + 1} = 2𝑡 + 1

dengan 𝑡 bilangan bulat. Jadi 3𝑛−2𝑖 𝑖=1 merupakan bilangan ganjil.

Sedangkan 2 𝑛 − 1 𝑠 − 2 𝑓 𝑣𝑗 𝑛−1 𝑗 =1 − 𝑛 − 2 𝑓(𝑣0) (2) Karena 𝑛 ≡ 0 mod 4, yang berarti 𝑛 = 4𝑙 untuk suatu bilangan bulat 𝑙, maka

𝑛 − 2 𝑓 𝑣𝑜 = 4𝑙 − 2 𝑓(𝑣0) = 2 2𝑙 − 1 𝑓(𝑣0) merupakan bilangan genap. Akibatnya persamaan (2) merupakan bilangan genap, sehingga terjadi kontradiksi. Akibatnya pengandaian salah, maka 𝑊𝑛 bukan merupakan graf edge magic.

∎

Berikut ini diberikan ilustrasi untuk lebih memahami Teorema 3.3. Ada beberapa ilustrasi yang akan diberikan. Pada dasarnya proses pelabelan edge magic pada graf wheel diperoleh dengan mencoba-coba semua kemungkinan label yang ada.

𝑊4:

v1

v0

v2

v3

(21)

12

Ilustrasi pertama, misalkan diberikan graf

wheel ber-order 4 dengan bentuk seperti pada Gambar 25. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝑊4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑣0 = 5 𝑓 𝑣1𝑣2 = 10 𝑓 𝑣0𝑣1 = 8 𝑓 𝑣1 = 2 𝑓 𝑣2𝑣3 = 4 𝑓 𝑣0𝑣2 = 7 𝑓 𝑣2 = 3 𝑓 𝑣3𝑣1 = 6 𝑓 𝑣0𝑣3 = 9 𝑓 𝑣3 = 1 sehingga diperoleh 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1𝑣2 = 2 + 3 + 10 = 15 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2𝑣3 = 3 + 1 + 4 = 8 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣3𝑣1 = 1 + 5 + 6 = 12 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 = 5 + 2 + 8 = 15 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣2 = 5 + 3 + 7 = 15 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣3 = 5 + 1 + 9 = 15 Terdapat nilai 𝑠 yang berbeda, sehingga graf 𝑊4 bukan graf edge magic.

Ilustrasi kedua, misalkan diberikan graf

wheel ber-order 6 dengan bentuk seperti pada Gambar 26. 𝑊6: v1 v2 v3 v4 v0 v5

Gambar 26 Graf wheel ber-order 6. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Simpul-simpul pada graf 𝑊6 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑣0 = 7 𝑓 𝑣3 = 11 𝑓 𝑣1 = 5 𝑓 𝑣4 = 4 𝑓 𝑣2 = 2 𝑓 𝑣5 = 1

Dipilih 𝑠 = 21, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1𝑣2 = 5 + 2 + 14 = 21 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2𝑣3 = 2 + 11 + 8 = 21 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3𝑣4 = 11 + 4 + 6 = 21 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣4𝑣5 = 4 + 1 + 16 = 21 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣5𝑣1 = 1 + 5 + 15 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 = 7 + 5 + 9 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣2 = 7 + 2 + 12 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣3 = 7 + 11 + 3 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0𝑣4 = 7 + 4 + 10 = 21 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0𝑣5 = 7 + 1 + 13 = 21

dan dapat digambarkan sebagai berikut

5 14 2 8 11 6 4 16 1 15 ₉ 7 12 3 13 10

Gambar 27 Pelabelan edge magic pada graf 𝑊6.

Ilustrasi ketiga, misalkan diberikan graf

wheel ber-order 8 dengan bentuk seperti pada Gambar 28. 𝑊8: v0 v2 v3 v1 v4 v5 v6 v7

Gambar 28 Graf wheel ber-order 8. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝑊4 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑣0 = 10 𝑓 𝑣1𝑣2 = 15 𝑓 𝑣0𝑣1 = 16 𝑓 𝑣1 = 2 𝑓 𝑣2𝑣3 = 8 𝑓 𝑣0𝑣2 = 7 𝑓 𝑣2 = 11 𝑓 𝑣3𝑣4 = 18 𝑓 𝑣0𝑣3 = 3 𝑓 𝑣3 = 9 𝑓 𝑣4𝑣5 = 19 𝑓 𝑣0𝑣4 = 14 𝑓 𝑣4 = 4 𝑓 𝑣5𝑣6 = 22 𝑓 𝑣0𝑣5 = 13 𝑓 𝑣5 = 5 𝑓 𝑣6𝑣7 = 21 𝑓 𝑣0𝑣6 = 17 𝑓 𝑣6 = 1 𝑓 𝑣7𝑣1 = 20 𝑓 𝑣0𝑣7 = 12 𝑓 𝑣7 = 6 sehingga diperoleh 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1𝑣2 = 2 + 11 + 15 = 28 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2𝑣3 = 11 + 9 + 8 = 28 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3𝑣4 = 9 + 4 + 18 = 31 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣4𝑣5 = 4 + 5 + 19 = 28 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣5𝑣6 = 5 + 1 + 22 = 28

(22)

13

𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣6𝑣7 = 1 + 6 + 21 = 28 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣7𝑣1 = 6 + 2 + 20 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 = 10 + 2 + 16 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣2 = 10 + 11 + 7 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣3 = 10 + 9 + 3 = 22 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0𝑣4 = 10 + 4 + 14 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0𝑣5 = 10 + 5 + 13 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣0𝑣6 = 10 + 1 + 17 = 28 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣0𝑣7 = 10 + 6 + 12 = 28

Terdapat nilai 𝑠 yang berbeda, sehingga graf 𝑊8 bukan graf edge magic.

Ilustrasi keempat, misalkan diberikan graf

wheel ber-order 9 seperti pada Gambar 29. 𝑊9: v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v8 v7

Gambar 29 Graf wheel ber-order 9. Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝑊9 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu 𝑓 𝑣0 = 13 𝑓 𝑣5 = 1 𝑓 𝑣1 = 7 𝑓 𝑣6 = 22 𝑓 𝑣2 = 20 𝑓 𝑣7 = 2 𝑓 𝑣3 = 8 𝑓 𝑣8 = 23 𝑓 𝑣4 = 21

Dipilih 𝑠 = 39, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1𝑣2 = 7 + 20 + 12 = 39 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2𝑣3 = 20 + 8 + 11 = 39 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3𝑣4 = 8 + 21 + 10 = 39 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣4𝑣5 = 21 + 1 + 19 = 39 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣5𝑣6 = 1 + 22 + 16 = 39 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣6𝑣7 = 22 + 2 + 15 = 39 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣7𝑣8 = 2 + 23 + 14 = 39 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣8𝑣1 = 23 + 7 + 9 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 = 13 + 7 + 19 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣2 = 13 + 20 + 6 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣3 = 13 + 8 + 18 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0𝑣4 = 13 + 21 + 5 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0𝑣5 = 13 + 1 + 25 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣0𝑣6 = 13 + 22 + 4 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣0𝑣7 = 13 + 2 + 24 = 39 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣0𝑣8 = 13 + 23 + 3 = 39

dan dapat digambarkan sebagai berikut

7 ₁₂ 20 11 8 10 21 19 1 16 22 15 2 14 23 9 13 6 18 5 25 4 24 3 19

Gambar 30 Pelabelan edge magic pada

graf 𝑊9.

Ilustrasi kelima, misalkan diberikan graf

wheel ber-order 11 dengan bentuk seperti pada Gambar 31. 𝑊11: v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10

(23)

14

Graf tersebut akan dilabeli sehingga memiliki graf edge magic. Misalkan simpul-simpul pada graf 𝑊11 dipadankan dengan suatu nilai, yaitu

𝑓 𝑣0 = 14 𝑓 𝑣6 = 4 𝑓 𝑣1 = 23 𝑓 𝑣7 = 22 𝑓 𝑣2 = 2 𝑓 𝑣8 = 5 𝑓 𝑣3 = 26 𝑓 𝑣9 = 25 𝑓 𝑣4 = 3 𝑓 𝑣10 = 8 𝑓 𝑣5 = 31

Dipilih 𝑠 = 46, maka diperoleh label sisi, sehingga 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣1𝑣2 = 23 + 2 + 21 = 46 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣2𝑣3 = 2 + 26 + 18 = 46 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣3𝑣4 = 26 + 3 + 17 = 46 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣4𝑣5 = 3 + 31 + 12 = 46 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣5𝑣6 = 31 + 4 + 11 = 46 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣6𝑣7 = 4 + 22 + 20 = 46 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣7𝑣8 = 22 + 5 + 19 = 46 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣9 + 𝑓 𝑣8𝑣9 = 5 + 25 + 16 = 46 𝑓 𝑣9 + 𝑓 𝑣10 + 𝑓 𝑣9𝑣10 = 25 + 8 + 13 = 46 𝑓 𝑣10 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣10𝑣1 = 8 + 23 + 15 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣1 + 𝑓 𝑣0𝑣1 = 14 + 23 + 9 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣2 + 𝑓 𝑣0𝑣2 = 14 + 2 + 30 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣3 + 𝑓 𝑣0𝑣3 = 14 + 26 + 6 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣4 + 𝑓 𝑣0𝑣4 = 14 + 3 + 29 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣5 + 𝑓 𝑣0𝑣5 = 14 + 31 + 1 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣6 + 𝑓 𝑣0𝑣6 = 14 + 4 + 28 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣7 + 𝑓 𝑣0𝑣7 = 14 + 22 + 10 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣8 + 𝑓 𝑣0𝑣8 = 14 + 5 + 27 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣9 + 𝑓 𝑣0𝑣9 = 14 + 25 + 7 = 46 𝑓 𝑣0 + 𝑓 𝑣10 + 𝑓 𝑣0𝑣10 = 14 + 8 + 24 = 46

dan dapat digambarkan sebagai berikut 23 21 2 18 26 17 3 12 31 11 4 20 22 19 16 25 13 8 15 14 9 30 6 29 1 28 10 27 7 24 5

Gambar 32 Pelabelan edge magic pada graf 𝑊11.

Dari beberapa ilustrasi tersebut dapat dilihat bahwa 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 dan 𝑛 ≡ 0 mod 4 yaitu 𝑊4 dan 𝑊8 bukan graf edge magic. Sedangkan 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 dan 𝑛 ≢ 0 mod 4 yaitu 𝑊6, 𝑊9, dan 𝑊11 merupakan graf edge magic.

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Dalam karya ilmiah ini telah dibuktikan bahwa graf cycle dan graf wheel memiliki pelabelan graf yang super edge magic. Selain itu ditunjukkan pula bahwa graf cycle 𝐶𝑛 adalah graf super edge magic jika dan hanya jika 𝑛 bilangan ganjil. Graf 𝐶𝑛 dengan order 𝑛 bilangan genap tidak dapat ditunjukkan mempunyai pelabelan super edge magic hanya dapat ditunjukkan pelabelan edge

magic-nya.

Dalam karya ilmiah ini juga ditunjukkan bahwa graf wheel 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 bukan

graf super edge magic, bahkan 𝑊𝑛 dengan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic. Graf

wheel 𝑊𝑛 hanya memiliki pelabelan edge magic pada saat 𝑛 ≢ 0 mod 4, sedangkan graf 𝑊𝑛 dengan order 𝑛 dan 𝑛 ≡ 0 mod 4 bukan graf edge magic.

Suatu graf 𝐺 memiliki pelabelan super

edge magic jika graf tersebut memiliki

pelabelan edge magic. Tetapi tidak berlaku untuk sebaliknya, yaitu suatu graf 𝐺 yang memiliki pelabelan edge magic belum tentu memiliki pelabelan super edge magic.

(24)

15

4.2 Saran

Karya ilmiah ini membahas pelabelan

super edge magic pada graf cycle dan graf wheel. Bagi yang berminat membuat karya

ilmiah yang berhubungan dengan pelabelan

super edge magic dapat mencari pada graf

selain dari graf cycle dan graf wheel, misalnya pada graf complete, graf complete bipartite, graf Petersen yang diperumum, atau pada graf yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Chartrand G, Oellermann OR. 1993. Applied

and Algorithmic Graph Theory. New

York: McGraw-Hill.

Enomoto H, Llado AS, Nakamigawa T, Ringel G. 1998. Super edge-magic graphs. SUT Journal of Mathematics 34: 105-109.

Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Springer-Verlag.

Fukuchi Y. 2001. Edge-magic labelings of wheel graphs. Tokyo J. Math 24: 153-167.

(25)

16

(26)

17

Lampiran 1 bukti graf 𝐶4 bukan graf super edge magic. Misalkan diberikan graf 𝐶4 dengan

banyaknya simpul 4 dan banyaknya sisi 4, dengan bentuk graf seperti pada Gambar 14. Untuk memperoleh pelabelan super edge

magic maka simpul dan sisinya dilabeli

dengan 𝑓: 𝑉 𝐶4 → {1, 2, 3, 4} dan 𝑓: 𝐸 𝐶4 → {5, 6, 7, 8}. Ada beberapa kemungkinan untuk melabeli graf 𝐶4, di antaranya:

(i) Misalkan 𝑓 𝑎 = 4 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 8 dan

𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 4 + 3 + 8

= 15

Untuk 𝑓 𝑐 = 2 dan 𝑓 𝑑 = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga

𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 15 3 + 2 + 𝑓(𝑏𝑐) = 15 𝑓(𝑏𝑐) = 10 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 15 2 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 15 𝑓(𝑐𝑑) = 12 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 15 4 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 15 𝑓(𝑎𝑑) = 10 𝑓(𝑏𝑐) = 𝑓(𝑎𝑑) = 10 dan 𝑓(𝑐𝑑) = 12 tidak mungkin karena 𝑓: 𝑉 𝐶4 → {1, 2, 3, 4} dan 𝑓: 𝐸 𝐶4 → {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

1

2 3

8

Gambar 33 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 2, 𝑓 𝑑 = 1, dan 𝑓 𝑎𝑏 = 8.

Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 2 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 15 3 + 1 + 𝑓(𝑏𝑐) = 15 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 15 1 + 2 + 𝑓(𝑐𝑑) = 15 𝑓(𝑐𝑑) = 12 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 15 4 + 2 + 𝑓(𝑎𝑑) = 15 𝑓(𝑎𝑑) = 9 𝑓(𝑏𝑐) = 11, 𝑓(𝑐𝑑) = 12, dan 𝑓(𝑎𝑑) = 9 tidak mungkin karena 𝑓: 𝑉 𝐶4 → {1, 2, 3, 4} dan 𝑓: 𝐸 𝐶4 → {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

8

(ii) Misalkan 𝑓 𝑎 = 4 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 7 dan

𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 4 + 3 + 7

= 14

Untuk 𝑓 𝑐 = 2 dan 𝑓 𝑑 = 1 tidak ada nilai yang mungkin, sehingga

𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 14 3 + 2 + 𝑓(𝑏𝑐) = 14 𝑓(𝑏𝑐) = 9 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 14 2 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 14 𝑓(𝑐𝑑) = 11 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 14 4 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 14 𝑓(𝑎𝑑) = 9 𝑓(𝑏𝑐) = 𝑓(𝑎𝑑) = 9 dan 𝑓(𝑐𝑑) = 11 tidak mungkin karena 𝑓: 𝑉 𝐶4 → {1, 2, 3, 4} dan 𝑓: 𝐸 𝐶4 → {5, 6, 7, 8}, dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

1

2 3

7

(27)

18

Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 2 ada nilai yang mungkin, yaitu

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 14 4 + 2 + 𝑓(𝑎𝑑) = 14 𝑓(𝑎𝑑) = 8

Ada dua kemungkinan untuk 𝑓(𝑏𝑐) yaitu 5 dan 6. Jika 𝑓(𝑏𝑐) = 5 maka 𝑠 = 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓(𝑏𝑐) = 3 + 1 + 5 = 9 Jika 𝑓(𝑏𝑐) = 6 maka 𝑠 = 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓(𝑏𝑐) = 3 + 1 + 6 = 10

Karena untuk 𝑓 𝑏𝑐 = 5 yaitu 𝑠 = 9 dan 𝑓 𝑏𝑐 = 6 yaitu 𝑠 = 10, maka 𝑠 = 14 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk 𝑓(𝑐𝑑) yaitu 5 dan 6 maka 𝑠 = 14 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

7 8

Gambar 36 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 7, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 8. (iii) Misalkan 𝑓 𝑎 = 4 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 6 dan

𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 4 + 3 + 6

= 13

Untuk 𝑓 𝑐 = 2 dan 𝑓 𝑑 = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 13 4 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 13 𝑓(𝑎𝑑) = 8 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 13 3 + 2 + 𝑓(𝑏𝑐) = 13 𝑓(𝑏𝑐) = 8

Karena ada nilai yang sama yaitu 𝑓(𝑎𝑑) = 𝑓(𝑏𝑐) = 8 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu

𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 13 2 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 13 𝑓(𝑐𝑑) = 10

Sehingga dapat digambarkan sebagai berikut 4 1 2 3 6

Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 2 ada nilai yang mungkin, yaitu

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 13 4 + 2 + 𝑓(𝑎𝑑) = 13 𝑓(𝑎𝑑) = 7

Ada dua kemungkinan untuk 𝑓(𝑏𝑐) yaitu 5 dan 8. Jika 𝑓(𝑏𝑐) = 5 maka 𝑠 = 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓(𝑏𝑐) = 3 + 1 + 5 = 9 Jika 𝑓(𝑏𝑐) = 8 maka 𝑠 = 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓(𝑏𝑐) = 3 + 1 + 8 = 12

Karena untuk 𝑓 𝑏𝑐 = 5 yaitu 𝑠 = 9 dan 𝑓 𝑏𝑐 = 8 yaitu 𝑠 = 12, maka 𝑠 = 13 tidak dipenuhi. Dengan cara yang sama untuk 𝑓(𝑐𝑑) yaitu 5 dan 8 maka 𝑠 = 13 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

4

2

1 3

6 7

Gambar 38 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 6, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 7. (iv) Misalkan 𝑓 𝑎 = 4 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 5 dan

𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 4 + 3 + 5

(28)

19

Untuk 𝑓 𝑐 = 2 dan 𝑓 𝑑 = 1 ada nilai yang mungkin, yaitu

𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 12 4 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 12 𝑓(𝑎𝑑) = 7 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 12 3 + 2 + 𝑓(𝑏𝑐) = 12 𝑓(𝑏𝑐) = 7

Karena ada nilai yang sama yaitu 𝑓(𝑎𝑑) = 𝑓(𝑏𝑐) = 7 maka syarat pelabelan super edge magic tidak dipenuhi. Dan ada nilai yang tidak mungkin juga, yaitu

𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 12 2 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 12 𝑓(𝑐𝑑) = 9

Dan dapat digambarkan sebagai berikut 4

1

2 3

5

Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 2 ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 12 3 + 1 + 𝑓(𝑏𝑐) = 12 𝑓 𝑏𝑐 = 8 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 12 4 + 2 + 𝑓(𝑎𝑑) = 12 𝑓(𝑎𝑑) = 6 4 2 1 3 5 6 8

Gambar 40 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 4, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 1, 𝑓 𝑑 = 2, 𝑓 𝑎𝑏 = 5, 𝑓 𝑏𝑐 = 8, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 6.

Kemungkinan untuk 𝑓 𝑐𝑑 yaitu 7, sehingga

𝑠 = 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 1 + 2 + 7

= 10

Karena untuk 𝑓 𝑐𝑑 = 7 yaitu 𝑠 = 10 maka 𝑠 = 12 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan seperti pada Gambar 40. (v) Misalkan 𝑓 𝑎 = 1 dan 𝑓 𝑏 = 2, maka

𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 8 dan

𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 1 + 2 + 8

= 11

Untuk 𝑓 𝑐 = 3 dan 𝑓 𝑑 = 4 ada nilai yang mungkin, sehingga

𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 11 2 + 3 + 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓(𝑏𝑐) = 6 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 11 3 + 4 + 𝑓(𝑐𝑑) = 11 𝑓(𝑐𝑑) = 4 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 11 1 + 4 + 𝑓(𝑎𝑑) = 11 𝑓(𝑎𝑑) = 6

Karena ada nilai yang sama yaitu 𝑓(𝑏𝑐) = 𝑓(𝑎𝑑) = 6 dan 𝑓(𝑐𝑑) = 𝑓 𝑑 = 4 maka syarat pelabelan super

edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat

digambarkan sebagai berikut 1 4 3 2 8 6

Gambar 41 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 1, 𝑓 𝑏 = 2, 𝑓(𝑐) = 3, 𝑓 𝑑 = 4, 𝑓 𝑎𝑏 = 8, dan 𝑓 𝑏𝑐 = 6. Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 4 dan 𝑓 𝑑 = 3 ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 11 2 + 4 + 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓 𝑏𝑐 = 5 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 11 1 + 3 + 𝑓(𝑎𝑑) = 11 𝑓(𝑎𝑑) = 7

𝑠 = 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 4 + 3 + 6

(29)

20

Karena untuk 𝑓 𝑐𝑑 = 6 yaitu 𝑠 = 13 maka 𝑠 = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

1 3 4 2 8 7 5

(vi) Misalkan 𝑓 𝑎 = 2 dan 𝑓 𝑏 = 3, maka 𝑓 𝑎𝑏 yang mungkin adalah 𝑓 𝑎𝑏 = 6 dan 𝑠 = 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏 + 𝑓(𝑎𝑏) = 2 + 3 + 6 = 11 2 1 4 3 6 8

Gambar 43 Graf 𝐶4 yang dilabeli dengan 𝑓 𝑎 = 2, 𝑓 𝑏 = 3, 𝑓(𝑐) = 4, 𝑓 𝑑 = 1, 𝑓 𝑎𝑏 = 6, dan 𝑓 𝑎𝑑 = 8. Untuk 𝑓 𝑐 = 4 dan 𝑓 𝑑 = 1 ada nilai yang mungkin, sehingga

𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 11 3 + 4 + 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓(𝑏𝑐) = 4 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 11 4 + 1 + 𝑓(𝑐𝑑) = 11 𝑓(𝑐𝑑) = 6 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 11 2 + 1 + 𝑓(𝑎𝑑) = 11 𝑓(𝑎𝑑) = 8

Karena ada nilai yang sama yaitu 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑐𝑑) = 6 dan 𝑓(𝑏𝑐) = 𝑓 𝑐 = 4 maka syarat pelabelan super

edge magic tidak dipenuhi. Dan dapat

digambarkan seperti pada Gambar 43. Sedangkan untuk 𝑓 𝑐 = 1 dan 𝑓 𝑑 = 4 ada nilai yang mungkin, sehingga 𝑓 𝑏 + 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑏𝑐 = 11 3 + 1 + 𝑓(𝑏𝑐) = 11 𝑓 𝑏𝑐 = 7 𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑎𝑑 = 11 2 + 4 + 𝑓(𝑎𝑑) = 11 𝑓(𝑎𝑑) = 5

𝑠 = 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑑 + 𝑓 𝑐𝑑 = 1 + 4 + 8

= 13

Karena untuk 𝑓 𝑐𝑑 = 8 yaitu 𝑠 = 13 maka 𝑠 = 11 tidak dipenuhi. Dan dapat digambarkan sebagai berikut

2 4 1 3 6 5 7

Dilihat dari beberapa kemungkinan untuk melabeli graf 𝐶4 tersebut maka graf 𝐶4 bukan graf super edge magic.