Karakteristik dinamis struktur domes berelemen membran

(1)

Karakteristik dinamis struktur domes berelemen membran

(DYNAMICS CHARACTERISTIC of THE STRUCTURAL DOMES USING SHELL ELEMENT )

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Memperoleh Gelar Sarjana Teknik

Dikerjakan Oleh :

Devy Sari Purniawati NIM. I.0101060

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2005

(2)

BERELEMEN MEMBRAN

(DYNAMICS CHARACTERISTIC of THE STRUCTURAL DOMES USING SHELL ELEMENT )

Dikerjakan Oleh :

DEVY SARI PURNIAWATI NIM. I 0101060

SKRIPSI

Telah disetujui untuk dipertahankan di hadapan Tim Penguji Pendadaran Fakultas Teknik

Universitas Sebelas Maret Disetujui,

PEMBIMBING I PEMBIMBING II

Ir. AGUS SUPRIYADI, MT SENOT SANGADJI, ST, MT NIP. 131 792 199 NIP. 132 258 673

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2005

(3)

PADA STRUKTUR SDOF

(ACTIVE CONTROL ALGORITHM WITH PID CONTROLLER ON SDOF STRUCTURE)

SKRIPSI Dikerjakan Oleh :

DEVY SARI PURNIAWATI NIM. I 0101060

Dipertahankan didepan Tim Penguji Pendadaran Fakultas Teknik Universitas Sebelas Maret Surakarta dan diterima guna memenuhi salah satu persyaratan untuk mendapatkan gelar Sarjana Teknik.

Pada hari : Selasa

Tanggal : 25 Januari 2005

Tim Penguji Pendadaran :

Ketua : Ir. AGUS SUPRIYADI, MT : ……….. NIP. 131 792 199

Anggota 1 : SENOT SANGADJI, ST,MT : ……….. NIP. 132 134 682

Anggota 2 : STEFANUS A K, ST, MSc, PhD : ……….. NIP. 132 134 682

Anggota 3 : EDY PURWANTO, ST, MT : ……….. NIP. 132 163 113

Mengetahui, Disahkan oleh :

a.n Dekan, Ketua Jurusan Teknik Sipil,

Ir. Paryanto, MS Ir. Agus Supriyadi, MT

NIP. 131 569 244 NIP. 131 792 199

(4)

Keinginan manusia adalah seperti koin-koin kecil yang dibawanya dalam sebuah kantung. Semakin banyak yang dimilikinya akan semakin memberatkannya.

Hidup adalah rintangan yang harus dihadapi, perjuangan yang harus dimenangkan, rahasia yang harus digali, dan anugerah yang harus dipergunakan.

Hal kecil membentuk kesempurnaan, tapi kesempurnaan bukanlah hal kecil.

If life is a river and your heart is aboat, the water is flowing spirit keep you float.

Always welcome thw new morning with a new spirit, a sime on your face, love in your heart and good thoughts in your mind.

Forget the mistake that you have made, but don’t forget the lesson you learned.

(5)

UNTUK PAPA, MAMA, KEDUA KAKAK, DAN ADIKKU DI YOGYAKARTA

(6)

Devy Sari Purniawati, 2005, Karakteristik Dinamis Struktur Domes

Berelemen Membran. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Sebelas

Maret Surakarta.

Struktur domes adalah bangunan alternatif yang tahan terhadap gelombang air maupun tekanan angin yang cukup besar. Domes juga tahan terhadap getaran gempa bumi dan bahaya kebakaran. Biaya pembuatan domes relatif murah karena tidak memakai balok dan kolom.

Analisis ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana pengaruh bentuk elemen (shell) pada struktur monolithic dome dari beton bertulang dan berapa besarnya periode getar dan frekuensi alami domes pada kondisi unforced vibration.

Hasil analisis menunjukkan bahwa modus getar dome berelemen shell persegi berbentuk asimetris dan dome berelemen shell belah ketupat terdeformasi cukup signifikan di puncak menyebabkan kedua domes tersebut tidak memiliki tingkat kestabilan yang cukup. Modus getar dome berelemen shell segitiga berbentuk simetris, hal ini menunjukkan bahwa dome berelemen shell segitiga cukup stabil. Besarnya periode getar dan frekuensi alami pada fundamental mode (modus pertama) kondisi unforced vibration shell persegi adalah 0.07354 detik dan 13.59 Hz, segitiga adalah 0.07358 detik dan 13.59 Hz, belah ketupat adalah 0.07437 detik dan 13.45 Hz.

(7)

Puji dan Syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha esa, sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian dengan judul Karakteristik Dinamis Struktur Domes Berelemen Membran. Penelitian ini bertujuan untuk melengkapi persyaratan memperoleh gelar Sarjana Teknik pada Fakultas Teknik, Jurusan Teknik Sipil, Universitas Sebelas Maret Surakarta.

Penulis ingin mengucapkan terima kasih secara khusus kepada Bapak Ir.Agus Supriyadi, MT dan Bapak Senot Sangadji, ST, MT selaku pembimbing skripsi penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian ini dengan baik.

Semoga penelitian ini dapat memberikan manfaat bagi semua pembaca yang budiman.

Surakarta, Januari 2005

Penulis,

(8)

HALAMAN JUDUL i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ii

HALAMAN PENGESAHAN iii

HALAMAN MOTTO iv

HALAMAN PERSEMBAHAN v

ABSTRAK vi

KATA PENGANTAR vii

UCAPAN TERIMA KASIH viii

DAFTAR ISI ix

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL xi

DAFTAR TABEL xiv

DAFTAR GAMBAR xv

DAFTAR LAMPIRAN xvi

BAB I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Identifikasi Masalah 2

1.3 Rumusan Masalah 3

1.4 Batasan Masalah 3

1.5 Manfaat dan Tujuan 4

BAB II LANDASAN TEORI 5

2.1 Tinjauan Pustaka 5

2.2 Dasar Pemikiran 6

2.3 Persamaan Differensial Gerakan Struktur MDOF 7 2.4 Solusi Modus Getar dan Frekuensi Alami 9

2.5 Model Elemen Hingga 11

2.5.1 Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Segitiga 15 2.5.2 Idealisasi Matriks Kekakuan Struktur Persegi 21 2.5.3 Proses pembentukan Persamaan Global Struktur 24 2.5.4 Perhitungan Tegangan Elemen 25

(9)

3.1 Uraian Umum 25 3.2 Analisis Model 25 3.3 Deskripsi Domes 25 3.3.1 Permodelan Struktur 26 3.4 Metode Analisis 26 3.5 Kerangka Analisis 26 3.6 Tahap Analisis 28

BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN 30

4.1 Analisis Struktur Dome 30

4.1.1 Struktur Dome Elemen Shell Persegi 30 4.1.2 Struktur Dome Elemen Shell Segitiga 34 4.1.3 Struktur Dome Elemen Shell Belah Ketupat 38

4.2 Pembahasan 41

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 44

5.1 Kesimpulan 44

5.2 Saran 44

DAFTAR PUSTAKA xvii

LAMPIRAN xviii

(10)

Tabel 4.1 Tabel Partisipasi Mode 32 Tabel 4.2 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar 32 Tabel 4.3 Joint Displacement Struktur 33 Tabel 4.4 Gaya Dalam dan Tegangan Elemen Shell 35 Tabel 4.5 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar Struktur 36 Tabel 4.6 Joint Displacement Struktur 36 Tabel 4.7 Gaya Dalam dan Tegangan Elemen Shell 38 Tabel 4.8 Data Frekuensi Alami dan Periode Getar Struktur 40 Tabel 4.9 Joint Displacement Struktur 40 Tabel 4.10 Gaya Dalam dan Tegangan Elemen Shell 41 Tabel 4.11 Perbandingan Nilai Joint Displacement Maksimum 43 Tabel 4.12 Perbandingan Nilai Periode Getar dan Frekuensi Alami 43 Tabel 4.13 Perbandingan Gaya Dalam dan Tegangan Dalam Shell 43

(11)

Gambar 1.1 Model Dome yang Bervariasi 1 Gambar 1.2 Desain Elemen Struktural Dome 2

Gambar 2.1 (a) Sistem dengan Tiga Derajat Kebebasan Teredam

(b) Free-Body Diagram 7

Gambar 2.2 Elemen Segitiga Dalam Tiga Dimensi 14 Gambar 2.3 Elemen Segitiga Pada Koordinat Global 15 Gambar 2.4 Elemen Segitiga Pada Koordinat Lokal 16 Gambar 2.5 Elemen Shell Rectangular dengan Empat Joint 20 Gambar 2.6 Elemen Persegi dengan Koordinat Global 21 Gambar 3.1 Diagram Ilustrasi Global Penelitian 27 Gambar 3.2 Diagram Alir Proses Perhitungan Secara Umum 28 Gambar 3.3 Diagram Alir Perhitungan dengan Komputer 29 Gambar 4.1 Crenosphere Stadion di Amerika Serikat Tinggi

Maksimum dome mencapai 500ft dengan diameter

Maksimum 1000ft 30

Gambar 4.2 Dome dengan Elemen Shell Persegi 30 Gambar 4.3 Modus Getar Pertama dengan Periode Getar

(T= 0,07354 detik) 31

Gambar 4.4 Distribusi Gaya Shell Maksimum pada Tiap Tingkat Mode 32 Gambar 4.5 Distribusi Momen Shell Maksimum pada

Tiap Tingkat Mode 32

Gambar 4.6 Distribusi Gaya Shell Maksimum pada

Gambar 4.7 Distribusi Tegangan Shell Maksimum pada

Gambar 4.8 Dome Kaca dengan Elemen Shell Segitiga 34 Gambar 4.9 Dome dengan Elemen Shell Segitiga 34 Gambar 4.10 Modus Getar Pertama dengan Periode Getar

(T= 0,07358 detik) 35

(12)

pada Tiap Tingkat Mode 35 Gambar 4.12 Distribusi Momen Shell Maksimum

Pada Tiap Tingkat Mode 35

Gambar 4.13 Distribusi Gaya Geser Shell Maksimum

Gambar 4.14 Distribusi Tegangan Shell Maksimum

Gambar 4.15 Dome dengan Elemen Shell Belah Ketupat 38 Gambar 4.16 Modus Getar Pertama dengan Periode Getar

(T=0,07438 detik) 38

Gambar 4.17 Distribusi Gaya Shell Maksimum

Gambar 4.18 Distribusi Momen Shell Maksimum

Gambar 4.19 Distribusi Gaya Geser Maksimum

Gambar 4.20 Distribusi Tegangan Shell Maksimum

Gambar 4.21 Perbandingan Pola Getaran Struktur Domes 41 Gambar 4.22 Domes dengan Elemen Shell Belah Ketupat

Tampak dari atas 41

(13)

Lampiran A Hasil Analisis Model

A-1 Model Shell Elemen Persegi A-2 Model Shell Elemen Segitiga A-3 Model Shell Elemen Belah Ketupat Lampiran B Surat-surat Skripsi

(14)

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dome merupakan suatu alternatif bangunan struktural yang memiliki banyak keunggulan. Model struktur dome yang spherical atau elliptical membuatnya sangat aerodinamis dalam menahan beban angin, tornado, maupun hurricane apabila dibandingkan dengan struktur biasa yang cenderung memakai bentuk flat/datar. Sebuah dome mampu menahan angin hingga berkecepatan 150 mph bahkan juga hurricane dengan kecepatan 300 mph.[1]

Struktur dome banyak digunakan sebagai struktur rumah tinggal di pantai-pantai Amerika Serikat karena memiliki ketahanan terhadap gelombang air maupun tekanan angin yang cukup besar misalnya seperti bangunan dome di Porth Arthur, Texas.

Keunggulan lain dari dome adalah ketahanannya terhadap getaran gempa bumi. Hal ini disebabkan oleh karena ikatan antara struktur dome dengan pondasi yang dibuat rigid dan monolith sehingga tidak terdapat eksentrisitas yang bisa menyebabkan puntir pada struktur utama.

Gambar 1.1. Model Dome yang Bervariasi

Struktur dome juga sangat preventif terhadap bahaya kebakaran. Monolithic dome yang terbuat dari beton tentu saja tahan terhadap panas api bila dibandingkan dengan struktur biasa yang masih memakai elemen kayu dan baja.

(15)

Resiko bangunan rusak oleh serangga, tikus, maupun kucing dapat dihindari karena struktur dome terbuat dari beton dan monolithic.

Biaya pembuatannya pun lebih murah, hal ini bisa dilihat dari desain dome yang tidak memakai elemen atap dan plafond yang kadang biaya konstruksinya mencapai 300.000.000 rupiah tiap 941.411 m2.

Gambar 1.2. Desain Elemen Struktural Dome

Desain dome yang baik dan optimal harus mampu memberi ketahanan struktural terhadap beban angin dan beban gempa bumi. Gempa bumi, tanah, dan pondasi struktur biasanya bergetar pada periode 0.2 hingga 1.2 detik, sedangkan angin pada umumnya berhembus dengan periode getar sebesar 2 detik atau dengan frekuensi alami 0.5 Hz. Sehingga diperlukan desain elemen shell dari dome yang tepat baik berbentuk triangular, rectangular, maupun diamond untuk mencapai kondisi getaran struktur yang berada jauh dari resonansi getaran gempa bumi maupun beban angin.

1.2 Identifikasi Masalah

Dome dapat dibuat dari bermacam-macam elemen mulai dari beton, beton bertulang, aluminium (logam), batu, batu bata (masonry), polyurethane, dan sebagainya. Masing-masing bahan memiliki ketahanan dan modulus elastisitas yang berbeda sehingga dalam desain dome perlu diperhatikan pemilihan elemen yang tepat sehingga bisa dicapai desain yang optimal dari segi durabilitas, ketahanan struktur, dan ekonomis.

Model shell element dari struktur dome juga perlu dikaji untuk mendapatkan desain yang terkuat, shell element dengan area yang luas dan bentuk

(16)

yang jauh dari segitiga akan memperlemah struktur karena memberikan respon dinamis dan tegangan inersia yang besar saat struktur diguncang oleh gempa bumi atau tertekan oleh angin.

Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan sebelumnya maka ditemukan beberapa masalah yang dapat dikaji diantaranya adalah tentang pengaruh bentuk atau model shell element pada struktur Plane Stress terhadap respon dinamis struktur yang berupa respon perpindahan (joint displacement), frekuensi alami, tegangan membran dan modus getar.

1.3 Rumusan Masalah

Bagaimana pengaruh bentuk elemen (shell) pada struktur monolithic dome dari beton bertulang : triangular, rectangular, atau diamond terhadap karakteristik dinamis (frekuensi alami, periode getar, modus getar, dan displacement).

1.4 Batasan Masalah

Pada penulisan tugas akhir ini analisis struktur dibatasi secara elastis, struktur dome yang dianalisis hanya sampai dengan keadaan bahwa struktur belum mengalami retak. Dalam kondisi elastis beton dapat dianggap sebagai bahan yang homogen dan isotropis. Lingkup permasalahan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut :

a. Bangunan sebagai building house ditepi pantai bertingkat dua terbuat dari beton bertulang.

b. Jenis dome yang ditinjau adalah monolithic dengan model hemispherical. c. Struktur didiskritisasikan ke dalam bentuk dua dimensi, yaitu plane stress d. Derajat kebebasan struktur berupa MDOF.

e. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell rectangular 1:2. f. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell triangular 1:1. g. Rasio panjang sisi-sisi elemen shell diamond 1:1. h. Respon dinamis yang ditinjau adalah sebagai berikut :

(17)

2. Frekuensi alami 3. Periode getar struktur

4. Tegangan membran (axial, bending tensile, shear)

1.5 Manfaat dan Tujuan

Tujuan utama dari penulisan skripsi ini adalah untuk menjawab rumusan masalah yang ada, yaitu bagaimana menciptakan model desain shell element yang terbaik untuk menciptakan struktur domes yang memiliki kekuatan maksimal terhadap gempa bumi dan angin.

Sedangkan manfaat yang dapat diambil adalah sebagai berikut : a. Manfaat Teoritis

Untuk dijadikan dasar pengetahuan di bidang perencanaan desain shell element struktur domes hemispherical yang tahan terhadap angin dan gempa bumi.

b. Manfaat Praktis

Untuk lebih menyebarluaskan pemakaian domes hemispherical berelemen membran sebagai salah satu alternatif dalam desain struktur di Indonesia.

BAB II

(18)

2.1 Tinjauan Pustaka

Beban dinamik adalah setiap beban yang besarnya, arah atau posisinya berubah menurut waktu. Demikian pula respon struktur terhadap beban dinamik, yaitu lendutan dan tegangan yang dihasilkan juga mengalami perubahan waktu, atau bersifat dinamik. (R.W. Clough & Penzein, 1988).

Kemudian R.W. Clough & Penzein (1988) juga mengatakan bahwa masalah dinamika struktur adalah sifat perubahan menurut waktu sehingga masalah dinamik tidak mempunyai penyelesaian tunggal, seperti pada masalah statis. Analisisnya harus menentukan penyelesaian berturut-turut sesuai dengan semua waktu yang penting dalam riwayat respon. Jadi masalah dinamis jelas lebih kompleks dan banyak menyita waktu daripada masalah statis.

Analisis dinamik ini digunakan pada struktur-struktur khusus yaitu : gedung yang strukturnya tidak beraturan, gedung dengan loncatan bidang muka yang besar, gedung dengan tingkat kekakuan yang tidak merata, gedung yang tingginya lebih dari 40 m, gedung yang bentuk, ukuran, dan penggunaannya tidak umum. (Pedoman Perencanaan Ketahanan Gempa untuk Rumah dan Gedung, 1987).

Anil K Chopra (1995) menyatakan bahwa salah satu aplikasi penting dari teori dinamika struktur dalam rekayasa gempa adalah analisis respon dari struktur terhadap gerakan tanah yang diakibatkan oleh gempa bumi.

Pada analisis dinamik pertama-tama haruslah menentukan frekuensi alami dan modus getar struktur sebagai parameter dasar. Metode yang dikenal untuk masalah ini adalah penyelesaian nilai eigen dan vektor eigen dari struktur. (Senot Sangadji, 2004).

Modal Analysis Method adalah metode yang memakai standar mode shapes pada struktur MDOF dengan kondisi unforced vibration. Pada kondisi tersebut akan diperoleh suatu pola/ragam goyangan struktur MDOF yang dikenal secara umum dengan standar mode shapes, karena respon struktur merupakan fungsi langsung atas mode shapes struktur yang bersangkutan. (Widodo. 2001).

(19)

Clough & Penzien (1993) mengatakan bahwa metode ini juga mempunyai kelemahan yaitu terletak pada penyelesaian eigenproblem untuk mencari nilai/koordinat mode shapes. Karena proses tranformasi dari coupled menjadi uncoupled, persamaan differensial menjadi uncoupled maka tidak diperlukan matriks massa, matrik redaman, dan matriks kekakuan.

Persamaan eigenproblem merupakan karakteristik struktur yang berupa hubungan antara massa dan kekakuan struktur. Hubungan tersebut akan menentukan nilai frekuensi sudut dan periode getar dari struktur. (Widodo, 2001).

2.2 Dasar Pemikiran

Cangkang (domes) adalah bentuk struktural tiga dimensional yang kaku dan tipis yang mempunyai permukaan lengkung. Permukaan cangkang dapat mempunyai sembarang bentuk. Bentuk yang umum adalah permukaan yang berasal dari kurva yang diputar terhadap satu sumbu (misalnya permukaan bola, ellips, kerucut dan parabola).

Beban – beban yang bekerja pada permukaan domes diteruskan ke tanah dengan menimbulkan tegangan geser, tarik, dan tekan pada arah dalam bidang (in-plane) permukaan tersebut. Tipisnya permukaan domes menyebabkan tidak adanya tahanan momen yang berarti.

Domes tersusun atas elemen – elemen shell yang tertata rapi membentuk kubah. Elemen – elemen shell ini sangat tipis dengan bentang relatif besar tetapi sangat kuat untuk menahan beban angin dan gempa bumi.

Berdasarkan definisi tersebut, dapat disimpulkan bahwa dalam struktur domes elemen shell berperan sebagai penahan beban, baik beban mati maupun beban hidup yang bekerja pada struktur.Kondisi tersebut menyebabkan integritas domes sangat bergantung pada elemen shell, baik bentuk, ukuran maupun ketebalannya.

Pemilihan bentuk, ukuran maupun ketebalan shell yang tepat harus menjadikan struktur memiliki kekakuan yang cukup sehingga memiliki frekuensi alami tertentu yang jauh dari frekuensi alami angin dan gempa bumi.

(20)

2.3 Persamaan Differensial Gerakan Struktur MDOF

Secara umum struktur bangunan gedung tidaklah selalu dapat dinyatakan didalam suatu sistem yang mempunyai derajat kebebasan tunggal (SDOF). Struktur seperti domes dan sejenisnya yang mempunyai bentuk fisik kontinu, maka pada struktur – struktur seperti itu akan mempunyai derajat kebebasan tak terhingga atau derajat kebebasan banyak (multi degree of freedom).

Derajat kebebasan adalah derajat independensi yang diperlukan untuk menyatakan posisi suatu sistem pada suatu saat, jadi sistem kebebasan derajat banyak adalah suatu sistem yang punya beberapa titik yang dapat berpindah secara berbeda. Anggapan seperti prinsip shear building berlaku pada struktur dengan derajat kebebasan banyak (MDOF). Untuk memperoleh persamaan differensial tersebut, maka tetap dipakai prinsip keseimbangan dinamik (dynamic equilibrium) pada suatu massa yang ditinjau. Untuk memperoleh persamaan tersebut maka diambil model struktur MDOF seperti Gambar 2.1

Gambar 2.1 (a) Sistem dengan tiga derajad kebebasan teredam; (b) Free-Body Diagram

dimana : m = massa struktur

c = koefisisen redaman struktur

•

u = kecepatan relatif k = kekakuan tingkat u = nodal displacement p(t) = beban luar saat t

Berdasarkan pada kesetimbangan dinamik pada free body diagram gambar maka akan diperoleh :

P3(t) c1 c2 c3 k1 k2 k3 P1(t) P2(t) u1 u2 u3 (a) (b)

(21)

0 (t) p ) u u ( c ) u (u k u c u m₁ ₁+ ₁ 1 ₂ ₂ ₁ ₂ 2 1 ₁ = • • • • • (2.1) 0 (t) p ) u u ( c ) u (u k ) u u ( c ) u (u k u m2 2 2 2 1 + 2 2 1 3 3 2 3 3 2 2 = • • • • • • (2.2) 0 (t) p ) u u ( c ) u (u k u m₃ 3+ ₃ ₃ ₂ + ₃ 2 1 ₃ = • • • • (2.3)

Pada persamaan tersebut diatas tampak bahwa keseimbangan dinamik suatu massa yang ditinjau ternyata dipengaruhi oleh kekakuan, redaman dan simpangan massa sebelum dan sesudahnya. Persamaan dengan sifat – sifat seperti itu umumnya disebut coupled equation, karena persamaan – persamaan tersebut akan tergantung satu sama dengan yang lainnya. Penyelesaian persamaan tersebut harus dilakukan secara simultan, artinya dengan melibatkan seluruh persamaan yang ada.

Selanjutnya menyusun persamaan – persamaan diatas menurut parameter yang sama (percepatan, kecepatan, dan simpangan) sehingga akan diperoleh :

(t) p u k )u k (k u c u ) c (c u m₁ ₁+ ₁+ ₂ 1 ₂ ₂+ ₁+ ₂ ₁ ₂ ₁ = ₁ • • • • (2.4) (t) p u k )u k (k u k u c u ) c (c u c u m2 2 2 1+ 2+ 3 2 3 3 2 1+ 2+ 3 2 3 3 = 2 • • • • • (2.5) (t) p u k u k u c u c u m₃ 3 ₂ 2+ ₃ 3 ₃ ₂ + ₃ ₃ = ₃ • • • • (2.6)

Persamaan – persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

(22)

• • • • • • 3 2 1 3 2 1 u u u m 0 0 0 m 0 0 0 m + + + • • • 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 u u u c c 0 c c c c 0 c c c + + = + (t) p (t) p (t) p u u u k k 0 k k k k 0 k k k 3 2 1 3 2 1 3 3 3 3 2 2 2 2 1 (2.7)

Persamaan di atas dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompak : p(t) ku u c u m••+ •+ = (2.8)

Apabila struktur dengan derajat kebebasan banyak tersebut dikenai beban gempa bumi maka persamaan (2.8) menjadi :

{ }

•• • • • = + +cu ku m1 ug u m (2.9)

dimana {1}adalah vektor angka satu dan u adalah percepatan tanah. ••_g

2.4 Solusi Modus Getar dan Frekuensi Alami

Setiap benda memiliki bentuk modus dan frekuensi tertentu yang disebut modus getar dan frekuensi alami. Frekuensi memiliki satuan Hertz (Hz), seringkali dinyatakan dalam radian tiap satuan waktu dan disimbolkan dengan huruf latin N. Frekuensi dapat didefinisikan sebagai banyaknya siklus yang dilakukan selama satu detik. Invers dari frekuensi adalah periode, yaitu waktu yang dibutuhkan suatu benda untuk menyelesaikan satu siklus, dengan satuan detik (second). Setiap benda memiliki frekuensi alami dengan jumlah yang tidak terbatas, tetapi yang diperlukan dalam analisis seringkali hanyalah yang terendah (fundamental frequency).

Sedangkan modus atau mode adalah bentuk deformasi struktur ketika bergerak dalam satu periode tertentu. Modus sangat penting untuk diketahui karena ketika modus muncul, berarti ada banyak energi yang memakai suatu

(23)

struktur dan membuatnya bergetar. Jika energi yang memasukinya terlalu banyak sehingga melebihi kapasitas struktur, maka struktur akan mengalami keruntuhan karena amplitudo getarannya akan menjadi tak terhingga seiring dengan waktu dan disusul dengan hilangnya integritas struktur.

Angin topan memisahkan suatu rumah dari atapnya yaitu ketika angin menggunakan tekanan dan mulai mengangkat atap. Karena struktur domes tidak memiliki atap, maka angin tidak dapat memisahkan struktur domes. Frekuensi alami angin yang berkisar antara 0.5 Hz terletak diluar jangkauan frekuensi gempa yang berkisar antara 0.8-5 Hz.

Oleh karena itu sangatlah penting untuk mengetahui pada frekuensi berapa sebuah domes akan bergetar, sehingga struktur domes dapat dibuat agar memiliki modus pertama dengan deformasi tertentu dan frekuensi tertentu yang dianggap lebih baik bagi kekakuan dan integritas tertentu.

Karena sistem bergerak dengan getaran bebas, dapat diperoleh dengan menghilangkan matriks redaman dan vektor beban yang dikenakan dari persamaan (2.8) sehingga diperoleh :

0 ku u m••+ = (2.10)

dimana 0 adalah vektor nol. Masalah analisis getaran terdiri dari penentuan kondisi didalam persamaan diatas akan memungkinkan terjadi gerak. Untuk suatu sistem MDOF, diasumsikan getaran bebas adalah harmonis sederhana, yang dinyatakan sebagai : O) sin(Ni P u(t)= _n + (2.11)

dalam pernyataan P_n menggambarkan bentuk sistem (yang tidak berubah menurut waktu; hanya amplitudo yang berubah) dan adalah sudut fase. Perubahan perpindahan menurut waktu dinyatakan dalam fungsi harmonis sederhana sin (Nt+O). Bila diambil turunan kedua dari persamaan diatas, percepatan pada getaran bebas adalah :

(24)

sin P N u•₌ 2 _n • (Nt+O) = -N2u (2.12)

dengan mensubstitusikan persamaan (2.11) dan (2.12) ke persamaan (2.10) didapatkan :

sinN2mP_n _(Nt+O)+k n

P sin (Nt+O) = 0

(2.13)

karena bentuk sinus sembarang dan dapat dihilangkan persamaan diatas dapat ditulis :

(k-N2m)P_n ₌0 (2.14)

persamaan tersebut selalu mempunyai penyelesaian tak berarti (trivial solution) n

P = 0, yang tidak berguna karena dengan penyelesaian ini berarti tidak ada getaran. Persamaan diatas mempunyai penyelesaian yang berarti (nontrivial solution) jika : 0 m N k 2 ₌ (2.15)

persamaan (2.15) disebut persamaan karakteristik, persamaan frekuensi, atau eigenproblem.

Dengan memperluas determinan akan diperoleh persamaan aljabar berderajat N, dalam parameter _N2_{untuk sistem yang mempunyai N derajat kebebasan.}

Ke-N akar-akar persamaan ini (N₁,N₂,N₃,...N_N) menunjukkan frekuensi natural dari ke-N getaran yang mungkin terjadi pada sistem. Akar dari persamaan karakteristik dikenal sebagai nilai karakteristik, nilai normal atau nilai eigen. Jika frekuensi natural getaran N_N sudah diketahui, persamaan (2.14) dapat diselesaikan untuk mendapatkan vektor P . Nilai eigen atau nilai karakteristik _n tidak memberikan amplitudo yang pasti pada vektor P , tetapi nilai tersebut _n hanya akan sebanding antara yang satu dengan yang lain. Sehingga akan diperoleh

(25)

N vektor P yang dikenal sebagai pola normal (normal modes) atau bentuk pola _n natural (natural mode shapes), atau vektor eigen (eigenvectors).

2.5 Model Elemen Hingga (Plane Stress)

Realitas perilaku struktur yang rumit pada domes dan pada semua struktur pada umumnya menuntut proses analisis yang rumit dan hampir tidak dapat dilakukan, karena pada kenyataannya, struktur seperti ini memiliki massa yang terdistribusi secara kontinu pada keseluruhan bagiannya. Keadaan tersebut membuat struktur memiliki derajat kebebasan (Degree of Freedom) atau DOF yang tidak terhingga, sehingga jumlah komponen perpindahan yang harus dipertimbangkan menjadi tidak terhingga pula.

Agar perilaku domes ini dapat dianalisis dengan lebih mudah namun tetap mendekati perilaku yang sebenarnya, maka komponen perpindahan harus dinyatakan dalam bentuk jumlah terhingga dari koordinat yang sudah didiskretisasikan.

Untuk mendiskretisasikan koordinat perpindahan yang akan dianalisis, keseluruhan sistem harus dibagi-bagi menjadi sejumlah bagian yang tepat atau elemen-elemen yang perilakunya dengan mudah telah dimengerti dan telah dapat diformulasikan dalam bentuk aplikasi konsep matematis biasa dan kemudian merakit kembali sistem struktur asli dari elemen – elemen tersebut untuk mempelajari perilakunya.

Pada analisis tugas akhir ini, model didiskretisasikan ke dalam Plane Stress. Plane Stress adalah keadaan dimana tegangan normal dan tegangan geser yang tegak lurus bidang diasumsuikan nol (Daryil L Logan,1986).

. Matriks

[ ]

C dan matriks

[ ]

D keduanya merupakan matriks simetris.

Material kontinu yang diasumsikan bersifat isotropik, sehingga hubungan antara tegangan dan regangan dapat diturunkan, baik itu tegangan bidang maupun regangan bidang.

Tegangan bidang didasarkan atas asumsi bahwa :

0 0 0 z yz xz yz xz z = = = = = =

akan didapatkan komponen tegangan dari regangan:

y 2 x 2 x 1 E 1 E + = (2.18) y 2 x 2 y 1 E 1 E + = (2.19) G xy xy = (2.20)

Pada persamaan (2.20), G adalah konstanta elastisitas lain yang disebut modulus geser. Hubungan G terhadap modulus elastisitas (E) dinyatakan :

(27)

) 1 ( 2 E G + = (2.21)

persamaan (2.21) disubstirusikan ke persamaan (2.20) diperoleh :

xy xy E ) 1 ( 2 + = (2.22)

adalah angka poisson (Possion Ratio).

Persamaan (2.18), (2.19), dan (2.22) disubstitusikan ke persamaan (2.17) didapat hubungan antara tegangan dan regangan bidang sebagai berikut :

= xy y x 2 xy y x 2 1 0 0 0 1 0 1 1 E (2.23) dengan : = 2 1 0 0 0 1 0 1 1 E D ₂ (2.24)

[ ]

D adalah matriks kekakuan material tegangan bidang untuk Plane Stress.

(28)

Gambar (2.2) Elemen Segitiga dalam 3 Dimensi

Sifat – sifat material (material properties) yang diperlukan dalam analisis dengan elemen shell meliputi :

a. Modulus elastisitas (modulus of elasticity) b. Modulus geser (shear nodulus)

c. Poisson’s ratio, ketiga material properties diatas digunakan untuk menghitung kekakuan lentur dan geser transversal.

d. Koefisien ekspansi thermal (coefficient of thermal expansion), untuk menghitung ekspansi membran dan regangan lentur thermal.

e. Massa jenis (mass density), untuk menghitung massa elemen.

f. Berat jenis (weight density), untuk menghitung berat sendiri dan beban gravitasi.

(29)

x y

Y

X Gambar (2.3) Elemen Segitiga pada Koordinat Global

Untuk mengembangkan

[ ]

K didasarkan pada koordinat local x,y y vk uk k vi vj ui uj i j x

Gambar (2.4) Elemen Segitiga pada Koordinat Lokal

u = u (x,y) : komponen displacement arah sumbu x v = v (x,y) : komponen displacement arah sumbu y

Untuk persoalan ini “The Assumed Displacement Field” diambil sebagai polinomial linier dalam x dan y untuk u maupun v :

y a x a a u = ₁ + ₂ + ₃ (2.25)

(30)

y a x a a v= ₄ + ₅ + ₆ (2.26)

selanjutnya parameter non dimensional a₁,a₂,a₃...a₆ tersebut akan dinyatakan dalam fungsi “nodal degrees of freedom” di titik nodal i,j,k.

k 6 k 5 4 k k 3 k 2 1 k j 6 j 5 4 j j 3 j 2 1 i i 6 i 5 4 i i 3 i 2 1 i y a x a a v y a x a a u y a x a a v y a x a a u y a x a a v y a x a a u + + = + + = + + = + + = + + = + + =

persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks :

= 6 5 4 3 2 1 k k j j i i k k j j i i k j i k j i a a a a a a . y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1 0 0 0 y x 1 v v v u u u (2.27)

bila diinvers persamaan (2.27) menjadi :

= k j i k j i 6 x 6 6 5 4 3 2 1 v v v u u u . H 0 0 H A 2 1 a a a a a a (2.28)

(31)

: ½

(

x_j,x_i

)

(

y_k,y_i

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

= ½ x_jy_k 3 x 3 j k j k k k k j x x x x 0 y y 0 0 y x H= (2.30)

persamaan (2.25) dan (2.26) dapat ditulis dalam bentuk matriks :

= 6 5 4 3 2 1 a a a a a a . y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1 v u (2.31)

persamaan (2.31) disubstitusikan ke persamaan (2.28) diperoleh :

= k j i k j i v v v u u u H 0 0 H y x 1 0 0 0 0 0 0 y x 1 A 2 1 v u

(32)

[ ]

2x6

{ }

v (x,y) = komponen displacement arah sumbu y xy a y a x a a y x u( , )= ₁ + ₂ + ₃ + ₄ xy a y a x a a y x v( , )= ₅ + ₆ + ₇ + ₈ (2.39)

persamaan tersebut dapat ditulis menjadi :

[

(b x)(h y)u1 (b x))h y)u2 (b x)(h y)u3 (b x)(h y)u4

]

bh 4 1 ) y , x ( u = + + + + + + + ………(2 .40)

[

(b x)(h y)v1 (b x))h y)v2 (b x)(h y)v3 (b x)(h y)v4

]

bh 4 1 ) y , x ( v = + + + + + + + ………(2 .41)

kemudian diperoleh nilai N “Shape Function” :

(

)(

)

(

)(

)

bh 4 y h x b N bh 4 y h x b N1 2 + = =

(

)(

)

(

)(

)

bh 4 y h x b N bh 4 y h x b N₃ = + + ₄ = +

yang dapat ditulis kedalam bentuk matriks : e f g h x,u b b h h e u e v f u f v g u g v h u h v y,v

B.

{ }

u

(2.44)

sehingga didapat matriks kekakuan lokal :

[ ]

= h

[ ] [ ][ ]

h b b T dy dx t. B D B K (2.45)

dimana untuk Plane Stress matriks kekakuan material tegangan bidang dapat dilihat pada persamaan (2.24):

= 2 1 0 0 0 1 0 1 1 E D ₂

(37)

proses integrasi persamaan diatas cukup panjang, sehingga tidak ditulis secara lengkap disini. Hasil stiffness matrik elemen segitiga sebagai berikut :

[ ]

K =t×A×

[ ] [ ] [ ]

BT × D × B

(2.46)

dimana : K = matrik kekauan elemen t = tebal struktur

A = luas penampang elemen

D = matriks konstitutif (material) elemen

= + + + + + + + + y) (h x) (b y) (h x) (b y) (h x) (b y) (h x) (b x) (b 0 x) (b 0 x) (b 0 x) (b 0 0 y) (h 0 y) (h 0 y) (h 0 y) (h bh 4 1 B ……….(2.4 7)

2.5.3. Proses Pembentukan Persamaan Global Struktur

Setelah mendapatkan nilai

[ ]

K dari tiap-tiap elemen, nilai

[ ]

K tersebut digabung untuk mendapatkan nilai displacement. Penggabungan ini disebut assembling pada matriks kekakuan elemen, menggunakan metode yang sangat popular yaitu Direct stiffness Method.

[ ]

K s =0 sehingga tidak dapat

di inverskan. Tetapi setelah syarat batas diterapkan struktur akan bersifat immobile (tidak berpindah), determinan

[ ]

K menjadi _s " 0 sehingga solusi bisa dilakukan dan didapatkan nilai displacement.

(38)

Setelah syarat batas diterapkan persamaan (2.46) akan menghasilkan 1 set persamaan simultan : = n 2 1 n 2 1 mn 2 n 1 n n 2 22 21 n 1 12 11 f f f d d d . K K K k K K K K K M M L M M M M L L (2.49)

dengan metode persamaan linier program SAP 2000 dapat menghasilkan nilai displacement.

{ }

d merupakan unknown degrees of freedom yang biasa disebut Primary Unknowns yang merupakan parameter pertama kali terhitung dalam metode kekakuan.

2.5.4 Perhitungan Tegangan Elemen

Untuk struktur Plane Stress tegangan masing-masing elemen adalah sebagai berikut :

{ }

=

[ ] [ ]

D × B ×

{ }

d (2.50)

dimana :

{ }

=Tegangan bidang tiap elemen

[ ]

D = matriks kekakuan material

[ ]

B =matriks B

{ }

d =displacement

(39)

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Uraian Umum

Metodologi adalah cara atau prosedur untuk menjawab rumusan masalah yang telah dikemukakan, yaitu untuk mengetahui pengaruh bentuk atau model shell element pada struktur Plane Stress terhadap respon dinamis struktur yang berupa respon perpindahan (joint displacement), frekuensi alami, tegangan membran dan modus getar.

3.2 Analisis Model

Permodelan suatu struktur adalah mengidealisasikannya sebagai suatu sistem yang tersusun dari elemen – elemen yang layak, yang masih memberikan ketepatan yang cukup ketika perilakunya dianalisis dan dengan jumlah perhitungan yang masuk akal. (Walter, 1988)

3.3 Deskripsi Domes

Struktur dome yang dipilih untuk dianalisis adalah bangunan rumah sebagai building house di tepi pantai bertingkat dua berjenis monolithic dan spherical berdiameter 16 m dan tinggi 8 m.

(40)

3.3.1 Permodelan Struktur

Sifat–sifat material yang diidealisasikan dan digunakan sebagai parameter dalam analisis adalah sifat dari satu material utama pembentuk struktur aslinya, yaitu material beton C651. Sifat-sifat material tersebut adalah sebagai berikut : a. Massa per unit volume (m) = 1922.2063 kg/m3

b. Berat per unit volume (w) = 18850.404 N/m3 c. Modulus Elastisitas (E) = 2.57 x 1010 N/m2

d. Poisson’s Ratio ( ) = 0.2

e. Koefisien ekspansi thermal = 4 x 10-6 m/m/oC

3.4 Metode Analisis

Proses analisis struktur domes tidak mungkin dilakukan tanpa program komputer karena banyaknya derajat kebebasan (DOF) yang dimiliki struktur akan membuat matriks kekakuan dan matriks massa mempunyai ordo yang besar sehingga menyulitkan perhitungan, menyita waktu dan kurang akurat bila perhitungan dilakukan secara manual. Metode analisis yang digunakan adalah Modal Analysis Method.

3.5 Kerangka Analisis

Tahap analisis yang dilakukan untuk mencari pengaruh bentuk atau model shell element pada struktur Plane Stress terhadap respon dinamis struktur yang berupa respon perpindahan (joint displacement), frekuensi alami, tegangan membran dan modus getar dapat diuraikan sebagai berikut :

a. Memodelkan struktur dome dengan metode elemen hingga, termasuk pembebanan, dan parameter penyusunnya.

b. Menganalisis model struktur untuk mendapatkan ferekuensi alami, modus getar, dan displacement dari struktur dengan bantuan program komputer yaitu SAP 2000 menggunalkan Modal analysis Method.

(41)

Ilustrasi global penelitian ini bisa digambarkan dalam diagram sebagai berikut :

Gambar 3.1 Diagram Ilustrasi Global Penelitian STRUKTUR Domes BEBAN Berat sendiri Material Parameter Penyusunnya

ANALISIS

DINAMIS

Modal Analysis RESPON I Frekuensi alami RESPON II Modus Getar RESPON III Displacement

(42)

Persamaan Karakteristik

3.6 Tahap Analisis

Analisa dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

Gambar 3.3 Diagram Alir Proses Perhitungan Secara Umum

Data Struktur (Material dan Frame)

Pemodelan Struktur

Analisa Dinamis Struktur dengan Modal Analysis

Respon Perpindahan Struktur

MULAI

SELESAI

(43)

Gambar 3.5 Diagram Alir Perhitungan dengan Program Komputer

Program di atas dilakukan berulang-ulang dengan variasi model struktur

Data Struktur (Material dan Frame)

Pemodelan Struktur

MULAI

Analisa Data (Run Data)

Output :

Frekuensi Alami dan Periode Getar Modus Getar,

Joint Displacement

(44)

BAB IV

ANALISIS DAN PEMBAHASAN 4.1 Analisis Struktur Dome

Setelah selesai memodelkan 3 shell struktur domes, yaitu persegi, segitiga, dan belah ketupat dengan bantuan program SAP2000 didapatkan frekuensi alami, periode getar, displacement dan bentuk modus getar. Hasil analisis selengkapnya dapat dilihat pada lampiran A.

4.1.1 Struktur Dome Elemen Shell Persegi

Salah satu contoh model struktur dome dengan elemen shell persegi :

Gambar 4.1 Crenosphere Stadium di Amerika Serikat.

Tinggi maksimum dome mencapai 500 ft dengan diameter maksimum 1000 ft.

Model struktur dome yang digunakan pada analisis ini adalah gambar 4.2 berikut :

Gambar 4.2 Dome dengan elemen shell persegi

Monolithic domes di atas disusun oleh : 200 buah elemen shell, dengan luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 3.1225 m2, dan luas daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.2428 m2.

(45)

Hasil analisis didapatkan bahwa pada mode ke-1 kumulatif partisipasi modenya memberikan pengaruh terbesar bagi keseluruhan mode. Maka mode ke-1 akan digunakan sebagai dasar analisis desain struktur dome.

Gambar 4.3 Modus getar pertama dengan periode getar ( T = 0.07354 detik ).

Pada mode pertama dome mengalami deformasi terbesar pada bagian dasar struktur, hal ini terjadi karena luas elemen shell yang lebih besar dibandingkan dengan luasan shell di atasnya sehingga kekakuannya menjadi lebih kecil.

Data periode getar dan frekuensi alami struktur dalam kondisi tanpa beban dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

Tabel 4.2 Data frekuensi alami dan periode getar struktur

OutputCase Step Period Frequency

Text Text Sec Cyc/sec MODAL Mode 1 0,073539 13,598 MODAL Mode 2 0,073539 13,598 MODAL Mode 3 0,064251 15,564 Tabel 4.1 Tabel Partisipasi Mode

Step Period UX UY UZ SumUX SumUY SumUZ

Text Sec Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless Unitless

Mode 1 0,073539 0,695236 0,18267 2,17E-10 0,695236 0,18267 2,17E-10 Mode 2 0,073539 0,182671 0,695235 9,551E-11 0,877907 0,877905 3,125E-10 Mode 3 0,064251 3,501E-12 1,496E-11 6,386E-11 0,877907 0,877905 3,764E-10 Mode 4 0,06339 8,698E-12 2,536E-12 9,519E-11 0,877907 0,877905 4,715E-10 Mode 5 0,06339 1,792E-13 5,412E-12 1,057E-11 0,877907 0,877905 4,821E-10 Mode 6 0,060918 7,172E-15 1,144E-11 4,107E-12 0,877907 0,877905 4,862E-10 Mode 7 0,060918 4,426E-12 5,178E-13 1,124E-12 0,877907 0,877905 4,873E-10 Mode 8 0,057386 2,294E-11 3,594E-11 6,617E-13 0,877907 0,877905 4,88E-10

(46)

Tabel 4.3 Joint displacement struktur

U1 (m) U2(m) U3 (m) R1 (rad.) R2 (rad.) R3 (rad.)

maksimum 0,25714 0,253645 0,220642 0,218774 0,200597 0,221889

minimum -0,25364 -0,25711 -0,22081 -0,23563 -0,25367 -0,22181

Modus getar struktur pada step mode pertama, kedua, dan ketiga bisa dilihat perbedaannya pada gambar diagram gaya dan tegangan dalam shell berikut ini :

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.4 Distribusi gaya shell maksimum pada tiap tingkat mode

Dari gambar diatas dapat diketahui modus getar ke-1 dan ke-2 masih simetris dan tegangan berpusat di dasar sebesar 1530 ton/m. Pada mode ke-3 modus getar sudah asimetris, garis meredian satu dengan yang lain berbeda arah perpindahannya. Tegangan terbesar terletak pada tiap – tiap garis merediannya sebesar 3650 ton/m.

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.5 Distribusi momen shell maksimum pada tiap tingkat mode

Mode ke-1 distribusi momen terbesar terletak pada 2 shell bawah dan momen terbagi rata menuju puncak domes. Mode ini masih cukup stabil karena deformasi struktur sangat kecil. Kondisi pada mode ke-2 masih sama dengan

(47)

mode ke-1 tetapi struktur sudah terdeformasi cukup besar ke kiri. Pada mode ke-3 distribusi momen terbesar terdapat pada garis meredian.

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.6 Distribusi gaya geser shell maksimum pada tiap tingkat mode

Distribusi gaya geser terbesar mode ke-1 dan mode ke-2 berpusat pada dasar dome dan struktur masih bersifat simetris dan hanya terdeformasi ke kanan dan ke kiri. Mode ke-3 sudah bersifat asimetris dan gaya geser terbesar mendekati puncak dome.

Mode ke-1 Mode ke-2 Mode ke-3 Gambar 4.7 Distribusi tegangan shell maksimum pada tiap tingkat mode

Mode ke-1 struktur dome masih stabil karena hampir tidak terdeformasi dan tidak ada distribusi tegangan yang besar. Hal ini ditunjukkan dengan tidak adanya warna biru pada struktur. Mode ke-2 distribusi tegangan shell terbesar berpusat pada dasar dome sebelah kiri dan struktur sudah mulai terdeformasi ke kanan. Mode ke-3 sangat tidak stabil karena distribusi tegangan shell terbesar terdapat pada garis meridian menerus dari puncak menuju dasar sehingga menyebabkan struktur tidak simetris.

Selanjutnya gaya dan tegangan maksimum maupun minimum dapat ditabelkan sebagai berikut:

(48)

Tabel 4.4 Gaya dalam dan tegangan elemen shell Maksimum Minimum F(ton/m) 6187,23 -6186,54 M(ton-m/m) 29,61 -29,61 V(ton/m) 37,17 0,08 S Top (ton/m^2) 145132,17 -145108,82 S Bottom (ton/m^2) 108239,06 -108239,02 S Average (ton/m^2) 743,54 1,69

4.1.2 Struktur Dome Elemen Shell Segitiga

Salah satu contoh model struktur dome dengan elemen shell segitiga :

Gambar 4.8 Dome kaca dengan elemen shell segitiga

Model struktur dome yang digunakan pada analisis ini adalah gambar 4.9 berikut :

Gambar 4.9 Dome dengan elemen shell segitiga

Monolithic domes di atas disusun oleh : 1534 buah elemen shell, dengan luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 0.6213 m2, dan luas daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.0814m2.

(49)

Pada mode pertama dome tidak mengalami deformasi yang signifikan, hal ini terjadi karena luas elemen shell yang able sama pada setiap bagian sehingga kekakuan strukturnya merata.

Data periode getar dan frekuensi alami struktur dalam kondisi tanpa beban dapat dilihat pada table di bawah ini :

Tabel 4.5 Data frekuensi alami dan periode getar struktur

Step Period Frequency

Text Sec Cyc/sec

Mode 1 0,073583 13,59

Mode 2 0,073578 13,591

Mode 3 0,055663 17,965

U1 (m) U2(m) U3 (m) R1 (rad.) R2 (rad.) R3 (rad.)

maksimum 0,279203 0,272816 0,326079 0,9563 0,956954 0,070443

minimum -0,27893 -0,273 -2,06637 -0,95643 -0,95395 -0,15308

Modus getar struktur pada step mode pertama, kedua, dan ketiga bisa dilihat perbedaannya pada gambar diagram gaya dan tegangan dalam shell berikut ini :

(50)

(51)

dome. Mode ke-3 terdistribusi merata dan tidak ada warna biru menunjukkan tidak ada gaya geser shell yang besar.

Distribusi tegangan shell pada ketiga mode ini hampir sama dengan distribusi gaya shell. Distribusi terbesar ditunjukkan dengan warna biru dan terkecil dengan warna kuning. Bentuk ketiga mode ini simetris sehingga struktur masih cukup stabil.

Selanjutnya gaya dan tegangan shell maksimum maupun minimum dapat ditabelkan sebagai berikut :

Tabel 4.7 Gaya dalam dan tegangan elemen shell

Maksimum Minimum F(ton/m) 11555,30 -13163,21 M(ton-m/m) 105,71 -124,94 V(ton/m) 341,883 0,04 S Top (ton/m^2) 237318,93 -393551,44 S Bottom (ton/m^2) 225077,76 -556714,14 S Average (ton/m^2) 6837,67 0,79

(52)

4.1.3 Struktur Dome Elemen Shell Belah Ketupat

Model struktur dome dengan menggunakan bantuan perangkat lunak analisis struktur adalah sebagai berikut :

Gambar 4.15 Dome dengan elemen shell belah ketupat

Adapun monolithic domes di atas disusun oleh : 504 buah elemen shell, dengan luasan shell maksimum pada bagian dasar lengkung sebesar 1.2404 m2, dan luas daerah shell minimum di puncak dome sebesar 0.1898m2.

Pada mode pertama dome mengalami deformasi yang cukup signifikan pada bagian puncak dome, bentuk elemen yang tidak stabil berupa belah ketupat dan makin mengecil di bagian puncak dome.

(53)

Data periode getar dan frekuensi alami struktur dalam kondisi tanpa beban dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

Tabel 4.8 Data frekuensi alami dan periode getar struktur

OutputCase Step Period Frequency

Text Text Sec Cyc/sec MODAL Mode 1 0,07437 13,445 MODAL Mode 2 0,07428 13,463 MODAL Mode 3 0,06707 14,909

U1 (m) U2(m) U3 (m) R1 (rad.) R2 (rad.) R3 (rad.)

maksimum 0,357577 0,411316 2,285892 2,011925 1,399059 0,666591

minimum -0,34698 -0,33387 -1,44834 -2,13247 -2,54897 -0,6667

Modus getar struktur pada step mode pertama, kedua, dan ketiga bisa dilihat perbedaannya pada gambar diagram gaya dan tegangan dalam shell berikut ini :

Mode ke-1 dan mode ke-3 terdeformasi di puncak tetapi tidak terdeformasi ke kanan maupun ke kiri. Sedangkan pada mode ke-2 terdeformasi ke kanan. Kondisi seperti di atas menunjukkan bahwa struktur tidak stabil di puncak dome.

(54)

Distribusi momen pada struktur dome ini merata, ditunjukkan dengan warna hijau yang seragam di tiap shellnya. Warna hijau ini berkisar antara 220-660 tonm.

Distribusi gaya geser pada ketiga mode tersebut terbesar terletak pada puncak dome. Kondisi ini ditunjukkan dengan adanya perbedaan warna di puncak dome yaitu merah. Warna merah berkisar antara 4200-5600 ton/m, sedang warna ungu berkisar antara 0-14 ton/m.

Ketiga mode tersebut terdistribusi merata dengan warna yang sama tetapi pada mode ke-1 dan mode ke-3 terdeformasi besar di puncak.

Selanjutnya gaya dan tegangan shell maksimum maupun minimum dapat ditabelkan sebagai berikut :

Tabel 4.10 Gaya dalam dan tegangan elemen shell

Maksimum Minimum F(ton/m) 354047,59 -351811,4 M(ton-m/m) 389,30 -537,74 V(ton/m) 4451,82 0,008377 S Top (ton/m^2) 7608419,28 -68090,96 S Bottom (ton/m^2) 6556956,95 -73030,46 S Average (ton/m^2) 89036,47 0,17

(55)

4.2 Pembahasan

a. Hasil analisis menunjukkan bahwa modus pertama struktur domes dengan elemen shell berbentuk dasar persegi, segitiga, dan belah ketupat memiliki deformasi yang sedikit berbeda seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini :

a. dome persegi b. dome segitiga c. dome belah ketupat

Gambar 4.21 Perbandingan pola getaran struktur domes

Gambar di atas menunjukkan bahwa struktur domes dengan elemen shell segitiga dan persegi memiliki simpangan yang tidak terlalu besar hal ini disebabkan karena bentuk dasar elemen shellnya cukup stabil.

b. Hasil analisis menunjukkan bentuk modus getar yang dihasilkan elemen shell persegi mode ke-3 pada distribusi gaya, momen, gaya geser dan tegangan shell berbentuk asimetris. Garis meridian satu dengan yang lain berbeda arah perpindahannya. Kalau dikaji lebih lanjut elemen shell persegi tidak memiliki tingkat kestabilan yang tinggi, karena terdapat 4 titik yang bisa dibuat bermacam–macam ruang misalnya belah ketupat.

c. Modus getar shell segitiga dari mode ke-1 sampai mode terakhir berbentuk simetris. Kalau dikaji lebih lanjut elemen shell segitiga yang memiliki 3 titik hanya bisa dibuat 1 bidang saja. Hal ini menunjukkan bahwa shell segitiga memiliki tingkat kestabilan yang lebih tinggi dari shell persegi.

d. Domes dengan elemen shell berbentuk dasar belah ketupat cenderung mengalami deformasi yang cukup besar pada bagian puncak domes, diduga karena perbedaan aspek rasio sisi belah ketupat bagian bawah dengan bagian puncak yaitu 1:1 dengan 1:4 sehingga elemen shell di puncak lebih tidak kaku. Lokasi deformasi

(56)

e. Nilai perbandingan joint displacement ketiga struktur dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

Tabel 4.11 Perbandingan nilai joint displacement maksimum

Maximum joint displacement

(m) Domes shell persegi 0,25714

Domes shell segitiga 0,32607 Domes shell belah ketupat 2,28589

Tabel di atas menunjukkan bahwa Domes berelemen shell belah ketupat memiliki simpangan yang sangat besar, yaitu lebih dari 2 meter. Simpangan ini tentu sangat berbahaya bagi penghuni dome apabila terjadi gempa atau tiupan angin yang cukup besar (tornado).

f. Data periode getar dan frekuensi alami struktur menunjukkan angka yang saling mendekati, dimana berkisar pada nilai 0.074 detik atau sekitar 13,5 hz. Frekuensi alami ini cukup aman terhadap getaran dinamis angin yang berkisar pada nilai 0.5 Hz.

Tabel 4.12 Perbandingan nilai Periode getar dan Frekuensi alami

Periode Getar (detik)

Frekuensi Alami (Hz)

Domes shell persegi 0,073539 13,59

Domes shell segitiga 0,073583 13,59

Domes shell belah ketupat 0,074379 13,44

g. Data gaya dalam dan tegangan dalam elemen shell struktur dapat dilihat pada tabel berikut ini :

Tabel 4.13 Perbandingan gaya dalam dan tegangan dalam shell

Domes shell persegi Domes shell segitiga Domes shell belah ketupat

F max. (ton/m) 6187,23 11555,3 354047,60

M max. (ton-m/m) 29,61 105,72 389,30

V max. (ton/m) 37,18 341,88 4451,82

S max. (ton/m^2) 145132,17 237318,93 6556956,95

Semakin besar gaya dalam yang ditahan oleh elemen shell, maka semakin besar pula faktor keamanan yang harus dianalisis dalam desain struktur domes.

(57)

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisis yang telah dilakukan terhadap tiga model dengan tiga tipe shellyang berbeda, yaitu persegi (rectangular), segitiga (triangular), dan belah ketupat (diamond), dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

a. Elemen shell persegi menunjukkan modus getar yang asimetris karena pada garis meridian satu dengan yang lain berbeda perpindahannya.

b. Elemen shell belah ketupat memiliki modus getar yang terdeformasi besar di puncak domes.

c. Elemen shell segitiga menunjukkan modus getar yang simetris dari mode pertama sampai terakhir.

d. Besarnya periode getar dan frekuensi alami pada fundamental mode (modus pertama) kondisi unforced vibration shell persegi adalah 0.07354 detik dan 13.59 Hz, segitiga adalah 0.07358 detik dan 13.59 Hz, belah ketupat adalah 0.07437 detik dan 13.45 Hz.

5.2 Saran

Beberapa pembatasan dan penyederhanaan yang dilakukan dalam analisis ini dapat menjadi bahan pertimbangan pada analisis selanjutnya. Misalnya jumlah model, bentuk struktur domes lain yang belum dikaji dalam analisis ini.

(58)

DAFTAR PUSTAKA

Anonim, 1997. Pedoman Penulisan Skripsi dan Laporan Kerja Praktek. Surakarta: UNS Press.

Ayala, D.D & C, Kasapula. 2001. Limit State Analysis of Hemispherical Domes with Finite Friction. Inggris, from:http://.www.monolitihicdome.com .

Bambang Suhendro. 1992. Metode Elemen Hingga dan Aplikasinya. Yogyakarta.

Clough, Ray, W ., Joseph Penzein. 1975. Dynamics of Structure. London: Mc-Graw-Hill, Inc.

Copra, Anil K. 1995. Dynamics of Structure: Theory and Applications to Earthquake Engineering. New Jersey:Prentice Hall, Inc.

Departemen Pekerjaan Umum, 1987. Pedoman Perencanaan Ketahahan Gempa untuk Rumah dan Gedung. Yayasan Badan Penerbit Pekerjaan Umum.

Gaoboging & Wen, En H. 2003. Sensitivity Analisys of Cable to Suspense dome structural system. China: Departemen of Civil Engineering Zhe Chiang University Hang Zao.

Logan, Daryl L. 1986. A First Course in Finite Element Method. Boston: PWS Engineering.

Paz, Mario. 1993. Dinamika Struktur: Teori dan Perhitungan. Edisi kedua. New York: Van Nostrand Reinhold Company.

(59)

Svensson, H.S., and E. Jordet. 1996. The Concrete Cable Stayed Helgeland Bridge in Norway. Accessed on September 9th, 2003, from: http://www.aas-jakobsen.no/Brodges/Publication/Helgeland_bridge/Helgeland_Bridge_e.htm.

Widodo. 2001. Respon dinamik Struktur Elastik. Yogyakarta: UII Press.

Zimmerman, Jonathan & Robert Bisset. 2004. Dome of a Home Premiers on The Travel Channel. Accssed on September 13th, 2004, from: www.domeofhome.com.