ANALISIS SENSITIVITAS-1

BEBERAPA FORMULA

BEBERAPA FORMULA

PENTING DALAM

PENTING DALAM

solusi PROGRAM

solusi PROGRAM

LINEAR

LINEAR

Bentuk Standar Masalah PL

Bentuk Standar Masalah PL





Maksimasi :

Maksimasi :

dengan pembatas linear

dengan pembatas linear

(1)

(1)

dan pembatas tanda

dan pembatas tanda

n n n n

 x

 x

c

c

 x

 x

c

c

 x

 x

c

c

 z

 z





_{11 11}





_{22 22}













m m n n mn mn m m m m n n n n n n n n

b

b

 x

 x

a

a

 x

 x

a

a

 x

 x

a

a

b

b

 x

 x

a

a

 x

 x

a

a

 x

 x

a

a

b

b

 x

 x

a

a

 x

 x

a

a

 x

 x

a

a

































































2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 22 22 1 1 21 21 1 1 1 1 2 2 12 12 1 1 11 11

 

 j j nn



 x  x _j j





00,,





11,, 22,, ,,

Apabila diketahui solusi layak optimal untuk masalah Apabila diketahui solusi layak optimal untuk masalah PL di atas telah diperoleh, dengan BV

PL di atas telah diperoleh, dengan BV _j j menyatakanmenyatakan BV untuk baris

ke-BV untuk baris ke- j  j dari tabel optimalnya.dari tabel optimalnya.



 BV = {BVBV = {BV₁₁, BV, BV₂₂,,……, BV, BV_mm} menyatakan} menyatakan

himpunan BV dari tabel optimal dan didef: himpunan BV dari tabel optimal dan didef:



 NNBBV V mmeennyyaattaakkaan n hhiimmppuunnaan n NNBBV V ddaarri i ttaabbeell

optimal optimal



 xx_NBVNBV memenynyatatakakan an vvektektor or beberorordrde e ((((nn –– m) x 1)m) x 1)

dimana elemen-elemenny

dimana elemen-elemennya a merupakan NBVmerupakan NBV

 



T T   BV   BV   BV   BV   BV   BV   BV   BV 

 x

 x

 x

 x

 x

 x

_mm

 x

 x





2 2 1 1







 cc_BVBV mmeerruuppaakkaan n vveekkttoor r bbaarriis s bbeerroorrdde e ((1 1 x x mm))

din

dinyayatakatakan n cc_BVBV = [c= [c_BV1BV1 cc_{BV2BV2 …}… cc_BVmBVm]]



 cc_NBVNBV merupakan vektor baris berorde (1 x (nmerupakan vektor baris berorde (1 x (n –– m))m))

dim

dimana ana eleelemenmen-ele-elemenmennynya a memeruprupakan akan koekoefisfisienien fungsi tujuan dari NBV

fungsi tujuan dari NBV



 MMatatrrikiks s B B beberorordrde e (m (m x x mm) ) mmererupupakakan an mmatatrriikkss

dimana kolom-kolomnya diisi dengan kolom-kolom dimana kolom-kolomnya diisi dengan kolom-kolom BV

BV



 aa _j j mmeerruuppaakkaan n kokolloom m ((ddaalalam m ppeemmbabatatas s lliinneeaarr

bentuk standar) untuk peubah x

bentuk standar) untuk peubah x _j j dalam persamaandalam persamaan (1) .



 MMaattrriikks s N N bbeerroorrdde e ((m m x x ((nn –– m)m)) ) memerurupapakakann

m

maattrrikiks s ddiimmaanna a kkoolloomm--kokolloommnnyya a ddiiiissi i ddeennggaann kolom-kolom NBV.

kolom-kolom NBV.



 b adalah vektor kolom berorde (m x 1) b adalah vektor kolom berorde (m x 1) merupakanmerupakan

ruas kanan dari pembatas linear dalam persamaan ruas kanan dari pembatas linear dalam persamaan (1).

P

Peerrmmaassaallaahhaan n PPL L ddaallaam m ppeerrssaammaaaan n ((11) ) ddaappaatt dinyatakan sbb:

dinyatakan sbb: Maksimasi

Maksimasi

dengan pembatas linear & pembatas tanda dengan pembatas linear & pembatas tanda

(2) (2)

Selanjutnya kalikan pers. (2) dengan B

Selanjutnya kalikan pers. (2) dengan B-1-1_{, diperoleh, diperoleh}

B B-1-1_BxBx BV BV + B+ B-1-1NxNxNBVNBV = B= B-1-1bb x x_BVBV + B+ B-1-1_NxNx NBV NBV = B= B-1-1bb ((33))  NBV   NBV   NBV   NBV   BV   BV   BV   BV 

 x

 x

c

c

x

x

c

c

 z

 z









b

b

 X 

 X 

 N 

 N 

 x

 x

 B

 B

 _BV  BV 





 _NBV  NBV 





0 0 ,,  _NBV  NBV 





 BV   BV 

x

x

 x

 x

Berdasarkan (3) diperoleh: Berdasarkan (3) diperoleh:

o

o Kolom untuk xKolom untuk x _j j pada tabel optimal adalah Bpada tabel optimal adalah B-1-1aa _j j

o

Selanjutnya apabila pers. (3) dikalikan dengan c

Selanjutnya apabila pers. (3) dikalikan dengan c_BVBV,, diperoleh: diperoleh: c c_BVBVxx_BVBV + c+ c_BVBVBB-1-1_NxNx NBV NBV = c= cBVBVBB-1-1b b ((44))

Fungsi tujuan awal adalah Fungsi tujuan awal adalah

z = c

z = c_BVBVxx_BVBV + c+ c_NBVNBVxx_NBVNBV z

z –– cc_BVBVxx_{BVBV –}– cc_NBVNBVxx_NBVNBV = = 0 0 ((55))

Selanjutnya penjumlahan dari (4) dan (5) diperoleh: Selanjutnya penjumlahan dari (4) dan (5) diperoleh:

z + (c

z + (c_BVBVBB-1-1_{NN –– cc}

NBV

NBV)x)xNBVNBV = c= cBVBVBB-1-1b b ((66))

Menentukan baris 0/baris z pada tabel

Menentukan baris 0/baris z pada tabel

optimal berdasar masalah awal PL

Berdasarkan pers. (6), maka: Berdasarkan pers. (6), maka:

o

o Koefisien dari xKoefisien dari x _j j pada baris 0/baris z dinotasikanpada baris 0/baris z dinotasikan

dengan c

dengan c _{j(baru) j(baru)}, dan ditentukan dengan:, dan ditentukan dengan: c

c _{j(baru) j(baru)} = c= c_BVBVBB-1-1_aa  j

 j –– cc j j

o

o RRuuaas s kkaannaan n ppaadda a bbaarriis s 00//bbaarriis s z z ddaallaam m ttaabbeell

optimal adalah c

optimal adalah c_BVBVBB-1-1_bb

o

o KoefisienKoefisien slack variable slack variable  ss_ii pada baris 0 ditentukanpada baris 0 ditentukan

dengan: elemen ke-i dari c

dengan: elemen ke-i dari c_BVBVBB-1-1

o

o KoefisienKoefisien susurrplplus us vavaririaablble e  ee_ii ppaadda a bbaarriis s 00

ditentukan dengan: -(elemen ke-i dari c

o

o KoefisienKoefisien artiartifificicial al vavaririabable le  aa_ii ppaadda a bbaarriis s 00

ditentukan dengan: ditentukan dengan:

(elemen ke-i dari c

(elemen ke-i dari c_BVBVBB-1-1_{) ) + + M M ((MMaaxx))}

(elemen ke-i dari c

U

Untntuk uk mamasasalalah h PPL L beberirikukut t didipeperoroleleh h sosolulusi si opoptitimamall dengan BV = {x

dengan BV = {x₁₁, x, x₂₂}. Tentukan tabel optimalnya.}. Tentukan tabel optimalnya. M

Maakkssiimmaassii: : z = z = 33xx₁₁ + x+ x₂₂

dengan pembatas linear dan pembatas tanda dengan pembatas linear dan pembatas tanda

2x 2x₁₁ - - xx_{22 ≤}≤ 22 - x - x₁₁ + + xx_{22 ≤}≤ 4 4 xx₁₁,x,x_{22 ≥}≥ 00 Contoh SOAL Contoh SOAL

Penyelesaian: Penyelesaian: Bentuk standar: Bentuk standar: M Maakkssiimmaassii: : z = z = 33xx₁₁ + x+ x₂₂

dengan pembatas linear dan pembatas tanda dengan pembatas linear dan pembatas tanda

2x

2x₁₁ - x- x₂₂ +1s+1s₁₁ + 0s+ 0s₂₂ = 2= 2 -x

-x₁₁ + x+ x₂₂ +0s+0s₁₁ + 1s+ 1s₂₂ = 4 = 4 xx₁₁,x,x₂₂,s,s₁₁,s,s_{22 ≥}≥ 00

Diketahui BV adalah x

Diketahui BV adalah x₁₁ dan xdan x₂₂ maka diperoleh bahwamaka diperoleh bahwa matriks B adalah matriks B adalah

























1 1 1 1 1 1 2 2  B  B

FITRIANI AGUSTINA, FITRIANI AGUSTINA,

diperoleh diperoleh



 Menentukan kolom sMenentukan kolom s₁₁ pada tabel optimal:pada tabel optimal:



 Menentukan kolom sMenentukan kolom s₂₂ pada tabel optimal:pada tabel optimal:



 Menentukan ruas kanan tabel optimalMenentukan ruas kanan tabel optimal













































  1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ss a a  B  B

















  2 2 1 1 1 1 1 1 1 1  B  B













































  2 2 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 ss a a  B  B                         10 10 6 6 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 b b  B  B



 Bagian tabel optimal tanpa baris z/baris 0, yaituBagian tabel optimal tanpa baris z/baris 0, yaitu

10 10 2 2 1 1 0 0 6 6 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1

































ss ss  x  x  x  x ss ss  x  x  x  x

Me

Menenentntukukan an babariris s 0/0/babariris s z z papada da tatabebel l opoptitimamall Diketahui c

Diketahui c_BVBV = = [3 [3 1]1], , sesehihingnggaga



 Menentukan koefisien sMenentukan koefisien s₁₁ pada baris 0/baris z tabelpada baris 0/baris z tabel

o

opptitimmaal l aaddaallaah h eelelemmeen n ppeerrtatamma a ddaarri i yyaaiitu tu 44



 MeMenenentntuukakan n kokoeefifisisien en ss₁₁ ddaallaam m bbaarriis s 0 0 ttaabbeell

o

oppttiimmaal l aaddaallaah h eelleemmeen n ppeerrttaamma a ddaarri i yyaaiittu u 55



 MMeenneennttuukkaan n rruuaas s kkaannaan n ddaallaam m bbaarriis s 0 0 ttaabbeell

optimal: optimal:



 





 

44 55 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 1             B  B c c _BV  BV  1 1    B  B c c _BV  BV  1 1    B  B c c _BV  BV 

 



2828 4 4 2 2 5 5 4 4 1 1            b b  B  B c c _BV  BV 



 Tabel Optimal untuk masalah PL di atas adalahTabel Optimal untuk masalah PL di atas adalah

10 10 2 2 1 1 1 1 0 0 6 6 1 1 1 1 0 0 1 1 28 28 5 5 4 4 0 0 0 0 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1





















































ss ss  x  x  x  x ss ss  x  x  x  x ss ss  x  x  x  x  z  z

ANALISIS

ANALISIS

SENSITIVITAS

SENSITIVITAS

(ANALISIS

(ANALISIS

PASCA-OPTIMAL)

OPTIMAL)

Inti dari analisis pasca-optimal ada dalam penelitian Inti dari analisis pasca-optimal ada dalam penelitian terhadap tabel simpleks umum yang diberikan dalam terhadap tabel simpleks umum yang diberikan dalam bentuk matriks. Diketahui masalah PL berikut dalam bentuk matriks. Diketahui masalah PL berikut dalam bentuk standar:

bentuk standar:

Maksimasi / Minimasi Maksimasi / Minimasi

dengan pembatas linear dan pembatas tanda dengan pembatas linear dan pembatas tanda

 NBV   NBV   NBV   NBV   BV   BV   BV   BV 

 X 

 X 

C 

C 

X 

X 

C 

C 

 z

 z









b

b

 X 

 X 

 N 

 N 

 X 

 X 

 B

Ana

Analisilisis s sensensitsitivivitaitas s akaakan n memempempelajlajari ari memengengenainai pengaruh perubahan koefisien fungsi tujuan C pengaruh perubahan koefisien fungsi tujuan C_BVBV d

daan n CC_NBVNBV dadan/n/atatau au jujummlalah h susummbeber r ddayaya a yyanangg te

tersrsededia ia b. b. PePerurubabahahan n dadalalam m CC_BVBV, , CC_NBVNBV, dan b, dan b tidak memiliki pengaruh apapun terhadap B atau tidak memiliki pengaruh apapun terhadap B atau B

B-1-1_..

H

Haal l ppeerrttaamma a yyaanng g ddiillaakkuukkaan n ddaallaam m aannaalliissiiss s

seennssiittiivviittaas s aaddaallaah h mmeenngguujji i aappaakkaah h sseebbuuaahh perubahan tertentu dari (C

perubahan tertentu dari (C_BVBV, , CC_NBVNBV) ke (D) ke (D_BVBV, , DD_NBVNBV)) dan/atau perubahan dari b ke d akan membuat dan/atau perubahan dari b ke d akan membuat basis saat ini B optimal dan layak.

A

Assuummssi i ttiiddaak k aadda a ppeerruubbaahhaan n ppaadda a BB, , uunnttuukk me

menynyelelesesaiaikakannnnyya a mamaka ka kikita ta akakan an mmenenggggananti ti CC_BVBV dengan D

dengan D_BVBV dan b dengan d, kemudian menghitungdan b dengan d, kemudian menghitung ulang baris tujuan (gunakan D

ulang baris tujuan (gunakan D_BVBVBB-1-1_{) dan ruas kanan) dan ruas kanan}

dihitung dengan B

dihitung dengan B-1-1_d.d.

Ap

Apababilila a titidadak k aada da sasatu tu pupun n kokoeefifisisien en babariris s tutujujuaann y

yaanng g bbaarru u tteerrsseebbuut t mmeellaannggggaar r ooppttiimmaalliittaas s ddaann ko

koefefiisisien en rruauas s kakananan n yyanang g babarru u mmenenjajaddi i nenegagatitif,f, maka B tetap optimal dan layak di nilai yang baru maka B tetap optimal dan layak di nilai yang baru B

A

Ananalilisisis s sesensnsiititivvititas as dadapapat t didimmasasukukkakan n ke ke dadalalamm salah satu dari ketiga kategori berikut:

salah satu dari ketiga kategori berikut:

1.

1. Perubahan dalam koefisien tujuan (CPerubahan dalam koefisien tujuan (C_BVBV, C, C_NBVNBV))

hanya dapat mempengaruhi optimalitas hanya dapat mempengaruhi optimalitas

2.

2. Perubahan dalam ruas kanan b hanya dapatPerubahan dalam ruas kanan b hanya dapat

mempengaruhi kelayakan mempengaruhi kelayakan

3.

3. PePerurubabahahan n simsimulultatan n dadalalam m (C(C_BVBV, , CC_NBVNBV) ) ddaan n bb

da

dapapat t memempmpenengagaruruhi hi babaik ik opoptitimamalilitatas s mamaupupunun kelayakan.

Perubahan yang mempengaruhi

Perubahan yang mempengaruhi

optimalitas

optimalitas

Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh hanya satu dari tiga cara ini:

hanya satu dari tiga cara ini:

1.

1. Koefisien tujuan (CKoefisien tujuan (C_BVBV, C, C_NBVNBV) diubah) diubah

2.

2. Penggunaan sumber daya dari sebuah kegiatanPenggunaan sumber daya dari sebuah kegiatan

nondasar (vektor kolom NBV dalam A) diubah. nondasar (vektor kolom NBV dalam A) diubah.

3.

3. SeSebubuah ah kekegigiaatatan n babarru u diditatammbbahahkakan n ke ke dadalalamm

model model

Perubahan yang mempengaruhi

Perubahan yang mempengaruhi

kelayakan

kelayakan

Kelayakan dari solusi simpleks dipengaruhi oleh Kelayakan dari solusi simpleks dipengaruhi oleh hanya satu dari dua cara ini:

hanya satu dari dua cara ini:

1.

1. Vektor ruas kanan b diubahVektor ruas kanan b diubah

2.

2. Sebuah pembatas linear ditambahkan ke dalamSebuah pembatas linear ditambahkan ke dalam

model model

Perubahan yang mempengaruhi

Perubahan yang mempengaruhi

optimalitas dan kelayakan

optimalitas dan kelayakan

Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh: Optimalitas dari solusi simpleks dipengaruhi oleh:

1.

1. KKoeoefifisisien en tutujujuan an ((CC_BVBV, , CC_NBVNBV) ) ddaan n vveekkttoor r rruuaass

kanan b diubah kanan b diubah

1.

1. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBVNBV

2.

2. Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BVPerubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV

3.

3. Perubahan ruas kanan dari pembatas linearPerubahan ruas kanan dari pembatas linear

4.

4. Perubahan pada kolom NBVPerubahan pada kolom NBV

5.

5. Penambahan peubah baru/aktivitas baruPenambahan peubah baru/aktivitas baru

6.

Contoh Kasus

Contoh Kasus

M

Makaksisimmaasisi: : z z = = 6060xx₁₁ + 30x+ 30x₂₂ + 20x+ 20x₃₃

dengan pembatas linear dan pembatas tanda dengan pembatas linear dan pembatas tanda

8x 8x₁₁ + 6 + 6 xx₂₂ + + xx_{33 ≤}≤ 4848 4x 4x₁₁ + 2 + 2 xx₂₂ + 1,5x+ 1,5x_{33 ≤}≤ 20 20 xx₁₁,x,x₂₂,x,x_{33 ≥}≥ 00 2x 2x₁₁ + 1,5x+ 1,5x₂₂ + 0,5x+ 0,5x_{33 ≤}≤ 88

Tabel optimalnya adalah: Tabel optimalnya adalah:

B BV V z z XX1 1 XX2 2 XX3 3 XX4 4 XX5 5 XX6 6 SSoolluussii Z Z 11 00 55 00 00 1100 00 228800 X X44 00 00 --22 00 11 22 --88 2244 X X33 00 00 --22 11 00 22 --44 88 X X1 1 0 0 1 1 11,,225 5 0 0 0 0 --00,,5 5 11,,5 5 22

Berdasarkan tabel di atas diperoleh informasi: Berdasarkan tabel di atas diperoleh informasi: BV adalah x

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBV

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk NBV

Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik p

paadda a kkoonnttrriibbuussi i kkeeuunnttuunnggaan n mmaauuppuun n kkoonnttrriibbuussii ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh NBV.

ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh NBV.

Pada contoh di atas satu-satunya peubah keputusan Pada contoh di atas satu-satunya peubah keputusan nonbasis adalah x

nonbasis adalah x₂₂. Misalkan koefisien tujuan dari x. Misalkan koefisien tujuan dari x₂₂ b

beerruubbaah h ddaarri i mmeennjjaaddi i .. N

Niillaai i BBV V aakkaan n tteettaap p ooppttiimmaal l jjiikka a ,,ddaan n mmeennjjaaddii tidak optimal jika

tidak optimal jika

30 30 2 2 cc cc ₂₂





3030









0 0 ˆ ˆ 2 2  cc 0 0 ˆ ˆ 2 2 cc

Nilai koefisien fungsi tujuan baru setelah terjadinya Nilai koefisien fungsi tujuan baru setelah terjadinya pe

perurubabahahan n dadapapat t diditententutukan kan dedengngan an memengnggugunanakankan rumus:

rumus:

Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi: Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi:

seh

sehiningggga a didipeperoroleleh h ninilalai i ::

 j j  j j  BV   BV   j j

cc

 B

 B

a

a

cc

cc

ˆˆ   11  

 



T T   BV   BV  SS  x x xx  x  x  _{11 33 11 cc BV  BV}  

 

00 2020 6060



                    5 5 ,, 1 1 5 5 ,, 0 0 0 0 4 4 2 2 0 0 8 8 2 2 1 1 1 1  B  B 2 2 ˆ ˆ cc

 





 

 



                                 _{3030 55} 5 5 ,, 1 1 2 2 6 6 5 5 ,, 1 1 5 5 ,, 0 0 0 0 4 4 2 2 0 0 8 8 2 2 1 1 60 60 20 20 0 0 ˆ ˆ 2 2 c c

A

Aggaar r sosolluussi i tteettaap p ooppttiimmaal l mmaakka a ˆˆ 00 oolleeh h kkaarreenna a iitutu

2 2 cc 5 5 0 0 5 5













_atau

_atau









KLIK KLIK

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV

Perubahan koefisien fungsi tujuan untuk BV

Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik Perubahan ini terjadi karena adanya perubahan baik p

paadda a kkoonnttrriibbuussi i kkeeuunnttuunnggaan n mmaauuppuun n kkoonnttrriibbuussii ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh BV.

ongkos dari kegiatan yang diwakili oleh BV. M

Meenngguubbaah h kkooeeffiissiieen n ffuunnggssi i ttuujjuuaan n BBV V aarrttiinnyyaa mengubah c

mengubah c_BVBV sehingga koefisien pada baris z darisehingga koefisien pada baris z dari tabel optimal akan berubah.

tabel optimal akan berubah. M

Miissaallkkaan n kkooeeffiissiieen n ttuujjuuaan n ddaarri i xx₁₁ berubahberubah d

daarri i mmeennjjaaddii Oleh karena itu c

Oleh karena itu c_BVBV akan menjadiakan menjadi

60 60 1 1 cc _cc11





6600









 

 



  00 2020 6060  BV   BV  c c

Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi: Berdasarkan tabel optimal diperoleh informasi:

sehingga diperoleh nilai koefisien NBV: sehingga diperoleh nilai koefisien NBV:

 



T T   BV   BV  SS  x x xx  x  x  _{11 33 11} cc _BV  BV  

 

00 2020 6060 



                    5 5 ,, 1 1 5 5 ,, 0 0 0 0 4 4 2 2 0 0 8 8 2 2 1 1 1 1  B  B  NBV   NBV   NBV   NBV   BV   BV   NBV   NBV  cc  B B aa cc c cˆˆ







11







                2 2 3 3 10 10 5 5 1 1 10 10 0 0 1 1  B  B c c _BV  BV                    2 2 3 3 10 10 2 2 1 1 10 10 4 4 5 5 5 5 ˆ ˆ  NBV   NBV  c c

FITRIANI AGUSTINA, FITRIANI AGUSTINA,

A

Aggaar r ssoolluussi i tteettaap p ooppttiimmaal l mmaakka a ˆˆ  00 olleo eh h kkaarreenna a iittuu

 NBV   NBV  c c 20 20 4 4

















KLIK KLIK

Perubahan ruas kanan dari pembatas linear

Perubahan ruas kanan dari pembatas linear

M

Miissaallkkaan n rruuaas s kkaannaan n ddaarri i ppeemmbbaattaas s lliinneeaar r kkee--22 b

beerruubbaah h ddaarri i mmeennjjaaddii Oleh karena itu b akan menjadi Oleh karena itu b akan menjadi

R

Ruuaas s kkaannaan n ddaarri i ppeemmbbaattaas s lliinneeaar r ddaarri i ttaabbeell optimalnya menjadi: optimalnya menjadi: 20 20 2 2 b b _{bb 22} 2020                   8 8 20 20 48 48 b b                                                           5 5 ,, 0 0 2 2 2 2 8 8 2 2 24 24 8 8 20 20 48 48 5 5 ,, 1 1 5 5 ,, 0 0 0 0 4 4 2 2 0 0 8 8 2 2 1 1 1 1 b b  B  B

FITRIANI AGUSTINA, FITRIANI AGUSTINA,

A

Aggaar r ssoolluussi i tteettaap p llaayyaak k mmaakka a bbˆˆ  00 oolleeh h kkaarreenna a iittuu

4

4

4

4

















KLIK KLIK