PENYELESAIAN MASALAH PANAS BALIK (BACKWARD HEAT PROBLEM)

(1)

1

PENYELESAIAN MASALAH PANAS BALIK (BACKWARD HEAT PROBLEM) Richa Agustiningsih, Drs. Lukman Hanafi, M.Sc.

Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

Email: lukman@matematika.its.ac.id

Abstrak- Suatu persamaan panas balik (backward heat equation) tidak dapat diselesaikan secara analitis. Hal ini disebabkan karena panas yang telah berdifusi tidak dapat kembali ke titik awal. Persamaan panas balik (backward heat equation) ini merupakan persamaan differensial yang linier, sehingga penyelesaiannya tidak dapat ditemukan secara analitik melainkan secara numerik. Dari berbagai macam metode numerik yang ada, dalam Tugas Akhir ini menggunakan metode Beda Hingga Maju dalam menyelesaikan persamaan tersebut. Setelah proses diskritisasi dengan metode Beda Hingga Maju, maka akan ditemukan matriks dari persamaan panas balik tersebut. Selanjutnya, matriks tersebut disimulasikan ke dalam program Matlab.

Kata kunci: Backward Heat Equation, Metode Beda Hingga Maju, analitik, numerik, linier.

I. Pendahuluan

Perpindahan panas atau heat transfer adalah ilmu yang meramalkan perpindahan energi yang terjadi karena adanya perbedaan temperatur diantara benda atau material. Ilmu perpindahan panas tidak hanya mencoba menjelaskan bagaimana energi panas itu berpindah dari suatu benda ke benda lainnya, tetapi juga dapat meramalkan laju perpindahan yang terjadi pada kondisi-kondisi tertentu.[1]

Masalah backward, berkaitan dengan persamaan panas yang mengacu pada masalah pencarian distribusi temperatur awal dari masalah forward. Suatu persamaan panas balik (backward

heat equation) banyak digunakan dalam aplikasi teori hidrodinamika. Namun, persamaan ini pada dasarnya sukar diselesaikan secara analitis. Hal ini disebabkan karena panas yang telah berdifusi tidak dapat kembali ke titik awal. Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis kadang-kadang hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai yang benar (eksak) daripada penyelesaian analitis, sehingga dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan terhadap nilai eksak.[5] II. Pendekatan Numerik

Persamaan panas balik (backward heat equation) tersebut termasuk persamaan differensial yang non-linear. Persamaan differensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu besaran dengan perubahannya. Persamaan differensial mempunyai banyak ragam dan jenis mulai dari yang mudah diselesaikan hingga yang sulit diselesaikan, mulai dari yang sederhana sampai yang sangat kompleks. Dalam hal ini, metode numerik dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan bantuan komputer sebagai alat hitung, ketika metode analitik sulit digunakan. Pada beberapa bentuk persamaan differensial, khususnya pada persamaan differensial non-linear, penyelesaian analitik sulit sekali dilakukan sehingga metode numerik dapat menjadi penyelesaian yang disarankan.

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial, antara lain: metode Euler, metode pendekatan dengan deret Taylor, metode Runge-Kutta, dan

(2)

metode-2 metode prediktor-korektor seperti metode Adam Moulton. Hanya saja metode-metode pendekatan ini menyebabkan penyelesaian yang dihasilkan bukanlah penyelesaian umum dari persamaan differensial, tetapi penyelesaian khusus dengan nilai awal dan nilai batas yang ditentukan. Permasalahan persamaan differensial ini merupakan permasalahan yang banyak ditemui ketika analisa yang dilakukan tergantung pada waktu dan nilainya mengalami perubahan-perubahan berdasarkan waktu. Hampir banyak model matematis di dalam ilmu teknik menggunakan pernyataan dalam persamaan differensial.[3]

2.1 Persamaan Panas Balik (Backward Heat Equation)

Masalah aliran panas yang mengalir pada sebuah medium konduktor menempati sebuah daerah, misal , tidak bergantung pada fluks panas di sepanjang batasan daerah yang diformulasikan dalam persamaan berikut : 𝑢_𝑡 − 𝑣𝑢_𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈Ω, 𝑡 > 0 𝑢_𝑥 𝜕Ω , 𝑡 > 0 𝑢 𝑥, 0 = 𝑢0 𝑥 , 𝑥 ∈Ω … … … 1

dimana 𝑢 𝑥, 𝑡 adalah temperatur dan 𝑢₀ 𝑥 adalah distribusi temperatur awal. adalah suatu domain (daerah asal), 𝜈 adalah sebuah konstanta panas. Masalah tersebut biasanya disebut dengan masalah forward dalam konteks persamaan aliran panas. Masalah backward berkaitan dengan persamaan panas yang mengacu pada masalah pencarian distribusi temperatur awal dari masalah forward. Seperti yang telah diketahui bahwa distribusi temperatur akhir 𝑣₀ 𝑥 pada waktu 𝑇 diberikan oleh :

𝑢𝑡 − 𝑣𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈Ω, 𝑡 ∈ 0, 𝑇

𝑢_𝑥 𝜕Ω

𝑢 𝑥, 0 = 𝑢₀ 𝑥 , 𝑥 ∈Ω

… … … 2

Perubahan variabel 𝑡 menjadi 𝑡 − 𝑇 memberikan persamaan dari masalah backward 𝑣 𝑥, 𝑡 = 𝑢 𝑥, 𝑇 − 𝑡 d sebagai berikut :[5] 𝑣𝑡− 𝑣𝑣𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈Ω, 𝑡 ∈ 0, 𝑇 𝑢𝑥 _𝜕Ω 𝑣 𝑥, 0 = 𝑣0 𝑥 , 𝑥 ∈Ω … … … 3

2.2 Metode Beda Hingga

Jika 𝑢 = 𝑢(𝑥) diekspansikan menurut deret Taylor, maka:

𝑢 𝑥 + ℎ = 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑑 𝑑𝑥𝑢 𝑥 + ℎ2 2! 𝑑2 𝑑 𝑥2𝑢 𝑥 + ⋯ (2.47) 𝑢 𝑥 − ℎ = 𝑢 𝑥 − ℎ 𝑑 𝑑𝑥𝑢 𝑥 + ℎ2 2! 𝑑2 𝑑 𝑥2𝑢 𝑥 − ⋯ (2.48)

Beberapa skema numerik dari metode Beda Hingga, yaitu:

1. Beda Hingga Maju

Dari Persamaan (2.47),maka didapatkan : 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 = ℎ 𝑑 𝑑𝑥𝑢 𝑥 + ⋯ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥+ℎ −𝑢 𝑥 ℎ + 𝑂 ℎ (2.49) Persamaan (2.49) disebut persamaan beda

hingga maju. Jika menggunakan notasi beda hingga dengan 𝑢 𝑥 = 𝑖ℎ , persamaan (2.49) menjadi :

𝑑𝑢 𝑑𝑥 =

𝑢_𝑖+1− 𝑢_𝑖 ∆ℎ

2.Beda Hingga Mundur

Dari persamaan (2.48), maka didapatkan : 𝑢 𝑥 − ℎ − 𝑢 𝑥 = ℎ 𝑑 𝑑𝑥𝑢 𝑥 + ⋯ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥−ℎ −𝑢 𝑥 ℎ + 𝑂 ℎ (2.50)

Persamaan (2.50) disebut persamaan beda hingga mundur. Jika menggunakan notasi beda hingga dengan 𝑢 𝑥 = 𝑖ℎ , persamaan (2.50) menjadi :

(3)

3 𝑑𝑢

𝑑𝑡 =

𝑢_𝑖− 𝑢_𝑖−1 ∆ℎ

3. Beda Hingga Pusat

Jika persamaan (2.47) dikurangi dengan persamaan (2.48), maka didapatkan : 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − ℎ = 2ℎ𝑑𝑢 𝑑𝑥 + ⋯ (2.51) 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − ℎ = 2ℎ𝑑𝑢 𝑑𝑥+ ⋯ 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − ℎ 2ℎ + 𝑂 ℎ 2 (2.52) Persamaan (2.52) disebut persamaan

beda hingga tengah untuk turunan parsial pertama.Jika menggunakan notasi beda hingga dengan 𝑢 𝑥 = 𝑖ℎ , maka persamaan (2.52) menjadi: 𝑑𝑢

𝑑𝑥 =

𝑢_𝑖+1− 𝑢_𝑖−1 2∆ℎ

Jika persamaan(2.47) ditambahkan dengan persamaan (2.48) maka didapatkan: 𝑢 𝑥 + ℎ + 𝑢 𝑥 − ℎ = 2𝑢 𝑥 + ℎ2 𝑑2𝑢 𝑑 𝑥2+ ⋯(2.53) 𝑢 𝑥 + ℎ − 2𝑢 𝑥 + 𝑢 𝑥 − ℎ = ℎ2𝑑 2_𝑢 𝑑𝑥2+ ⋯ 𝑢 𝑥+ℎ −2𝑢 𝑥 +𝑢 𝑥−ℎ ℎ2 ≈ 𝑑2𝑢 𝑑 𝑥2(2.54)

Persamaan (2.54) disebut persamaan beda hingga tengah untuk turunan parsial kedua. Jika menggunakan notasi beda hingga dengan 𝑢 𝑥 = 𝑖ℎ , maka persamaan (2.54) menjadi :

𝑑2𝑢 𝑑 𝑥2 =

𝑢𝑖+1−2𝑢𝑖+𝑢𝑖−1

∆ℎ2

Diantara beberapa skema metode beda hingga, digunakan metode beda hingga maju untuk pendiskritan 𝑑𝑢

𝑑𝑥 dan

metode beda hingga pusat untuk pendiskritan𝑑

2_𝑢

𝑑 𝑥2.[7]

III. Metodologi Penelitian

Metode yang dilakukan dalam pengerjaan Tugas Akhir ini diurutkan dalam beberapa langkah, yaitu:

3.1 Studi Literatur

Dalam tahap ini dilakukan analisa permasalahan yang akan dibahas, yaitu persamaan panas balik (backward heat equation). Selain itu, dalam tahap ini juga dipelajari mengenai teori-teori terkait yang akan digunakan dalam pembahasan pada tahap berikutnya.

3.2 Mencari penyelesaian dari persamaan panas balik (backward heat equation) menggunakan metode Beda Hingga Maju

Tahap ini meliputi pencarian penyelesaian numerik dari persamaan panas balik (backward heat equation) dengan menggunakan metode Beda hingga Maju.

3.3 Melakukan simulasi dengan Matlab

Setelah dilakukan

pendiskritisasian, pada tahap ini dilakukan simulasi dengan menggunakan software MATLAB sehingga dapat menampilkan hasil iterasi pada persamaan panas balik (backward heat equation) tersebut.

3.4 Analisa hasil simulasi

Pada tahap ini dilakukan analisa dari hasil simulasi yang telah diperoleh dari tahap sebelumnya. Dimana yang dianalisa adalah proses penyelesaian persamaan panas balik tersebut.

3.5 Kesimpulan dan Saran

Pada tahap akhir ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil pembahasan sebelumnya. Selanjutnya diberikan saran untuk perbaikan pada penelitian selanjutnya.

IV. Perhitungan dan Pembahasan Bab ini menjelaskan bagaimana mengimplementasikan metode Beda Hingga Maju dalam menyelesaikan

(4)

4 persamaan panas balik (backward heat equation). Model dari persamaan backward ini akan didiskritisasi, sampai akhirnya diperoleh sebuah matriks, selanjutnya akan dijalankan dengan program matlab. Diskritisasi Model : 𝑢_𝑡 − 𝑣𝑢_𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈Ω, 𝑡 ∈ 0, 𝑇 𝑢_𝑥 𝜕Ω 𝑢 𝑥, 0 = 𝑢₀ 𝑥 , 𝑥 ∈Ω … … … 2 𝑈𝑡 − 𝜈𝑈𝑥𝑥 = 0 , 𝑥 𝜖 0,1 , 𝑡 > 0 𝑈_𝑡 = 𝜈𝑈_𝑥𝑥 Syarat awal : 𝑈𝑥 0, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 𝑈_𝑥 1, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 Syarat batas : 𝑈 𝑥, 0 = 𝑥 1 − 𝑥 ; 𝑥 𝜖 0,1 𝑈𝑡 − 𝜈𝑈𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝜖 0,1 , 𝑡 > 0 𝑈𝑡 = 𝜈𝑈𝑥𝑥 𝜕𝑈 𝜕𝑡 = 𝜈 𝜕2_𝑈 𝜕𝑥2 𝑈_𝑖𝑗 +1−𝑈_𝑖𝑗 𝑘 = 𝜈 𝑈_𝑖+1𝑗 −2𝑈_𝑖𝑗+𝑈_𝑖−1𝑗 ℎ2 dengan : 𝑥𝑖 = 𝑖ℎ , 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛 𝑡_𝑗 = 𝑗𝑘 , 𝑗 = 0,1,2, … , 𝑚 𝑈_𝑖𝑗 +1 = 𝑘𝜈 ℎ2 𝑈𝑖+1 𝑗 − 2𝑈_𝑖𝑗 + 𝑈_{𝑖 −1}𝑗 + 𝑈_𝑖𝑗 , 𝑚𝑖𝑠𝑎𝑙 𝑟 = 𝑘𝜈 ℎ2 𝑈_𝑖𝑗 +1 = 𝑟𝑈_𝑖+1𝑗 − 2𝑟𝑈_𝑖𝑗 + 𝑟𝑈_𝑖−1𝑗 + 𝑈_𝑖𝑗 𝑈_𝑖𝑗 +1 = 𝑟𝑈_𝑖−1𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈_𝑖𝑗 + 𝑟𝑈_𝑖+1𝑗 Syarat awal :  𝑈𝑥 0, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 𝜕𝑈 𝜕𝑥 = 𝑈_𝑖+1𝑗 − 𝑈_𝑖−1𝑗 2h = 0 𝑈_𝑖+1𝑗 = 𝑈_{𝑖 −1}𝑗 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 0 → 𝑈₁𝑗 = 𝑈₋₁𝑗  𝑈_𝑥 1, 𝑡 = 0, 𝑡 > 0 𝑈_𝑖+1𝑗 = 𝑈_{𝑖 −1}𝑗 Studi Kasus : Misal : 𝑘 = 1 100 ℎ = 1 10 𝜈 = 10 𝑟 =𝑘𝜈 ℎ2 = 1 100 . 10 1 100 = 10

Pada saat 𝑥 = 0, maka :

𝑈₀𝑗 +1 = 𝑟𝑈₋₁𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₀𝑗 + 𝑟𝑈₁𝑗 Kondisi batas pada 𝑥 = 0 yaitu : 𝑈₁𝑗 − 𝑈₋₁𝑗

2h = 0

𝑈₁𝑗 = 𝑈₋₁𝑗 Maka menjadi :

𝑈₀𝑗 +1 = 2𝑟𝑈₁𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₀𝑗 Pada saat 𝑥 = 1, maka :

𝑈₁₀𝑗 +1 = 𝑟𝑈₉𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₁₀𝑗 + 𝑟𝑈₁₁𝑗

Kondisi batas pada 𝑥 = 1 yaitu : 𝑈₁₁𝑗 − 𝑈₉𝑗

2h = 0 𝑈₁₁𝑗 = 𝑈₉𝑗 Maka menjadi :

𝑈₁₀𝑗 +1 = 2𝑟𝑈₉𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₁₀𝑗

Karena batas dari x adalah (0,1), maka nilai x terdiri atas :

0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,6 ; 0,7 ; 0,8 ; 0,9 ; 1. Syarat batas : 𝑈 𝑥, 0 = 𝑥 1 − 𝑥 𝑈_𝑖0 _{= 𝑥} 𝑖 1 − 𝑥𝑖 Untuk 𝑥 = 0 → 𝑖 = 0 → 𝑈₀0 ₌ 0 1 − 0 = 0 𝑥 = 0,1 → 𝑖 = 1 → 𝑈₁0 ₌ 0,1 1 − 0,1 = 0,09 𝑥 = 0,2 → 𝑖 = 2 → 𝑈₂0 ₌ 0,2 1 − 0,2 = 0,16 𝑥 = 0,3 → 𝑖 = 3 → 𝑈₃0 = 0,3 1 − 0,3 = 0,21 𝑥 = 0,4 → 𝑖 = 4 → 𝑈₄0 ₌ 0,4 1 − 0,4 = 0,24

(5)

5 𝑥 = 0,5 → 𝑖 = 5 → 𝑈₅0 ₌ 0,5 1 − 0,5 = 0,25 𝑥 = 0,6 → 𝑖 = 6 → 𝑈₆0 ₌ 0,6 1 − 0,6 = 0,24 𝑥 = 0,7 → 𝑖 = 7 → 𝑈₇0 = 0,7 1 − 0,7 = 0,21 𝑥 = 0,8 → 𝑖 = 8 → 𝑈₈0 = 0,8 1 − 0,8 = 0,16 𝑥 = 0,9 → 𝑖 = 9 → 𝑈₉0 = 0,9 1 − 0,9 = 0,09 𝑥 = 1 → 𝑖 = 10 → 𝑈₁₀0 ₌ 1 1 − 1 = 0 𝑈_𝑖𝑗 +1 = 𝑟𝑈_𝑖−1𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈_𝑖𝑗 + 𝑟𝑈_𝑖+1𝑗 dan nilai r = 10 𝑖 = 0 ⟹ 𝑈₀𝑗 +1 = 2𝑟𝑈₁𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₀𝑗 = 20𝑈₁𝑗 + (−19)𝑈₀𝑗 𝑖 = 1 ⟹ 𝑈₁𝑗 +1 = 𝑟𝑈₀𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₁𝑗 + 𝑟𝑈₂𝑗 = 10𝑈₀𝑗 + −19 𝑈₁𝑗 + 10𝑈₂𝑗 𝑖 = 2 ⟹ 𝑈₂𝑗 +1 = 𝑟𝑈₁𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₂𝑗 + 𝑟𝑈₃𝑗 = 10𝑈₁𝑗 + −19 𝑈₂𝑗 + 10𝑈₃𝑗 𝑖 = 3 ⟹ 𝑈₃𝑗 +1 = 𝑟𝑈₂𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₃𝑗 + 𝑟𝑈₄𝑗 = 10𝑈₂𝑗 + −19 𝑈₃𝑗 + 10𝑈₄𝑗 𝑖 = 4 ⟹ 𝑈₄𝑗 +1 = 𝑟𝑈₃𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₄𝑗 + 𝑟𝑈₅𝑗 = 10𝑈₃𝑗 + −19 𝑈₄𝑗 + 10𝑈₅𝑗 𝑖 = 5 ⟹ 𝑈₅𝑗 +1 = 𝑟𝑈₄𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₅𝑗 + 𝑟𝑈₆𝑗 = 10𝑈₄𝑗 + −19 𝑈₅𝑗 + 10𝑈₆𝑗 𝑖 = 6 ⟹ 𝑈₆𝑗 +1 = 𝑟𝑈₅𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₆𝑗 + 𝑟𝑈₇𝑗 = 10𝑈₅𝑗 + −19 𝑈₆𝑗 + 10𝑈₇𝑗 𝑖 = 7 ⟹ 𝑈₇𝑗 +1 = 𝑟𝑈₆𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₇𝑗 + 𝑟𝑈₈𝑗 = 10𝑈₆𝑗 + −19 𝑈₇𝑗 + 10𝑈₈𝑗 𝑖 = 8 ⟹ 𝑈₈𝑗 +1 = 𝑟𝑈₇𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₈𝑗 + 𝑟𝑈₉𝑗 = 10𝑈₇𝑗 + −19 𝑈₈𝑗 + 10𝑈₉𝑗 𝑖 = 9 ⟹ 𝑈₉𝑗 +1 = 𝑟𝑈₈𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₉𝑗 + 𝑟𝑈₁₀𝑗 = 10𝑈₈𝑗 + −19 𝑈₉𝑗 + 10𝑈₁₀𝑗 𝑖 = 10 ⟹ 𝑈₁₀𝑗 +1 = 2𝑟𝑈₉𝑗 + 1 − 2𝑟 𝑈₁₀𝑗 = 20𝑈₉𝑗 + −19 𝑈₁₀𝑗 Maka matriks yang bisa dibentuk yaitu sebagai berikut : 𝑢0 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 𝑢7 𝑢8 𝑢9 𝑢10 𝑗+1 = −19 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 10 −19 10 0 0 0 0 0 0 0 20 −19 𝑢0 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 𝑢7 𝑢8 𝑢9 𝑢10 𝑗

M-file dari penyelesaian persamaan panas balik tersebut adalah sebagai berikut : clear all;

clc;

%make an matrix

N=input('iterasi yang diinginkan'); M=11; A=zeros(M); x=[0:0.1:1]; i=0;j=0; while i+2<=M&&j+2<=M i=i+1; j=j+1; if i==1 A(i,j+1)=20; else if j==9 A(i+1,j)=20; else

(6)

6 A(i+1,j)=10; A(i,j+1)=10; end end end i=i-i;j=j-j; while i+1<=M&&j+1<=M i=i+1;j=j+1; A(i,j)=-19; end v0=randn(M,1); for i=1:M u0(i)=x(i)*(1-x(i)); end a=[0:1:N]; for j=1:N u1(j,:)=(A*u0')'; u0=u1(j,:); end plot(a,u1(1,:),'*-') plot(a,u1(2,:),'*-') plot(a,u1(3,:),'*-') plot(a,u1(4,:),'*-') plot(a,u1(5,:),'*-') plot(a,u1(6,:),'*-') plot(a,u1(7,:),'*-') plot(a,u1(8,:),'*-') plot(a,u1(9,:),'*-') plot(a,u1(10,:),'*-') V. Kesimpulan dan Saran

1. Persamaan panas balik tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan salah satu metode numerik yaitu metode Beda Hingga Maju, hal ini karena waktu yang dihitung adalah waktu yang berjalan ke depan, oleh sebab itu digunakan metode Beda Hingga Maju.

2. Dari pendiskritisasian dengan metode Beda Hingga Maju, telah dihasilkan sebuah matriks.

3. Matriks yang dihasilkan akan disimulasikan dengan menggunakan program Matlab.

4. Hasil simulasi berupa grafik-grafik yang bentuknya berubah-ubah menurut iterasi yang dimasukkan.

VI. Daftar Pustaka

[1]. Boulton, Lyonelle,et al. 2011. On the Stability of Forward-Backward Heat Equation. Heriot-Watt University Press. United Kingdom.

[2]. Hetrick, Beth MC, et al. 2008. Regularization of Backward Heat Equation Via Heatlets. Electronics Journal of Differential Equation. Vil 2008 (2008). Pp. 1-8.

[3]. Jonathan Goodman, et al. 2010. The Backward Equation. Mathematics in Finance Program. Courant Institute of Mathematical Sciences, NYU. [4]. Luknanto, Djoko. 2011. Metode

Numerik. UGM.

[5]. Ternat, Fabien, et al. 2011. Two Stable Methods with Numerical Experiments for Solving the Backward Heat Equation. Elsevier BV.

[6]. Smith, G.D. 1985. Numerical Solution of Partial Differential Equations : Finite Difference Methods. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series.

[7]. Sofiyanti, W. 2010. Deteksi Gangguan Konduksi Panas pada Batang Logam Menggunakan Metode Ensemble Kalman Filter. Tugas Akhir. Surabaya. Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

[8]. Xiao-liang, Cheng, et al. 2010. Iterative Methods for a Forward-Backward Heat Equation in Two Dimension. Applied Mathematic J. Chinese Univ. Vol 25, No. 1.