PENGGABUNGAN DAN PEMECAHAN
PROSES POISSON INDEPENDEN
oleh
HANNA CAHYANINGTYAS M0113021
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2017
ABSTRAK
Hanna Cahyaningtyas, 2017. PENGGABUNGAN DAN PEMECAHAN PROSES POISSON INDEPENDEN. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Proses Poisson adalah himpunan banyaknya kejadian pada suatu interval waktu [0, t] yang memenuhi sifat stationary increment, independent increment, dan orderliness. Proses Poisson independen memiliki variabel-variabel random yang saling independen.
Sebanyak m proses Poisson independen dapat digabung sehingga meng-hasilkan proses Poisson tunggal yang dinotasikan dengan {N(t)|t ≥ 0}. Suatu proses Poisson tunggal dapat dipecah sehingga menghasilkan sebanyakm proses Poisson yang saling independen. Penelitian ini bertujuan untuk menurunkan ulang dan memberikan contoh dari penggabungan dan pemecahan proses Poisson independen.
Berdasarkan hasil dan pembahasan, parameter proses Poisson tunggal yang dihasilkan dari penggabungan proses Poisson independen adalah jumlah seluruh parameter pada sebanyak m proses Poisson. Parameter yang dihasilkan dari pemecahan proses Poisson independen sebanding dengan probabilitas masing-masing proses. Distribusi Nu(t) untuk 1≥ u≥m pada proses Poisson ke-u ber-syarat N(t) adalah binomial. Distribusi bersama dari N1(t), N2(t), . . . , Nm(t) bersyarat N(t) adalah multinomial. Probabilitas terjadinya paling sedikit n kejadian pada proses Poisson pertama sebelum terjadi m kejadian pada proses Poisson kedua adalah sama dengan probabilitas waktu tunggu n kejadian proses Poisson pertama kurang dari waktu tunggum kejadian proses Poisson kedua.
Kata Kunci: proses Poisson independen, penggabungan, pemecahan.
ABSTRACT
Hanna Cahyaningtyas, 2017. MERGING AND THINNING INDEPENDENT POISSON PROCESSES. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
A Poisson process is a set of the number events that occur in a time interval [0, t] which satisfies the stationary increments, independent increment, and orderliness properties. Random variables in the independent Poisson process-es are mutually independent of each other.
There is m of independent Poisson processes that can be merged as a single Poisson process denoted by {N(t)|t ≥ 0}. While a Poisson process can be thinned to obtain a number of m Poisson processes which are independent of each other. This research discussed about the properties and example of merging and thinning independent Poisson processes.
Based on the results and discussion, the parameter in the result of merging independent Poisson processes is the sum of all parameters in a number of m Poisson Process. The parameters in the result of thinning independent Poisson processes are proportional to the probability of each process. The conditional distribution of Nu(t) when 1 ≥ u ≥ m on uth Poisson process given N(t) is binomial. The conditional distribution ofN1(t), N2(t), . . . , Nm(t) given N(t) is multinomial. The probability of occurrence of at leastnevents in the first Poisson process beforem events in the second Poisson process is equal to the probability of waiting timen events in the first Poisson process less than the waiting time m events in the second Poisson process.
Keywords : independent Poisson process, merging, thinning.
PERSEMBAHAN
Skripsi ini dipersembahkan untuk
ayah, ibu, kakak, serta adik atas doa dan semangat yang diberikan.
PRAKATA
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas limpahkan rahmatNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Ucapkan terima kasih penulis sampaikan kepada
1. Dra. Respatiwulan, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing I yang telah mem-berikan bimbingan, saran, dan motivasi selama proses penulisan skripsi, 2. Drs. Pangadi, M.Si. sebagai Dosen Pembimbing II yang telah memberikan
bimbingan, saran, dan motivasi selama proses penulisan skripsi, dan 3. seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.
Surakarta, Oktober 2017
Penulis
III METODE PENELITIAN 11
IV PEMBAHASAN 12
4.1 Sifat-Sifat Proses Poisson . . . 12
4.2 Proses Poisson Independen . . . 14
4.2.1 Penggabungan Proses Poisson Independen . . . 15
4.2.2 Pemecahan Proses Poisson Independen . . . 19
4.3 Contoh . . . 22
V PENUTUP 27 5.1 Kesimpulan . . . 27
5.2 Saran . . . 28
DAFTAR PUSTAKA 29
DAFTAR GAMBAR
2.1 Ilustrasi waktu antar kejadian dan waktu tunggu . . . 9
4.1 Penggabungan proses Poisson independen . . . 15
4.2 Pemecahan proses Poisson independen . . . 20
4.3 Contoh penggabungan proses Poisson independen . . . 23
4.4 Contoh pemecahan proses Poisson independen . . . 25
DAFTAR NOTASI
X : variabel random
p : probabilitas kejadian sukses q : probabilitas kejadian gagal t : waktu
tk : waktu saat kejadian ke-k S : ruang sampel
λ : intensitas (parameter proses Poisson) λm : parameter proses Poisson ke-m N(t) : banyaknya kejadian sampai waktut
Tk : interval waktu antar kejadian ke-(k−1) sampai kejadian ke-k Sk : waktu tunggu sampai kejadian ke-k
fSk : fungsi distribusi kumulatif waktu tunggu sampai kejadian ke-k
fSk : fungsi distribusi probabilitas waktu tunggu sampai kejadian ke-k
Sm,n : waktu tunggu kejadian ke-n pada proses Poisson ke-m
