KONSEP DASAR SEBARAN TEORITIS
Definisi Peubah Acak
Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang harganya ditentukan oleh tiap anggota dalam
ruang sampel. Peubah acak terdiri dari dua macam, yakni:
a) Peubah acak diskret : peubah acak yang nilainya berupa bilangan bulat
Contoh : jumlah gol dalam pertandingan sepakbola
b) Peubah acak kontinu : peubah acak yang nilainya berupa bilangan real
Contoh : waktu yang diperlukan untuk mencetak gol
Fungsi Peluang Peubah Acak
Jika x suatu peubah acak, maka fungsi peluang dari x ditulis p(x) jika x diskret dan f(x) jika x
kontinu, yaitu fungsi yang memenuhi syarat berikut:
a) p(x) ≥ 0, x diskret f(x) ≥ 0, x kontinu b) ∑ p(x) = 1, x diskret
∫ f(x) = 1, x kontinu Fungsi sebaran
� = � � ≤ = ( ), x diskret
� = � � ≤ = , x kontinu
Sebaran Peubah Acak Diskret
1. Sebaran Bernoulli
Peristiwa Bernoulli adalah suatu peristiwa yang hanya mempunyai dua kemungkinan hasil,
yaitu sukses atau gagal. Peluang sukses = p sedangkan peluang gagal = 1 – p.
Fungsi peluang sebaran Bernoulli:
� � = = (1− )1− 2. Sebaran Binomial
Peristiwa Binomial adalah peristiwa Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali dan saling
Fungsi peluang sebaran Binomial:
� �= = � ( )1−
Di mana: p = peluang sukses
q = peluang gagal, di mana q = 1 – p atau p + q = 1
n = banyaknya percobaan
x = banyaknya sukses, di mana x = 0, 1, 2, . . ., n
Contoh:
1. Seorang pengawas lalu lintas melaporkan bahwa 75% kendaraan yang melintasi jembatan
Soekarno Hatta berasal dari Malang.
a) Berapakah peluang bahwa banyaknya kendaraan yang berasal dari Malang adalah 3 dari 5
kendaraan yang melintas?
b) Berapakah peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 kendaraan yang melintas berasal dari luar
Malang?
c) Berapakah peluang bahwa kendaraan dari luar Malang paling banyak 2 dari 5 kendaraan
yang melintas di jembatan Soekarno Hatta.
2. Dua buah dadu dilemparkan sebanyak 5 kali. Hitung peluang munculnya angka dadu
berjumlah 8, dengan ketentuan:
a. Muncul sebanyak 1 kali
b. Muncul paling sedikit 2 kali
3. Sebaran Poisson
Percobaan Poisson adalah suatu percobaan yang menghasilkan peubah acak x yang
menyatakan banyaknya kejadian dalam suatu interval tertentu atau dalam daerah tertentu.
Suatu percobaan Poisson mempunyai sifat – sifat:
a. Banyaknya kejadian dalam interval yang satu saling bebas dengan interval yang lain.
b. Peluang terjadinya satu kejadian dalam interval yang sangat pendek sebanding dengan
panjang interval dan tidak tergantung pada kejadian di luar interval tersebut dan tidak
tergantung banyaknya kejadian di luar interval tersebut.
Fungsi peluang sebaran Poisson:
�
;
�
=
−��!
di mana x = 0,1,… dan µ = n . p
Contoh:
1. Rata – rata banyaknya tikus di luasan 5 meter persegi adalah 10 ekor. Hitunglah peluang
bahwa di dalam suatu luasan 5 meter persegi ada lebih dari 15 ekor tikus.
µ = 10 ekor
2. Sebuah mesin cetak merk “STANDARD” akan membuat satu kesalahan dalam pencetakan
1000 lembar kertas. Pada suatu ketika, seorang karyawan ingin mencetak 250 lembar
kertas. Berapa peluang terdapat kerusakan sebanyak:
a. Tepat 2 lembar
b. Kurang dari 3 lembar
Sebaran Peubah Acak Kontinu
1. Sebaran Uniform (Seragam)
Peubah acak a dikatakan mengikuti sebaran uniform jika fungsi peluangnya:
= 1
− , < <
0, � ��� Contoh:
Kecelakaan lalu lintas yang terjadi di jalan tol sepanjang 10 km dianggap mengikuti sebaran
uniform. Berapakah peluang terjadinya kecelakaan pada km 7 sampai dengan km 9?
2. Sebaran Normal
Sebaran peubah acak yang sangat penting dan sangat sering digunakan adalah sebaran normal.
Fungsi kepadatan peubah acak normal:
= 1
� 2�exp
− � 2
2�2 , −∞< < ∞, −∞<�< ∞,
Kasus khusus dari sebaran normal yaitu jika �= 0, �= 1 sehingga bentuknya menjadi:
= 1
2�exp − 1 2
Fungsi kepadatan ini disebut sebagai fungsi kepadatan normal standard. Setiap peubah yang
berdistribusi normal dengan sembarang nilai tengah dan varian selalu dapat ditransformasi
menjadi peubah acak yang berdistribusi normal baku. Transformasinya adalah:
Jika �~� �,� maka
=
−��
~� 0,1
Sifat sebaran normal baku:
a) Simetri terhadap µ
b) Luas daerah di bawah kurva adalah satu sehingga luas daerah di sebelah kiri µ sama
dengan luas daerah di sebelah kanan µ.
Contoh:
IQ dari 600 pelamar posisi Sales Manager mengikuti sebaran normal dengan rata – rata 115
dan simpangan baku 12. Apabila perusahaan hanya menerima pelamar dengan IQ minimal 95,
berapa banyak pelamar yang ditolak jika dan hanya jika didasarkan pada ketentuan tersebut,
