Nicoleta Breaz_3. 162KB Jun 04 2011 12:09:17 AM

MONOTONIA FUNC IILOR DEFINITE PE R

n

APLICAT

Ă

LA INDICELE PRE URILOR

Nicoleta Breaz, Daniel Breaz

Abstract. We consider the factorial index prices obtained by MDF method as a function depending on more variables and we show that this function satisfy the monotonicity with respect to the prices.

Keywords. Indice, indice al pre urilor, indice unitar, func ie de mai multe variabile, monotonie.

Una dintre proprietăile pe care ar fi de dorit ca un indice al pre urilor să le satisfacă este proprietatea de monotonie.

Referitor la un indice unitar al pre ului, de forma

( )

( )

j p

k p

I = (1)

unde k şi j sunt două momente de timp, iar p(k) şi p(j) pre urile unui anumit produs, corespunzătoare celor două momente de timp, sunt evidente afirma iile:

a) I=I(p(j), p(k)) este o func ie strict crescătoare în raport cu argumentul p(k); b) I=I(p(j), p(k)) este o func ie strict descrescătoare în raport cu argumentul p(j). Considerând cazul a n produse nu vom mai vorbi despre un indice unitar al pre ului ci despre un indice factorial al pre urilor, definit astfel:

Defini ie. Se consideră variabila

∑

= ⋅

= n i

i i q

p v

1

valoarea coşului zilnic, pi fiind preţul

produsului sau serviciului „i”, iar qi cantitatea corespunzătoare acelui produs

existentă în coş. Dacă

( )

( )

j v

k v

I_vk j = reprezintă variaţia totală a valorii v, de la

momentul de timp j la momentul k, se va numi indice factorial al preţurilor (indice al preţurilor) I_vk_pj acea parte din I_vk j datorată variaţiei preţurilor.

Se cunosc mai multe metode de calcul al indicilor factoriali ai pre urilor nefiind încă rezolvată problema determinării unei formule care să redea fidel, cota parte din varia ia lui v datorată pre urilor. Ne vom opri în acest articol la metoda drumului factorilor (MDF).

∏

₌ = n i j k p z j k p

z I i

I

1

unde

∫

∑

₌

=

k j

i _{M M} n i

i i i i j k p z dp q p q I 1

exp , adică

∫

∑

∑

= = = k j

i _MM n i

i i i i n i j k p z dp q p q I 1 1

exp (2)

unde MjMk reprezintă acea parte din drumul parcurs de factorii pre şi cantitate în

intervalul de timp (j;k) sau, geometric, arcul de curbă parametrizat de ecua iile:

( )

( )

t

[ ]

i n

t p p t q q i i i i , 1 , 1 , 0 , ∈ =    = = ,

cuprins între punctele Mj (p1(j), p2(j), … , pn(j), q1(j), q2(j), … , qn(j)) şi Mk (p1(k),

p2(k), … , pn(k), q1(k), q2(k), … , qn(k)).

Se observă că forma unui astfel de drum depinde de toate situa iile de pre – cantitate intermediare celor două momente j şi k. Vom considera în cele ce urmează un drum liniar între punctele Mj, Mk.

Folosind parametrizarea

( )

[

( ) ( )

] ( )

( )

[

( ) ( )

] ( )

=1, , ∈

[ ]

0,1

   ∆ + = − + = ∆ + = − + = t n i p t j p j p k p t j p p q t j q j q k q t j q q i i i i i i i i i i i i (3) formula (2) devine:

( )

(

)

( )

(

) ( )

(

)

∫

∑

∑

= = ∆ + ∆ + ∆ ∆ + = 1 0 1 1 exp _i n i i i i i n i i i i j k p z dp p t j p q t j q p q t j q

I (4)

Conform cu (2) sau (4) vom putea considera indicele pre urilor ca o func ie care depinde de pre urile şi cantităile din perioada de bază j, respectiv perioada curentă k, adică:

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( )

(

( ) ( )

( )

)

( )

(

( ) ( )

( )

)

( )

(

( ) ( )

( )

)

( )

k

(

p

( ) ( )

k p k p

( )

k

)

p k q k q k q k q j p j p j p j p j q j q j q j q unde P k p k q j p j q P I n i n i n i n i n i i i i j k p z ,..., , , ,..., , ,..., , , ,..., , , : , , , , 2 1 2 1 2 1 2 1 4 = = = = → = + + + + R R

iar nota ia ++ se referă la numere strict pozitive.

Proprietate. Indicele preţurilor este strict crescător în raport cu vectorul preţ din perioada curentă k şi strict descrescător în raport cu vectorul preţ din perioada de bază j, adică:

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

(

, , , '

)

, , ,

k p k q j p j q P

k p k q j p j q P

i i i i

i i i i >

>

dacă p(k) > p(k’) şi

( ) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

(

q j p j q k p k

)

P

k p k q j p j q P

i i i i

i i i i

, , ' ,

, , ,

<

<

dacăp(j) > p(j’), unde, de exemplu: p(k) > p(k’)

⇔

p1(k) > p1(k’), p2(k) > p2(k’), … , pn(k) > pn(k’).

Demonstrarea faptului că un indice al pre urilor calculat printr-o anumită metodă are proprietatea de monotonie nu este aşa cum se observă din formula (4) atât de facilă ca şi justificarea afirma iilor a) şi b). Se va vedea că demonstra ia clasică a monotoniei func iei I_zk_pj =P

(

q_i

( ) ( ) ( ) ( )

j,p_i j,q_i k ,p_i k

)

eşuează.

Demersul acestei demonstra ii ar fi următorul:

Deoarece în [2] s-a arătat că un indice al pre urilor care satisface prima parte a monotoniei şi în plus este un indice reversibil în timp, (adică

j k

p z j k

p z

I I = 1 , reversibilitate verificată de către (2)) satisface şi cea de-a doua parte a monotoniei, ne vom axa doar pe această parte, încercând să o demonstrăm pentru indicele (4).

Folosind ipoteza p(j) > p(j’) rezultă ∆pi > ∆pi’, ∀i=1,n. Putem scrie

( )

+ ∆ i =

i j t q

q q_i

( )( ) ( )

j 1−t +q_i k t≥0 pentru orice t∈

[ ]

0,1 , deci:

( )

(

q_i j +t∆q_i

)

∆p_i <

(

q_i

( )

j +t∆q_i

)

∆p_i', ∀i=1,n (5)

Analog, scriind p_i

( )

j +t∆p_i = p_i

( )( ) ( )

j 1−t +p_i kt şi

( )

j t p p

( )( ) ( )

j t p k t

p_i ' + ∆ _i'= _i ' 1− + _i se ob ine p_i

( )

j +t∆p_i > p_i

( )

j' +t∆p_i', de unde rezultă

( )

(

q_i j +t∆q_i

) ( )

(

p_i j +t∆p_i

)

>

(

q_i

( )

j +t∆q_i

) ( )

(

p_i j' +t∆p_i'

)

(6). Se observă că din (5), (6) şi proprietăile de monotonie referitoare la exponen ială şi integrală, dacă ar avea loc rela iile i n

p p

i i

, 1 0 '

0

= ∀ 

 

> ∆

> ∆

demonstra ia monotoniei indicelui (4) ar fi făcută.

Practic cele două rela ii au loc numai dacă pentru toate cele n produse pre ul creşte de la momentul j la momentul k ceea ce nu se întâmplă întotdeauna.

Vom demonstra totuşi că indicele (4) are proprietatea de monotonie folosind derivata par ială de ordinul întâi în definirea monotoniei unei func ii din Rn.

Propozi ie. Dacă F:Rn →R este o funcţie care admite derivate parţiale în raport c fiecare variabilăşi acestea îndeplinesc relaţia

(

)

(

)

n

n i

n

x x n

i x

x x F

R

∈ ∀

= ∀ < ∂

∂

,..., , x , , 1 , 0 ,...,

atunci funcţia F este strict descrescătoare în sensul implicaţiei.

(

x₁,x₂,...,x_n

) (

> x₁',x₂',...,x_n'

)

⇒F

(

x₁,x₂,...,x_n

) (

<F x₁',x₂',...,x_n'

)

, unde

(

x₁,x₂,...,x_n

) (

> x₁',x₂',...,x_n'

)

revine la x_i >x_i', ∀i=1,n.

Demonstra ie:

(

x₁,x₂, ... ,x_n

) (

> x₁' ,x₂' , ... ,x_n'

)

implică x1 >x1' şi avem

(

)

∂ ∂

F x x

x

n

1 1

0 , ... ,

< rezultă că

( ) (

)

f x1 =F x1,x2, ... ,xn unde x2, … ,xn sunt considerate constante, este o func ie

descrescătoare, deci avem: f x

( ) ( )

₁ > f x₁' adică F x

(

₁,x₂, ... ,x_x

) (

<F x₁' ,x₂, ... ,x_x

)

.

Deoarece ∂

(

)

∂

F x x x

x

n

1 2 2

0 , , ... ,

< , ∀

(

x1,x2, ... ,xn

)

∈Rn rezultă că

( ) (

)

g x2 =F x1' ,x2, ... ,xn este o func ie descrescătoare şi cum x2>x2’ rezultă

(

) (

)

F x₁' ,x₂, ... ,x_n <F x₁' ,x₂' , ... ,x_n

Repetând procedeul vom putea scrie rela iile:

(

x x xn

) (

F x x xn

) (

F x x xn

) (

F x x xn

)

F ₁, ₂,..., < ₁′, ₂,..., < ₁′, ′₂,..., < ₁′, ₂′,..., ′ adică exact ceea ce trebuia demonstrat.

Propozi ie. Indicele factorial al preţurilor obţinut prin metoda drumului liniar al factorilor este un indice monoton.

Demonstra ie:

Fie p(j) > p(j’) şi

( )

[

]

( )

[

]

(

( )

)

I

q j t q p

p j t p q j t q

dt

z p k j

i i i

i n

i i i i

i n

=

+

+ +

⋅

=

=

∑

∑

∫

exp

∆ ∆

∆ ∆

1 1 0 1

.

Notăm

( ) ( )

( )

(

)

[

( )

]

( )

[

] ( )

(

)

∑

∑

= =

∆ + ∆

+

∆ ∆ + = _n

i

i i

i i

n

i

i i i

n

q t j q p t j p

p q t j q

j p j p j p F

1 1 2

1 , ,..., .

Calculând derivata acestei func ii se ob ine că:

( )

∂ ∂

F

p_i j <0, ∀ =i 1,n.

Aplicând propozi ia 1 din ipoteza

(

p₁

( ) ( )

j p, ₂ j , ... ,p_n

( )

j

)

>

(

p₁

( ) ( )

j' ,p₂ j' , ... ,p_n

( )

j'

)

rezultă F p

(

₁

( ) ( )

j p, ₂ j , ... ,p_n

( )

j

)

<F p

(

₁

( ) ( )

j' ,p₂ j' , ... ,p_n

( )

j'

)

adică

( )

[

( )

]

( )

[

] ( )

(

)

( )

[

]

( )

[

] ( )

(

)

( )

,

[ ]

0,1

1 1 1

1 = ∀ ∈

∆ + ′ ∆

+

′ ∆ ∆ + <

∆ + ∆

+

∆ ∆ + =

∑

∑

∑

∑

= =

=

= _{g t t}

p t j p p t j q

p q t j q

p t j p p t j q

p q t j q

t f

n

i

i i

i i

n

i

i i i

n

i

i i

i i

n

i

i i i

( )

( )

f t dt g t dt

0 1

0 1

∫

<

∫

şi încă exp f t dt

( )

exp g t dt

( )

0 1

0 1

∫

<

∫

, aşadar I_{z p}k j <I_{z p}k j'.

inând seama şi de observa iile anterioare putem acum să afirmăm că indicele pre urilor MDF liniar este un indice monoton, în sensul dat în [1].

BIBLIOGRAFIE

[1] W., Eichorn, I., Voeller – „Axiomatic foundation of Price Indices and Purchasing Power Parities, Price Level Measurement”, Procedings from a Conference sponsored by Statistics Canada, Otawa, 1985.

[2] I., Florea, N., Mera – „Unele proprietăţi ale indicilor preţurilor MDF”, Analele Universităii din Oradea, Facultatea de Ştiin e Economice, 1998.

[3] I., Florea, I., Opriş – „Metoda drumului factorilor – o nouă metodă de descompunere aritmetică a variaţiei indicatorilor funcţionali”, Studii de calcul economic şi cibernetică economică, 1986.

Autori

Nicoleta Breaz , Daniel Breaz, “1 Decembrie 1918” University of Alba Iulia Str. N. Iorga, No. 11-13, 510009.

Romania.