Aturan Rantai Turunan Berarah dan Fungsi

1

FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN,

DIFERENSIAL TOTAL,

ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH, DAN

FUNGSI IMPLISIT

MAKALAH

Dosen Pengampu: Dra. Emi Pujiastuti, M.Pd

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2010

KELOMPOK 6

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Makalah ini akan menyajikan materi tentang keterdiferensialan dan diferensial total

fungsi skalar, aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit. Dalam

keterdiferensialkan akan dibahas 6 masalah beserta penyelesaiannya.

Makalah ini akan membahas secara detail materi- materi yang disebutkan diatas. Tidak

hanya definisi atau penjelasannya saja yang akan dibahas, tetapi makalah ini juga akan

memberikan beberapa contoh dan penyelesaiannya serta beberapa latihan sehingga pembaca

dapat paham betul tentang materi tersebut.

B. Prasyarat

Materi prasyarat yang dibutuhkan agar dapat memahami makalah ini adalah sebagai

berikut :

1. Kalkulus 1

2. Kalkulus 2

3. Aljabar Linear Elementer

4. Geometi Dasar

C. Kompetensi dan Indikator Kompetensi :

1. Memahami konsep dan penyelesaian masalah pada keterdiferensialan serta diferensial

total fungsi skalar.

2. Memahami konsep aturan rantai, turunan berarah, serta turunan fungsi implisit.

3. Mengidentifikasi matriks jacobi.

Indikator :

1. Dapat menjelaskan kembali tentang konsep keterdiferensialan dan diferensial total fungsi

skalar.

2. Dapat menjelaskan kembali konsep aturan rantai,turunan berarah, dan turunan fungsi

implisit.

3. Dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan keterdiferensialan, diferensial total,

3 D. Tujuan Pembelajaran

1. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali definisi serta konsep keterdiferensialan dan

diferensial total fungsi skalar.

2. Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan keterdiferensialan

dan diferensial total fungsi skalar.

3. Mahasiswa mampu menjelaskan dan mendefinisikan konsep aturan rantai, turunan

4

BAB II

PEMBAHASAN

FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN DAN DIFERENSIAL TOTAL

A. PENGANTAR

Dalam kalkulus, kita ingat kembali bahwa fungsi real yang terdefinisi pada selang

buka yang memuat disebut terdeferensialkan di jika ada.

Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai Dengan

menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya diperoleh,

Kita akan menyajikan konsep turunan secara lain, untuk itu tulislah

maka diperoleh dengan

.

Situasi fungsi satu peubah yang terdeferensialkan di satu titik diperlihatkan pada gambar 1.

Y

f f(x)= f(a +



x)

f x f

y 

 ( ) (a) f (a)

g



x

s X

a

x



a +



x

x- a

5 Dengan cara mengganti oleh , yang mengakibatkan dapat diganti oleh

, diperoleh bahwa fungsi real terdeferensialkan di jika

.

Bentuk limit ini dapat dituliskan sebagai .

Dengan menyamakan penyebut dari bentuk fungsi yang diambil limitnya, diperoleh

.

Kemudian dengan menuliskan maka diperoleh

dengan . Dari analisis di atas, kita sampai pada suatu kesimpulan berikut yang

dapat juga digunakan sebagai definisi keterdeferensialan dari satu peubah.

 Definisi 3.2.1

Misalkan fungsi satu peubah real terdefinisi pada selang terbuka yang memuat .

1. Fungsi dikatakan terdeferensialkan di jika ada dan terdapat

sehingga memenuhi dengan

. Di sini, diferensial fungsi f di a didefinisikan sebagai

.

2. Fungsi dikatakan terdeferensialkan di jika ada dan terdapat yang

memenuhi dengan . Di

sini diferensial fungsi di didefinisikan sebagai .

Pada konsep diferensial fungsi satu peubah, kita telah mempelajari bahwa untuk

yang cukup kecil, diferensial merupakan suatu hampiran yang

cukup baik untuk , hal ini disebabkan karena .

B. FUNGSI SKALAR TERDIFERENSIALKAN

Pada pasal ini akan diperkenalkan konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan di

satu titik pada suatu daerah. Kemudian, konsep keterdiferensialkan fungsi skalar dengan dengan

peubah di



m dibahas sebagai perumuman dari hasil yang diperoleh. Kita mempunyai fungsi dua

6 peubah real u



f

(

x

,

y

)

yang terdefinisi pada daerah D





2 dengan fungsi turunan parsial pertama fxdan fy kontinu di titik

(

a

,

b

)



D

.

. Dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata (TNR) untuk turunan fungsi real, pertambahan



u dari peubah tak bebasnya dapat dituliskan dalam bentuk

)

,

(

)

,

(

a x b y f a b f

u

















(

f

(

a





x

,

b





y

)



f

(

a

,

b





y

)



[

f

(

a

,

b





y

)



f

(

a

,

b

)]

 f_x(a₁x,by)x f_y(a,b₂y)

Dimana dan besarnya bergantung pada



xdan



y

.

Selanjutnya, kekontinuan fungsi di (a,b) mengakibatkan

). , ( ) , (

lim₍x_,y₎₍a_,b₎ fx x y  fx a b Misalkan dan y



b





y, maka

)

,

(

)

,

(

)

0

,

0

(

)

,

(



x



y





x y



a b , sehinggalim₍x_,y₎_(0,0) fx(a₁x₁,by) fx(a,b)

Atau

lim

_{(x,y)(0,0)} f_x

(

a





₁



x

,

b





y

)



f_x(a,b)



0

.

Kemudian sebutlah



₁





₁

(



x

,



y

)



f_x

(

a





₁



x

,

b





y

)



f_x

(

a

,

b

)

, maka 1

1

,

)

(

,

)

(

a







x b





y



f a b





fx x dengan lim(x,y)(0,0)



1(x,y)0. Dengan cara yang sama kekontinuan fungsi fy di(a,b) mengakibatkan adanya



2





2

(



x

,



y

)

yang memenuhi

2

2

)

(

,

)

,

(

a b







y



f a b





fy y dengan

lim

(x,y)(0,0)



2

(



x

,



y

)



0

.

Kita tuliskan kesimpulan dari proses ini dalam rumus berikut, yang dikenal sebagai rumus

dasar pertambahan.

 Teorema (3.2.2) Rumus Dasar Pertambahan

Jika fungsiu



f

(

x

,

y

)

mempunyai turunan parsial pertamayang kontinu di titik pada daerahD





2 , maka pertambahan



u



f

(

a





x

,

b





y

)



f

(

a

,

b

)

. Dapat ditulis dalam bentuk

) , ( ) , ( )

, ( )

,

(a b x f a b y ₁ x y ₂ x y f

u x   y       







Dengan lim_(x_,y_)(0,0)



₁(x,y)0dan lim_(x_,y_)(0,0)



₂(x,y)0.

Hasil ini memberikan gagasan pada rancangan keterdeferensialan fungsi dua peubah di satu

titik dan pada suatu daerah yang lengkapnya sebagai berikut.

7

 Definisi

Misalkan fungsi dua peubah u



f

(

x

,

y

)

mempunyai turunan parsial pertama di titik

(

a

,

b

)

yang terletak pada daerah D





2.

Fungsi dikatakan keterdeferensialan di

(

a

,

b

)



D jika terdapat fungsi



₁





₁

(



x

,



y

)

dan

)

,

(

2

2







x



y



sehingga pertambahan



u



f

(

a





x

,

b





y

)



f

(

a

,

b

)

dapat ditulis sebagai

) , ( ) , ( )

, ( )

,

(a b x f a b y ₁ x y ₂ x y f

u x   y       







dengan

0 ) , ( lim

dan 0 ) , (

lim_(x_,y_)(0,0)



₁ x y  _(x_,y_)(0,0)



₂ x y  .

1. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan pada daerah D





2 jika fungsi f terdeferensialkan di setiap titik pada daerah .

2. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan secara kontinu di

(

a

,

b

)

fungsi f terdeferensialkan di

)

,

(

a b dengan fungsi turunan parsial f_x dan f_y kontinu di titik itu.

3. Fungsi dikatakan terdiferensialkan secara kontinu pada daerah D





2 jika fungsi f

terdeferensialkan secara kontinu di setiap titik pada daerah .

Dari proses diperolehnya rumus dasar pertambahan dan definisi keterdiferensialan fungsi dua

peubah di

(

a

,

b

)

kita mempunyai rumus penting berikut.

 Teorema 3.2.4

Jika fungsi u



f

(

x

,

y

)

mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di titik

(

a

,

b

)

pada daerah D





2, maka fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik

(

a

,

b

)

.

Selanjutnya kita dapat menuliskan definisi fungsi dua peubah yang terdiferensialkan tanpa

notasi



xdan



y

, untuk itu tulislah



x



x



adan



y



y

-

b

maka fungsi u



f

(

x

,

y

)

terdiferensialkan di

(

a

,

b

)

jika pertambahan



u



f

(

x

,

y

)



f

(

a

,

b

)

dapat dituliskan sebagai

) ( ) ( ) )( , ( ) )( ,

(a b x a f a b y b ₁ x a ₂ y b f

u x   y     







di mana



₁ dan



₂ dari

b

dan

,

,

y a

x dengan lim_{(x,y)(a,b)}



₁0dan lim_{(x,y)(a,b)}



₂ 0.

Syarat terakhir dapat ditulis dalam bentuk

)

(

)

(

)

)(

,

(

)

)(

,

(

)

,

(

)

,

(

x y f a b f a b x a f a b y b ₁ x a ₂ y b

f





x





y















dengan



1 dan



2

mendekati nol untuk

(

x

,

y

)



(

a

,

b

)

.

8 Perhatikan bahwa pada bentuk ini f(x,y) f(a,b) f_x(a,b)(xa) f_y(a,b)(yb)

adalah persamaan bidang singgung di titikP

(

a

,

b

,

f

(

a

,

b

))

pada permukaan u



f

(

x

,

y

)

. Hasil ini merupakan perumuman dari situasi serupa untuk fungsi satu peubah yang terdiferensialkan di , yaitu

)

(

)

)(

(

'

)

(

)

(

x f a f a x a x a

f













dengan mendekati nol untuk x mendekati a. Di sini

)

)(

(

'

)

(

)

(

x f a f a x a

f







adalah persamaan garis singgung pada kurva y



f

(x

)

di titik (a,f(a)).

Seperti pada fungsi real, setiap fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di suatu titik itu.

Berikut ini adalah rumus penting tersebut beserta pembuktiannya.

 Teorema 3.2.5

Jika fungsi dua peubah u



f

(

x

,

y

)

terdiferensialkan di f

(

a

,

b

)

pada daerah , maka fungsi kontinu di

(

a

,

b

)

.

Bukti:

Karena fungsi f terdiferensialkan di titik

(

a

,

b

)

, maka

y y x x

y x y

b a f x b a f

u _x   _y         

 ( , ) ( , )



₁( , )



₂( , ) dengan

0 ) , (

lim_{(x,y)(0,0)}



₁ x y  dan lim_{(x,y)(0,0)}



₂(x,y)0 . Ini mengakibatkan

. 0 lim_{(x,y)(0,0)}u 

Karena



u



f

(

a





x

,

b





y

)



f

(

a

,

b

),

maka dari bentuk limit ini diperoleh

)

,

(

)

,

(

)

0

,

0

(

,

y x y a b

x











yang langsung membawa kita sampai pada hasil

.

)

,

(

)

,

(

lim

(x,y)(a,b) f x y



f a b .

Ini berarti bahwa fungsi f kontinu di

(

a

,

b

)

, dengan demikian terbuktilah yang

diinginkan.■

Catatan Kebalikan Teorema 3.2.5 tidak benar lagi, sebagai contoh pengangkal, fungsi

)

,

(

x y

f = x2  y2 kontinu di

(

0

,

0

)

tetapi tidak terdiferensialkan di titik itu karena f _x

(

0

,

0

)

dan f _y

(

0

,

0

)

tidak ada.

Ikhtisar keterdiferensialan fungsi dua peubah yang didasarkan pada Rumus Dasar

Pertambahan diberikan dalam diagram berikut.

Fungsi u = f(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di (a,b) yang terletak pada daerah D



2.

9

dan

Dan

RDP: Rumus Dasar Pertambahan

C. KETERDIFERENSIALAN FUNGSI VEKTOR DI RM

Konsep keterdiferensialan fungsi dua peubah yang telah dibahas dapat diperumum untuk

fungsi skalar u = f (X), X suatu titik pada daerah D≤ Rm. Keterdiferensialan fungsi tiga peubah u = f (x,y,z) yang mempunyai turunan parsial di titik (a,b,c) pada daerah D ≤ R3 didefinisikan sebagai berikut. Fungsi f dikatakan terdiferensialkan di (a,b,c) jika terdapat fungsi skalar

2 2 1

1



(

,

,

),











x



y



z



sehingga pertambahan

Dapat ditulis sebagai

dengan

) , (x y f

u f kontinu

di (a,b)

f kontinu pada D

f

terdiferensialkan di (a,b)

f

terdiferensialkan di D

x

f

kontinu di (a,b)

y

f ada di (a,b) x

f ada di (a,b)

y

f

kontinu di (a,b) RDP

f

terdiferensialkan secara kontinu di (a,b)

f

terdiferensialkan secara kontinu di D

10 Keterdiferensialan fungsi skalar u = f (X), X = (x1,x2,…,xm) yang mempunyai turunan parsial

di A = (a1,a2,…,am) pada daerah D ≤ Rm didefinisikan sebagai berikut. fungsi f dikatakan terdiferensialkan di A є D jika terdapat fungsi skalar

sehingga perubahan

)

dapat ditulis sebagai

dengan memenuhi

Sifat keterdiferensialan fungsi dua peubah berlaku juga untuk fungsi skalar yang umum. pada

fungsi skalar u = f(X), X ≤ D ≤ Rm, D suatu daerah di Rm kita juga mempunyai sifat bahwa setiap fungsi skalar yang terdiferensialkan secara kontinu di suatu titik akan terdiferensialkan di titik itu dan

setiap fungsi skalar yang terdiferensialkan di suatu titik akan kontinu di titik itu.

Masalah I

Keterdeferensialan fungsi langsung dari definisinya.

Contoh 3.10. Selidiki keterdeferensialan fungsi

f(x,y) = x2+ y2

pada

D _f = 2

langsung

dengan menggunakan definisinya.

JAWAB

Di sini D

_f = 2

dan fungsi f kontinu pada D

_f

(jelaskan mengapa!). misalkan (a,b)

titik sebarang pada

D f

, akan diselidiki apakan fungsi f terdeferensialkan di

(a,b). Untuk

fungsi ini, turunan parsial pertama dan nilainya di (a,b) adalah

f x(x,y) = 2x, f x(a,b) = 2a dan f y(x,y) = -2y , f y(a,b) = -2b

sehinggan pertambahannya adalah

u = f (a+x,b+ y)

–

f(a,b) = ((a+x)2-(b+y)2)

–

(a2-b2)

= 2ax

–

2by + x2 - y2

11

u = f x(a,b)x + f y(a,b) y +

ε

1 (x,y)x +

ε

2(x,y)y

dengan

) 0 , 0 ( ) ,

(x

lim

y

ε

1

(



x,



y) = 0 dan

) 0 , 0 ( ) ,

(x

lim

y

ε

2

(



x,



y) = 0

Gantikan hasil yang diperoleh sebelumnya pada bentuk pertambahan



u, diperoleh

2ax

–

2by + x2 - y2= 2ax

–

2by +

ε

₁ (x,y)x +

ε

₂(x,y)y

sehingga

ε

1 (x,y)x +

ε

2(x,y)y = (x)x + (-y)y

Ambillah

ε

1 (x,y) =x dan

ε

2(x,y) = -y

maka

ε

₁

dan

ε

₂

memenuhi rumus dasar pertambahan dengan

) 0 , 0 ( ) ,

(x

lim

y

ε

1

(x,y) =

) 0 , 0 ( ) ,

(x

lim

y 

x = 0

dan

) 0 , 0 ( ) ,

(x

lim

y

ε

2

(x,y) =

) 0 , 0 ( ) , (x

lim

y

(-y) = 0

Jadi fungsi

f terdiferensialkan di (a,b) D f=

2



; dan karena

(a,b) sebarang pada D _f

, maka fungsi f terdiferensialkan pada D

_f

.

Masalah 2

Keterdeferensialan fungsi dari kekontinuan

turunan parsial pertamanya

Contoh 3.11. Selidiki apakah fungsi

(a) f (,x,y) = tan

1xy (b) g(x,y) = exy2

12

JAWAB

(a)

Fungsi

f kontinu pada Df =

2



(jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial

pertamanya terhadap x dan y adalah

f _x(x,y) = _{2 2} 1

1 y x



dan f

x(x,y) = 2 2

1 1

y x



Karena fungsi

fx

dan

fy

kontinu pada

2



(jelaskan mengapa), maka fungsi f

terdiferensialkan pada

2

.

(b)

Fungsi

g kontinu pada Dg=

2



(jelaskan mengapa). Untuk fungsi ini, turunan parsial

pertamanya terhadap x dan y adalah

g_x(x,y) = exy2

dan g

_x(x,y) = 2yexy2

Karena fungsi

gx

dan

gy

kontinu pada

2



(jelaskan mengapa), maka fungsi

g

terdiferensialkan pada

2

.

Masalah 3

Ketak-terdeferensilan fungsi di suatu titik dari

ketak-kontinuan fungsinya di titik itu

Contoh 3.12. Tunjukkan fungsi

f(x,y) =















)

0

,

0

(

)

.

(

,

0

)

0

,

0

(

)

,

(

,

4 2

2

y x

y x y x

xy

tidak terdeferensialkan di (0,0).

JAWAB

Fungsi

f terdefinisi pada D _f = 2

dengan (0,0) suatu titik-titik dari

D f

. Kita akan

menyelidiki kekontinuan fungsi f di titik itu.

13

f(0,y) = _{2 4}

2

0

.

0

y y



= 0

sehingga di sepanjang garis ini

) 0 , 0 ( ) ,

(xy

lim

 f(x,y) =(x,y

lim

)(0,0) 2 4 2

y x

xy



=

lim

y00 = 0

Misalkan (x,y)



(0,0) sepanjang kurva x = y2

, maka

f(y2,y) = _{4 4}

2 2

.

y y

y y



= 4 2

2

y y

= 2 1

sehingga di sepanjang garis ini

) 0 , 0 ( ) ,

(xy

lim

 f(x,y) =(x,y

lim

)(0,0) 2 4 2

y x

xy



=

lim

y0 ₂

1 =

2 1

Karena sepanjang garis

x = 0 dan sepenjang kurva x = y2

limit fungsi f untuk (x,y)



(0,0)

berbeda, maka

) 0 , 0 ( ) ,

(xy

lim

 f(x,y) tidak ada

Jadi fungsi f tidak kontinu di (0,0), karena itu berdasarkan kontra posisi teorema 3.2.5,

fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0).

Masalah 4

Ketak-tederferensialkan fungsi di suatu titik dari

titik terdapatnya turunan parsial di titik itu

Contoh 3.13. Tunjukkan fungsi

f(x,y) = x (y-1) tidak terdeferensialkan di (0,0).

JAWAB

14

Karena

)

dengan limit terakhir tidak ada (jelaskan mengapa), maka fungsi

f

tidak terdeferensialkan di

(0,0).

Masalah 5

Ketak-terdeferensialkan fungsi kontinu di suatu titik

langsung dari definisinya

Contoh 3.14. Tunjukkan fungsi

f(x,y) =

kontinu dan mempunyai turunan parsial di (0,0) tetapi tidak terdeferensialkan di titik itu.

JAWAB

Fungsi

f terdefinisi pada D _f = 2

dengan (0,0) suatu titik-limit dari

D _f

, akan

ditunjukkan

)

Karena

0

15

maka berdasarkan prinsip apit,

)

Dari sini diperoleh

)

Ini mengakibatkan fungsi f kontinu di (0,0).

Turunan parsial pertama dari fungsi f di (0,0) adalah

fx(0,0) =

Ini berarti bahwa fungsi f mempunyai turunan parsial di (0,0).

Kita tinggal menunjukkan bahwa fungsi f tidak terdiferensialkan di (0,0) dengan cara

kontradiksi. Andaikan fungsi f terdiferensialkan di (0,0), maka terdapat fungsi

1



=



₁(x,y) dan



₂=



₂(x,y)

yang memenuhi

y

dengan

0

16

y x

y x

f

(



,



)





₁







₂



Khususnya untuk

yx

diperoleh fungsi



x



x

y x

f

(



,



)



(



₁





₂

)(



)

.



Tetapi menurut definisi fungsi f yang diketahui,

x x

x x x

x x y

x

f































2

.

2

1

2

2

1

2

)

,

(

2

2 2

2

Dari kedua hasil terakhir kita sampai pada kesamaan







x





x





2

.



x

2

1

.

)

)(

(



₁



₂



 

2

2 1

2

1 



x 



Karena

lim 1

 

0

0  



x



x

dan

limx0



2

 

x 0

, maka



 

2

2 1 2 2 1 lim lim

0

0 2

1

0     

_x





x _x

yang merupakan suatu kontradiksi. Kontradiksi ini disebabkan oleh pengandaian bahwa suatu

fungsi

f terdeferensialkan di (0,0). Dengan demikian kesimpulannya haruslah fungsi f tidak

terdiferensialkan di (0,0).

Masalah 6

Keterdiferensialan fungsi di suatu titik tetapi tidak

terdiferensialkan secara kontinu di titik itu

Contoh 3.15. Tunjukkan fungsi

 

    



 



0 ) , ( , 0

) 0 , 0 ( ) , ( , 1 sin

, 2 2

2

y x

y x y x x

17

terdiferensialkan di titik (0,0), tetapi tidak terdiferensialkan secara kontinu di titik itu. (Fungsi

turunan parsial pertama

f_x

dan

f_y

tidak kontinu di titik (0,0)).

JAWAB

Fungsi

f terdefinisi pada Df





2

yang memuat (0,0). Turunan parsial pertama dari

fungsi f terhadap x dan y di (0,0) adalah

x

dengan

0

Gantikan semua informasi yang diketahui pada rumus dasar pertambahan, diperoleh

y

18

Ambillah

kemudian tunjukkan

Dari ketaksamaan

dengan

Maka berdasarkan prinsip apit diperoleh

Akibatnya,

Secara otomatis, karena

, maka

Jadi rumus dasar pertambahan untuk fungsi f

di (0,0) dipenuhi; dengan demikian kita

telah menunjukkan bahwa fungzi f terdiferensialkan di (0,0).

Sekarang kita tunjukkan bahwa fungsi turunan parsial pertama f

x dan fy

tidak kontinu

di titik (0,0), tentukan dahulu persamaan fungsinya kemudian tunjukkan bahwa limitnya di

(0,0) tidak ada. Setelah bentuk fungsi turunan parsial pertamanya disederhanakan diperoleh

dan

19

Sepanjang garis x = 0:

Sepanjang garis y = 0:

Limit di sepanjang garis y = 0 ini tidak (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi f

x

tidak kontinu

di (0,0).

Sepanjang garis x = 0

Sepanjang garis y = x:

Limit di sepanjanggaris y = 0 ini tidak ada (jelaskan mengapa). Karena itu fungsi

fx

tidak

kontinu di (0,0).

D. DIFERENSIAL TOTAL FUNGSI SKALAR

Kita akan mempelajari konsep diferensial dari fungsi dua peubah, yang dikenal sebagai

diferensial total. Untuk ini perhatikan kembali konsep garis singgung pada fungsi real u



f

 

x yang terdiferensialkan secara kontinu di titikxa pada selang terbuka D. konsep ini menyatakan bahwa persamaan garis singgung di titik

 

a

,

b

,

b



f

 

a pada kurva adalah

 

a x a



f b

y





'



Pada situasi ini diferensial dari fungsi f di xa didefinisikan sebagai

a x

dx





dan dy



f

'

 

a x



a



Atau dx





x dan dy



f

'

 

a dx

Berdasarkan definisi kita menuliskan

    

x f a f a x

  

f a f

 

a x x

f

y























'



.

Dengan







 



x



0

untuk



x



0

. Karena dy



f

'

 

a



x maka dy merupakan suatu hampiran yang cukup baik untuk pertambahan



y bila



xcukup kecil. Gagasan konsep diferensial fungsi real adalah penghampiran nilai fungsi f

 

x atau f



a





x



oleh nilai fungsinya

20 pada garis singgung di titik

 

a

,

b

,

b



f

 

a . Dengan perkataan lain, kurva f di sekitar

a

x dihampiri oleh garis lurus yang menyinggung kurvanya di titik

 

a

,

b .

Konsep diferensial fungsi dua peubah real dirancang dengan cara yang sama dan hasilnya

dapat diperumum untuk fungsi skalar lainnya. Kita ingat kembali persamaan bidang singgung pada permukaan S

:

u



f

 

x

,

y di titik



a

,

b

,

c





S, fungsi f terdiferensialkan secara kontinu di titik

 

a,b adalah z



c





f

 

a

,

b

.

X



A



,

X



 

x

,

y dan

 

a

,

b

atau dalam bentuk komponennya zcf

 

a,b xa

  

 f_y a,b yb



Tulislah



x



x



a dan



y



y



b, maka persamaan bidang singgung pada permukaan S di titik



a

,

b

,

c



,

c



f

 

a

,

b adalah z f

 

a,b  fx

 

a,b x fy

 

a,by

Bandingkan hasil ini dengan syarat keterdiferensialan secara kontinu dari fungsi

 

x y

f

z



,

di titik

 

a

,

b pada daerah D



R2,

   

x y f a b f

 

a b x f

 

a b y x y

f

f    _x   _y     

 , , , ,



1



2

fx dan fy kontinu di

 

a

,

b

,



₁





₁

 

x

,

y dan



₂





₂





x

,



y



dengan dan

Keterdiferensialan secara kontinu menjamin adanya bidang singgung pada permukaan S di

titik



a

,

b

,

c



. Di sini kita melihat bahwa ruas kanan persamaan bidang singgung merupakan suatu

hampiran yang cukup baik untuk ∆f karena pada rumus dasar pertambahan berlaku



₁



0

untuk

   

x

,

y



0

,

0

. Berdasarkan kenyataan ini kita mendefinisikan konsep diferensial total fungsi dua peubah sebagai berikut:

 Definisi

Misalkan fungsi dua peubah u



f

 

x

,

y terdiferensialkan secara kontinu di titik

 

a,b pada daerah D_f R2.

1. Diferensial dari peubah bebas x dan y, ditulis dx dan dy, didefinisikan sebagai dx





x dan

y dy





.

2. Diferensial (diferensial total) dari peubah tak bebas u, ditulis du

 

a

,

b atau df

 

a

,

b , didefinisikan sebagai df

 

a,b  f_x

 

a,b dx f_y

 

a,b dy

21 Pada definisi ini, diferensial total dari fungsi f di titik

 

x,y D_f adalah

 

x y f

 

x ydx f

 

x y dy

df

,



_x

,



_y

,

atau disingkat df



f_xdx



f_ydy

Dari konsep fungsi dua peubah real yang terdiferensialkan secara kontinu di titik (x,y) pada daerah D, diperoleh



f



df





1



x





2



y dengan untuk

(



x

,



y

)



(

0

,

0

)

. Ini berarti bahwa df

merupakan suatu penaksir yang baik untuk



f .

Konsep diferensial total dari fungsi dua peubah dapat diperumum untuk fungsi scalar

m

R D X X f

u



(

),





yang terdiferensialkan secara kontinu pada daerah D. diferensial total dari fungsi tiga peubah u = f(x,y,z) yang terdiferensialkan secara kontinu di titik X



(

a

,

b

,

c

)

pada daerah D didefinisikan sebagai df



f_x1dx₁



f_x2dx₂



...



f_xmdx_m

Pada contoh berikut dibahas beberapa contoh tentang diferensial total dari fungsi dua peubah

dan diferensial total sebagai suatu hampiran.

Contoh : Diketahui fungsi f

(

x

,

y

)



xy2



2

x (a). Hitunglah Δf dan df.

(b). Hitunglah Δf dan dfdi (4,3) dengan Δx = 0,01 dan Δy = 0,02.

(c). Tanpa menghitungnya secara langsung, taksirlah f (5,12;6,85) dengan diferensial kemudian bandingkan dengan nilai eksaknya.

JAWAB

(a). Fungsi f terdefinisi pada R2, fungsi turunan parsial pertama dari f terhadap peubah x dan y adalah

2 )

,

(x y  y2 

f_x dan f_y

(

x

,

y

)



2

xy

Karena fungsi turunan parsial pertama fx dan fy kontinu pada R 2

maka fungsi f terdiferensialkan secara kontinu pada R2.

Pertambahan dari fungsi fdi titik (x,y) є R2 adalah

)

,

(

)

,

(

x x y y f x y f

f



















(

x





x

)(

y





y

)

2



2

(

x





x

)



(

xy2



2

x

)



22



(

y2



2

)



x



(

2

xy

)



y



(



y2

)



x



(

2

y



x



x



y

)



y

Diferensial total dari fungsi f di titik (x,y) є R2

adalah

dy xy dx y

df



(

2



2

)



(

2

)

(b).Untuk x=4, y=3, x=-0,01 dan y=0,02 diperoleh

)

3

,

4

(

)

02

,

3

;

99

,

3

(

)

3

,

4

(

)

02

,

0

3

;

01

,

0

4

(

f f f

f















=

(

3

,

99

)(

3

,

02

)

2



2

(

3

,

99

)



(

4

,

3

2



2

,

4

)



0

,

410396

dan

41

,

0

)

02

.

0

)(

3

,

4

,

2

(

)

01

,

0

)(

2

3

(

2











df

Perhatikan bahwa di sini df merupakan suatu hampiran untuk



f karena



xdan



ycukup kecil.

(c).Kita akan menentukan nilai f

(

x





x

,

y





y

)

untuk x





x



5

,

12

dany





y



6

,

85

. Pilihlahx



5

,



x



0

,

12

,

y



7

dan



y





0

,

15

maka nilai taksiran dari f

(

5

,

12

;

6

,

85

)

dengan konsep diferensial adalah f

(

5

,

12

;

6

,

85

)



f

(

5

,

7

)



df

(

5

,

7

)

)

15

,

0

)(

70

(

)

12

,

0

)(

47

(

235









14

,

130

68

,

4

235







Nilai eksak di titik

(

5

,

12

;

6

,

85

)



(

230

,

0032

)

E. MATRIKS JACOBI

Kita akan menyajikan konsep keterdiferensialan fungsi skalar dengan menggunakan

transformasi linear, hasil yang diperoleh akan diperumum untuk membahas konsep keterdiferensialan

fungsi vektor dengan peubah vektor. Untuk ini perhatikan kembali konsep keterdiferensialan fungsi

skalar di satu titik pada suatu daerah.

Fungsi skalar u



f

 

X

,

X





x₁

,

x₂

,



,

x_m



yang mempunyai turunan parsial di



a a am



A



1

,

2

,



,

pada daerah

m

D





dikatakan terdiferensialkan di A jika terdapat fungsi



h

,

h

,

,

hm



1

_{1 2}

1









, t 1,2,,msehingga pertambahan f dapat ditulis sebagai



a h am hm

 

f a a am



fx

 

Ah fx

 

Ahm h mhm

f f

m

a   



 



 

 



 _{1 1},, ₁, ₂,, ₁  _{1 1} 

dengan



₁



0

bila



h₁

,

h₂

,



,

h_m

 



0

,

0

,



,

0



,

i



1

,

2

,



,

m

23 Kita tuliskan syarat keterdiferensialan ini dengan notasi vektor. Misalkan H





h₁

,

h₂

,



,

h_m



, makaA



H





a₁



h₁

,



,

a_m



h_m



, sehingga syaratnya dapat dituliskan dalam bentuk



A H

  

f A f

 

A H h mhm

f















1 1









dengan

0

1





bila



h1

,

h2

,



,

h_m

 



0

,

0

,



,

0



,

i



1

,

2

,



,

m

syarat keterdiferensialan terakhir dapat diganti dengan syarat yang lebih kuat, yaitu mengambil

 

H

m











₁









,



dan mengganti h₁ oleh H , sehingga diperoleh



A H

  

f A f

 

A H H

 

H

f















dengan

 

0

0

lim





H H



Perhatikan bahwa syarat yang terakhir selalu mengakibatkan syarat yang di atasnya juga berlaku. Jadi

sekarang kita sampai pada hasil berikut.

 Definisi

Fungsi skalar f :DR,D daerah Rm

,

u



f

 

X dikatakan terdiferensialkan di AD jika terdapat vektor V dan suatu fungsi skalar







 

H

,

H





h1

,

h2

,



,

hm



yang memenuhi



A H

  

f A V H H

 

H

f













dengan

 

0

0

lim





H H



Pada definisi ini vektor V adalah gradien dari fungsi f di A, yaitu

 

A



f

   

A f A f

 

A



f V

m

x x

x₁

,

₂

,



,







Dengan menggunakan sifat aljabar linear, maka untuk vektor V yang diketahui terdapat suatu transformasi linear L sehingga L

 

H



V



H . Jadi konsep keterdiferensialan fungsi skalar di satu titik pada suatu daerah dapat ditampilkan dalam bentuk berikut.

 Definisi

Fungsi skalar f :DR,D daerah Rm

,

u



f

 

X dikatakan terdiferensialkan di AD jika terdapat transformasi linier L:Rm R dan suatu fungsi skalar







 

H

,

H





h1

,

h2

,



,

hm



yang memenuhi

24

Transformasi linear L dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lainnya seringkali ditulis tanpa kurung, yaitu L

 

H ditulis LH . Dengan cara penulisan seperti ini, syarat keterdiferensialan dari fungsi skalar menjadi



A H

  

f A LH H

 

H

Bentuk terakhir dapat ditulis sebagai



A H

  

f A Df

 

AH H

 

H

Perumuman dari hasil yang sedang kita pelajari akan digunakan untuk memperkenalkan

konsep keterdiferensialan dari fungsi vektor dengan peubah vektor yang didefinisikan sebagai berikut.

 Definisi

yang memenuhi



A H

  

F A LH H E

 

H

25 Seperti halnya pada fungsi scalar, jika terdapat tranformasi linear yang berkaitan dengan

fungsi F di A, maka kita menyatakan tranformasi tersebut dengan DF(A) atau F’(A). dengan cara penulisan ini syarat keterdiferensialan dari fungsi vector dengan peubah vector dapat ditampilkan

dalam bentuk

)

Pada situasi ini, vektor F(A+H), F(A) dan E(H) dapat dipandang sebagai matriks berukuran n

X 1, matrika transformasi L berukuran n X m dan vector H sebagai matriks berukuran m X 1. baris

ke-i dari matriks tranformasi L adalah vektor gradien dari komponen fungsi fi(x) di A, yaitu



f1

(

A

),

i



1

,

2

,...,

n. Dalam bentuk matriks, syarat keterdiferensialan untuk fungsi vektor

dengan peubah vektor dapat ditulis sebagai



matriks tranformasi L

Matriks transformasi L dinamakan matriks Jacobi dari fungsi F dan ditulis dengan lambang JF(A). Jadi matriks Jacobi dari fungsi F adalah

 

 

A

Perhatikan beberapa contoh berikut tentang menentukan matriks Jacobi dari suatu fungsi

vektor dengan peubah vektor.

26 Contoh : Tentukan matriks Jacobi dari fungsi vektor dengan peubah vector







 









_

x y

xy x

y x F

F ₁

2 2

2

tan

2

)

,

(

,

:

di titik (1,1).

JAWAB : Komponen fungsi vektor dari F adalah f₁

(

x

,

y

)



x2



2

xy dan f₂

(

x

,

y

)



y

tan

1x

Matriks Jacobi dari fungsi F di titik (x,y) 2 adalah

    

  



 

   

 

   

 

  

 

  

  _x

x y

x y

x

y f x f

y f x f y x

JF 1

2 2

2 1 1

tan 1

2 2

2 )

, (

Sehingga matriks Jacobi dari fungsi F di titik (1,1) adalah

 





















_

4

1

2

1

2

0

1

,

1

F

J

SOAL LATIHAN 1

1.

Selidiki apakah

x y

e y x

f

(

,

)



2

terdiferensialkan pada daerah definisinya!

2.

Tunjukkan bahwa

f(x,y)xey x2y

dapat didiferensialkan dimanapun

3.

Tentukan

,

D_yf(x,y,z)

dan

jika

dan temukan pula differensial totalnya.

27 ATURAN RANTAI, TURUNAN BERARAH DAN

FUNGSI IMPLISIT

A. PENGANTAR

Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua

pembaca. Jika y f(x(t)), dengan f dan

x

keduanya fungsi yang dapat dideferensialkan, maka

dx du

du dy

dx dy

y'   .

B. ATURAN RANTAI



Teorema Aturan Rantai I

Jika fungsi x= x(t) dan y= y(t) terdiferensialkan di t



D dan fungsi z= f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)= (x(t),y(t))



D_f , maka fungsi z= g(t)= f(x(t), y(t)) juga terdiferensialkan di t dengan

aturan :

dt dy y z dt dx x z dt dz

. .

   





dimana

y z x z









_,

_{dihitung di (x,y)= (x(t),y(t)).}

Aturan rantai I dapat ditampilkan dalam bentuk diagram pohon berikut

x t

dt dy y z dt dx x z dt dz

.

.













2 peubah

Bukti :

Karena fungsi z= f(x,y) terdiferensialkan di (x,y)Df, maka :

y x y y z x x z

z

.

.







1





2

















x

z





y z





dt dx

dt dy

z t

28

Dengan menggunakan semua hasil ini pada bentuk



diperoleh

dt

dipandang sebagai fungsi duua peubah terhadap x dan y untuk x

Teorema aturan rantai I dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks



29 Jika dimisalkan

























y z x z X

f t y t x t X X f t g

z

(

)

(

),

(

)

(

(

),

(

)),

'

(

)

Maka aturan rantai I dapat ditulis sebagai

, ) ( ' ). ( '

' f X X t

dt dz

z  sama dengan bentuk aturan rantai pada fungsi real.

Contoh : Andaikan z= x3y, dimana x= 2t dan y= t2 tentukan

dt dz

!

Dengan menggunakan aturan rantai I diperoleh :

=(3x2y)(2)+ (x3)(2t)

= 3(2t)2(t2)2+ (2t)32t

= 24t4+ 16t4

= 40t4



Aturan rantai I untuk 3 peubah

Jika fungsi x= x(t), y= y(t), dan z= z(t) terdiferensialkan di t pada daerah D dan fungsi u= f(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z)= (x(t),y(t),z(t)) Df maka u sebagai fungsi dari t.

u= g(t)= f(x(t),y(t),z(t)) terdiferensialkan di t D dengan aturan :

dt dz z u dt dy y u dt dx x u dt du

























.

Contoh : Andaikan w= x2y+ y+ xz dimana x= cos t, y= sin t dan z=t2 . Tentukan !

Penyelesaian : Jelas

dt dz z w dt dy y w dt dx x w dt dw

























30

 Teorema Aturan Rantai 2

Jika fungsi u u(x,y) dan vv(x,y) terdiferensialkan di titik x₀

,

y₀pada daerah Df 

Dalam bentuk diagram pohon dapat digambarkan, sebagai berikut:

x Dipunyai fungsi u dan v terdiferensialkan di xodengan aturan

)

31

Gantikan hasil ini pada fungsi z= g(x,y) yang diketahui kemudian gunakan aturan rantai 1 di titik (u0,v0)dan (x0,y0) maka diperoleh :

Dalam bentuk perkalian matriks, aturan rantai 2 dapat ditulis



Misalkan

))

Sehingga

)

Bentuk ini persis sama dengan aturan rantai pada fungsi real.

Contoh :

Jika w



x2



y2



z2



xy dimana x= st, y= s-t, dan z= s+ 2t, tentukan !

32 ( purcel jilid 2, hal: 282 )

Penyelesaian : Dipunyai

33

 Teorema Aturan Rantai 3

Misalkan , D daerah di dan , E daerah di sehungga

Jika fungsi F terdiferensialkan di dan fungsi G terdiferensialkan di

maka fungsi komposisi terdiferensialkan di X dengan aturan

( )’ dimana,

.

Dalam bentuk matriks Jacobi, rumus terakhir ditulis sebagai

Diagram panah dari komposisi

G(F(X))

X F(X)

m

 F n G P

34 Dengan cara seperti aturan rantai 1 dan 2 , kita dapat menyajikan aturan rantai ini dalam

diagram pohon, yang penggunaanya cukup praktis.

Bukti:

Karena fungsi F terdiferensialkan di maka terdapat suatu transformasi linear

dari ke dari fungsi vektor yang memenuhi

vektor E(H) yang memenuhi

0

Dengan menggunakan G’(F(X)) linear kita sampai pada kesimpulan

)

Dengan menggunakan lemma 3-3-3 yang berbunyi:

35 sehingga memenuhi

)

Ini membuktikan bahwa terdiferensialkan di X dan

)

36 C. TURUNAN BERARAH

Definisi 3.3.5: didefinisikan sebagai :

h

4. Konsep turunan berarah didesain dengan menggunakan limit fungsi satu peubah.

37 Cara menghitung turunan berarah

Turunan berarah dari fungsi z



f

(

x

,

y

)

di titik

(

x

,

y

)

pada suatu daerah D dalam arah

2.. Teorema 3.3.6 Menghitung Turunan Berarah dengan Vektor Gradien

Jika fungsi z



f

(

x

,

y

)

terdiferensialkan di titik

(

x

,

y

)

pada daerah D



R2 maka turunan

3. Turunan berarah dan bidang singgung permukaan

Syarat terdapatnya bidang singgung pada permukaan s

:

z



f

(

x

,

y

)

di titik

(

a

,

b

,

c

)

memuat

(

a

,

b

)

. Syarat ini memberikan terdapatnya turunan berarah di titik

(

a

,

b

,

c

)

untuk sebarang vektor satuan u.

4. Turunan berarah sepanjang suatu kurva Definisi 3.3.7

Misal fungsi z= f(x,y) terdefinisi pada daerah D



R2 yang memuat titik A. Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C



R2 yang melalui A didefinisikan sebagai turunan berarah di A dalam arah vektor singgung satuannya.

38 Berdasarkan definisi ini, turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C yang melalui A

adalah

)

(

A u

f





, dimana u vektor singgung satuan dari kurva C di titik A.

5. Turunan berarah dari fungsi scalar lainnya Definisi 3.3.8

1. Misalkan fungsi tiga peubah u= f(x,y,z) terdefinisi pada daerah D



R3dan u= (u,v,w) vektor satuan di R3, turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u, ditulis

)

,

,

(

x y z u

f





didefinisikan sebagai

0

lim

)

,

,

(









h z y x u f

h

z y x f hw z hv y hu x

f

(



,



,



)



(

,

,

)

bila limit ini ada.

2. Misalkan fungsi skalar w= f(x), X=



x₁

,

x₂

,...,

x_m



terdefinisi pada daerah D



Rm dan



u u um



U



₁

,

₂

,...,

vektor satuan di R3

Turunan berarah dari fungsi f dalam arah vektor u ditulis (x)

u f

 , didefinisikan

 

lim ( ),

0 _h

hu X f x

u f

h

 

 

 bila limit ada.

3. Misalkan fungsi tiga peubah u= f(x,y,z) terdefinisi pada daerah D



R3yang memuat A dan kurva C di R3 melalui A.

Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai

 

A u f

  _,

dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.

4. Misalkan fungsi skalar w= f(x), X=



x₁

,

x₂

,...,

x_m



terdefinisi pada daerah D



Rm yang memuat titik A





a₁

,

a₂

,...,

a_m



dan kurva C di Rm melalui titik A.

Turunan berarah dari fungsi f sepanjang kurva C di titik A didefinisikan sebagai

 

A u f

  _,

dimana u suatu garis singgung satuan pada kurva C di titik A.

Teorema 3.3.9 Menghitung turunan berarah dari fungsi skalar dengan vektor gradien.

39 Jika fungsi skalar fungsi skalar w= f(x), X=



x₁

,

x₂

,...,

x_m



terdiferensialkan di titik X pada daerah D



Rm dan U





u₁

,

u₂

,...,

u_m



vektor satuan di Um, maka turunan berarah dari fungsi f di titik XD dalam arah vektor satuan u adalah

 

 

_

 

   

 

 n

i

i

e x f f

u x f x u f

1

, .

Arti Geometri Turunan Berarah

Arti geometri dari turunan berarah dari fungsi z= f(x,y) di A= (a,b) dalam arah vektor satuan u adalah gradient garis singgung di titik P(a,b,f(a,b)) pada kurva C yang merupakan perpotongan antara permukaan s= z= f(x,y) dengan bidang r yang dibentang oleh garis (k,u) dan melalui titik P.

Contoh soal :

Tentukan turunan bararah dari fungsi f

 

x

,

y



2

x2y



3

y2 dalam arah vektor satuan yang membentuk sudut



6 1

dengan sumbu X positif di titik (x,y) dan di titik (1,-1)!

Penyelesaian : Vektor satuan : v(cos



,sin



)

. 2 1 , 3 2 1

2 1 , 3 2 1

j i



   

  

40

D. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT

Dipunyai persamaan berbentuk f(x,y)= 0, menyatakan :

o y sebagai fungsi implisit dari x, dan

o _{x sebagai fungsi implisit dari y.}

Fungsi yang disajikan dengan y= f(x), variabel x dan y terpisah di ruas yang berbeda. Fungsi yang disajikan seperti ini disebut fungsi eksplisit. Fungsi yang tidak demikian disebut fungsi implisit.

 y sebagai fungsi implisit dari x

Bila fungsinya dituliskan sebagai y= f(x), maka diperoleh F(x,f(x)) = 0. Fungsi F terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh

0

41

 x sebagai fungsi implisit dari y

Bila fungsinya dituliskan sebagai x= g(y), maka diperoleh F(g(y),y) = 0. Fungsi F terdiferensialkan di titik (x,y), diperoleh

0

Atau melalui diferensial total

F(x,y)=0 maka d F(x,y)=0

Turunan fungsi implisit dari fungsi 2 peubah termuat secara implisit dalam fungsi 3 peubah.

Misalkan u= F(x,y,z) terdiferensialkan di (x,y,z) pada D



R3, dan diketahui F(x,y,z)=0, maka ada tiga kasus.

1). Kasus z = f(x,y)

Diperoleh persamaan F(x,y,f(x,y)) = 0 diperoleh

42

Atau dapat dituliskan

,

Atau dapat dituliskan

,

43

Atau dapat dituliskan

,

Contoh Soal

Jika persamaan

8

x3



9

y3



3

z4



6

xy2



2

xz4 secara implicit mendefinisikan fungsi z= f(x,y) , y= g(x,z) , dan x= h(y,z). tentukan turunan parsial fx, fy, gx, gz, hy, hz!

turunan parsial pertama dari fungsi F terhadap peubah x, y, dan z adalah

fx (x,y,z) = 24x2+6y2+2z4

fy (x,y,z) = 27y2+12xy

fz (x,y,z) = 12z3+8xz3

untuk fungsi yang mendefinisikan z= f(x,y), maka

 



_



_

untuk fungsi yang mendefinisikan y= g(x,z) , maka

44

untuk fungsi yang mendefinisikan x= h(y,z), maka

 



_



_

SOAL LATIHAN 2

1.

Dipunyai

s

45

DAFTAR PUSTAKA

Martono, Koko.1992. Kalkulus Lanjut 1. Bandung: ITB.

Purcell J, dkk. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: PT. Gelora Aksara Pratama.