Dani Leonidas S ,ST.MT

Statistik Bisnis 10 –

Populasi dan Sampel

Pendahuluan

 Populasi  Sensus

 Sampel

 Statistik Deskriptif

Mengapa Sampling ??

 Teknik sampling berguna untuk

 _{Mereduksi anggota populasi menjadi}

anggota sampel yang mewakili populasinya

 Lebih teliti menghitung yang sedikit daripada yang banyak

 _{Menghemat waktu, biaya, benda uji yang}

dirusak

 Mengambil sampel dengan harapan dapat

 Ada dua cara yang digunakan untuk

mengetahui parameter populasi: 1. Cara penaksiran (pendugaan)

 Penyampelan acak

 Penyampelan terstrata  Penyampelan klaster

Teori Estimasi atau Menaksir

Pendahuluan

 Diperkirakan setiap harinya toko A dapat

menjual antara 30 sampai 60 unit barang X.

 Dari total barang yang dikirim, kira-kira ada 10 % barang yang dikirimkan tidak sampai

kepada alamat yang dituju

 _{Jumlah gol yang tercipta pada final piala}

champio eropa nanti diperkirakan antara 0 sampai 3

 _{Pada hari kerja diantara hari libur, diperkirakan}

Pendahuluan

 Apakah sebenarnya yang akan

ditaksir menurut statistika??

 Segala sifat atau karakteristik yang

menjelaskan tentang populasi

 Menaksir parameter populasi didasarkan pada nilai-nilai statistik sampel yang

diambil dari populasi bersangkutan.

 Menaksir rata-rata populasi µ (myu) dan perbandingan populasi (Phi)

Teori Penaksiran

 Ada dua cara yang digunakan untuk

mengetahui parameter populasi:

1. Cara penaksiran (pendugaan)

2. Cara pengujian hipotesis

 _{Dua cara di atas didasarkan pada}

statistik atau besaran yang dihitung dari sampel sehingga kita harus

PENAKSIRAN PARAMETER

 Penaksiran adalah menyimpulkan parameter populasi (t) berdasarkan statistik sampel θ

(Theta).

 Θ bisa merupakan rata-rata µ, simpangan baku σ, proporsi p dan sebagainya

 Penaksir yang baik ialah penaksir yang tak bias dan bervarians minimum.

 Tak bias penaksir θ dikatakan tak bias jika rata-→

rata harga θ yang mungkin sama dengan θ.

 Bervarians minimum penaksir dengan varians →

Kriteria taksiran (pendugaan) yang

baik

1.Tidak bias (Unbiasedness),

Artinya statistik sampel yang digunakan sebagai penduga harus sama atau mendekati parameter populasi penduga 2. Efisiensi (Efficiency),

Artinya statistik sampel memiliki deviasi standar yang kecil

3. Konsistensi (Consistency),

Artinya jika ukuran sampel meningkat maka statistik

sampel akan semakin mendekati parameter populasinya. 4. Kecukupan (Sufficiency),

Artinya suatu taksiran dikatakan memiliki kecukupan jika taksiran tersebut dapat memberikan informasi yang

Cara Menaksir

 Penaksiran titik, jika parameter

ditaksir oleh 1 angka tunggal.

 Misal : µ ditaksir oleh X, X adalah penaksir titik.

 _{Penaksiran interval, jika parameter}

ditaksir oleh harga diantara batas-batas dua harga.

Koefisien Kepercayaan

 Kita juga dapat menduga bahwa tinggi rata-rata orang Indonesia berada dalam selang 155 sampai 169 cm.

 Makin lebar intervalnya, makin besar kepercayaan atau keyakinan bahwa rata-rata tinggi orang

Indonesia yang kita duga berada pada interval tersebut.

 Artinya, kita lebih percaya selang 155 < θ < 169 dibandingkan dengan selang 160 <θ < 166.

 Derajat kepercayaan penaksir disebut koefisien

kepercayaan yang ditulis dengan α dimana 0 < α <

Koefisien Kepercayaan

 Contoh, misalkan P(160 < θ < 166) = 0.95 , itu artinya derajat keyakinan

bahwa rata-rata tinggi orang Indonesia berada pada selang 160 sampai 166

adalah 95%

 Misalkan P(155 < θ < 159) = 0.99, itu artinya derajat keyakinan bahwa

Selang Kepercayaan

 Secara umum, dengan mengambil sampel acak secara berulang-ulang, maka kita akan mendapatkan statistik θ sehingga peluang dari interval a < θ < b akan sama dengan nilai tertentu yang diinginkan adalah

P(a < θ < b ) = 1- α untuk 0 < α < 1

 α disebut koefisien kepercayaan

 1- α disebut tingkat atau derajat kepercayaan

 Selang a < θ < b disebut selang kepercayaan (1- α)100%

 a dan b disebut batas-batas kepercayaan

 Jadi bila α = 0.05 diperoleh selang kepercayaan 95%, bila α = 0.01

diperoleh selang kepercayaan 99%

 Makin besar selang kepercayaan, makin yakin kita bahwa selang tersebut mengandung parameter yang tidak diketahui

 Jadi bila α = 0.05 diperoleh selang kepercayaan 95%,

bila α = 0.01 diperoleh selang kepercayaan 99%

 Makin besar selang kepercayaan, makin yakin kita bahwa selang tersebut mengandung parameter yang tidak diketahui

 Dalam statistik, lebih disukai memilih interval yang lebih sempit, tetapi dengan derajat kepercayaan yang tinggi. Misalnya kita lebih memilih selang 160 < θ < 166

Intepretasi Selang Kepercayaan

 Selang kepercayaan 95 % artinya rata-rata

hitung sampel untuk ukuran sampel yang

ditentukan akan terletak di dalam 1,96 standar deviasi dari rata-rata hitung populasi yang

dihipotesakan

 _{Selang kepercayaan 99 % artinya rata-rata}

hitung sampel untuk ukuran sampel yang

ditentukan akan terletak di dalam 2,58 standar deviasi dari rata-rata hitung populasi yang

Menaksir rata-rata

Keterangan Populasi Sampel

Nilai rata-rata µ

Nilai variansi σ S

Nilai Proporsi

Keterangan Populasi Sampel

Nilai rata-rata µ

Nilai variansi σ S

Nilai Proporsi

´

�=∑_��

´

�= ����� ������ �����������_{����� ������������}h _h

�2=

√

∑

(��−�´ )

2

Menaksir rata-rata µ

 Misal ada populasi N (µ, σ), akan

ditaksir µ.

 Untuk itu diambil sampel berukuran n

dan di hitung dan S

Simpangan baku σ diketahui dan

populasi tidak Terhingga

2 X 2 X

1

p X Z

X Z

n

n

 





















 





Contoh

 Sebuah biro pariwisata di Jakarta mengadakan suatu penelitian tentang kepariwisataan di Indonesia dan ingin memperkirakan pengeluaran rata-rata wisatawan asing per kunjungannya di Indonesia.

 Guna keperluan di atas, suatu sampel random yang terdiri dari 100 wisatawan asing telah dipilih guna diwawancarai dari populasi yang dianggap tidak terhingga.

 Hasil wawancara tersebut memberikan keterangan: rata-rata pengeluaran per kunjungan sebesar US$ 800 per wisatawan.

 Diketahui

 n = 100

 1 – α = 0.95

 Maka

didapat dari...

 1 – α = 0.95

 _{α = 1 – 0.95 = 0.05}  _{α/2 = 0.025}

 _{Cari Z dengan luas wilayah di bawah kurva}

normalnya = 1 – 0.025 = 0.9750

Interval...

2 X 2 X

1

p X Z

X Z

n

n

 





















 









 

120 120

800 1, 96 800 1, 96 0, 95

100 100

776, 48 823, 53 0, 95 p

p





 

    

 

 

Kesimpulan



Rata-rata pengeluaran wisatawan

per kunjungan akan berkisar

Jika dipakai interval keyakinan

90% ??

 1 – α = 0.90

 _{α = 1 – 0.90 = 0.1}  _{α/2 = 0.05}

 _{Cari Z dengan luas wilayah di bawah kurva}

normalnya = 1 – 0.05 = 0.950

Jika dipakai interval keyakinan

99%

 1 – α = 0.99

 _{α = 1 – 0.99 = 0.01}  _{α/2 = 0.005}

 _{Cari Z dengan luas wilayah di bawah kurva}

normalnya = 1 – 0.005 = 0.995

Simpangan baku σ diketahui

dan populasi terhingga

2 2 1

1 1

X N n X N n

p X Z X Z

N N

n n

 

 

 

 _{ } 

     

 

 _{ } 



Faktor koreksi

      _                1 1 1 2 2 N n N n Z X N n N n Z X

Contoh populasi Terhingga

 Andaikan sampel random sebesar n = 64 dan rata-rata sebesar 0,1165 dipilih dari populasi terbatas sebesar N = 300 dan yang diketahui memiliki simpangan baku populasi 0,0120, maka pendugaan parameter rata-rata populasi dengan

 Diketahui

 1- α = 95.45 %



2 2 1

1 1

X N n X N n

p X Z X Z

N N

n n

 

 

 

 _{ } 

     

 

 _{ } 

 

 

0, 012 300 64 0,012 300 64

0,1165 2 0,1165 2 9545

300 1 300 1

64 64

0,11382 0,11918 0,9545 p

p





 _{ } 

    

 

 _{ } 

 

Pendugaan Interval ( untuk

populasi tidak

terhingga

dan

Simpangan Baku

tidak

diketahui)



 _

  

  

 

 



 _{2 2} 1

n s Z

X n

s Z

Contoh

 Sebuah sampel random yang terdiri dari 100

mahasiswa telah dipilih dari populasi

mahasiswa sebuah universitas. Keseratus mahasiswa di atas telah diberi semacam tes kesehatan guna menentukan angka kuosien kecerdasannya. Angka rata-rata keseratus mahasiswa di atas ternyata sebesar 112 dengan deviasi standar 11. berilah interval

keyakinan 95% guna menduga angka rata-rata kuosien kecerdasan seluruh mahasiswa

 Diketahui

 S





_           

 _{2 2} 1

n s Z X n s Z X p





11 11

112 1,96 112 1,96 0,95

100 100

109,844 114,156 0,95



Angka rata-rata kecerdasan

Menaksir jika Sampel

Berukuran Kecil (n < 30)





_



























_{2 2}

1

n

s

t

X

n

s

t

 Di suatu pabrik tekstil telah diukur 16 buah kayu untuk dasar penaksiran panjang rata-rata tiap kayu yang dihasilkan. Dari 16 kayu yang diukur tadi, ternyata rata-rata panjangnya 54,4 m sedangkan simpangan bakunya 0,8 m. tentukan interval kepercayaan panjang rata-rata sebenarnya untuk tiap kayu yang dihasilkan dengan tingkat kepercayaan 95%.

Menaksir Proporsi

Keterangan Populasi Sampel

Nilai rata-rata µ

Nilai variansi σ S

Nilai Proporsi

Keterangan Populasi Sampel

Nilai rata-rata µ

Nilai variansi σ S

Nilai Proporsi

´

�=∑_��

´

�= ����� ������ �����������_{����� ������������}h _h

�2=

√

∑

(��−�´ )

2

Pendugaan Proporsi dengan sampel

besar dengan populasi tidak terhingga

Contoh

 Jawatan kesehatan kota ingin sekali meneliti presentasi penduduk kota dewasa yang

 Diketahui

 X = 36

                                     1 1 1 2 2 n n x n x Z n x P n n x n x Z n x p  

36 264 36 264

1 1

36 _1,96 300 300 36 _1,96 300 300 _0,95

300 300 300 300

0, 083 0,157 0,95

 Proporsi penduduk dewasa yang

merokok setidaknya satu bungkus per hari akan terletak antara 8,3%

Menaksir Variansi

Keterangan Populasi Sampel

Nilai rata-rata µ

Nilai variansi σ S

Nilai Proporsi

Keterangan Populasi Sampel

Nilai rata-rata µ

Nilai variansi σ S

Nilai Proporsi

´

�=∑_��

´

�= ����� ������ �����������_{����� ������������}h _h

�2=

√

∑

(��−�´ )

2

Menaksir Variansi

Menaksir Variansi

 Berat 10 paket biji rumput yang

didistribusikan oleh perusahaan tertentu adalah 46.4; 46.1; 45.8;

47.0; 46.1; 45.9; 45.8; 46.9; 45.2; 46.0. Hitunglah selang kepercayaan 95% dari variansinya, asumsi

 1 – α = 0,95

 α = 1 – 0,95 = 0,05

 α/2 = 0,025

 _{1- (α/2) = 0,975}

 ν = n – 1 = 10 – 1 = 9

Menaksir Selisih Rata-rata

 Misalkan terdapat dua populasi,

keduanya berdistribusi normal.

 Rata-rata dan simpangan bakunya

masing masing µ₁,σ₁, dan µ₂, σ₂

 Jumlah Sampel dari masing-masing

Pendugaan Parameter



₁

-



₂

dengan



₁

=



₂

dan σ diketahui

Pendugaan Parameter



₁

-



₂

dengan



₁

=



₂

namun besar σ tidak diketahui

�2=(�1−1) �1

2

+₍�₂−1₎�₂2

�₁+�₂−2

�=(1+₂�)

Pendugaan Parameter



₁

-



₂

dengan



₁

≠



_2,

besar



₁

dan



₂

diketahui

 Diketahui

 = 1282

 = 1208

 n₁ = 50  n₂ = 50

                                      1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 n n Z X X n n Z X X p

40,05 107,95 0,95

Menaksir Selisih Proporsi

 Misalkan terdapat dua populasi, untuk

peristiwa yang sama p1 dan p2.

 _{Jumlah Sampel dari masing-masing}

Pendugaan parameter P

₁

-P

₂

dimana



_P1-P2

diketahui



Terdapat 500 pemudi dan 700 pemuda yang

mengunjungi sebuah pameran. Yang

menyenangi pameran tersebut adalah 325

pemudi dan 400 pemuda. Tentukan interval

kepercayaan 95% untuk perbedaan pemuda

dan pemudi yang mengunjungi dan

 Diketahui

 = 325

 = 400

 = 500

Menentukan Ukuran Sampel

 Berapa banyak sampel yang

Jumlah sampel yang diambil

dipengaruhi 3 faktor

 Derajat keyakinan/ interval

kepercayaan yang diinginkan

 Batas maksimum kesalahan yang

dibolehkan

Jumlah Sampel Untuk Menduga Nilai rata-rata apabila standar deviasi populasi

diketahui

 E = batas maksimum kesalahan

perkiraan nilai rata-rata

 Jika diketahui

 σ = 10

 E = 2

 1 – α = 0,95 atau α = 0,05

 _{Ditanya jumlah sampel yang diperlukan}  _Jawab

 = 96,04 =97

Jumlah Sampel Untuk Menduga Nilai proporsi

 E = batas maksimum kesalahan

perkiraan nilai rata-rata

 Diketahui

 P = 0,45

 E =0,10

 1-α = 0,99 atau α =0,01

 Ditanyakan n