Probabilitas = Peluang
(Bagian I)1. Pendahuluan
• Percobaan : proses yang menghasilkan data
• Ruang Contoh (S) : himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan
Misal : a. Ruang contoh percobaan pelemparan sebuah mata uang ? S : {head, tail} atau { gambar, angka}
b. Ruang contoh pelemparan dadu S : {1, 2, 3, 4, 5, 6 }
• Kejadian = Event : himpunan bagian dari ruang contoh
Misal : Dari sekumpulan 52 kartu bridge S : { sekop, klaver, hati, wajik },
kita hanya tertarik pada kejadian A munculnya kartu yang berwarna merah. A : {hati, wajik }
2. Pencacahan Titik Contoh
Sub bab ini adalah mengenai perhitungan banyaknya anggota ruang contoh.
2.1 Kaidah Penggandaan
Kaidah Penggandaan:
Jika operasi ke-1 dapat dilakukan dalam n1 cara operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n2 cara
: :
operasi ke-k dapat dilakukan dalam nk cara
maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam n1 × n 2 × …× nk cara
Contoh 1 :
Sebuah rumah makan akan membuat paket menu yang terdiri dari : sup, salad, steak dan es krim. Bila rumah makan tersebut mempunyai 4 jenis sup, 2 jenis salad, 5 jenis steak dan 3 jenis es krim. Berapa paket menu yang dapat dibuat?
Banyak paket menu = 4 × 2 × 5 × 3 = 120 paket menu
Contoh 2 :
Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 0, 2, 3 dan 5 a. jika semua angka boleh berulang?
b. jika angka tidak boleh berulang? 4 × 3 ×2 × 1 = 24
(pada digit pertama, semua angka punya kemungkinan yang sama untuk ditempatkan, karena ada empat angka, maka ada 4 kemungkinan, selanjutnya pada digit kedua ada 3 kemungkinan karena angka yang sdh digunakan di digit pertama tidak boleh
digunakan/muncul lagi, seterusnya pada digit ketiga tinggal 2 kemungkinan dan terakhir pada digit keempat hanya ada 1 kemungkinan)
c jika angka tidak boleh berulang dan merupakan kelipatan 2? 3 × 2 × 1 × 2 = 12
(perhatikan pada digit terakhir hanya ada 2 kemungkinan yaitu angka 0 atau 2,
sedangkan angka yang sudah muncul tidak boleh diulang, jadi pada digit pertama ada 3 kemungkinan, seterusnya pada digit kedua tinggal 2 kemungkinan dan pada digit ketiga tersisa 1 kemungkinan. Dengan demikian semua susunan yang mungkin adalah : 2350, 2530, 3250, 3520, 5230, 5320
0352, 0532, 3052, 3502, 5032, 5302 kesemuanya merupakan kelipatan 2.
d. dan banyak contoh soal lainnya.
2.2. Permutasi
Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu.
Dalam permutasi urutan diperhatikan!
Misal :
Dari huruf A, B, C → permutasi yang mungkin adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB dan CBA. Perhatikan ke-enam susunan ini semua dianggap berbeda!
Dalil-1 Permutasi :
Banyaknya Permutasi n benda yang berbeda adalah n!
Konsep Bilangan Faktorial n! = n × (n-1) ×(n-2) ×.... × 2 × 1 0! = 1
1! = 1
2! = 2 × 1 = 2
3! = 3 × 2 × 1 = 6, dst
14! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 100! = 100 × 99!
Contoh 3 :
Berapa cara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau ?
Terdapat 4 objek berbeda : merah, kuning, biru dan hijau → 4! = 4× 3 × 2 × 1 = 24
Dalil-2 Permutasi :
Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah :
n
P
rPerhatikan dalam contoh-contoh ini urutan obyek sangat diperhatikan!
Contoh 4 :
Dari 40 nomor rekening akan diundi 3 untuk memenangkan hadiah. Undian urutan pertama akan memperoleh uang tunai $1000, undian urutan kedua memperoleh paket wisata dan undian urutan ketiga memperoleh sebuah mobil murah meriah . Berapa banyaknya susunan pemenang yang mungkin terbentuk jika satu nomor rekening hanya berhak atas satu hadiah?
Diketahui dari soal tersebut : n = 40 dan r = 3
Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!
Contoh 5:
Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar. Berapa susunan yang mungkin dibentuk? n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 120
Sampai dalil ke-3, kita telah membahas permutasi untuk benda-benda yang berbeda. Perhatikan permutasi ABC, terdapat 3 objek yang jelas berbeda.
Dalil-4 Permutasi :
Banyaknya permutasi untuk sejumlah n benda
Contoh 6 :
Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas. 3 orang masuk ke kelas pertama, 2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga.
Ada berapa cara pemisahan?
n = 7, n1=3, n2=2, n3 = 2 dimana n1+n2+n3 = n
2.4 Kaidah Penggandaan & Kombinasi
Dalam banyak soal penggandaan dan kombinasi seringkali digunakan bersama-sama.
Contoh 8 :
Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat = C3
• Peluang dalam pengertian awam → "kemungkinan" Misal : 1. Hari ini kemungkinan besar akan turun hujan
2. Kemungkinan tahun depan inflasi akan mencapai dua digit 3. dll.
• Peluang Kejadian dalam Statistika dinyatakan dalam ratio atau perbandingan
Peluang kejadian A dinotasikan sebagai P(A)
Peluang kejadian A adalah : jumlah peluang semua titik contoh yang menyusun kejadian A sehingga → 0 ≤ P(A) ≤ 1
di mana :
P (S) = 1 → Peluang Kejadian yang pasti terjadi P (∅) = 0 → Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi
Contoh 1.
Sekeping uang logam setimbang ( balanced = tidak berat sebelah ) dilempar 2 kali.
Berapa peluang Kejadian B yaitu munculnya sisi GAMBAR minimal satu kali pada pelemparan tersebut?
Jawab :
Karena mata uang yang dilempar adalah mata uang yang setimbang maka setiap titik contoh dalam S berpeluang sama, yaitu w = ¼ ( w : peluang tiap titik contoh ; 4w = 1; w = ¼)
B = kejadian munculnya minimal 1 sisi GAMBAR pada 2 kali pelemparan koin mata uang Titik contoh yang menyusun kejadian B adalah { GG, GA. AG}
sehingga P(B) = ¼ + ¼ +¼ = ¾
Contoh 2 :
Suatu dadu diberi pemberat sedemikian rupa sehingga munculnya angka-angka genap berpeluang 2 kali dibanding angka-angka ganjil. Kemudian diketahui, E adalah kejadian munculnya sisi dadu bernilai kurang dari 4. Hitung P(E)!
Ruang contohnya adalah setiap sisi mata dadu yang muncul, berarti : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dalil 1 Peluang Kejadian
Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka :
P A n
N
( )=
n : banyak titik contoh penyusun Kejadian A N : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S)
Contoh 3 :
Berapa peluang memperoleh kartu berwarna As hitam (♣ dan ♠) bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge?
n = banyak kartu As hitam = 2 dan N = 52
P(AS HITAM) = 2 52= 126
Contoh 4 :
Terdapat 10 kandidat karyawan yang terdiri dari 6 Sarjana Ekonomi dan 4 Sarjana Teknik. Berapa peluang terpilih 3 orang yang terdiri dari 2 Sarjana Ekonomi dan 1 Sarjana Teknik? Semua kandidat berpeluang sama!
N = Pemilihan 3 dari 10 kandidat karyawan = C3
10 10!
3 7 120
= =
! ! P(2SE dan 1 ST) = 60120 = 0.5
Catatan : SE = Sarjana Ekonomi dan ST = Sarjana Teknik
• Bagaimana jika peluang setiap titik berpeluang tidak sama? Misalnya : Mata uang tidak setimbang
Dadu yang diberi pemberat
Pengaruh warna/aroma produk pada preferensi pembeli?
Peluang untuk hal-hal tersebut dapat dilakukan dengan metode :
a) Subjektif → berdasarkan pengalaman, informasi tidak langsung, intuisi, perasaan
b) Frekuensi Kumulatif → melakukan percobaan berulang kali
Mis. : Pelemparan mata uang sebanyak 100 kali? 1000 kali? Lalu catat berapa banyak sisi GAMBAR muncul!
4. Kaidah Penjumlahan Peluang Kejadian
Dalil 1. Kaidah Penjumlahan Peluang Kejadian
Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) atau
P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B) A∪B = kejadian A atau B
A∩B = kejadian A dan B
Contoh 5 :
Menurut catatan sebuah Bank, peluang Industri Manufakturing memperoleh kredit adalah 0.35. Sedangkan peluang Industri yang Padat Karya = 0.45. Peluang Industri yang tergolong Manufakturing atau Padat Karya = 0.25. Berapakah Peluang Industri Manufakturing dan Padat Karya memperoleh Kredit?
P (A) = 0.35 P(B) = 0.45 P(A∪B) = 0.25 Maka P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B)
= 0.35 + 0.45 - 0.25 = 0.5
Konsekuensi 1. Kaidah Penjumlahan Peluang
Contoh 6 :
Berapakah peluang munculnya kartu bernilai 7 berwarna merah (A) atau bernilai 7 dengan warna hitam(B) pada pengambilan sebuah kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge?
Pada pengambilan sebuah kartu tidaklah mungkin mendapatkan kartu bernilai 7 berwarna merah sekaligus berwarna hitam (A∩B=∅)
P(A) = 2/52 P(B) = 2/52 P (A∩B)=∅ Maka : P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
P A( ∪B)=252+252=452= 113
Konsekuensi 2. Kaidah Penjumlahan Peluang
Bila A1, A2,..., Ak saling terpisah, maka :
P(A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(Ak)
Dalil 2. Kaidah Penjumlahan Peluang
Jika A dan A' adalah 2 kejadian yang berkomplemen, maka : P(A) + P(A')= 1
Contoh 7 :
Sekeping mata uang setimbang dilemparkan 6 kali. Berapa peluang sisi GAMBAR muncul minimal 1 kali P(A)?
S {GGGGGG, GGGGGA,GGGGAA ..., AAAAAA} dimana G= Gambar A = Angka banyak anggota S = 26 = 64 (Anda Percaya?)
A = kejadian munculnya GAMBAR minimal 1 kali pada pelemparan 6 kali A' = kejadian munculnya GAMBAR = 0 pada pelemparan 6 kali = {AAAAAA}
P(A') = 164 P(A) + P(A') = 1
P(A) = 1 - P(A') = 1 - 164 = 6364
5. Peluang Bersyarat
Peluang Bersyarat berlaku untuk penetapan peluang kejadian yang tidak bebas.
Kejadian-kejadian yang bergantung dengan kejadian lain disebut : Kejadian Tidak Bebas. Contoh kejadian tidak bebas : pengambilan contoh tanpa pemulihan
Tanpa pemulihan = contoh yang telah terambil tidak dikembalikan ke dalam ruang contoh.
Kejadian yang terjadi tanpa bergantung dengan kejadian lain disebut Kejadian Bebas. Contoh kejadian bebas : pengambilan contoh dengan pemulihan
Notasi Peluang Bersyarat :
Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan tanpa pemulihan
Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 410
Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = 6 9
(karena 1 bola merah sudah diambil sisa bola 9, yaitu 3 merah dan 6 hitam)
Peluang Bola ketiga berwarna Hitam = P (HITAM HITAM MERAH) = 58
(karena 1 bola merah dan 1 bola hitam sudah diambil, sisa bola 8, yaitu 3merah dan 5 hitam )
Peluang Bola keempat berwarna Merah = P(MERAH HITAM HITAM MERAH) = 37 (karena 1 bola merah dan 2 bola hitam sudah diambil, sisa bola 7, yaitu 3 merah dan 3 hitam )
Definisi Peluang Bersyarat secara umum :
P B A P A B
Contoh 9 : Peluang KRL berangkat tepat waktuP(B) = 0.50 Peluang KRL datang ke tepat waktu P(D) = 0.40
Peluang KRL berangkat dan datang tepat waktu P(B∩D) = 0.30 a. Peluang KRL akan datang tepat waktu setelah berangkat tepat waktu?
P D B P B D
b. Peluang KRL akan berangkat tepat waktu setelah datang tepat waktu?
Definisi : Dua Kejadian A dan B dikatakan bebas jika :
P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A)
Bila hal itu tidak dipenuhi, A dan B dikatakan tidak bebas
6. Kaidah Penggandaan Peluang
Penghitungan peluang beberapa kejadian yang dapat terjadi sekaligus.
Dalil 1. Kaidah Penggandaan Peluang
Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B dapat terjadi sekaligus, maka : P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
= P(B ∩ A)
= P(B) × P(AB)
Ingat : A∩B dibaca sebagai kejadian A dan B
Contoh 10 (Lihat Contoh 8)
Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan tanpa pemulihan
a) Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 410 atau sebut saja P(A)=4/10
Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = 6 9 atau sebut saja P(B|A) = 6/9
Peluang Bola pertama Merah dan Bola kedua Hitam = 410 × 6 9 = 2490= 415 berarti P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
b) Peluang Bola pertama berwarna Hitam = P(HITAM) = 610 atau sebut saja P(B)=6/10
Peluang Bola kedua berwarna Merah = P(MERAH HITAM) = 4 9 atau sebut saja P(A|B) = 4/9
Peluang Bola pertama Hitam dan Bola kedua Merah = 610 × 4 9 = 2490= 415 berarti P(B ∩ A) = P(B) × P(A|B)
Dalil 2. Kaidah Penggandaan Peluang Kejadian Bebas
Bila A dan B adalah kejadian bebas, maka :
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Contoh 10b:
Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan dengan pemulihan
Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 410
Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM MERAH) = P(HITAM) 610 Peluang Bola pertama Merah dan Bola kedua Hitam = 410 × 610 = 24100=625
Kaidah Penggandaan Peluang (secara umum)
Dalil 3. Kaidah Penggandaan Peluang (secara umum)
Bila dalam suatu percobaan kejadian A1, A2,..., Ak, maka :
P(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩ Ak) = P(A ) × P(A2A1) × P(A3A1 ∩ A2) ×. . . .× P(AkA1∩A2∩A3 ∩ . . . ∩ Ak-1)
