2.1. MATRIKS Matriks ordo m x n adalah jajaraan bilangan persegi empat terdiri dari bars m dan kolom n dalam bentuk :

(1)

BAB 2

SISTIM PERSAMAAN LINEAR DAN NON LINEAR

Sistem persamaan linear banyak dijumpai pada penyelesaian persamaan diferensial parsial eliptik, parabolik dan hiperbolik yang akan diberikan pada Bab 6, 7, dan 8. Dalam bab ini akan dibahas mengenai matriks dan penyelesaian sistim persamaan linear dengan metoda eliminasi Gauss dan Iterasi Gauss-Seidel.

2.1. MATRIKS

Matriks ordo m x n adalah jajaraan bilangan persegi empat terdiri dari bars m dan kolom n dalam bentuk :













=

mn n n

m m

m a

a a

a a a

A ...

...

2 1

3 2 1

23 22 21

13 12 11

Setiap bilangan ajk dalam matriks ini disebut suatu elemen. Subskrip j menunjukkan baris dan k menunjukkan kolom. Matrik yang mempunyai satu baris disebut matriks baris sedangkan yang mempunyai satu kolom disebut matriks kolom. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama. Matriks Nyata adalah matriks yang memiliki bilangan nyata, sedangkan Matriks Kompleks adalah matriks yang mempunyai bilangan kompleks.

Contoh : Matriks Nyata





− 







−

=

2 3 1

1 2

2 1

1 2 A

Contoh : Matriks Kompleks



 



 −

= i 0

i A 0

Dua buah matriks atau lebih yang berukuran sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Jumlah dari matriks A = [a_ij] dan B = [b_ij] adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan penjumlahan elemen-elemen yang berhubungan dari matriks A dan B.

C = A + B = [a_ij] + [b_ij] = [c_ij]

(2.1.1)

Pengurangan matriks A dan matriks B menghasilkan suatu matriks yang elemen- elemennya merupakan elemen-elemen yang berhubungan dari matriks A dan B.

C = A - B = [a_ij] - [b_ij] = [c_ij]

(2.1.2) Contoh :

^^















−

=

6 1 2

5 0 3

2 4 1 A

;

^^















−

=

4 2 1

3 4 1

0 5 3 B

^^















−

=

= +

2 3 3

2 4 4

2 9 2 C B A

^^















−

=

−

10 1 1

8 4 2

2 1 4 C B A

Jika matriks A = (nxm) dan matriks B = (mxr) dikalikan akan menghasilkan :

[ ][ ] [ ]

( ) ( )

^^



















+ + +

+

+ + +

+

+ + +

+

=

mr nm 1r

n1 m1 nm 11

n1

mr 2m 1r

21 m1 2m 11

21

mr 1m 1r

11 m1 1m 11

11

ij ij ij

b a ...

b a . .

b a ...

b a

b a ...

b a

c b a

Perkalian antara skalar dengan matriks akan menghasilkan suatu matriks yang elemen- elemennya adalah perkalian skalar dengan elemen matriks asal :

(2)

k A = C, [c_ij] = k [a_ij] Contoh :

^^







= −

3 2 1

0 4 A 2

^^













−

=

1 4

1 0

2 1 B

^^







−

= −

3 13

8 . B 2

A

^;

^^













−

=

3 14 9

3 2 1

6 0 4 . A B

Sistim persamaan linear dapat didefinisikan sebagai perkalian antara matriks A dengan vektor kolom x menghasilkan vektor kolom b yang dapat ditulis sebagai :

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ………. + a_1nx_n = b₁, a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ………. + a_2nx_n = b₂,

.

a_n1x₁ + a_n2x₂ + ………. + a_nnx_n = b_n, atau dapat ditulis sebagai Ax = b, dimana :





















=

nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

. . . .

. . .

2 1

2 22

21

1 12

11

,

^















= xn

x x

x ²

1

,

^















= bn

b b

b ²

1

Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metoda langsung (direct method) atau dengan metoda iterasi (iterative method).

2.2. METODA ELIMINASI GAUSS

Metoda Gaussion Elimation merupakan salah satu metoda langsung (direct method).

Metoda ini dimulai dengan membuat augmented matrix, dan selanjutnya dilakukan operasi baris pada augmented matrix untuk mendapatkan upper triangular matrix. Back subtitution digunakan pada langkah akhir untuk mendapatkan harga variabel-variabel bebas yang dibutuhkan. Contoh diberikan suatu set persamaan linear :

3 x₁ - x₂ + 2 x₃ = 12 x₁ + 2 x₂ + 3 x₃ = 11 2 x₁ - 2 x₂ - x₃ = 2.

Hitung besarnya x₁, x₂, dan x₃.

Dari set persamaan tersebut dibuat augmented matrix :

















−

2 : 2 2 2

11 : 3 2 1

12 : 2 1 3

3

-1.000

2.000

12.000

Row 2 – (1/3) Row 1

⁰

^2.333

^2.334

^7.004

Row 3 – (2/3) Row 1

0

-1.334

-2.332

-5.992

3

^-1.000

^2.000

^12.000

0

2.333

2.334

7.004

Row 3 – (-1.334/2.333) Row 2

⁰

^-1.000

^-1.993

Melalui back substitution yang dimulai dari

persamaan ketiga dan kembali ke persamaan kedua dan pertama didapat : 993

. 000 1 . 1

993 . 1

3 =

−

= − x

(3)

⁰⁰⁸^.¹³³³³^.²

334 . 2 004 .

7 ₃

2 − =

= x

x

( )

₃_.₀₀₇

3 2 1

12 ₂ ₃

1 − − + =

= x x

x

Algoritma Metoda Eliminasi Gauss

Buat augmented matrix dari n x n matriks dengan vector sisi kanan sama dengan Menjadi matriks n x (n + 1).

Pertukarkan baris jika diperlukan agar a11 menjadi koefisien terbesar pada Kolom pertama.

Bentuk nol pada baris ke dua sampai ke n pada kolom pertama dengan Mengurangkan baris ke I dengan a_i1/a₁₁ x baris pertama. Simpan a_i1/a₁₁ Dalam a_i1, i = 2, …….. , n.

Ulangi langkah (2) dan (3) untuk baris kedua sampai dengan baris (n-1) pertama, Dengan menempatkan koefisien bernilai terbesar pada diagonal melalui pertukaran baris, kemudian mengurangkan baris ke I dengan a_ij/a_jj x baris ke j untuk membentuk nol pada semua posisi kolom j dibawah diagonal. Simpan a_ij/a_jj dalam aij, i = j + 1, …, n. Sistem yang diperoleh adalah upper-triangular.

Selesaikan x_n dari persamaan ke n melalui persamaan :

x_n = a_n,n+1 / a_nn,

Selesaikan untuk xn-1, xn-2, …., x1 dengan persamaan :

n

x_i = (a_i,n+1 -

å

^aij x_j) / a_ii

j=i+1

2.3. METODA GAUSS-SEIDEL

Metoda gauss-seidel merupakan salah satu metoda iterasi (iterative method).

Meoda ini lebih banyak digunakan apabila koefisien matrix dari set persamaan lebih banyak merupakan bilangan nol. Penggunaan metoda ini akan dijelaskan melalui suatu contoh penyelesaian persamaan linear.

Contoh : Selesaikan set persamaan linear berikut :

8 x₁ + x₂ - x₃ = 8,

(2.3.1)

x₁ - 7 x₂ + 2 x₃ = -4.

^(2.3.2)

2 x₁ + x₂ + 9 x₃ = 12

^(2.3.3)

Set persamaan ini ditulis kembali kedalam suatu bentuk persamaan untuk mendapatkan variabel-variabel dengan koefisien yang besar, yaitu :

x₁ = 1 - 0.125 x₂ + 0.125 x₃

^(2.3.4)

x₂ = 0.571 + 0.143 x₁ + 0.286 x₃

(2.3.5)

x₃ = 1.333 - 0.222 x₁ - 0.111 x₂

^(2.3.6)

Pada iterasi pertama diberikan harga aproksimasi dari x₁, x₂, dan x₃. Pada iterasi berikutnya harga x₁ dihitung dari persamaan (2.2.4) menggunakan harga aproksimasi x₂ dan x₃. Harga x₂ dihitung dari persamaan (2.2.5) menggunakan harga x₁ yang baru dihitung dan harga approksimasi x₃. Harga x₃ dihitung dari persamaan (2.2.6) menggunakan harga x₁ dan x₂ yang baru.

Persamaan (2.2.4) sampai dengan (2.2.6) dapat ditulis kedalam persamaan :

x₁⁽ⁿ⁺¹⁾ = 1 - 0.125 x₂⁽ⁿ⁾ + 0.125 x₃⁽ⁿ⁾

(2.3.7)

x₂⁽ⁿ⁺¹⁾ = 0.571 + 0.143 x₁⁽ⁿ⁺¹⁾ + 0.286 x₃⁽ⁿ⁾

^(2.3.8)

x₃⁽ⁿ⁺¹⁾ = 1.333 - 0.222 x₁⁽ⁿ⁺¹⁾ - 0.111 x₂⁽ⁿ⁺¹⁾

(2.3.9) Dimana n = nomor iterasi.

Perhitungan dapat dimulai dengan x₁ = 0, x₂ = 0, dan x₃ = 0. Dengan menggunakan persamaan (2.2.7) sampai dengan persamaan (2.2.9) diperoleh hasil perhitungan sebagaimana yang ditampilkan pada Tabel 2.2.1. Dari tabel ini dapat dilihat bahwa persen kesalahan antara nomor iterasi 5 dan 6 dapat diabaikan. Harga x₁, x₂ dan x₃ pada kolom keenam merupakan jawaban dari contoh persoalan yang diberikan.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

(4)

Tabel 2.2.1. Hasil Perhitungan Penyelesaian Set Persamaan

dengan Metoda Gauss - Seidel Var

Nomor Iterasi

1 2 3 4 5 6

x₁ 0 1.000 1.041 0.997 1.001 1.000 x₂ 0 0.714 1.014 0.996 1.000 1.000 x₃ 0 1.032 0.990 1.002 1.000 1.000

Algoritma Iterasi Gauss – Seidel

Untuk menyelesaikan persamaan linear N, susun kembali baris-baris persamaan sehingga elemen diagonal memiliki bilangan sebesar mungkin dibandingkan dengan bilangan dari koefisien lain pada baris yang sama. Definisikan system yang disusun sebagai Ax = b.

Dengan memisalkan harga awal x(1), hitung masing-masing komponen x(n+1) , untuk I = 1, 2, ,,,,,, N, dengan persamaan :

Xi(n+1) = bi/aii -

å

(aij/aii) xj(n+1) -

å

(aij/aii) xj(n), n = 1,2, …….

Kondisi konvergensi diberikan oleh persamaan :

ç

^aij

ç

^>

å ç

^aij

ê

, I = 1,2,…., N.

2.4. SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR Sistem persamaan non linear seperti :

2 4

2 + y =

x

^(2.4.1)

= 1

+ y

e^x

^(2.4.2)

dapat diselesaikan secara grafik dan numerik. Penyelesaian secara grafik didapat melalui perpotongan lingkaran x² + y² = 4

dengan kurva y = 1 − e^x.

2

(1.8 , 0.8)

1

-2 -1

1 2

-1

-2

(1 , -1.7)

(5)

2.4.1. Metoda Iterasi

Persamaan (2.4.1) dan persamaan (2.4.2) disusun dalam bentuk :

x = f (x , y) dan y = g (x , y)

2 2 2

2 2

4

4 4

x y

x

y y

x

−

±

=

−

=

= +

(2.4.3)

⁾¹⁽^ln ⁾¹⁽^ln⁾⁽^ln

1 1

y

x e y y

e

y e

x x x

−

= = −

−

=

= +

(2.4.4)

dimulai dengan y₁ = -1,7 diperoleh nilai x dan y dari persamaan (2.4.3) dan (2.4.4), yaitu :

x :

^0,993

^1,006

^1,0038

1,0042 1,0042

y :

^-1,7

^-1,736

^-1,7286

^-1,7299

^-1,7296

Penyelesaian :

x = 1,0042

y = -1,7296

Kriteria Kovergensi

Sitem persamaan :

x = f (x, y, z, ….)

y = g (x, y, z, ….)

z = h (x, y, z, ….)

akan konvergen jika dalam interval di sekitar akar :

, ... <1 +

+

+ y z

x f f

f

, ... <1 +

+

+ _y _z

x g g

g

, ... <1 +

+

+ y z

x h h

h

Metoda Newton

Bentuk set persamaan fungsi non linear :

f (x , y) = 0

(2.4.5)

g (x , y) = 0

(2.4.6)

misalkan x = r, y = s adalah akar-akar persamaan (2.4.5) dan persamaan (2.4.6).

Persamaan (2.4.5) dan persamaan (2.4.6) dapat diekspansi menggunakan Deret Taylor di sekitar titik (x₁, y₁), titik didekat akar persamaan dalam bentuk (r – x₁), (s – y₁) :

f (r,s) = 0 = f (x₁,y₁) + f_x (x₁,y₁) (r – x₁) + f_y(x₁,y₁) (s – y₁) + ………

(6)

f (r,s) = 0 = f (x₁,y₁) + f_x (x₁,y₁) (r – x₁) + f_y(x₁,y₁) (s – y₁) + ………

g (r,s) = 0 = g (x₁,y₁) + g_x (x₁,y₁) (r – x₁) + g_y(x₁,y₁) (s – y₁) + …….

^y^x

y x

y y

g gf f g gf f x

r −

−

=

− 1

^y^x

y x

y y

g gf f g gf f y

s −

−

=

− 1

catatan : semua fungsi dihitung pada (x₁,y₁)

Contoh :

Carilah akar x dan y sehingga :

f (x,y) = 4 – x² – y² = 0

g (x,y) = 1 – e^x – y = 0 dimulai dengan x₁ = 1, y₁ = -1,7

f_x = -2x

^fx (1, -1,7) = -2

f_y = -2y

f_y (1, -1,7) = 3,4

g_x = -e^x

g_x (1, -1,7) = -e¹ = -2,7183

g_y = -1

^g_y (1, -1,7) = -1

^y^x

y x

y y

g gf f g gf f x

r −

− +

= 1

f (1,-1,7) = 0,110

g(1,-1,7) = -0,0183

0042 , 1 1

7183 , 2

4 , 3 2

1 0183 , 0

4 , 3 110 , 0

1 =

−

− +

− + r =

⁷²⁹⁸^,¹²⁴²²^,¹¹

0183 , 0 7183 ,

2 0,110

2 7

,

1 −− − = −

+

− s =

2.5 Program Penyelesaian Sistim Persamaan Linear dengan

Metoda Gaussian Elimination

C TUJUAN : PENYELESAIAN SISTIM PERSAMAAN LINEAR MENGGUNAKAN C METODA GAUSSIAN ELIMINATION

C

C CONTOH : SELESAIKAN SET PERSAMAAN

(7)

C 3 X1 X2 + 2 X3 = 12 C X1 + 2X2 + 3 X3 = 11 C 2 X1 2X2 X3 = 2 C

C

C PARAMETERPARAMETER

C AB KOEFISIEN AUGMENTED MATRIX C N JUMLAH PERSAMAAN

C NP JUMLAH KOLOM DALAM AUGMENTED MATRIX C NDIM DIMENSI PERTAMA DARI MATRIX

C U KOEFISIEN VEKTOR BERUPA HASIL PERHITUNGAN C

DIMENSION AB(10,15),U(10) INTEGER N,NP,NDIM,I,J

OPEN (UNIT=6,FILE='ELIM.OUT',STATUS='NEW') C INPUT DATA

N = 3 NP = 4 NDIM = 3

AB(1,1) = 3.0 AB(1,2) = 1.0 AB(1,3) = 2.0 AB(1,4) = 12.0 AB(2,1) = 1.0 AB(2,2) = 2.0 AB(2,3) = 3.0 AB(2,4) = 11.0 AB(3,1) = 2.0 AB(3,2) = 2.0 AB(3,3) = 1.0 AB(3,4) = 2.0 NM1 = N – 1 DO 35 I = 1,NM1 IPVT = I IP1 = I + 1 DO 10 J = IP1,N

IF (ABS(AB(IPVT,I)).LT.ABS(AB(J,I))) IPVT=J 10 CONTINUE

IF (ABS(AB(IPVT,I)).LT.1.0E6) THEN WRITE(6,100)

GO TO 200 ENDIF

IF (IPVT.NE.I) THEN DO 20 JCOL = 1,NP SAVE = AB(I,JCOL)

AB(I,JCOL) = AB(IPVT,JCOL) AB(IPVT,JCOL) = SAVE 20 CONTINUE

ENDIF

DO 32 JROW = IP1,N

IF (AB(JROW,I).EQ.0.0) GO TO 32 RATIO = AB(JROW,I) / AB(I,I) AB(JROW,I) = RATIO

DO 30 KCOL = IP1,NP

AB(JROW,KCOL) = AB(JROW,KCOL) + RATIO*AB(I,KCOL)

30 CONTINUE 32 CONTINUE 35 CONTINUE

IF(ABS(AB(N,N)).LT.1.0E6) THEN WRITE(6,100)

GO TO 200 ENDIF

(8)

NP1 = N + 1

DO 50 KCOL = NP1,NP

AB(N,KCOL) = AB(N,KCOL) / AB(N,N) DO 45 J = 2,N

NVBL =NP1 J L = NVBL + 1

VALUE = AB(NVBL,KCOL) DO 40 K = L,N

VALUE = VALUE AB(NVBL,K) * AB(K,KCOL) 40 CONTINUE

AB(NVBL,KCOL) = VALUE/AB(NVBL,NVBL) 45 CONTINUE

50 CONTINUE DO 51 I = 1,NDIM U(I) = AB(I,NP) 51 CONTINUE WRITE(6,150)

150 FORMAT(' VEKTOR PENYELESAIAN ADALAH = ') WRITE(6,151)

151 FORMAT(' ')

DO 53 I = 1,NDIM WRITE(6,54)I,U(I)

54 FORMAT(' I =',I5,3X,' X(I) =',F8.3) 53 CONTINUE

100 FORMAT(/'SOLUTION NOT FEASIBLE. A NEAR ZERO PIVOT', $ 'WAS ENCOUNTEREDD.')

200 STOP END

Output Sistim Persamaan Linear dengan Metoda Gaussian Elimination

VEKTOR PENYELESAIAN ADALAH =

I = 1 X(I) = 3.000 I = 2 X(I) = 1.000 I = 3 X(I) = 2.000

2.5.1. Program Penyelesaian Sistim Persamaan Linear dengan

Metoda Gauss-Seidel

C TUJUAN : PENYELESAIAN SET PERSAMAAN LINEAR MENGGUNAKAN C METODA GAUSSSEIDEL

C CONTOH : SELESAIKAN PERSAMAAN C 8 X1 + X2 X3 = 8

C X1 7 X2 + 2 X3 = 4 C 2 X1 + X2 + 9 X3 = 12 C

(9)

C

C PARAMETER PARAMETER

C A ARRAY DARI KOEFISIEN MATRIX DENGAN BILANGAN C TERBESAR PADA DIAGONAL

C B ARRAY DARI ELEMENELEMEN VEKTOR C N JUMLAH PERSAMAAN

C X HARGA APROKSIMASI AWAL, JUGA SEBAGAI OUPUT C HASIL YANG DIINGINKAN

C NITER JUMLAH ITERASI YANG DIIZINKAN C TOL HARGA TOLERANSI YANG DIIZINKAN C NDIM JUMLAH DIMENSI PERTAMA

C

DIMENSION A(10,10),B(10),X(10) INTEGER N,NDIM,NITER,I,J REAL TOL

OPEN(UNIT=6,FILE='SEIDEL.OUT',STATUS='NEW')

C INPUT DATA B(1) = 8 B(2) = 4 B(3) = 12 N = 3 X(1) = 0 X(2) = 0 X(3) = 0 NDIM = 3 NITER = 50 TOL = 0.00001 A(1,1) = 8 A(1,2) = 1 A(1,3) = 1 A(2,1) = 1 A(2,2) = 7 A(2,3) = 2 A(3,1) = 2 A(3,2) = 1 A(3,3) = 9 DO 10 I = 1,N SAVE = A(I,I) B(I) = B(I) / SAVE DO 5 J = 1,N

A(I,J) = A(I,J) / SAVE C WRITE(*,*)I,J,A(I,J) 5 CONTINUE

10 CONTINUE

DO 40 ITER = 1,NITER XMAX = 0

DO 30 I = 1,N SAVE = X(I) X(I) = B(I) DO 20 J =1,N IF (J.NE.I) THEN X(I) = X(I) A(I,J)*X(J) ENDIF

(10)

20 CONTINUE

IF (ABS(X(I) SAVE) .GT. XMAX) THEN XMAX = ABS( X(I) SAVE )

ENDIF 30 CONTINUE

IF (XMAX.LE.TOL) GO TO 50 40 CONTINUE

IF (ITER.GE.NITER) THEN

WRITE(*,*)' TOLERANSI TIDAK TERCAPAI SETELAH $ ITERASI ',ITER,'DAN HARGA X TERAKHIR $ YANG DIBERIKAN '

GO TO 60 ENDIF

50 WRITE(6,49)ITER

49 FORMAT(' JUMLAH ITERASI =',I5) WRITE(6,51)

51 FORMAT(' HARGA X YANG DIDAPAT ADALAH = ') DO 52 I = 1,N

WRITE(6,53)I,X(I)

53 FORMAT(' I = ',I5,3X,' X(I) = ',F8.3) 52 CONTINUE

60 STOP END

Output Sistim Persamaan Linear dengan Metoda Gauss-Seidel

JUMLAH ITERASI = 8

HARGA X YANG DIDAPAT ADALAH = I = 1 X(I) = 1.000

I = 2 X(I) = 1.000 I = 3 X(I) = 1.000

2.6. SOAL-SOAL

Diberikan matrix A, B dan vektor x, y dimana

















−

=

0 7 9 1

3 6 5 4

1 2 3 1 A

^

















−

= 2 3 2 1 x













−

=

2 1 4 13

2 9 1 6

4 1 2 3 B

^



















−

= 3 5

1 4 y

Carilah A + B , 2 A - 3 B, 5 x - 3 y Carilah Ax, By, x^Ty

Carilah A^T, B^T Diberikan matriks 1.

a.

b.

c.

2.

(11)













−

=

2 3 6 1

1 4 0 2

5 1 3 2 A

,

^^













−

=

7 5 2

4 3 1

1 2 4 B

Carilah BA, B², AA^T Carilah det(B) Carilah tr(B)

Carilah U dan L sehingga U + L = B

Misalkan











 −

=

1 0 2

1 1 3

2 2 1 A

,

^^













−

=

7 4 2

5 3 1

4 2 1 B













−

=

1 0 1

3 1 0

2 1 1 C

Tunjukkan bahwa AB = BA = I dimana I adalah matriks 3 x 3,

^^















=

1 0 0

0 1 0

0 0 1 I

Tunjukkan bahwa AI = IA = A.

Tunjukkan bahwa AC = CA dan BC = CB.

Tulis sebagai sistim persamaan linear

















=

































−

16 6 1 3

x x x x

5 1 1 0

1 4 1 0

1 1 0 2

1 1 3 1

4 3 2 1

Selesaikan sistim persamaan linear dengan metoda Eliminasi Gauss : 3 x₁ - 2 x₂ + 2 x₃ = 10

x₁ + 2 x₂ - 3 x₃ = -1 4 x₁ + x₂ + 2 x₃ = 3

Selesaikan sistim persamaan linear dengan metoda Eliminasi Gauss : 2 x₁ + 3 x₂ - 4 x₃ = -3

3 x₁ - 2 x₂ + 5 x₃ = 24 x₁ + 4 x₂ - 3 x₃ = -6

Selesaikan sistim persamaan linear dengan metoda Eliminasi Gauss :

^x₁^{+ 3 x}₂^{+ 2 x}₃^{= 3}

2 x₁ - x₂ - 3 x₃ = -8 5 x₁ + 2 x₂ + x₃ = 9

a. Selesaikan dengan substitusi mundur : 4 x₁ - 2 x₂ + x₃ = 8

- 3 x₂ + 5 x₃ = 3 - 2 x₃ = 6.

b. Selesaikan dengan substitusi maju : 5 x₁ = -10 2 x₁ - 3x₂ = -13 4 x₁ + 3x₂ - 6 x₃ = 7

Selesaikan soal nomor 7a dan 7b dengan iterasi Gauss-Seidel, mulai dengan (2, 2, -1).

Selesaikan sistem :

x² + x + - y² = 1 dan

y – sin x² = 0

dengan metoda iterasi.

2.

a.

b.

c.

d.

3.

a.

b.

c.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

(12)

Selesaikan sistem :

x² + y² + z² = 9,

xyz = 1,

x + y - z² = 0

dengan iterasi untuk memperoleh penyelesaian di dekat (2.5, 0.2, 1.6).

Selesaikan soal nomor (9) dengan Metoda Newton.

Selesaikan dengan Metoda Newton persamaan berikut :

x³ + 3y² = 21,

x² + 2y + 2 = 0

Buat sketsa grafik untuk menentukan nilai awal.

13. Selesaikan set persamaan non linear :

f (x,y) = x² + y² - 4 = 0, dan

g (x,y) = y + e^x - 1 = 0

dengan metoda Hooke – Jeeves Search.

Petunjuk :

Formulasikan fungsi objektif sebagai :

^[ ^] ^[ ^]

²²²²

2 2

) 4 (

) 1 (

) , ( )

, (

− +

+

− +

=

+

=

y x

e y F

y x g y

x f

F x

ditentukan x,y dengan meminimumkan nilai F 11.

12.

13.

2.1. MATRIKS Matriks ordo m x n adalah jajaraan bilangan persegi empat terdiri dari bars m dan kolom n dalam bentuk :

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

[ ][ ] [ ]

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

( )

​

​

​

å

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

å