RANCANGAN BLOK RANDOM TAK LENGKAP SEIMBANG

(1)

RANCANGAN BLOK RANDOM TAK LENGKAP

SEIMBANG

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2008 KELOMPOK

1. Kurnia Dwi Saputri (M0105011)

2. Novandry Widyastuti (M0105013)

3. Kurnia Lutfi Astuti (M0105046)

4. Laila Kurnia (M0106014)

5. Siti Mutmainah (M0106017)

6. Ariadne Monasari (M0106030)

7. Mirnasari (M0106051)

8. Nugroho Arif S. (M0106053)

9. Yulinda Ariesta (M0106069)

(2)

1. PENDAHULUAN

Percobaan merupakan serangkaian kegiatan di mana setiap tahap

dalam rangkaian benar-benar terdefinisikan, dilakukan untuk menemukan

jawaban tentang pemasalahan yang diteliti melalui suatu pengujian hipotesis.

Dari hasil pengujian tersebut nantinya dapat digunakan untuk menarik suatu

kesimpulan dari permasalahan yang diteliti.

Pada suatu percobaan tertentu yang menggunakan rancangan blok

random, semua kombinasi perlakuan mungkin tidak dapat diformulasikan pada

setiap blok. Dengan kata lain, ukuran blok cukup kecil sehingga ada perlakuan

yang tidak dapat muncul dalam blok. Pada keadaan seperti itu, maka

digunakan Rancangan Blok Random Tak Lengkap Seimbang (RBRTLS).

Dalam makalah ini akan dijelaskan tentang RBRTLS serta contoh penerapan

kasusnya.

2. RANCANGAN BLOK RANDOM TAK LENGKAP SEIMBANG

(RBRTLS)

Jika setiap perlakuan sama pentingnya, maka pemilihan perlakuan

dalam masing-masing blok harus seimbang, yaitu pemilihan perlakuan dalam

masing-masing blok harus sedemikian sehingga setiap 2 perlakuan akan

muncul/tampak bersama-sama dalam jumlah yang sama dalam seluruh

eksperimen.

Misalkan ada a buah perlakuan dan dapat dilaksanakan k (k<a) buah

perlakuan tiap blok, maka RBRTLS dapat dilaksanakan dengan

k a

buah blok,

masing-masing blok dengan kombinasi perlakuan yang berbeda.

Contoh:

RBRTLS untuk membandingkan 4 perlakuan dalam 4 blok-blok yang

masing-masing blok berukuran 3.

Blok Perlakuan

1 2 3 4

1. x X - x

2. - X x x

3. x X x -

(3)

2.1 ANALISIS STATISTIK

Pada umumnya, kita asumsikan bahwa ada a perlakuan dan b blok, lalu

diasumsikan bahwa tiap blok terdapat k perlakuan, dimana tiap perlakuan

terjadi r kali perulangan (tidak ada perlakuan yang muncul dua kali dalam tiap

blok) dan terdapat N =a⋅r=k⋅b total observasi. Jumlah dua perlakuan akan

muncul atau tampak bersama-sama dalam seluruh eksperimen yaitu

(

)

(

1

)

1 −

− =

a k r

λ

Model statistik RBRTLS :

ij j i ij

Y =µ+τ +β +ε

Keterangan :

i, j mempunyai nilai sebanyak N =a⋅r replikasi perlakuan

Yij = observasi ke-i dalam blok ke-j

µ = rata-rata keseluruhan

i

τ = pengaruh dari perlakuan ke-i

j

β = pengaruh dari blok ke-j

Asumsi :

(

2

)

, 0

~ σ

ε_ij NID ; τ_i =0 ; β_j =0

2.1.1 Langkah-langkah Analisis Statistik

a. Analisis Statistik Pengaruh Perlakuan

• Uji Hipotesis

0 ...

: ₁= ₂ = = _a =

O

H τ τ τ

0 :

1 i ≠

H τ untuk paling sedikit sebuah i yang memiliki pengaruh

• Menentukan yang digunakan

• Daerah kritis

Ho ditolak jika F > F₍_α_;_a₋₁_;_N₋_a₋_b₊₁₎

• Statistik Uji

RKS diperbaiki RKP

F = ( )

(4)

b. Analisis Statistik Pengaruh Blok

• Uji Hipotesis

0 ...

: ₁= ₂ = = _a =

O

H β β β

0 :

1 j ≠

H β untuk paling sedikit sebuah j yang memiliki pengaruh

• Menentukan yang digunakan

• Daerah kritis

Ho ditolak jika F > F₍_α_;_b₋₁_;_N₋_a₋_b₊₁₎

• Statistik Uji

RKS diperbaiki RKB

F = ( )

• Kesimpulan

2.1.2 Menghitung Jumlah Kuadrat

a. Pengaruh Perlakuan

• Jumlah Kuadrat Total (JKT)

JKT = JKP(diperbaiki) + JKB + JKS

N Y Y JKT

i j ij

2 2 ..

−

= ; db = N – 1

• Jumlah Kuadrat Blok (JKB)

=

− =

b

j j

N Y k Y JKB

1

2 2

.. .

; db = b - 1

• Jumlah Kuadrat Perlakuan Diperbaiki (JKPdiperbaiki)

a Q k diperbaiki JKP

a

i i

. )

( 1

2

λ

=

= ; db = a - 1

Dimana

=

− =

b

j j ij i

i n Y

k Y Q

1 . .

1

; i = 1, 2, ..., a ; 0

1

=

a

i i

Q

, 1 =

ij

n bila perlakuan ke-i muncul pada blok ke-j

nij = 0, bila perlakuan tidak muncul

Keterangan

(5)

Tujuan JKP(diperbaiki) untuk memisahkan efek perlakuan dan blok. Ini perlu

karena tiap perlakuan diwakili dalam himpunan yang berbeda dari r blok.

Sedangkan perlakuan total yang tidak diperbaiki

(

Y₁_,,Y₂_.,...,Y_a_.

)

dipengaruhi

oleh perlakuan dan perbedaan antar blok.

• Jumlah Kuadrat Sesatan (JKS)

JKS = JKT - JKP(diperbaiki) - JKB ; db = N - a - b + 1

Tabel Anava

Sumber variasi

JK

(Jumlah Kuadrat)

db (derajat kebebasan)

RK (Rataan Kuadrat)

Fo

Perlakuan (diperbaiki)

a Q

k _i

λ

2 _{A - 1}

1 − a JKP_diperbaiki

RKS diperbaiki RKP Fo

) (

=

Blok

− N Y k

j

Y. 2 ..2 B - 1

1 − b JKB

Sesatan JKS = JKT - JKP(diperbaiki) - JKB

N - a - b + 1

1 + − −a b N

JKS

Total

− N Y Y_ij

2

2 .. N - 1

b. Pengaruh Blok

• Jumlah Kuadrat Total (JKT)

JKT = JKP+ JKB(diperbaiki) + JKS

N Y Y JKT

i j ij

2 2 ..

−

= ; db = N – 1

• Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP)

=

− =

a

i i

N Y r Y JKP

1

2 2

. ..

; db = a - 1

• Jumlah Kuadrat Blok Diperbaiki (JKBdiperbaiki)

b Q r diperbaiki JKB

b

j j

. )

( 1

2

λ

=

(6)

Dimana

=

− =

a

i i ij j

j n Y

r Y Q

1 . .

1

' ; i = 1, 2, ..., a ; 0

1

=

b

j j

Q

, 1 =

ij

n bila perlakuan ke-i muncul pada blok ke-j

nij = 0, bila perlakuan tidak muncul

Keterangan

r = ukuran perlakuan

Qj = jumlah blok ke-j yang diperbaiki

• Jumlah Kuadrat Sesatan (JKS)

JKS = JKT - JKB(diperbaiki) - JKP ; db = N - a - b + 1

Tabel Anava

Sumber variasi

JK

(Jumlah Kuadrat)

db (derajat kebebasan)

RK (Rataan Kuadrat)

Fo

Blok (diperbaiki)

b Q r

b j

j

.

1 2

λ

=

b - 1

1 − b JKB_diperbaiki

RKS diperbaiki RKB Fo

) (

=

Perlakuan

=

−

a

i i

N Y r Y

1

2 2

. ..

a - 1

1 − a JKP

Sesatan JKS = JKT - JKB(diperbaiki) - JKP

N – a - b + 1

1 + − −a b N

JKS

Total

− N Y Y_ij

2

2 .. N - 1

2.2 ANALISIS LANJUTAN

Jika H0 ditolak, maka paling tidak ada satu perlakuan yang berbeda.

Sehingga dapat diuji dengan uji Range Berganda Duncan, yaitu

membandingkan semua pasangan rata-rata perlakuan yang diperbaiki yang

diestimasi oleh τˆ_i(untuk pengaruh perlakuan).

Langkah-langkah analisisnya :

(1) Pasangan rata-rata perlakuan yang diperbaiki (diestimasi oleh τˆ_i) diurutkan

dari kecil ke besar.

a kQ_i

i

. ˆ

λ

(7)

(2) Menghitung standar eror perlakuan yang diperbaiki

(5) Membandingkan selisih rata-rata perlakuan dengan Rp

(6) H0 ditolak jika selisih rata-rata perlakuan yang diperbaiki > Rp

(

τi−τj >Rp

)

; i ≠ j

(7) Kesimpulan jika H0 ditolak, berarti kedua perlakuan tersebut mempunyai

rata-rata yang berbeda.

3. ESTIMASI KUADRAT TERKECIL DARI PARAMETER

Anggap estimasi pengaruh perlakuan untuk model Blok Random Tak Lengkap

Seimbang. Persamaan kuadrat terkecil normal adalah

untuk mengeliminasi pengaruh blok dari persamaan {τ_i}, didapatkan

=

Sekarang selama

=

Dapat ditulis kembali persamaan

(8)

Catatan bahwa ˆ 0

1

=

a

i i

τ menyatakan secara tidak langsung bahwa _i

a

i p p

i τ

τˆ ˆ

1

− =

≠ =

dan r(k-1)=λ(a-1) untuk mendapatkanλaτˆ_i =kQ_i i = 1,2, … ,a

oleh karena itu estimasi kuadrat terkecil dari RBRTLS adalah

a kQ_i

i

λ

τˆ = i = 1,2, … ,a

5. CONTOH KASUS

Data dan penelitian ini merupakan data dan penelitian yang diperoleh

atau bersumber dari skripsi salah satu mahasiswa pertanian UNS.

Seorang peneliti meneliti pengaruh lama vernalisasi pada suatu

tanaman. Peneliti memperkirakan bahwa perbedaan konsentrasi Asam

Gibberrelat (GA3) yang diberikan pada tanaman tersebut mungkin mempunyai

pengaruh. Oleh karena itu peneliti memutuskan untuk menggunakan

konsentrasi GA3 sebagai blok percobaan. Tetapi karena keterbatasan GA3,

tidak semua perlakuan dapat dicobakan. Sehingga peneliti menggunakan

rancangan blok random tak lengkap seimbang. Dari percobaan diperoleh data

umur tanaman mulai berbunga (hari).

Data yang diperoleh sebagai berikut

Konsentrasi GA3 (ppm) Lama

Vernalisasi (hari)

0 500 1000 1500

0 45 47 - 45

14 - 33 45 49

28 46 - 46 42

42 41 47 46 -

Penyelesaian :

1. Dilakukan uji asumsi

Asumsi Kenormalan

Asumsi kenormalan dipenuhi apabila Normal probability plot of residuals

(9)

Dari plot dapat dilihat bahwa plot membentuk atau mendekati garis lurus

sehingga asumsi kenormalan dipenuhi.

Asumsi Homogenitas variansi

1. Asumsi homogenitas variansi dipenuhi jika Residual Versus the

Fitted Values tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak.

Dari plot di atas dapat dilihat bahwa plot tidak membentuk suatu pola

tertentu atau acak, sehingga asumsi homogenitas dipenuhi.

5 0

-5 2

1

0

-1

-2

N

o

rm

a

l S

c

o

re

Residual

Normal Probability Plot of the Residuals

(response is RESPON)

48 47 46 45 44 43 42 41 40 5

0

-5

Fitted Value

R

e

si

d

u

a

l

Residuals Versus the Fitted Values

(10)

2. Uji Bartlett

0 50 100

95% Confidence Intervals for Sigmas

Bartlett's Test

Test Statistic: 6.210

P-Value : 0.102

Levene's Test

Test Statistic: 1.011

P-Value : 0.437

Factor Levels

1

2

3

4

Test for Equal Variances for data

Test for Equal Variances

Response data Factors ver ConfLvl 95.0000

Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels

0.51256 1.15470 14.583 3 1 3.69612 8.32666 105.160 3 2 1.02512 2.30940 29.166 3 3 1.42690 3.21455 40.598 3 4

Bartlett's Test (normal distribution)

Test Statistic: 6.210 P-Value : 0.102

Levene's Test (any continuous distribution)

Test for Equal Variances: data vs ver

MTB > %Vartest 'data' 'ga3'; SUBC> Confidence 95.0.

Executing from file: C:\Program Files\MTBWIN\MACROS\Vartest.MAC

(11)

Test for Equal Variances

Response data Factors ga3 ConfLvl 95.0000

Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels

1.17442 2.64575 33.414 3 1 3.58791 8.08290 102.081 3 2 0.25628 0.57735 7.292 3 3 1.55889 3.51188 44.353 3 4

Bartlett's Test (normal distribution)

Levene's Test (any continuous distribution)

Test for Equal Variances: data vs ga3

Oleh karena P-Value < Test Statistic maka semua perlakuan mempunyai

variansi yang sama.

Asumsi independensi

Asumsi independensi dipenuhi jika Residual versus the order of the

data tidak membentuk suatu pola tertentu atau acak

2 4 6 8 10 12 14 16

-5 0 5

Observation Order

R

e

s

id

u

a

l

Residuals Versus the Order of the Data

(12)

Dari plot di atas dapat dilihat bahwa plot tidak membentuk suatu pola tertentu

atau acak, sehingga asumsi independensi dipenuhi.

Kesimpulan :

Karena ketiga asumsi dipenuhi maka tidak terdapat ketidakcocokan model

dengan data.

3. Dilakukan uji Hipotesis

Konsentrasi GA3 (ppm) Lama Vernalisasi

(hari) 0 500 1000 1500 Yi.

(i) Analisis Statistik Pengaruh Perlakuan (Lama vernalisasi)

(13)

1

Tabel Anava

Sumber variasi db JK RK F

Lama vernalisasi (diperbaiki)

3 27,55 9,183

tanaman mulai berbunga)

0 :

1 i ≠

H τ (paling tidak ada satu perlakuan lama vernalisasi yang

mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga)

(14)

bahwa lama vernalisasi tidak mempengaruhi umur tanaman mulai

berbunga.

Karena dari hasil uji hipotesis diperoleh bahwa H0 tidak ditolak, maka tidak perlu

dilakukan analisis lanjut.

(ii) Analisis Statistik Pengaruh Blok (konsentrasi GA3)

(15)

Sumber variasi db JK RK F

Lama vernalisasi 3 18

Konsentrasi GA3

(diperbaiki)

3 30.28 10.05

Sesatan 5 142,39 28.478

Total 11 190,67

F = 0.35

• Uji Hipotesis

0 ...

: ₁= ₂ = = _a =

O

H β β β (konsentrasi GA3 tidak mempengaruhi umur

tanaman mulai berbunga)

0 :

1 j ≠

H β (paling tidak ada satu blok konsentrasi GA3 yang

mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga)

• Digunakan = 0,05

• Daerah kritis

Ho ditolak jika F' >F₍₀_,₀₅_;₃_;₅₎ =5,41

• Statistik Uji

35 , 0 ) (

' ₌ ₌

RKS diperbaiki RKB

F

• Kesimpulan

Karena F’ < F(0,05;3;5) = 0,35 < 5,41 maka Ho tidak ditolak, yang berarti

bahwa konsentrasi GA3 yang diberikan pada tanaman tidak

mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga.

Karena dari hasil uji hipotesis diperoleh bahwa H0 tidak ditolak, maka tidak perlu

dilakukan analisis lanjut.

Hasil uji yang diperoleh dengan Minitab 13 adalah sebagai berikut

General Linear Model: RESPON versus VERNALISASI, GA3

Factor Type Levels Values VERNALIS fixed 4 1 2 3 4 GA3 fixed 4 1 2 3 4

(16)

Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P VERNALIS 3 18.00 27.58 9.19 0.32 0.810 GA3 3 30.25 30.25 10.08 0.35 0.789 Error 5 142.42 142.42 28.48

Total 11 190.67

Kesimpulan :

1. Analisis statistik dengan pengaruh perlakuan diperoleh nilai p = 0,810 >

= 0,05 maka H0 tidak ditolak yang berarti bahwa lama vernalisasi tidak

mempengaruhi umur tanaman mulai berbunga.

2. Analisis statistik dengan pengaruh blok diperoleh nilai p = 0,789 > =

0,05 maka H0 tidak ditolak yang berarti bahwa konsentrasi GA3 yang

diberikan pada tanaman tidak mempengaruhi umur tanaman mulai

berbunga.

6. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Model statistik Rancangan Blok tak Lengkap Seimbang adalah

ij j i ij

Y =µ+τ +β +ε

Keterangan :

i, j mempunyai nilai sebanyak N =a⋅r replikasi perlakuan

Yij = observasi ke-i dalam blok ke-j

µ = rata-rata keseluruhan

i

τ = pengaruh dari perlakuan ke-i

j

β = pengaruh dari blok ke-j

Asumsi : _ε _~ _NID

(

₀_,_σ2

)

ij ; τi =0 ; βj =0

2. Jika H0 ditolak maka, paling tidak ada satu perlakuan yang berbeda.

Sehingga dapat dilakukan uji Range Berganda Duncan, yaitu

membandingkan semua pasangan rata-rata perlakuan yang diperbaiki

(17)

7. DAFTAR PUSTAKA

Montgomery, D. C. (1991). Design and Analysis of Experiments . John